資源簡介

拋物線與一元二次方程聯合解題的常用方法
摘要：
二次函數是初中數學教學的重要內容，也是中考的重要考點.特別是拋物線與x軸的交點問題，與直線相交問題是考點的特色之一，它包含了常規的解析式確定，點的坐標確定，更是涵蓋了坐標的最值，點的存在性等熱點問題，特別是在解答時，充分把問題轉化為一元二次方程的判別式或根與系數關系定理來求解的思路更是把數學的轉化思想提升到了極致.
關鍵詞：交點，最值，根與系數定理，轉化思想.
二次函數是一個重要內容,二次函數與相應的一元二次方程的關系更是重中之重.中考要求學生理解二次函數與一元二次方程之間的關系;會結合方程根的性質、一元二次方程根的判別式,判定拋物線與軸的交點情況;會利用韋達定理解決有關二次函數的問題.[1]下面就談談拋物線與一元二次方程根的判別式和根與系數關系定理解題技巧，供學習時借鑒.
一、把直線與拋物線的交點轉化為根的判別式型
例1（2018?黃岡）已知直線
y=kx+1與拋物線y=﹣4x．
（1）求證：直線與該拋物線總有兩個交點；
（2）設直線與該拋物線兩交點為A，B，O為原點，當k=﹣2時，求△OAB的面積．
分析：（1）聯立兩解析式，化方程組為一元二次方程，借助一元二次方程根的判別式解答；
（2）根據題意正確畫出圖象，利用方程組的解求得A、B的坐標，再求出直線y=﹣2x+1與x軸的交點C，然后利用分割法求得三角形的面積．
解：（1）由題意，得，化簡，得﹣（k+4）x-1=0,因為△=+4＞0，
所以一元二次方程有兩個不相等的實數根，所以直線與該拋物線總有兩個交點；
（2）
解法1：當k=﹣2時，所以y=﹣2x+1，由題意，得，
解得或，所以A(1-,2-1),B(1+,-2-1).
如圖1，過點A作AF⊥x軸于F，過點B作BE⊥x軸于E，所以AF=2﹣1，BE=1+2
易得：直線y=﹣2x+1與x軸的交點C為（，0），所以OC=，
所以=+=OC?AF+OC?BE
=OC（AF+BE）=××（2﹣1+1+2）=.
解法2：如圖2，設A(,),B(,),當k=﹣2時，所以y=﹣2x+1，由題意，得，化簡，得﹣2x-1=0,所以，是一元二次方程﹣2x-1=0的兩個根，
所以+=2，=-1，所以｜-｜==2
如圖2，過點A作AF⊥x軸于F，過點B作BE⊥x軸于E，所以EF=2,
易得：直線y=﹣2x+1與y軸的交點C為（0，1），所以OC=1，
所以=+=OC?OF+OC?OE
=OC（OF+OE）=OC×EF=×1×2=.
　點評:方法1是以幾何法為主體加以求解,解法2是幾何法與根與系數關系定理綜合運用為主體,兩中方法各有千秋,方法1計算量大,方法2技巧性強，都要重視.對于消元后的一元二次方程，必須討論二次項系數和判別式.[2]
二、拋物線與x軸有唯一交點型
2.1
拋物線與x軸交點唯一，求交點橫坐標的最值
例2
已知拋物線y=+bx+c與x軸只有一個公共點，且直線y=kx-1（k≠0）過拋物線的頂點M.
（1）當b=1時，求k的值；
（2）求證：直線與拋物線有兩個交點；
（3）直線與拋物線的另一個交點記作為N，若b＞0時，求點N橫坐標P的最大值.
分析：由拋物線與x軸只有一個公共點，確定頂點坐標得縱坐標為0，即-4c=0，頂點坐標為（-，0），這樣第一問即可破解.
第二問證明需要把問題轉化為解析式聯立化簡后一元二次方程根的判別式問題，只要對應的方程的根的判別式恒大于零，問題就順利得解.
第三問求最值，由（2）的啟示，可以將問題轉化為一元二次方程根與系數關系定理問題，用b表示出點N的橫坐標p，從而借助根的判別式求出其最值.
解：
（1）：由拋物線與x軸只有一個公共點，所以-4c=0，頂點坐標為（-，0），
所以0=-k×-1,所以k=-，所以當b=1時，k=-2；
（2）由題意，得，化簡，得+（b-k）x+c+1=0,
因為△=-4c-4=-2bk+-4c-4＞0，因為-4c=0,kb=-2,所以△=，因為k≠0，
所以△=＞0，所以一元二次方程有兩個不相等的實數根，所以直線與該拋物線總有兩個交點；
（3）由題意，得，化簡，得+（b-k）x+c+1=0,
根據題意，得，-，p是一元二次方程+（b-k）x+c+1=0的兩個根，
所以-+p=k-b，所以p=k-,因為k=-,所以p=--，
因為b＞0，所以+≥2≥2，所以-（+）≤-2，所以p≤-2，
所以p的最大值為-2.
例3
已知拋物線y=a+bx+(a＞0，b＜0)的圖像與x軸只有一個公共點A.
（1）當a=時，求A點的坐標；
（2）過點A的直線y=x+k與二次函數的圖像交另一點B，當b≥-1時，求B點的橫坐標m的取值范圍.
分析：第一問：根據二次函數圖像與x軸只有一個公共點，說明拋物線頂點的縱坐標為0，即=0，從而確定a,b之間的關系，根據條件確定a,b的值，點A的坐標也就確定了.
第二問：充分利用交點的意義，把方程組轉化為一元二次方程，利用交點的橫坐標是方程的兩個根，借助根與系數關系定理用b表示出點B的橫坐標m，利用二次函數的增減性確定m的最值.
解：
（1）：由拋物線與x軸只有一個公共點，所以-4×a×=0，所以=2a，因為a=，
b＜0，所以b=-1，所以x=-=-=1,所以點A（1,0）；
（2）由拋物線與x軸只有一個公共點，所以-4×a×=0，所以=2a，
x=-=-,所以點A（-,0）.因為
點A在直線y=x+k上，所以k=，
由題意，得，化簡，得+（b-1）x+-=0,
根據題意，得，-，m是一元二次方程+（b-1）x+-=0的兩個根，
所以-+m=，所以m
=-=2-,因為二次項系數為2，大于0，所以當＜時，m隨的增大而減小，因為-1≤b＜0，所以≤-1，
所以當=-1時，m有最大值，且最大值為m=2-=3，所以m的最大值為3.
點評：解答時，要把握好兩個重點，一個是把交點問題轉化為一元二次方程，利用交點的橫坐標是方程的兩個根，借助根與系數關系定理求解；二一個是把最值轉化為二次函數的增減性也是解題的一個重要環節.
2.2拋物線與x軸交點唯一，求對稱點的縱坐標
例4
若拋物線y=+bx+c與x軸只有一個交點，且過點A（m，n），B（m+6，n），則n=______．
分析：由題意，得m,m+6是方程+bx+c=n的兩個根，且兩根之間的距離為6，利用根與系數的關系定理和公式可以求得n的值.
解法1：由拋物線與x軸只有一個公共點，所以-4c=0，因為點A（m，n），B（m+6，n），
所以m，m+6是一元二次方程+bx+c=n的兩個根，所以m+m+6=-b,m(m+6)=c-n，
所以=-4
m(m+6)，所以36=-4（c-n）=-4c+4n,
解得n=9.
解法2：由拋物線與x軸只有一個公共點，點A（m，n），B（m+6，n），所以拋物線的對稱軸為直線x==m+3，所以y=+bx+c=,把點A（m，n）代入解析式，得
n==9，所以n=9.
解法3：由拋物線與x軸只有一個公共點，所以-4c=0，頂點坐標為（-，0），
因為點A（m，n），B（m+6，n），所以拋物線的對稱軸為直線x==m+3，
所以-=
m+3，所以m=--3,
m+6=-+3,所以點A（--3，n），B（-+3，n）
把點A（--3，n）代入解析式，得n=+b(--3)+c=-+c+9,因為-4c=0
所以n=9.
2.3拋物線與x軸交點唯一，借助中點求函數的解析式
例5
如圖3，拋物線y=a+2ax+1與x軸僅有一個公共點A，經過點A的直線交該拋物線于點B，交y軸于點C，且點C是線段AB的中點．
（1）求這條拋物線對應的函數解析式；（2）求直線AB對應的函數解析式．
分析：（1）只要確定a的值。二次函數的解析式就確定了，只需把拋物線與x軸的交點問題轉化為對應一元二次方程的判別式問題解決即可；
（2）充分利用點C是AB的中點，確定出B點的坐標，從而利用待定系數法可以完成直線解析式的確定.
解：（1）因為y=a+2ax+1與x軸僅有一個公共點，所以△==0，所以﹣4a=0，解得a=0（舍去），a=1，所以拋物線解析式為
y=+2x+1；
（2）因為y=+2x+1，所以x=-=-=-1,所以點A的坐標為（﹣1，0），過點B作BD⊥x軸，垂足為D，因為點C是線段AB的中點，OC∥BD，所以OA=OD，所以OD=1，
即點B的橫坐標為1，所以當x=1時，y=+2x+1=1+2+1=4，所以點B（1，4），
設直線AB的解析式為y=kx+b，由題意，得，解得，
所以直線AB的解析式為y=2x+2．
點評：解答時，要充分發掘兩個核心要素，一是把拋物線與x軸的交點唯一性轉化為對應一元二次方程的判別式問題；二一個要素是充分利用三角形中位線定理．
2.4拋物線與x軸交點唯一，借助面積關系式求函數的解析式
例6
如圖4，二次函數y=+bx+c的圖象與x軸只有一個公共點P，與y軸的交點為Q．過點Q的直線y=2x+m與x軸交于點A，與這個二次函數的圖象交于另一點B，
若=3.這個二次函數的解析式．
分析：通過拋物線與x軸有唯一交點，確定b,c之間的關系，后用b或c表示另一個字母，表示直線的解析式，表示直線與拋物線的交點的坐標，表示△ABQ和△BPQ的面積，從而利用三角形面積之間的等量關系確定這個“媒介”字母的值，從而確定函數的解析式.
解：由題意，得-4c=0，頂點P坐標為（-，0），點Q（0，），所以m=，
所以直線的解析式為y=2x+,所以點A（-，0），過點P作PC⊥x軸，交直線于點C，則C(-,)，所以PC=.過點B作BD⊥x軸，垂足為D，設點B(m,
2m+),
由題意，得，化簡，得+（b-2）x=0,
根據題意，得，0，m是一元二次方程+（b-2）x=0的兩個根，所以m=2-b，
所以==××（2-b），
=××，因為=3.
所以××（2-b）=3×××，整理，得3+8b-16=0,
解得
b=或b=-4，因為對稱軸在x軸的右邊，所以b＜0，所以b=-4，c=4,
所以二次函數的解析式為y==-4x+4.
點評：解答本題的最大特點是如何借助交點坐標表示兩個三角形的面積，特別提醒的是這種表示三角形面積的方法是拋物線內接三角形面積[1]求解的重要方法，要努力掌握.
2.5拋物線與x軸交點唯一，借助三角形的形狀求函數的解析式
例7
已知二次函數y=+bx+c的圖像與x軸只有一個公共點A.
（1）若公共點的坐標為（2,0），求這個二次函數的表達式；
（2）若二次函數的圖象與y軸的交點為B，坐標原點為O，且△OAB是等腰三角形，求該二次函數的表達式，并說明它是如何由（1）中的二次函數的圖象平移得到的．
分析：第一問可利用設頂點式的方式確定函數的解析式；
第二問，確定等腰三角形的等腰是確定等量關系的關鍵.
解：
（1）因為拋物線的頂點為（2,0），所以拋物線的解析式為y==-4x+4；
（2）因為二次函數y=+bx+c的圖像與x軸只有一個公共點A，所以點A(-,0)，
-4c=0，點B（0，），所以OA=|-|，OB=，因為△OAB是等腰三角形，
所以OA=OB，所以=|-|，當b＞0時，解得b=2；當b＜0時，解得b=-2；
當b=2時，c=1,此時函數的解析式y=+2x+1=，它由y=的圖像向左平移3個單位得到；
當b=-2時，c=1,此時函數的解析式y=-2x+1=，它由y=的圖像向右平移1個單位得到.
點評：解答時，要注意把點的坐標轉化成線段的長度，選擇正確的方法用點的坐標表示線段的長度是解題的關鍵.
三、拋物線與x軸有兩個交點型
例8
已知拋物線y=+bx+c與x軸交于點A(α,0)和點B（β,0）,且y=-x-2與y=-的圖像都經過點M（α,β）.求b、c的值.
分析：根據題意，（α,β）是y=-x-2與y=-的交點，也就是方程組的解，從而確定α,β的值，根據α,β是一元二次方程+bx+c=0的兩個根，這樣利用一元二次方程根與系數的關系定理即可確定b,c的值.
解：由題意，得，解得x=-3或x=1,所以交點的坐標為（-3，1）和（1，-3）；
所以α=-3,β=1或α=1,β=-3，
當α=-3,β=1時，因為α,β是一元二次方程+bx+c=0的兩個根，所以α+β=-2=-b,
αβ=-3=c，所以b=2,c=-3；
當α=1,β=-3時，因為α,β是一元二次方程+bx+c=0的兩個根，所以α+β=-2=-b,
αβ=-3=c，所以b=2,c=-3；
點評：解答時，要正確處理好兩個關鍵點，一是根據函數解析式確定交點坐標；二是把拋物線與x軸兩個交點的橫坐標轉化為當y=0時對應一元二次方程的兩個根，充分利用根與系數的關系定理解題.
例9
如圖5，已知拋物線y=a＋bx＋c與y軸交于點C，與x軸交于點A（,0）,B（,0），頂點M的縱坐標為-4，若,是方程-2（m-1）x＋-7=0的兩個根，且=10.
（1）求A,B坐標;
（2）求拋物線的解析式和點C坐標;
（3）在拋物線上是否存在點P，使三角形PAB的面積等于四邊形ACMB的面積的2倍？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由.
分析：
第一問：充分利用一元二次方程根與系數關系定理和變形公式，就可以確定，的值，自然就確定了A,B兩點的坐標了；
第二問：主要利用，是方程a＋bx＋c=0的兩個根和頂點的縱坐標就可以確定函數的解析式；
第三問解答的關鍵是如何用動點P的坐標表示三角形和四邊形的面積，從而根據已知的等量關系，確定坐標值的存在性，從而確定動點的存在性.
解：
（1）因為,是方程-2（m-1）x＋-7=0的兩個根，
所以+=2（m-1）,=-7,因為，=10，
所以-2（-7）=10，整理，得=0，解得m=2,
所以原方程變形為-2x-3=0，解得=-1，=3，所以點A（-1,0），點B（3,0）；
（2）由題意，得,是方程a+bx＋c=0的兩個根，所以2=-，-3=即b=-2a,c=-3a，
因為=-4，所以-12-4=-16a，解得a=0（舍去）或a=1，
所以=1,b=-2,c=-3,所以二次函數的解析式為y=
-2x-3，點C(0,-3)；
（3）由題意，得點A（-1,0），點B（3,0），點C(0,-3)，點M(1,-4)，如圖5，設對稱軸與x軸的交點為D，則AB=4,OA=1,OC=3,DO=1,MD=4,BD=2,
所以四邊形ACMB的面積=OA×OC+（OC+MD）×OD+MD×BD=9,設點P（m,n）,
當點P在x軸上方的拋物線上時，根據題意，得=
AB×n=2n，所以2n=2×9，所以n=9，所以-2m-3=9,解得m=1+或m=1-，
此時點P的坐標為（1+，9）或（1-，9）.
當點P在x軸下方的拋物線上時，根據題意，得=
AB×|n|=-2n，所以-2n=2×9，所以n=-9，所以-2m-3=-9,此時△＜0，所以這樣位置的動點P不存在.綜上所述，存在點P使得三角形PAB的面積等于四邊形ACMB的面積的2倍，且點P的坐標為（1+，9）或（1-，9）.
點評：通題解答過程中，可謂是步步離不開一元二次方程，既抓住了韋達定理，更抓住了變形公式，使得解題相得益彰，特別是第三問存在性問題的解答，不僅為解答這類問題提供了有效的方法引領，更重要的是在實踐中展示了不規則圖形分割法求解的技巧，同時也體現了數學中的分類思想，讓數學解題在思想統領下，高效而精準，讓數學的魅力熠熠閃光.
四.把直線與拋物線的交點間距離轉化為方程兩個根之間的距離型
例10
已知拋物線y=a+bx+c圖像的對稱軸是y軸，且過點（1，2），（2，5）.
（1）求二次函數的解析式；
（2）如圖6，過點E（0，2）的一次函數圖像與二次函數圖像交于A,B兩點（A點在B點的左側），過點A,B分別作AC⊥x軸于點C，BD⊥x軸于點D.
①當CD=3時，求一次函數的解析式；
②分別用,,表示△ACE，△ECD，△EDB的面積，問是否存在實數t，使
成立？若存在，求出實數t；若不存在，請說明理由.
分析：利用交點坐標的橫坐標是解析式聯立方程組構成的一元二次方程的兩個根，且活用變形公式，求得兩個根之間的距離，為解題提供了有效思路，
解答第三問時，要合理運用平行線間的距離處處相等，利用同底等高的兩個三角形面積相等，把相應的三角形面積表示出來，從而根據題意建立起等量關系確定t值.
解：
（1）因為拋物線的對稱軸為y軸，所以b=0，由題意，得，
解得a=1,c=1，所以二次函數的解析式為y=+1；
（2）①設直線AB的解析式為y=kx+2,
點A（,）,B（,），
由題意，得，化簡，得﹣kx-1=0,所以,是一元二次方程﹣kx-1=0的兩個根，所以+=k，=-1，因為CD=3，所以|-|=3，
因為，所以，解得k=，
所以一次函數的解析式為y=x+2或y=-x
+2；
②連接AO,BO，因為AC∥EO∥BD，△ACE和△ACO的面積相等，△EDB和△ODB的面積相等，
所以=||，=|-|×OE=,|-|,=，
所以=-，由,是一元二次方程﹣kx-1=0的兩個根，所以+=k，=-1，所以==+4，
=（+1）（+1）=（+++1）=（++2）=[+2]=
（+4），所以=4，
所以存在實數t=4時，使.
點評：第三問是題目的精髓所在，解答的關鍵有三，一是充分利用好平行線間等底等高的三角形面積相等表示三角形的面積；二是充分利用函數的解析式把點的縱坐標用橫坐標熟練變形表示出來；三是充分利用一元二次方程根與系數關系定理，抓住，，
（+1）（+1）=+++1這三個在學習一元二次方程時經常用到的變形公式.

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