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函數周期性、對稱性與奇偶性的關系總結
一、函數圖象的對稱性
(一)一個函數圖象自身的對稱性
性質1：對于函數，若存在常數使得函數定義域內的任意，都有的圖象關于直線對稱.
【注】：
亦然.
【特例】當時，的圖象關于直線對稱.
【注】亦然.
性質2：對于函數，若存在常數使得函數定義域內的任意，都有的圖象關于點對稱.
【特例】當時，的圖象關于點對稱.
【注】
亦然.事實上，上述結論是廣義奇(偶)函數的性質.
性質3：設函數，如果對于定義域內任意的，都有，則的圖象關于直線對稱.(這實際上是偶函數的一般情形)廣義偶函數.
性質4：設函數，如果對于定義域內任意的，都有，則的圖象關于點對稱.(實際上是奇函數的一般情形)廣義奇函數.
【小結】函數對稱性的充要條件
函數關系式()
對稱性
函數圖象是奇函數
函數圖象是偶函數
或
函數圖象關于直線對稱
或
函數圖象關于點對稱
【注】：這里代數關系式中兩個“”（對應法則）內的“”（變量）前的正負號相異，如果把兩個“”放在“”的兩邊，則“”前的正負號也相異.因為對稱性關乎翻轉.
(二)兩個函數圖象之間的對稱性
1.函數與的圖象關于直線對稱.
2.函數與的圖象關于直線對稱.
3.函數與的圖象關于原點對稱.
4.函數與它的反函數的圖象關于直線對稱.
5.函數與的圖象關于直線對稱.
特別地，函數與的圖象關于直線對稱.
二、幾個函數方程的周期
1.若，或，則的周期；
2.若，或，或
，或，或，或，或，
或，或，則的周期；
3.若，則的周期；
4.若，或，或，或，或，或且，則的周期；
5.若，則的周期；
6.若，則的周期.
【說明】函數滿足對定義域內任一實數（其中為常數）,都有等式成立.上述結論可以通過反復運用已知條件來證明.
三、對稱性與周期性的關系
定理1：若定義在上的函數的圖象關于直線和對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.
推論1：若函數滿足及，則是以為周期的周期函數.
定理2：若定義在上的函數的圖象關于點和直線對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.
推論2：若函數滿足及，則是以為周期的周期函數.
定理3：若定義在上的函數的圖象關于點和對稱，是周期函數，且是它的一個周期.
推論3：若函數滿足及，則是以為周期的周期函數.
四、函數圖象的對稱軸和對稱中心舉例
函
數
滿
足
的
條
件
對稱軸(中心)
滿足的函數的圖象
[或]
滿足的函數的圖象
[或]
滿足的函數的圖象
滿足的函數的圖象
滿足的函數的圖象(偶函數)
滿足的函數的圖象(奇函數)
滿足與的兩個函數的圖象
滿足與的兩個函數的圖象
滿足與的兩個函數的圖象
五、函數周期性、對稱性與奇偶性的關系
1、定義在上的函數,若同時關于直線和對稱,即對于任意的實數,函數同時滿足，，則函數是以為周期的周期函數，且是偶函數.
2、定義在上的函數,若同時關于直線和點對稱,即對于任意的實數,函數同時滿足，，則函數是以為周期的周期函數，且是奇函數.
3、定義在上的函數,若同時關于點和直線對稱,即對于任意的實數,函數同時滿足，，則函數是以為周期的周期函數，且是偶函數.
4、定義在上的函數,若同時關于點和點對稱,即對于任意的實數,函數同時滿足，，則函數是以為周期的周期函數，且是奇函數.
5、若偶函數關于直線對稱，即對于任意的實數,函數滿足，則是以為周期的周期函數.
6、若偶函數關于點對稱，即對于任意的實數,函數滿足，則是以為周期的周期函數.
7、若奇函數關于直線對稱，即對于任意的實數,函數滿足，則是以為周期的周期函數.
8、若奇函數關于點對稱，即對于任意的實數,函數滿足，則是以為周期的周期函數.
【拓展】：
1、若函數為偶函數，則函數的圖象關于直線對稱.
2、若函數為奇函數，則函數的圖象關于點對稱.
3、定義在上的函數滿足，且方程恰有個實根，則這個實根的和為.
4、定義在上的函數滿足，則函數的圖象關于點對稱.

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