資源簡介

利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒（能）成立問題
一、導(dǎo)數(shù)的恒成立問題
1、，恒成立
2.
，恒成立
3.，恒成立
4.
，恒成立
5.
，恒成立
6.，恒成立
二、導(dǎo)數(shù)的能成立問題
1.，成立
2.
，成立
3.
，成立
4.
，成立
5.，成立
6.，成立
三、恒成立與能成立綜合問題
1.，恒成立
2.
，，成立
3.
，，成立
4.
，，成立
技巧1
分離參數(shù)法求范圍
例1、函數(shù)對恒成立，則的取值范圍為　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，時，不等式可化為，
設(shè)函數(shù)，其中，；
則，
令，解得或，，時，，單調(diào)遞增；
時，，單調(diào)遞減；
時取得最大值為（1）；
由此知的取值范圍是，＋∞)
例2、已知f(x)＝xln
x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
［解析］　
(1)因為函數(shù)f(x)＝xln
x的定義域為(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln
x＋1.令f′(x)＜0，得ln
x＋1＜0，解得0＜x＜，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.令f′(x)＞0，得ln
x＋1＞0，解得x＞，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.綜上，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
(2)因為g′(x)＝3x2＋2ax－1，由題意得2xln
x≤3x2＋2ax＋1恒成立.因為x＞0，所以a≥ln
x－x－在x∈(0，＋∞)上恒成立.設(shè)h(x)＝ln
x－x－(x＞0)，則h′(x)＝－＋＝－.令h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－(舍).
當(dāng)x變化時，h′(x)，h(x)的變化情況如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
h(x)
↗
極大值
↘
所以當(dāng)x＝1時，h(x)取得極大值，也是最大值，且h(x)max＝h(1)＝－2，所以若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，則a≥h(x)max＝－2，即a≥－2，故實數(shù)a的取值范圍是［－2，＋∞).
點睛：
利用分離參數(shù)法來確定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ為實參數(shù))恒成立問題中參數(shù)取值范圍的基本步驟：
(1)將參數(shù)與變量分離，化為f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式.
(2)求f2(x)在x∈D時的最大值或最小值.
(3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范圍.
技巧2
把參數(shù)看作常數(shù)利用分類討論方法解決
例3、已知函數(shù)f(x)＝ln
x－ax，a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若不等式f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍.
［解析］　
　(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
①當(dāng)a≤0時，f′(x)＞0恒成立，則f(x)只有單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞).
②當(dāng)a＞0時，由f′(x)＞0，得0＜x＜；由f′(x)＜0，得x＞；
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
(2)f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即ln
x－a(x－1)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立.
設(shè)g(x)＝ln
x－a(x－1)，x＞0，則g′(x)＝－a，注意到g(1)＝0，
①當(dāng)a≥1時，g′(x)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，
則g(x)在x∈(1，＋∞)上單調(diào)遞減，
所以g(x)＜g(1)＝0，即a≥1時滿足題意.
②當(dāng)0＜a＜1時，令g′(x)＞0，得1＜x＜；
令g′(x)＜0，得x＞.則g(x)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x∈時，g(x)＞g(1)＝0，即0＜a＜1時不滿足題意(舍去).
③當(dāng)a≤0時，g′(x)＝－a＞0，則g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g(x)＞g(1)＝0，即a≤0時不滿足題意(舍去).
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是［1，＋∞).
例4、已知f(x)＝ax2－2ln
x，a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)若對任意的x＞0,2－f(x)≤2(a－1)x恒成立，求整數(shù)a的最小值.
［解析］　
(1)由題意得f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝.
①當(dāng)a≤0時，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減.
②當(dāng)a＞0時，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－(負(fù)值舍去).
當(dāng)x∈，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增.
(2)由題意得2－ax2＋2ln
x≤2(a－1)x，
整理得2(ln
x＋x＋1)≤a(2x＋x2).
因為x＞0，所以原命題等價于a≥在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)恒成立.
令g(x)＝，
則g′(x)＝，
令h(x)＝2ln
x＋x，易知h(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
又h(0.5)＝－2ln
2＋0.5＜0，h(1)＝1＞0，故存在唯一的x0∈(0.5,1)，使得h(x0)＝0.
當(dāng)0＜x＜x0時，h(x)＜0，即g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞x0時，h(x)＞0，即g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減.
故函數(shù)g(x)的極大值為g(x0)，也為最大值，且2ln
x0＋x0＝0，
所以g(x)max＝＝＝，
所以a≥.又∈(1,2)，且a為整數(shù)，故整數(shù)a的最小值為2.
技巧3
能成立問題
例5、已知函數(shù)f(x)＝3ln
x－x2＋x，g(x)＝3x＋a.
(1)若f(x)與g(x)的圖象相切，求a的值；
(2)若?x0＞0，使f(x0)＞g′(x0)成立，求參數(shù)a的取值范圍.
［解］　(1)由題意得，f′(x)＝－x＋1，g′(x)＝3，設(shè)切點為(x0，f(x0))，則k＝f′(x0)＝－x0＋1＝3，解得x0＝1或x0＝－3(舍)，所以切點為，代入g(x)＝3x＋a，得a＝－.
(2)設(shè)h(x)＝3ln
x－x2－2x.?x0＞0，使f(x0)＞g(x0)成立，
等價于?x＞0，使h(x)＝3ln
x－x2－2x＞a成立，
等價于a＜h(x)max(x＞0).
因為h′(x)＝－x－2＝
＝－，
令得0＜x＜1；令得x＞1.
所以函數(shù)h(x)＝3ln
x－x2－2x在(0,1)上單調(diào)遞增，
在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)max＝h(1)＝－，
即a＜－，因此參數(shù)a的取值范圍為.
點睛：
(1)“恒成立”“存在性”問題一定要正確理解其實質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進行等價轉(zhuǎn)化.
(2)構(gòu)造函數(shù)是求范圍問題中的一種常用方法，解題過程中盡量采用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.
例6、已知函數(shù)f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)?x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范圍.
［解］　
(1)因為f′(x)＝a－ex，x∈R.
當(dāng)a≤0時，f′(x)＜0，f(x)在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時，令f′(x)＝0得x＝ln
a.
由f′(x)＞0得x＜ln
a，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，ln
a)；
由f′(x)＜0得x＞ln
a，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(ln
a，＋∞).
(2)因為?x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex，則ax≤，即a≤.
設(shè)h(x)＝，則問題轉(zhuǎn)化為a≤max，
由h′(x)＝，
令h′(x)＝0，則x＝.
當(dāng)x在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)變化時，h′(x)，h(x)的變化情況如下表：
x
(0，)
h′(x)
＋
0
－
h(x)
↗
極大值
↘
由上表可知，當(dāng)x＝時，函數(shù)h(x)有極大值，即最大值為，所以a≤.
1．已知函數(shù)，若存在x0，使得，則實數(shù)a的值為_____.
【答案】
【解析】
【分析】
函數(shù)可以看作是動點與動點之間距離的平方，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由得，曲線上點到直線的距離最小，要使，則，然后求解a即可．
【詳解】
函數(shù)，
函數(shù)可以看作是動點與動點之間距離的平方，
動點M在函數(shù)的圖象上，N在直線的圖象上，
問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，
由得，，解得，
所以曲線上點到直線的距離最小，最小距離，
則，
根據(jù)題意，要使，則，
此時N恰好為垂足，由，解得．
故答案為：．
【點睛】
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
2．函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根據(jù)時得，再對函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、最值等，進而研究函數(shù)單調(diào)性，即可解決.
【詳解】
解：，，.
由題意得，
令，則.
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，的最小值為.
又，，，，即，
在區(qū)間為減函數(shù).
，當(dāng)時，.
又當(dāng)，時，，
故恒成立，因此a的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查分析與解決問題的能力，是中檔題.
3．若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍為________.
【答案】
【解析】
【分析】
本題現(xiàn)將不等式運用參變分離化簡為，再構(gòu)造新函數(shù)求最大值，最后求實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】
解：∵
不等式在區(qū)間上有解，
∴
不等式在區(qū)間上有解，
∴
不等式在區(qū)間上有解，
令，（），則，
∴
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
∴
不等式在區(qū)間上有解，即
∴
故答案為：
【點睛】
本題考查不等式存在性問題，借導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)單調(diào)性求最大值，是中檔題.
4．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先求導(dǎo)，令，得，而當(dāng)時，，當(dāng)時，，從而可求出其單調(diào)區(qū)間；
（2）由得，即在上恒成立，令，然后利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可
【詳解】
（1）由題意，，，
令，得，則，
故當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由得，
即，令，
則.
由，知.
設(shè)，則，故在單調(diào)遞增，
又，，所以存在使得，即，
當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在單調(diào)遞增.
所以
所以實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】
此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，屬于中檔題
5．已知函數(shù).
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）（或）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）易得，再分別求出和的值，最后按照導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可；
（2）依題意得，由，得，
令（），問題等價于
，然后利用導(dǎo)數(shù)研究的最小值即可.
【詳解】
（1）因為，所以，
則，
所以，
又，
故曲線在點處的切線方程為，
即（或）；
（2）依題意得，由，得，
設(shè)函數(shù)（），
，
因為，
所以當(dāng)時，，
所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，從而，
故，即的取值范圍為.
【點睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（最值），考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于常考題.
6．已知函數(shù).
（1）若是的極值點，求a的值及的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意，不等式成立，求a的取值范圍.
【答案】（1）在上單減，在上單增.
（2）
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)，由，求出的值，代回，分析單調(diào)性以及，求出的解，即可得出結(jié)論；
（2）注意，若在為增函數(shù)，不等式恒成立，若在為減函數(shù)，則不等式不恒成立，將問題轉(zhuǎn)化為研究在上的單調(diào)性，求出，對分類討論，求出在正負(fù)情況，即可求出的取值范圍.
【詳解】
解：（1），
顯然在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單減，在上單增.
（2），
當(dāng)時，，在上單增，則，滿足題意；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，
①若，則，在上單增，則，滿足題意；
②若，則，故必存在使得，
從而在上單減，在上單增，，與題意矛盾；
綜上所述，.
【點睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、證明不等式，考查分類討論思想，通常以導(dǎo)數(shù)恒大于等于0（或恒小于等于0）作為分類依據(jù)，屬于較難題.
7．設(shè)函數(shù)，其中．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）求使得在區(qū)間內(nèi)恒成立（為自然對數(shù)的底數(shù)）的的取值范圍．
【答案】（1）分類討論，答案見解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的運算法則得出，通過對分類討論，利用一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系即可判斷出其單調(diào)性；
（2）令，可得（1），從而（1），解得得，當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明在上恒大于0，綜合可得所有可能取值．
【詳解】
（1）由題意，，，
①當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞減．
②當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)，時，，
故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
（2）原不等式等價于在．上恒成立，
一方面，令，
只需在，上恒大于0即可，
又（1），故在處必大于等于0．
令，（1），可得．
另一方面，當(dāng)時，，
，故，又，故在時恒大于0．
當(dāng)時，在單調(diào)遞增．
（1），故也在單調(diào)遞增．
（1），即在上恒大于0．
綜上，．
【點睛】
本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．
8．已知函數(shù).
（1）若函數(shù)，試討論的單調(diào)性；
（2）若，，求的取值范圍.
【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由于函數(shù)，得出，分類討論當(dāng)和時，的正負(fù)，進而得出的單調(diào)性；
（2）求出，令，得，設(shè)，通過導(dǎo)函數(shù)，可得出在上的單調(diào)性和值域，再分類討論和時，的單調(diào)性，再結(jié)合，恒成立，即可求出的取值范圍.
【詳解】
解：（1）因為，
所以，
①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.
②當(dāng)時，令，則；令，則，
所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）因為，可知，
，
令，得.設(shè)，則.
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
所以在上的值域是，即.
當(dāng)時，沒有實根，且，
在上單調(diào)遞減，，符合題意.
當(dāng)時，，所以有唯一實根，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，不符合題意.
綜上，，即的取值范圍為.
【點睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和根據(jù)恒成立問題求參數(shù)范圍，還運用了構(gòu)造函數(shù)法，還考查分類討論思想和計算能力，屬于難題.
9．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，判斷的單調(diào)性，并求在上的最值；
（2），，求a的取值范圍．
【答案】（1）增函數(shù)，最大值為，最小值為；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)證明在上為增函數(shù)，即得函數(shù)在上的最值；
（2）轉(zhuǎn)化為，令，再利用導(dǎo)數(shù)證明，轉(zhuǎn)化為，記，，利用導(dǎo)數(shù)求出，即得解.
【詳解】
（1）當(dāng)時，，定義域為．
．
設(shè)，則，
令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則．所以在上為增函數(shù)．
故在上的最大值為，最小值為．
（2）不等式可轉(zhuǎn)化為．
令，則．
當(dāng)時，．在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，．在上單調(diào)遞增．所以，于是，
記，，
則，
因為在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，從而．
故的取值范圍是．
【點睛】
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的存在性問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.
10．已知函數(shù)，，.
（1）若函數(shù)在處的切線斜率為，求的值；
（2）若任意，恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出，根據(jù)題意，解方程即可求解.
（2）求出，，令解得，，討論或或或，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題即可.
【詳解】
解：（1）因為，
所以，
因為函數(shù)在處的切線斜率為，
所以，解得.
（2）由（1）知，，，
令解得，，
①當(dāng)時，，在上，，
所以，單調(diào)遞減；
在上，，所以，單調(diào)遞增；
要使任意，恒成立，
即有，解得，不滿足；
②當(dāng)時，在上，，
，所以，單調(diào)遞增；
在上，，，所以，單調(diào)遞減；
在上，，，所以，單調(diào)遞增；
要使任意，恒成立，即有，解得，不滿足；
③當(dāng)時，結(jié)合②易知，在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；
在單調(diào)遞增；要使任意，恒成立，即有，
解得，所以，滿足；
④當(dāng)時，在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；
要使任意，恒成立，即有，
解得，所以，滿足；
綜上：的取值范圍為.）
【點睛】
本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、根據(jù)函數(shù)的斜率求參數(shù)值、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立，考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想以及分類討論的思想，屬于難題.
11．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若存在，使得（是自然對數(shù)的底數(shù)），求的取值范圍．
【答案】（1）（2）
【解析】
試題分析：（1）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得：f'（x）=，再對a進行討論，得到f'（x）＞0，從而函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由單調(diào)性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的單調(diào)性，判斷f（1）與f（﹣1）的大小關(guān)系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范圍．
試題解析：
（1）由于，
1°
當(dāng)單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增，
故單調(diào)遞增，
∴，即，所以，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增；
2°
當(dāng)單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增，
∴，即，所以，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增；綜上，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．
（2）因為存在，使得，
所以當(dāng)時，，
由（1）知，在上遞減，在上遞增，
所以當(dāng)時，
而，
記，因為（當(dāng)時取等號），
所以在上單調(diào)遞增，而．
1°
當(dāng)時，，
∴，
∴當(dāng)時，，
即，易知：，在上遞增，
∴．
2°
當(dāng)時，，
∴，
易知在上遞減，
∴，綜上：．
12．已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
(2)當(dāng)時，是否存在，使得成立？若存在，求實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出函數(shù)的定義域，接著求導(dǎo)，對參數(shù)分類討論．
（2）假設(shè)存在，使得成立，則對，滿足，將問題轉(zhuǎn)化為求與．
【詳解】
解：（1），
當(dāng)時，恒成立，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間，所以不存在極值．
當(dāng)時，令，得,當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，此時函數(shù)在處取得極大值，極大值為，無極小值．
綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間，不存在極值．當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，極大值為，無極小值
（2）當(dāng)時，假設(shè)存在，使得成立，則對，滿足
由可得，
.
令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以
由（1）可知，①當(dāng)時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以的最小值是．
②當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以的最小值是．
③當(dāng)時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時，在上的最小值是.當(dāng)時，在上的最小值是
所以當(dāng)時，在上的最小值是，故，
解得,所以．
當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值是，故，
解得，所以.故實數(shù)的取值范圍是
【點睛】
本題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值問題，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．
1．【2020年高考浙江卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)，其中
，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)，，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)使得滿足，求導(dǎo)可得出函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得且，由此可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
設(shè)，，
由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個點的橫坐標(biāo)為整數(shù)，
，當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以，函數(shù)的最小值為.
又，.
直線恒過定點且斜率為，
故且，解得，故選D.
【點睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，涉及數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化，屬于中等題.
2．【2018年高考上海卷理數(shù)】已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
試題分析：當(dāng)時，，函數(shù)有兩個零點和，不滿足題意，舍去；當(dāng)時，，令，得或．時，；時，；時，，且，此時在必有零點，故不滿足題意，舍去；當(dāng)時，時，；時，；時，，且，要使得存在唯一的零點，且，只需，即，則，選C．
考點：1、函數(shù)的零點；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．
3．【2020年高考全國I卷理數(shù)】已知函數(shù).
（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.
【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.（2）
【解析】
【分析】
(1)由題意首先對函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.
(2)首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】
(1)當(dāng)時，，，
由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增.
(2)由得，，其中，
①.當(dāng)x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；
②.當(dāng)時，分離參數(shù)a得，，
記，，
令，
則，，
故單調(diào)遞增，，
故函數(shù)單調(diào)遞增，，
由可得：恒成立，
故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
因此，,
綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是.
【點睛】
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：
(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
4．【2019年高考全國I卷理數(shù)】已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
【分析】
（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點斜式得切線方程，求出與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；
（2）解法一：利用導(dǎo)數(shù)研究，得到函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)遞增，當(dāng)a=1時由得,符合題意；當(dāng)a>1時，可證，從而存在零點，使得，得到，利用零點的條件，結(jié)合指數(shù)對數(shù)的運算化簡后，利用基本不等式可以證得恒成立；當(dāng)時，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.
解法二：利用指數(shù)對數(shù)的運算可將,
令,上述不等式等價于,注意到的單調(diào)性，進一步等價轉(zhuǎn)化為，令,利用導(dǎo)數(shù)求得，進而根據(jù)不等式恒成立的意義得到關(guān)于a的對數(shù)不等式，解得a的取值范圍.
【詳解】
（1），，.
，∴切點坐標(biāo)為(1,1+e),
∴函數(shù)f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,
切線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)分別為,
∴所求三角形面積為;
（2）解法一：,
，且.
設(shè),則
∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，,∴,∴成立.
當(dāng)時，
，，,
∴存在唯一，使得，且當(dāng)時，當(dāng)時，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
當(dāng)時，
∴不是恒成立.
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).
解法二：等價于
,
令,上述不等式等價于,
顯然為單調(diào)增函數(shù)，∴又等價于，即，
令,則
在上h’(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，
∴,
，∴a的取值范圍是[1,+∞).
【點睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查綜合分析求解能力，分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想，屬較難試題.
5．【2018年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】已知函數(shù)，，其中a>1.
（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）若曲線在點處的切線與曲線在點
處的切線平行，證明；
（III）證明當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.
【答案】(Ⅰ)單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)證明見解析.
【解析】
分析：（I）由題意可得.令，解得x=0.據(jù)此可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（II）曲線在點處的切線斜率為.曲線在點處的切線斜率為.原問題等價于.兩邊取對數(shù)可得.
（III）由題意可得兩條切線方程分別為l1：.l2：.則原問題等價于當(dāng)時，存在，，使得l1和l2重合.轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，關(guān)于x1的方程存在實數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，令，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，據(jù)此可證得存在實數(shù)t，使得，則題中的結(jié)論成立.
詳解：（I）由已知，，有.
令，解得x=0.
由a>1，可知當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表：
x
0
0
+
極小值
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（II）由，可得曲線在點處的切線斜率為.
由，可得曲線在點處的切線斜率為.
因為這兩條切線平行，故有，即.
兩邊取以a為底的對數(shù)，得，所以.
（III）曲線在點處的切線l1：.
曲線在點處的切線l2：.
要證明當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線，
只需證明當(dāng)時，存在，，使得l1和l2重合.
即只需證明當(dāng)時，方程組有解，
由①得，代入②，得.
③
因此，只需證明當(dāng)時，關(guān)于x1的方程③存在實數(shù)解.
設(shè)函數(shù)，
即要證明當(dāng)時，函數(shù)存在零點.
，可知時，；
時，單調(diào)遞減，
又，，
故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.
由此可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
在處取得極大值.
因為，故，
所以.
下面證明存在實數(shù)t，使得.
由（I）可得，
當(dāng)時，
有
，
所以存在實數(shù)t，使得
因此，當(dāng)時，存在，使得.
所以，當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.
點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出
，本專題在高考中的命題方向及命題角度
從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：
(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
6．【2018年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在兩個極值點，證明：．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
分析：(1)首先確定函數(shù)的定義域，之后對函數(shù)求導(dǎo)，之后對進行分類討論，從而確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，從而求得函數(shù)對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；
(2)根據(jù)存在兩個極值點，結(jié)合第一問的結(jié)論，可以確定，令，得到兩個極值點是方程的兩個不等的正實根，利用韋達定理將其轉(zhuǎn)換，構(gòu)造新函數(shù)證得結(jié)果.
詳解：（1）的定義域為，.
（i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，所以在單調(diào)遞減.
（ii）若，令得，或.
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）由（1）知，存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng).
由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設(shè)，則.由于
，
所以等價于.
設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時，.
所以，即.
點睛：該題考查的是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及極值所滿足的條件，在解題的過程中，需要明確導(dǎo)數(shù)的符號對單調(diào)性的決定性作用，再者就是要先保證函數(shù)的生存權(quán)，先確定函數(shù)的定義域，要對參數(shù)進行討論，還有就是在做題的時候，要時刻關(guān)注第一問對第二問的影響，再者就是通過構(gòu)造新函數(shù)來解決問題的思路要明確.
今天錯在哪里啦？
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