資源簡介

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函數的單調性與導數
一、.函數的單調性與導數的關系
函數y＝f(x)在區間(a，b)內可導，
(1)若f′(x)>0，則f(x)在區間(a，b)內是單調遞增函數；
(2)若f′(x)<0，則f(x)在區間(a，b)內是單調遞減函數；
(3)若恒有f′(x)＝0，則f(x)在區間(a，b)內是常數函數．
二、函數的變化快慢與導數的關系
如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么這個函數在這個范圍內變化較_快，其圖象比較陡峭_.即|f′(x)|越大，則函數f(x)的切線的斜率絕對值越大，函數f(x)的變化率就越大．
常用結論
(1)在某區間內f′(x)>0(f′(x)<0)是函數f(x)在此區間上為增(減)函數的充分不必要條件．
(2)可導函數f(x)在(a，b)上是增(減)函數的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區間內都不恒為零．
技巧1
利用導數研究函數的單調性
例1、函數f(x)＝cos
x－x在(0，π)上的單調性是(　　)
A．先增后減　　　　B．先減后增
C．增函數
D．減函數
【答案】D
【解析】∵f′(x)＝－sin
x－1＜0，
∴f(x)在(0，π)上是減函數，故選D.
例2、(1)(2019·臨沂高二檢測)f
′(x)是函數y＝f(x)的導函數，若y＝f
′(x)的圖象如圖所示，則函數y＝f(x)的圖象可能是(　
　)
(2)證明：函數f(x)＝在區間(0,2)上是單調遞增函數．
[解析]　
(1)由導函數圖象可知函數f(x)在(－∞，0)上增函數，排除A，C，在(0,2)上為減函數，排除B，故選D．
(2)證明：∵f(x)＝，∴f
′(x)＝，令f
′(x)>0.可知lnx<1，即0故函數f(x)＝的單調增區間為(0，e)，又(0,2)?(0，e)，
∴函數f(x)＝在(0,2)上為單調增函數．
『規律總結』　
1.函數的圖象與函數的導數關系的判斷方法
(1)對于原函數，要重點考查其圖象在哪個區間內單調遞增，在哪個區間內單調遞減．
(2)對于導函數，則應考查其函數值在哪個區間內大于零，在哪個區間內小于零，并考查這些區間與原函數的單調區間是否一致．
2．利用導數證明或判斷函數單調性的思路
求函數f(x)的導數f
′(x)：(1)若f
′(x)>0，則y＝f(x)在(a，b)上單調遞增；(2)若f
′(x)<0，則y＝f(x)在(a，b)上單調遞減；(3)若恒有f
′(x)＝0，則y＝f(x)是常數函數，不具有單調性．
技巧2
求函數的單調區間
例3、求下列函數的單調區間：
(1)f(x)＝x3－3x＋1；
(2)f(x)＝x＋(b＞0)．
[解析]　(1)函數f(x)的定義域為R，
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，則3x2－3＞0.
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.
∴函數f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1)和(1，＋∞)，
令f′(x)＜0，則3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.
∴函數f(x)的單調遞減區間為(－1,1)．
(2)函數f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝(x＋)′＝1－，
令f′(x)＞0，則(x＋)(x－)＞0，∴x＞，或x＜－.
∴函數的單調遞增區間為(－∞，－)和(，＋∞)．
令f′(x)＜0，則(x＋)(x－)＜0，∴－＜x＜，且x≠0.
∴函數的單調遞減區間為(－，0)和(0，)．
『規律總結』　
1.利用導數求函數f(x)的單調區間的一般步驟為：
(1)確定函數f(x)的定義域；
(2)求導數f′(x)；
(3)在函數f(x)的定義域內解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根據(3)的結果確定函數f(x)的單調區間．
2．若y＝f(x)在(a，b)內可導，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)內導數為0的點僅有有限個，則y＝f(x)在(a，b)內仍是單調函數，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上單調遞增．
一、單選題
1．函數f(x)＝x－ln
x的單調遞減區間為(　　)
A．(0,1)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，0)，(1，＋∞)
【答案】A
【解析】函數的定義域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)<0，得02．函數f(x)＝(x－3)ex的單調遞增區間是(　　)
A．(－∞，2)　　B．(0,3)
C．(1,4)　　D．(2，＋∞)
[解析]　
∵f(x)＝(x－3)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)>0得x>2，∴選D．
2．(2020·德州高二檢測)若函數y＝f(x)的導函數在區間[a，b]上是增函數，則函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象可能是(　
　)
[解析]　
∵f′(x)在[a，b]上為增函數，∴f(x)在[a，b]上的切線斜率k隨x的增大而增大，故選A．
3．(2020·宣城二模)若函數f(x)＝x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三個單調區間，則實數a的取值范圍為(　　)
A．－1≤a≤2　　
B．－2≤a≤1
C．a＞2或a＜－1　　
D．a＞1或a＜－2
[解析]　
若函數f(x)有3個單調區間，
則f
′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2個零點，
故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，解得a＞1或a＜－2，故選D．
4．(2020·重慶高二檢測)函數f(x)＝x2－lnx的單調遞減區間為(　C　)
A．(－1,1)　　
B．(－∞，1)
C．(0,1)　　
D．(1，＋∞)
[解析]　
函數f(x)＝x2－lnx的定義域為(0，＋∞)，f
′(x)＝x－，令f
′(x)<0，即x－<0，解得05、函數f
(x)＝ex－x的單調遞增區間是________，單調遞減區間是________．
答案　(0，＋∞)　(－∞，0)
解析　由f′(x)＝ex－1>0，解得x>0，故其單調遞增區間是(0，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<0，故其單調遞減區間為(－∞，0)．
6、已知定義在區間(－π，π)上的函數f
(x)＝xsin
x＋cos
x，則f
(x)的單調遞增區間是______________________．
答案　和
解析　f′(x)＝sin
x＋xcos
x－sin
x＝xcos
x.
令f′(x)＝xcos
x>0，
則其在區間(－π，π)上的解集為∪，
即f
(x)的單調遞增區間為和.
【點睛】確定函數單調區間的步驟
(1)確定函數f
(x)的定義域．
(2)求f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區間．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區間．
1．【2020年高考全國Ⅰ卷理數】已知函數.
（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；
【解析】（1）當a=1時，f（x）=ex+x2–x，則=ex+2x–1．
故當x∈（–∞，0）時，<0；當x∈（0，+∞）時，>0．所以f（x）在（–∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增．
2．【2020年高考全國Ⅱ卷理數】已知函數．
（1）討論f(x)在區間(0，π)的單調性；
【解析】（1）
．
當時，；當時，．
所以在區間單調遞增，在區間單調遞減．
3．【2019年高考天津理數】設函數為的導函數．
（Ⅰ）求的單調區間；
【答案】（Ⅰ）的單調遞增區間為的單調遞減區間為.
【解析】（Ⅰ）由已知，有．因此，當時，有，得，則單調遞減；當時，有，得，則單調遞增．
所以，的單調遞增區間為的單調遞減區間為．
4．【2019年高考浙江】已知實數，設函數
（1）當時，求函數的單調區間；
【答案】（1）的單調遞增區間是,單調遞減區間是；
【解析】（1）當時，．
，
所以，函數的單調遞減區間為（0，3），單調遞增區間為（3，+）．
5.【2017天津，理20】設，已知定義在R上的函數在區間內有一個零點，為的導函數.
（Ⅰ）求的單調區間；
【答案】（Ⅰ）增區間是，
，遞減區間是.
【解析】（Ⅰ）解：由，可得，
進而可得.令，解得，或.
當x變化時，的變化情況如下表：
x
+
-
+
↗
↘
↗
所以，的單調遞增區間是，，單調遞減區間是.
6.【2016年高考北京理數】設函數，曲線在點處的切線方程為，[]
（1）求，的值；
（2）求的單調區間.
【答案】（Ⅰ），；（2）的單調遞增區間為.
【解析】（1）根據題意求出，根據，，求，的值；
（2）由題意知判斷，即判斷的單調性，知，即，由此求得的單調區間.
試題解析：（1）因為，所以.
依題設，即
解得；（2）由（Ⅰ）知.
由即知，與同號.
令，則.
所以，當時，，在區間上單調遞減；
當時，，在區間上單調遞增.[]
故是在區間上的最小值，
從而.
綜上可知，，，故的單調遞增區間為.
今天錯在哪里啦？
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