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實(shí)際問題與二次函數(shù)
數(shù)學(xué)人教版
九年級上
　　從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度
h(單位：m)與小球的運(yùn)動時(shí)間
t(單位：s)之間的關(guān)系式是h=
30t
-5t
2
(0≤t≤6)．小球的運(yùn)動時(shí)間是多少時(shí)，小球最高？小球運(yùn)動中的最大高度是多少？
　
故小球運(yùn)動的時(shí)間是3
s時(shí)，
小球最高．小球運(yùn)動中的最大
高度是45
m．
解：如圖所示，因?yàn)閍=-5＜0，
　　一般地，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線
y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，當(dāng)
時(shí)，二次函數(shù)
y
=
ax2
+
bx
+
c
有最小值
　　如何求出二次函數(shù)
y
=
ax2
+
bx
+
c
的最小值和最大值？
　　當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線
y=ax2+bx+c
的頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，當(dāng)
時(shí)，二次函數(shù)
y
=
ax2
+
bx
+
c
有最大值
整理，得
　
例1
用總長為
60
m
的籬笆圍成矩形場地，矩形面積
S
隨矩形一邊長
l
的變化而變化．當(dāng)
l
是多少米時(shí)，場地的面積
S
最大？
　　解：依題意，得
，
因此，當(dāng)
　　　　　　　　　
時(shí)，
S
有最大值為
　　　　　　
．
答：當(dāng)
l
是
15
m
時(shí)，場地的面積
S
最大．
(0＜l＜30)．
解決二次函數(shù)最值問題的一般步驟：
1．列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實(shí)
際意義，確定自變量的取值范圍；
2．在自變量的取值范圍內(nèi)，求出二次函數(shù)的最
大值或最小值．
　　例2　某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件
60
元，每星期可賣出300件．市場調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)
1
元，每星期要少賣出
10
件；每降價(jià)
1
元，每星期可多賣出
18
件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件
40
元，如何定價(jià)才能使利潤最大？
（1）題目中有幾種調(diào)整價(jià)格的方法？
解：調(diào)整價(jià)格包括漲價(jià)和降價(jià)兩種情況．
視頻輔助教學(xué)
（2）題目涉及哪些變量？哪一個(gè)量是自變量？哪一個(gè)量隨自變量的變化而變化？哪個(gè)量是函數(shù)？
解：涉及漲價(jià)(或降價(jià))與利潤兩個(gè)變量，其中漲價(jià)(或降價(jià))是自變量；設(shè)每件漲價(jià)（或降價(jià)）x元，則每星期售出商品的利潤y隨之變化而變化；y是x的函數(shù)．
（3）當(dāng)每件漲1元時(shí)，售價(jià)是多少？每星期的銷售量是多少？成本是多少？設(shè)每件漲價(jià)x元，銷售額是多少？利潤呢？最多能漲多少錢呢？
　當(dāng)每件漲價(jià)1元時(shí)，售價(jià)是60+1=61元；每星期銷售量是300-10=290件，成本是40元；設(shè)漲價(jià)x元，銷售額是(60+x)(300-10x)元，利潤是
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)元，
即y=-10x2+100x+6000，其中，0≤x≤30．
最多能漲30元．
（4）當(dāng)每件降x
元時(shí)，售價(jià)是多少？每星期的銷售量是多少？成本是多少？銷售額是多少？利潤y
呢？
設(shè)每件降價(jià)x元時(shí)，利潤最大，則每星期可多賣18x件，實(shí)際賣出(300+18x)件，銷售額為(60-x)(300+18x)元，買進(jìn)商品需付40(300+18)元．因此，所得利潤
y=(60-x)(300+18x)-
40(300+18x)．
　解：設(shè)每件漲價(jià)x元，則每星期少賣10x件，實(shí)際賣出(300-10x)件，銷售額為(60+x)(300-10x)元，買進(jìn)商品需付40(300-10x)元．
　因此，所得利潤為y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)，
即y=-10x2+100x+6
000，其中0≤x≤30．
當(dāng)定價(jià)為60+5=65元時(shí)，y有最大值6
250元.
（5）由以上四個(gè)問題的探究，你能解決例2了嗎？請?jiān)囋嚳矗?br/>　設(shè)每件降價(jià)x元時(shí)利潤最大，則每星期可多賣18x件，實(shí)際賣出（300+18x)件，銷售額為(60-x)(300+18x)元，買進(jìn)商品需付
40(300
+
18x)元．
　因此，所得利潤y=(60-x)(300+18x)-
40(300
+18x)
，
　即y=-18x2+60x+6
000，其中，0≤x≤20．
　當(dāng)定價(jià)為　
元時(shí)，y有最大值6
050元．
　　例3
圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面
2
m時(shí)，水面寬
4
m．水面下降
1
m，水面寬度增加多少？
我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線，建立適
當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就可以求出這條拋物線表示的二次函
數(shù)．為解題簡便，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物
線的對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系．
解：如圖所示：
設(shè)這條拋物線表示的
二次函數(shù)為y=ax2．
由拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2，-2)，可得
-2=a×22．
解得
．
　故這條拋物線表示的二次函數(shù)為
．
當(dāng)水面下降1
m時(shí)，水面的縱坐標(biāo)為-3，　
　所以
．
解得
　
．
所以水面寬度為
m．
所以當(dāng)水面下降1
m時(shí)，水面寬度增加了
m．
1．一件工藝品進(jìn)價(jià)為100元，標(biāo)價(jià)135元售出，每天可售出100件．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：一件工藝品每降價(jià)1元出售，則每天可多售出4件．要使每天獲得的利潤最大，每件需降價(jià)的錢數(shù)為(　　)
A．5元　　
B．10元　　
C．0元　　
D．36元
2．已知一個(gè)直角三角形兩直角邊之和為20
cm，則這個(gè)直角三角形的最大面積為(　　)
A．25
cm2
B．50
cm2
C．100
cm2
D．不確定
A
B
3．某公園草坪的防護(hù)欄是由100段形狀相同的拋物線組成的．為了牢固起見，每段護(hù)欄需要間距0.4
m加設(shè)一根不銹鋼的支柱，防護(hù)欄的最高點(diǎn)距底部0.5
m(如圖)，則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長度至少為(　　)
A．50
m
B．100
m
C．160
m
D．200
m
C
4．若把一根長為120
cm的鐵絲分成兩部分
，每一部分均彎曲成一個(gè)正方形，它們的面積和最小是多少？
解：設(shè)將鐵絲分成長為x
cm，(120－x
)cm的兩段，并分別圍成正方形，則正方形的邊長分別為
cm，
cm．設(shè)它們的面積和為y
cm2，則　　　　　　　　　　　　　　　　　
當(dāng)x=60時(shí)，y的最小值為450．
答：它們的面積和最小為450
cm2．
1．一般地，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c的
頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，也就是說，當(dāng)
時(shí)，二次函數(shù)
y=ax2+bx+c有最小值
．
當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax2
+bx
+c的頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，
也就是說，當(dāng)
時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c有
最大值
．
2．解決二次函數(shù)最值問題的一般步驟：
（1）列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實(shí)
際意義，確定自變量的取值范圍；
（2）在自變量的取值范圍內(nèi)，求出二次函數(shù)的最
大值或最小值．
視頻輔助教學(xué)
　　1．某種商品每件的進(jìn)價(jià)為30元，在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出(100-x)件，應(yīng)如何定價(jià)才能使利潤最大？
　　2．飛機(jī)著陸后滑行的距離s(單位：m)關(guān)于滑行的時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)解析式是s=60t-1.5t2．飛機(jī)著陸后滑行多遠(yuǎn)才能停下來？
謝謝
21世紀(jì)教育網(wǎng)（www.21cnjy.com)
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