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12.3
角的平分線的性質
12.3
第1課時
角的平分線的性質
一、選擇題
1.
用尺規作已知角的平分線的理論依據是（
）
A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．ASA
2.
如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結論錯誤的是（　　）
A、PD＝PE　
　B、OD＝OE　
　C、∠DPO＝∠EPO　
　D、PD＝OD
3.
如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于D，若CD=3cm，則點D到AB的距離DE是（　?。?br/>A．5cm
B．4cm
C．3cm
D．2cm
4.
如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，則△DEB的周長為（　　）
A.
4㎝　
　B.
6㎝　
　C.
10㎝　
　D.
不能確定
第2題圖
第3題圖
第4題圖
5.如圖，OP平分，，，垂足分別為A，B．下列結論中不一定成立的是（
）
A.
B.平分
C.
D.垂直平分
6.如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC于點F．
S△ABC
=7，DE=2，AB=4，則AC長是（　?。?br/>　
A．
4
B．
3
C．
6
D．
5
第5題圖
第6題圖
第7題圖
7.如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為（　?。?br/>A、11
B、5.5
C、7
D、3.5
8.已知：如圖，△ABC中，∠C＝90o，點O為△ABC的三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，點D、E、F分別是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，則點O到三邊AB、AC和BC的距離分別等于（
）
（A）2cm、2cm、2cm．
（B）3cm、3cm、3cm．
（C）4cm、4cm、4cm．
（D）2cm、3cm、5cm．
二、填空題
9．如圖，P是∠AOB的角平分線上的一點，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，寫出圖中一對相等的線段（只需寫出一對即可）
.
10．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2
cm，則點D到BC的距離為________cm．
11
.如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上一個動點，若PA=3，則PQ的最小值為　
?。?br/>第9題圖
第10題圖
第11題圖
12.如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是　
?。?br/>第12題圖
第13題圖
第15題圖
13.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于點D，且BD：CD=3：2，則點D到線段AB的距離為　
?。?br/>14.已知△ABC中，AD是角平分線，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，則S△ABD=　
?。?br/>15.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F，連接EF，則EF與AD的關系是　
?。?br/>16.通過學習我們已經知道三角形的三條內角平分線是交于一點的．如圖，P是△ABC的內角平分線的交點，已知P點到AB邊的距離為1，△ABC的周長為10，則△ABC的面積為　
?。?br/>17.如圖，AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點P，作PE⊥AB于點E．若PE=2，則兩平行線AD與BC間的距離為　
?。?br/>第16題圖
第17題圖
第18題圖
18.
如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60．其三條角平分線交于點O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO
=　
?。?br/>三、解答題
19．已知：AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，
BD＝CD，求證：∠B＝∠C.
20.
如圖，畫∠AOB=90°，并畫∠AOB的平分線OC，將三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別相交于點E、F，試猜想PE、PF的大小關系，并說明理由．
21.如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F兩點，再分別以E，F為圓心，大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點M．
（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度數；
（2）若CN⊥AM，垂足為N，求證：△ACN≌△MCN．
22.
如圖，已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之間有何關系？并加以證明．
23.
如圖，△ABC中，D為BC的中點，DE⊥BC交∠BAC的平分線AE于點E，
EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延長線于G．求證：BF=CG．
12.3
角的平分線的性質
第1課時
角的平分線的性質
一、選擇題
1.C
2.D
3.C
4.B
5.D
6.B
7.B
8.A
二、填空題
9.
PC=PD（答案不唯一）
10.
2
11.
3
12.
15
13.
4
14.
10
15.
AD垂直平分EF
16.
5
17.
4
18.
4：5：6
三、解答題
19．證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△DEB與Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠C．
20.
解：PE=PF，
理由是：過點P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，
則∠PME=∠PNF=90°，
∵OP平分∠AOB，
∴PM=PN，
∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，
∴∠MPN=90°，
∵∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠FPN，
在△PEM和△PFN中
∴△PEM≌△PFN，
∴PE=PF．
21.（1）解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB=180°，
又∵∠ACD=114°，
∴∠CAB=66°，由作法知，AM是∠CAB的平分線，∴∠MAB=∠CAB=33°
（2）證明：∵AM平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，
∴∠MAB=∠CMA，
∴∠CAM=∠CMA，
又∵CN⊥AM，
∴∠ANC=∠MNC，
在△ACN和△MCN中，
∵，
∴△ACN≌△MCN．
22
.
解：BC、BA、AE三者之間的關系：BC=BA+AE，理由如下：
過E作ED⊥BC交BC于點D，
∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，
∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，
∵在Rt△BAE和Rt△BDE中
，
∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），
∴BA=BD，
∵AB=AC，∠A=90°
∴∠C=45°，
∴∠CED=45°=∠C，
∴DE=CD，
∵AE=DE，
∴AE=CD=DE，
∴BC=BD+DC=BA+AE．
23.
證明：連接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D為BC中點，
∴BE=EC，
∵EF⊥AB
EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE
（HL），
∴BF=CG

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