資源簡介

導數與函數零點
一、已知函數零點個數求參數的常用方法
　(1)分離參數法:首先分離出參數,然后利用求導的方法求出構造的新函數的最值,根據題設條件構建關于參數的不等式,再通過解不等式確定參數范圍.
(2)分類討論法:結合單調性,先確定參數分類的標準,在每個小范圍內研究零點的個數是否符合題意,將滿足題意的參數的各小范圍并在一起,即為所求參數范圍.
二、利用導數研究方程根(函數零點)的技巧
(1)研究方程根的情況,可以通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等.
(2)根據題目要求,畫出函數圖象的走勢規律,標明函數極(最)值的位置.
(3)利用數形結合的思想去分析問題,可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現.
常用結論
(1)注意構造函數；
(2)注意轉化思想、數形結合思想的應用.
技巧1
判斷函數零點(方程根)的個數
例1.已知函數f(x)=3ln
x-x2+2x-3ln
3-,則方程f(x)=0的解的個數為________.?
【解析】
因為f(x)=3ln
x-x2+2x-3ln
3-(x>0),所以f′(x)=-x+2
==,
當x∈(0,3)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;
當x∈(3,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,
所以f(x)max=f(3)=3ln
3-+6-3ln
3-=0,
因為當x→0時,f(x)→-∞;當x→+∞時,f(x)→-∞,所以方程f(x)=0只有一個解.
例2、設函數f(x)=ln
x+,m∈R.討論函數g(x)=f′(x)-零點的個數.
【解析】由題設,g(x)=f′(x)-=--(x>0),
令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).
設φ(x)=-x3+x(x>0),則φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),
當x∈(0,1)時,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上單調遞增;
當x∈(1,+∞)時,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上單調遞減.
所以x=1是φ(x)的極大值點,也是φ(x)的最大值點.所以φ(x)的最大值為φ(1)=.
由φ(0)=0,結合y=φ(x)的圖象(如圖),
可知①當m>時,函數g(x)無零點;②當m=時,函數g(x)有且只有一個零點;
③當0綜上所述：
當m>時,函數g(x)無零點;
當m=或m≤0時,函數g(x)有且只有一個零點;
當0技巧2
已知函數零點個數求參數問題
例3、已知曲線f(x)=ex(ax+1)在x=1處的切線方程為y=bx-e.
(1)求a,b.
(2)若函數g(x)=f(x)-3ex-m有兩個零點,求實數m的取值范圍.
【解析】(1)f(x)=ex(ax+1),
f′(x)=ex(ax+1)+ex·a=ex(ax+1+a),
所以所以a=1,b=3e.
(2)方法一:g(x)=f(x)-3ex-m
=ex(x-2)-m,
函數g(x)=ex(x-2)-m有兩個零點,相當于曲線u(x)=ex·(x-2)與直線y=m有兩個交點.u′(x)=ex·(x-2)+ex=ex(x-1),
當x∈(-∞,1)時,u′(x)<0,所以u(x)在(-∞,1)上單調遞減,
當x∈(1,+∞)時,u′(x)>0,所以u(x)在(1,+∞)上單調遞增,
所以x=1時,u(x)取得極小值u(1)=-e,
又x→+∞時,u(x)→+∞;x<2時,u(x)<0,所以-e方法二:g(x)=f(x)-3ex-m=ex(x-2)-m,
g′(x)=ex·(x-2)+ex=ex(x-1),
當x∈(-∞,1)時,g′(x)<0,所以g(x)在(-∞,1)上單調遞減,
當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)上單調遞增,
所以x=1時,g(x)取得極小值g(1)=-e-m,
又x→-∞時,g(x)→-m,
　所以-e例4、已知函數f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.
(1)討論f(x)的單調性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.
解　(1)f′(x)＝(2ex＋1)(aex－1)，
若a≤0時，f′(x)＝(2ex＋1)(aex－1)<0.所以f(x)在R上為減函數；
若a>0時，由f′(x)＝(2ex＋1)(aex－1)＝0，得x＝ln，
則f(x)在上為減函數，在上為增函數.
(2)由f(x)有兩個零點及(1)得a>0，且f<0，
則f＝a＋(a－2)－ln＝1－－ln<0，
令t＝(t>0)，因為g(t)＝1－t－ln
t在(0，＋∞)上為減函數，且g(1)＝0，
所以當t>1時，g(t)<0，所以>1，解得0所以a的取值范圍為(0，1).
1.若函數f(x)＝在其定義域上只有一個零點，則實數a的取值范圍是(　　)
A.(16，＋∞)
B.[16，＋∞)
C.(－∞，16)
D.(－∞，16]
解析　①當x≤0時，f(x)＝x＋3x，
∵y＝x與y＝3x在(－∞，0)上都單調遞增，
∴f(x)＝x＋3x在(－∞，0)上也單調遞增，又f(－1)<0，
f(0)>0，∴f(x)在(－1，0)內有一個零點.
②當x>0時，f(x)＝x3－4x＋，
f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).
令f′(x)＝0得x＝2或x＝－2(舍)，
當x∈(0，2)時，f′(x)<0，f(x)遞減，
當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)遞增，
∴在x>0時，f(x)最?。絝(x)極?。剑?＋，
要使f(x)在(0，＋∞)上無零點，需－8＋>0，
∴a>16.
答案　A
2.已知函數f(x)＝x2＋ex－(x<0)與g(x)＝x2＋ln(x＋a)的圖象上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是(　　)
A.
B.(－∞，)
C.
D.
解析　設點P(x0，y0)(x0<0)在函數f(x)上，由題意可知，點P關于y軸的對稱點P′(－x0，y0)在函數g(x)上，所以消y0可得
x＋ex0－＝(－x0)2＋ln(－x0＋a)，
即ex0－ln(a－x0)－＝0(x0<0)，所以ex0－＝ln(a－x0)(x0<0).
令m(x)＝ex－(x<0)，n(x)＝ln(a－x)(x<0)，
它們的圖象如圖，
當n(x)＝ln(a－x)過點時，
解得a＝，由圖可知，當a<時，
函數m(x)與函數n(x)在(－∞，0)上有交點.
答案　B
3.若函數f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)內有且只有一個零點，則f(x)在[－1，1]上的最大值與最小值的和為________.
解析　f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(a∈R)，當a≤0時，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，則f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，又f(0)＝1，所以此時f(x)在(0，＋∞)內無零點，不滿足題意.當a>0時，由f′(x)>0得x>，由f′(x)<0得00，f(x)單調遞增，當x∈(0，1)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，則f(x)max＝f(0)＝1，f(－1)＝－4，f(1)＝0，則f(x)min＝－4，所以f(x)在[－1，1]上的最大值與最小值的和為－3.
答案　－3
4.已知函數f(x)＝若g(x)＝f(x)－m有三個零點，則實數m的取值范圍是________.
解析　g(x)＝f(x)－m有三個零點，根據題意可得x>1時，函數有一個零點；x≤1時，函數有兩個零點.當x>1時，f(x)＝ln
x＋，f′(x)＝－＝>0恒成立，f(x)∈(1，＋∞)，故m>1；當x≤1時，f(x)＝2x2－mx＋＋，要使得g(x)＝f(x)－m有兩個零點，需滿足解得m<－5或1答案　
5.已知函數f(x)＝x＋ln
x－，g(x)＝，其中e為自然對數的底數，若函數f(x)與g(x)的圖象恰有一個公共點，則實數m的取值范圍是________.
解析　因為f′(x)＝1＋>0，所以函數在(0，＋∞)上為增函數且f＝－1－<0，所以當m≥0時，與g(x)＝有一個公共點，當m<0時，令f(x)＝g(x)，∴x2＋xln
x－x＝m有一解即可，設h(x)＝x2＋xln
x－x，令h′(x)＝2x＋ln
x＋1－＝0得x＝，即當x＝時，h(x)有極小值－，故當m＝－時有一公共點，故填m≥0或m＝－.
答案　m≥0或m＝－
1．【2017課標3，理11】已知函數有唯一零點，則a=
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】
試題分析：函數的零點滿足，
設，則，
當時，，當時，，函數
單調遞減，
當時，，函數
單調遞增，
當時，函數取得最小值，
設
，當時，函數取得最小值
，
【考點】
函數的零點；導函數研究函數的單調性，分類討論的數學思想
【名師點睛】函數零點的應用主要表現在利用零點求參數范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉化為構造兩個函數，利用兩個函數圖象的關系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現了數形結合思想的應用.
2．【2018年理新課標I卷】已知函數
．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是
A.
[–1，0）
B.
[0，+∞）
C.
[–1，+∞）
D.
[1，+∞）
【答案】C
詳解：畫出函數的圖像，在y軸右側的去掉，再畫出直線，之后上下移動，可以發現當直線過點A時，直線與函數圖像有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數的圖像有兩個交點，即方程有兩個解，也就是函數有兩個零點，此時滿足，即，故選C.
點睛：該題考查的是有關已知函數零點個數求有關參數的取值范圍問題，在求解的過程中，解題的思路是將函數零點個數問題轉化為方程解的個數問題，將式子移項變形，轉化為兩條曲線交點的問題，畫出函數的圖像以及相應的直線，在直線移動的過程中，利用數形結合思想，求得相應的結果.
3．【2018年全國卷Ⅲ理】函數在的零點個數為________．
【答案】
點睛：本題主要考查三角函數的性質和函數的零點，屬于基礎題。
4．【2018年理數全國卷II】已知函數．
若在只有一個零點，求．
【答案】（2）設函數．
在只有一個零點當且僅當在只有一個零點．
（i）當時，，沒有零點；
（ii）當時，．
當時，；當時，．
所以在單調遞減，在單調遞增．
故是在的最小值．
①若，即，在沒有零點；
②若，即，在只有一個零點；
③若，即，由于，所以在有一個零點，
由（1）知，當時，，所以．
故在有一個零點，因此在有兩個零點．
綜上，在只有一個零點時，．
點睛：利用函數零點的情況求參數值或取值范圍的方法
(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解.
(2)分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解.
5.【2019浙江】已知，函數．若函數恰有3個零點，則（
）
A．a<–1，b<0
B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0
D．a>–1，b>0
【答案】C
【解析】當x＜0時，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，
則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點；
當x≥0時，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，
，
當a+1≤0，即a≤﹣1時，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上單調遞增，
則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點，不合題意；
當a+1＞0，即a>﹣1時，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此時函數單調遞增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此時函數單調遞減，則函數最多有2個零點.
根據題意，函數y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3個零點?函數y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一個零點，在[0，+∞）上有2個零點，
如圖：
∴0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，則a>–1，b<0.
故選C．
【名師點睛】本題考查函數與方程，導數的應用.當x＜0時，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一個零點；當x≥0時，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，利用導數研究函數的單調性，根據單調性畫出函數的草圖，從而結合題意可列不等式組求解．
6.【2019年高考全國Ⅰ卷理數】已知函數，為的導數．證明：
（1）在區間存在唯一極大值點；
（2）有且僅有2個零點．
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【解析】（1）設，則，.
當時，單調遞減，而，可得在有唯一零點，
設為.
則當時，；當時，.
所以在單調遞增，在單調遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點.
（2）的定義域為.
（i）當時，由（1）知，在單調遞增，而，所以當時，，故在單調遞減，又，從而是在的唯一零點.
（ii）當時，由（1）知，在單調遞增，在單調遞減，而，，所以存在，使得，且當時，；當時，.故在單調遞增，在單調遞減.
又，，所以當時，.從而，在沒有零點.
（iii）當時，，所以在單調遞減.而，，所以在有唯一零點.
（iv）當時，，所以<0，從而在沒有零點.
綜上，有且僅有2個零點.
【名師點睛】本題考查導數與函數極值之間的關系、利用導數解決函數零點個數的問題.解決零點問題的關鍵一方面是利用零點存在性定理或最值點來說明存在零點，另一方面是利用函數的單調性說明在區間內零點的唯一性，二者缺一不可.
7．【2019年高考全國Ⅱ卷理數】已知函數.
（1）討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；
（2）設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.
【答案】（1）函數在和上是單調增函數，證明見解析；
（2）見解析.
【解析】（1）f（x）的定義域為（0，1）（1，+∞）．
因為，所以在（0，1），（1，+∞）單調遞增．
因為f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零點x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零點．
綜上，f（x）有且僅有兩個零點．
（2）因為，故點B（–lnx0，）在曲線y=ex上．
由題設知，即，故直線AB的斜率．
曲線y=ex在點處切線的斜率是，曲線在點處切線的斜率也是，
所以曲線在點處的切線也是曲線y=ex的切線．
【名師點睛】本題考查了利用導數求已知函數的單調性、考查了曲線的切線方程，考查了數學運算能力.
8、【2020年高考全國Ⅲ卷理數】設函數，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．
（1）求b．
（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．
【解析】（1）．
依題意得，即.
故．
（2）由（1）知，.
令，解得或.
與的情況為：
x
+
0
–
0
+
因為，所以當時，只有大于1的零點.
因為，所以當時，f（x）只有小于–1的零點．
由題設可知，
當時，只有兩個零點和1.
當時，只有兩個零點–1和.
當時，有三個等點x1，x2，x3，且，，．
綜上，若有一個絕對值不大于1的零點，則所有零點的絕對值都不大于1.
9．【2020年高考浙江】已知，函數，其中e=2.71828…是自然對數的底數．
（Ⅰ）證明：函數在上有唯一零點；
（Ⅱ）記x0為函數在上的零點，證明：
（?。?；
（ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）因為，，所以在上存在零點．
因為，所以當時，，故函數在上單調遞增，
所以函數以在上有唯一零點．
（Ⅱ）（?。┝?，，
由（Ⅰ）知函數在上單調遞增，故當時，，
所以函數在單調遞增，故．
由得，
因為在單調遞增，故．
令，，
令，，所以
故當時，，即，所以在單調遞減，
因此當時，．
由得，
因為在單調遞增，故．
綜上，．
（ⅱ）令，，所以當時，，
故函數在區間上單調遞增，因此．
由可得，
由得．
今天錯在哪里啦？
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