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求數(shù)列通項(xiàng)公式的十一種方法（方法全，例子全，歸納細(xì)）
總述：一．利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)的11種方法：
累加法、
累乘法、
待定系數(shù)法、
階差法（逐差法）、
迭代法、
對(duì)數(shù)變換法、
倒數(shù)變換法、
換元法（目的是去遞推關(guān)系式中出現(xiàn)的根號(hào)）、
數(shù)學(xué)歸納法、
不動(dòng)點(diǎn)法（遞推式是一個(gè)數(shù)列通項(xiàng)的分式表達(dá)式）、
特征根法
二。四種基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列、等和數(shù)列、等積數(shù)列及其廣義形式。等差數(shù)列、等比數(shù)列的求通項(xiàng)公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的最基本方法。
三
．求數(shù)列通項(xiàng)的方法的基本思路是：把所求數(shù)列通過(guò)變形，代換轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列。
四．求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法是：累加法和累乘法。
五．?dāng)?shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。
一、累加法
1．適用于：
----------這是廣義的等差數(shù)列
累加法是最基本的二個(gè)方法之一。
2．若，
則
兩邊分別相加得
例1
已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解：由得則
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。
例2
已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解法一：由得則
所以
解法二：兩邊除以，得，
則，故
因此，
則
評(píng)注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).
①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;
②若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;
③若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;
④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。
例3.已知數(shù)列中,
且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
解:由已知得,
化簡(jiǎn)有,由類(lèi)型(1)有,
又得,所以,又,,
則
此題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)求解.
二、累乘法
1.○。
------------適用于：
----------這是廣義的等比數(shù)列
累乘法是最基本的二個(gè)方法之二。
2．若，則
兩邊分別相乘得，
例4
已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解：因?yàn)椋裕瑒t，故
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
例5.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2，
3，…），則它的通項(xiàng)公式是=________.
解：已知等式可化為：
()(n+1),
即
時(shí)，
==.
評(píng)注：本題是關(guān)于和的二次齊次式，可以通過(guò)因式分解（一般情況時(shí)用求根公式）得到與的更為明顯的關(guān)系式，從而求出.
練習(xí).已知,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
答案：-1.
評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把原來(lái)的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為
若令,則問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為形式，進(jìn)而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
三、待定系數(shù)法
適用于
基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。
1．形如,其中)型
（1）若c=1時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列;
（2）若d=0時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列;
（3）若時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來(lái)求.
待定系數(shù)法：設(shè),
得,與題設(shè)比較系數(shù)得
,所以所以有：
因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列，
所以
即：.
規(guī)律：將遞推關(guān)系化為,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列從而求得通項(xiàng)公式
逐項(xiàng)相減法（階差法）：有時(shí)我們從遞推關(guān)系中把n換成n-1有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式.
,再利用類(lèi)型(1)即可求得通項(xiàng)公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.
例6已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解法一：
又是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列
，即
解法二：
兩式相減得，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，再用累加法的……
練習(xí)．已知數(shù)列中，求通項(xiàng)。
答案：
2．形如：
(其中q是常數(shù)，且n0,1)
①若p=1時(shí)，即：，累加即可.
②若時(shí)，即：，
求通項(xiàng)方法有以下三種方向：i.
兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列
即：
,令，則,然后類(lèi)型1，累加求通項(xiàng).
ii.兩邊同除以
.
目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。
即：
,
令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類(lèi)型5來(lái)解，
iii.待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列
設(shè).通過(guò)比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).
注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求pq，否則待定系數(shù)法會(huì)失效。
例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)，比較系數(shù)得，
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，
所以，即
解法二（兩邊同除以）：
兩邊同時(shí)除以得：，下面解法略
解法三（兩邊同除以）：
兩邊同時(shí)除以得：，下面解法略
3．形如
(其中k,b是常數(shù)，且)
方法1：逐項(xiàng)相減法（階差法）
方法2：待定系數(shù)法
通過(guò)湊配可轉(zhuǎn)化為
;
解題基本步驟：
1、確定=kn+b
2、設(shè)等比數(shù)列，公比為p
3、列出關(guān)系式,即
4、比較系數(shù)求x,y
5、解得數(shù)列的通項(xiàng)公式
6、解得數(shù)列的通項(xiàng)公式
例8
在數(shù)列中，求通項(xiàng).（逐項(xiàng)相減法）
解：，
①
時(shí)，，
兩式相減得
.令,則
利用類(lèi)型5的方法知
即
②
再由累加法可得.
亦可聯(lián)立
①
②解出.
例9.
在數(shù)列中，,求通項(xiàng).（待定系數(shù)法）
解：原遞推式可化為
比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為
所以是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng),公比為.
即：
故.
4．形如
(其中a,b,c是常數(shù)，且)
基本思路是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。
例10
已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解：設(shè)
比較系數(shù)得，
所以
由，得
則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。
5.形如時(shí)將作為求解
分析：原遞推式可化為的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列為等比數(shù)列。
例11
已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解：設(shè)
比較系數(shù)得或，不妨取，（取-3
結(jié)果形式可能不同，但本質(zhì)相同）
則，則是首項(xiàng)為4，公比為3的等比數(shù)列
，所以
練習(xí).數(shù)列中，若,且滿足,求.
答案：
.
四、迭代法
(其中p,r為常數(shù))型
例12
已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解：因?yàn)椋?br/>又，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。
注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
五、對(duì)數(shù)變換法
適用于(其中p,r為常數(shù))型
p>0，
例14.
設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，（n≥2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
解：兩邊取對(duì)數(shù)得：，，設(shè)，則
是以2為公比的等比數(shù)列，
，，，∴
練習(xí)
數(shù)列中，，（n≥2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
答案：
例15
已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解：因?yàn)椋浴?br/>兩邊取常用對(duì)數(shù)得
設(shè)
（同類(lèi)型四）
比較系數(shù)得，
由，得，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此
則。
六、倒數(shù)變換法
適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)
例16
已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解：求倒數(shù)得為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為，
七、換元法
適用于含根式的遞推關(guān)系
例17
已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解：令，則
代入得
即
因?yàn)椋?br/>則，即，
可化為，
所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得
。
八、數(shù)學(xué)歸納法
通過(guò)首項(xiàng)和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前n項(xiàng)，猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。
例18
已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解：由及，得
由此可猜測(cè)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。
（1）當(dāng)時(shí)，，所以等式成立。
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，
由此可知，當(dāng)時(shí)等式也成立。
根據(jù)（1），（2）可知，等式對(duì)任何都成立。
九、階差法（逐項(xiàng)相減法）
1、遞推公式中既有，又有
分析：把已知關(guān)系通過(guò)轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。
例19
已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解：∵對(duì)任意有
⑴
∴當(dāng)n=1時(shí)，，解得或
當(dāng)n≥2時(shí)，
⑵
⑴-⑵整理得：
∵各項(xiàng)均為正數(shù)，∴
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成立
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立，故舍去
所以
練習(xí)。已知數(shù)列中,
且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
答案：
2、對(duì)無(wú)窮遞推數(shù)列
例20
已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。
解：因?yàn)?br/>①
所以
②
用②式－①式得
則
故
所以
③
由，，則，又知，則，代入③得。
所以，的通項(xiàng)公式為
十、不動(dòng)點(diǎn)法
目的是將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（差）數(shù)列的方法
不動(dòng)點(diǎn)的定義：函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖冢钩闪ⅲ瑒t稱為的不動(dòng)點(diǎn)或稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。
分析：由求出不動(dòng)點(diǎn)，在遞推公式兩邊同時(shí)減去，在變形求解。
類(lèi)型一：形如
例21
已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解：遞推關(guān)系是對(duì)應(yīng)得遞歸函數(shù)為，由得，不動(dòng)點(diǎn)為-1
∴，……
類(lèi)型二：形如
分析：遞歸函數(shù)為
（1）若有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)p,q時(shí)，將遞歸關(guān)系式兩邊分別減去不動(dòng)點(diǎn)p,q，再將兩式相除得，其中，∴
（2）若有兩個(gè)相同的不動(dòng)點(diǎn)p，則將遞歸關(guān)系式兩邊減去不動(dòng)點(diǎn)p，然后用1除，得，其中。
例22.
設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
分析：此類(lèi)問(wèn)題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解.
解：對(duì)等式兩端同時(shí)加參數(shù)t,得：
,
令,
解之得t=1,-2
代入得
,,
相除得,即{}是首項(xiàng)為，
公比為的等比數(shù)列,
=,
解得.
方法2：
，
兩邊取倒數(shù)得，
令b，則b,轉(zhuǎn)化為累加法來(lái)求.
例23
已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解：令，得，則是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?br/>。所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。
十一。特征方程法
形如是常數(shù)）的數(shù)列
形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為…①
若①有二異根，則可令是待定常數(shù)）
若①有二重根，則可令是待定常數(shù)）
再利用可求得，進(jìn)而求得
例24
已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)
解：其特征方程為，解得，令，
由，得，
例25、數(shù)列滿足，且求數(shù)列的通項(xiàng)。
解：……①
令，解得，將它們代回①得，
……②，……③，
③÷②，得,
則，∴數(shù)列成等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比q=2
所以，則，
十二、基本數(shù)列
1．形如型
等差數(shù)列的廣義形式，見(jiàn)累加法。
2.形如型
等比數(shù)列的廣義形式，見(jiàn)累乘法。
3.形如型
（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列{}為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來(lái)討論;
（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過(guò)累加來(lái)求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減)得，，分奇偶項(xiàng)來(lái)分求通項(xiàng).

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