資源簡介

公式法因式分解
1．平
方
差公式：
因式分解
整式乘法
2、分解因式的一般步驟為：
（1）若多項式各項有公因式，則先提取公因式。
（2）若多項式各項沒有公因式，則根據多項式特點，選用平方差公式或完全平方公式。
（3）每一個多項式都要分解到不能再分解為止。
3、分組分解法，適用于四項以上的多項式，例如沒有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果將前兩項和后兩項分別結合，把原多項式分成兩組。再提公因式，即可達到分解因式的目的。例如：=，
這種利用分組來分解因式的方法叫分組分解法。
4、原則：分組后可直接提取公因式或可直接運用公式，但必須使各組之間能繼續分解。
5、有些多項式用分組分解法時，分解方法并不唯一，無論怎樣分組，只要能將多項式正確分解即可。
題型一
公式法因式分解
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例
1將下列各式因式分解
點評：：能用平方差公式因式分解的多項式的特征：（1）有且只有兩個平方項：
（2）兩個平方項異號。
鞏
固1、計算
（1）
（2）
（3）
2、已知，求的值。
3、把多項式分解因式
平方差公式中字母不僅可以表示數，而且也可以表示其他代數式。
例2判斷下列各式是不是完全平方式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
提示：完全平方式具有：
1、是一個二次三項式
2、有兩個“項”平方，而且有這兩項的積的兩倍或負兩倍
3、我們可以根據完全平方公式來進行因式分解。
鞏
固1、將下列各式分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2、計算
3、利用因式分解解答下列各題
已知：
題型二
分組分解法
例3.將下列各式進行因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
鞏固提高
1、因式分解（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
課后作業
1、分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
2、證明：兩個連續奇數的平方差是8的倍數。
3、利用因式分解解答下列各題
知識梳理
PAGE十字相乘法.
（一）二次項系數為1的二次三項式
直接利用公式——進行分解。
特點：（1）二次項系數是1；
（2）常數項是兩個數的乘積；
（3）一次項系數是常數項的兩因數的和。
思考：十字相乘有什么基本規律？
例.已知0＜≤5，且為整數，若能用十字相乘法分解因式，求符合條件的.
解析：凡是能十字相乘的二次三項
式ax2+bx+c，都要求
>0而且是一個完全平方數。
于是為完全平方數，
例5、分解因式：
分析：將6分成兩個數相乘，且這兩個數的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發現只有2×3的分解適合，即2+3=5。
1
2
解：=
1
3
=
1×2+1×3=5
用此方法進行分解的關鍵：將常數項分解成兩個因數的積，且這兩個因數的代數和要等于一次項的系數。
例6、分解因式：
解：原式=
1
-1
=
1
-6
（-1）+（-6）=
-7
練習5、分解因式(1)
(2)
(3)
練習6、分解因式(1)
(2)
(3)
（二）二次項系數不為1的二次三項式——
條件：（1）
（2）
（3）
分解結果：=
例7、分解因式：
分析：
1
-2
3
-5
（-6）+（-5）=
-11
解：=
練習7、分解因式：（1）
（2）
（3）
（4）
（三）二次項系數為1的齊次多項式
例8、分解因式：
分析：將看成常數，把原多項式看成關于的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。
1
8b
1
-16b
8b+(-16b)=
-8b
解：=
=
練習8、分解因式(1)(2)(3)
（四）二次項系數不為1的齊次多項式
例9、
例10、
1
-2y
把看作一個整體
1
-1
2
-3y
1
-2
(-3y)+(-4y)=
-7y
(-1)+(-2)=
-3
解：原式=
解：原式=
練習9、分解因式：（1）
（2）
綜合練習10、（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）（8）
（9）（10）
思考：分解因式：
五、換元法。
例13、分解因式（1）
（2）
解：（1）設2005=，則原式=
=
=
（2）型如的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。
原式=
設，則
∴原式==
==
練習13、分解因式（1）
（2）
（3）
例14、分解因式（1）
觀察：此多項式的特點——是關于的降冪排列，每一項的次數依次少1，并且系數成“軸對稱”。這種多項式屬于“等距離多項式”。
方法：提中間項的字母和它的次數，保留系數，然后再用換元法。
解：原式==
設，則
∴原式==
==
==
=
（2）
解：原式==
設，則
∴原式==
==
練習14、（1）
（2）
六、添項、拆項、配方法。
例15、分解因式（1）
解法1——拆項。
解法2——添項。
原式=
原式=
=
=
=
=
=
=
=
=
（2）
解：原式=
=
=
=
練習15、分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
七、待定系數法。
例16、分解因式
分析：原式的前3項可以分為，則原多項式必定可分為
解：設=
∵=
∴=
對比左右兩邊相同項的系數可得，解得
∴原式=
例17、（1）當為何值時，多項式能分解因式，并分解此多項式。
（2）如果有兩個因式為和，求的值。
（1）分析：前兩項可以分解為，故此多項式分解的形式必為
解：設=
則=
比較對應的系數可得：，解得：或
∴當時，原多項式可以分解；
當時，原式=；
當時，原式=
（2）分析：是一個三次式，所以它應該分成三個一次式相乘，因此第三個因式必為形如的一次二項式。
解：設=
則=
∴
解得，
∴=21
練習17、（1）分解因式
（2）分解因式
（3）
已知：能分解成兩個一次因式之積，求常數并且分解因式。
（4）
為何值時，能分解成兩個一次因式的乘積，并分解此多項式。十字相乘法因式分解
十字相乘法.
二次項系數為1的二次三項式
直接利用公式——進行分解。
特點：（1）二次項系數是1；
（2）常數項是兩個數的乘積；
（3）一次項系數是常數項的兩因數的和。
題型一
二次項系數為1的二次三項式
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例
1分解因式：（1）
（2）
總結：用此方法進行分解的關鍵：將常數項分解成兩個因數的積，且這兩個因數的代數和要等于一次項的系數。
【鞏固】分解因式：（1）
（2）
（3）
題型二
二次項系數不為1的二次三項式——
條件：（1）
（2）
（3）
分解結果：=
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例
2分解因式：
【鞏固】分解因式：（1）
（2）
（3）
（4）
題型三
二次項系數為1的齊次多項式
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例
3分解因式：
【鞏固】分解因式（1）
（2）
（3）
題型四
二次項系數不為1的齊次多項式
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例
4（1）
（2）
【鞏固】分解因式：（1）
（2）
題型五
換元法
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例
5分解因式（1）
（2）
【鞏固】分解因式（1）
（2）
（3）
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例
6分解因式（1）
（2）
觀察：此多項式的特點——是關于的降冪排列，每一項的次數依次少1，并且系數成“軸對稱”。這種多項式屬于“等距離多項式”。
方法：提中間項的字母和它的次數，保留系數，然后再用換元法。
【鞏固】（1）
（2）
題型六
添項、拆項、配方法
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例
7分解因式（1）
（2）
【鞏固】分解因式（1）
（2）
題型七
待定系數法
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例
8分解因式
題型八
根據因式分解求待定系數
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例
9（1）當為何值時，多項式能分解因式，并分解此多項式。
（2）如果有兩個因式為和，求的值。
【鞏固】1、已知：能分解成兩個一次因式之積，求常數并且分解因式。
2、為何值時，能分解成兩個一次因式的乘積，并分解此多項式。
思考：分解因式：
鞏固提高
分解因式（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
課后作業
因式分解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
知識梳理
PAGE提公因式法因式分解
1、因式分解的定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式?！　?br/>特點：等號的左邊：都是多項式
等號的右邊：整式1×整式2·×··×整式n
2、分解因式與整式乘法的關系：分解因式與整式乘法為相反變形。
注意：（1）因式分解的對象是“一個多項式”，掌握這一要點對判斷、把握一種變形是否是因式分解提供一定的幫助。
（2）因式分解是一種恒等的變形
（3）因式分解的結果是“整式的積”的形式。
3、公因式的概念：我們把多項式各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式。
4、提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
把多項式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形式，其中m是各項的公因式，另一個因式(a+b+c)是ma+mb+mc
除以m的商，像這種分解因式的方法，叫做提公因式法.
5、首項有負常提負，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏1，括號里面分到“底”。
題型一
因式分解的認識
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例
1判斷下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）（a＋3）（a－3）=－9
（6）　
鞏
固判斷下列各式從左到右的變形是否是因式分解。
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥
⑦
⑧
　
題型二
因式分解與整式乘法
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例
2計算：，
（1）若。
（2）若的值。
鞏
固1、是多項式分解因式的結果，則p的值是（
）。
A、2
B、－2
C、8
D、－8
2、下列各式從左到右的變形是整式乘法的是（
）。
B、
C、
D、
3、下列各式從左到右的變形：①15；②；
③；④，其中是分解因式的有（
）個。
A、0
B、1
C、2
D、3
4、把多項式的值是（
）。
A、2
B、3
C、－2
D、－3
5、若，則m
=
，n
=
。
題型三
提公因式法因式分解
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例
3下面說法正確的是（
）。
多項式；
多項式中各項沒有公因式；
；
　
鞏
固1、多項式各項的公因式是
。
多項式
2、分解因式
3、分解因式：
強化練習
1、把多項式分解因式，結果正確的是（
）。
B、
C、
D、
2、下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為（　?。?br/>　
A．
a（x+y）=ax+ay
B．
x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
　
C．
10x2﹣5x=5x（2x﹣1）
D．
3、下列各式從左到右，是因式分解的是（　　）
　
A．
（y﹣1）（y+1）=y2﹣1
B．
x2y+xy2﹣1=xy（x+y）﹣1
　
C．
（x﹣2）（x﹣3）=（3﹣x）（2﹣x）
D．
x2﹣4x+4=（x﹣2）2
4、下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（　?。?br/>　
A．
（3﹣x）（3+x）=9﹣x2
B．
m3﹣mn2=m（m+n）（m﹣n）
　
C．
（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1）
D．
4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z
5、多項式x2﹣4x+m可以分解為（x+3）（x﹣7），則m的值為（　　）
　
A．
3
B．
﹣3
C．
﹣21
D．
21
6、一個多項式分解因式的結果是，那么這個多項式是（
）
A、
B、
C、
D、
7、把下列多項式分解因式時，應提取公因式的是（
）。
B、
C、
D、
8、將多項式分解因式時，應提取公因式（
）。
B、
C、
D、
9、計算的結果是（
）。
B、
C、
D、
10、提公因式法因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
11、先分解因式，再求值
，其中。
能力提升
1、將多項式（
）。
B、
C、
D、
2、在分解因式時，提出公因式后，另一個因式是（
）。
B、+1
C、－1
D、－
3、計算7.6×199.8+4.3×199.8－1.9×199.8=
。
4、若為相反數，則的值為
。
5、若=
。
6、求滿足下列等式的的值。
①
②
7、先分解因式，再求值
。
8、能被7整除嗎？請說明理由。
知識梳理
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