資源簡介

第21章
一元二次方程
21.1一元二次方程
1．只含有
一
個未知數，并且未知數的最高次數是
2
，這樣的
整式
方程，叫做一元二次方程．判別一個方程是不是一元二次方程，必須滿足①是整式方程；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是2；④二次項系數不能為0。
2．一元二次方程的一般形式為：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中
a
為二次項系數，
b
為一次項系數，
c
為常數項，注意各項系數的符號。
21.2.1配方法
1．解一元二次方程，實質上是把一個一元二次方程“
降次
”，轉化為兩個
一元一次方程
。
2．當
P≥0時，x2
=
p
的解為
，（mx+n）2=p的解為
(m≠0)．
3．通過配成
完全平方式
來解一元二次方程的方法叫做配方法。
4．配方法一般步驟：
(1)化二次項系數為l，并將含有未知數的項放在方程的左邊，常數項放在方程的右邊；
(2)配方：方程兩邊同時加上
一次項系數的一半的平方
，使左邊配成一個完全平方式，寫成
(mx+n)2=p
的形式；
(3)若p
≥
0，則可直接開平方求出方程的解，若p
＜
0，則方程無解．
21.2.2公式法
1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)成立的條件是
a≠0
，它的求根公式是
。
2．用公式法解一元二次方程的思路應是：
(1)將方程化成
一般形式
；
(2)寫出相應的a、b、c的值并計算△的值；(3)當△
≥0
時，可直接套用公式得出方程的解。
3．一元二次方程(ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)當
b2-4ac＞0
時，有兩個不相等的實數根；
(2)當
b2-4ac=
0
時，有兩個相等的實數根；
(3)當
b2-4ac＜0
時，沒有實數根。
21.2.3因式分解法
1．當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易分解成兩個一次因式的乘積，令每個因式分別等于0，得到兩個
一元一次方程
，從而實現降次，這種解法叫作因式分解法。
2．用因式分解法解一元二次方程的步驟：
(1)方程的一邊化為0；
(2)將方程另一邊分解成
兩個一次因式的積
的形式；
(3)令每個因式分別等于0，即得到兩個一元一次方程；
(4)解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。
21.2.4一元二次方程的根與系數的關系
1．如果ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1、x2，那么x1+x2=
，x1x2=
．
2．在應用根與系數關系式時應注意兩個條件：
(l)
二次項系數不為0
。
(2)
△≥0
。
21.3實際問題與一元二次方程
1．列方程解應用題的一般步驟：
(1)審：審清題意，明確問題中的已知量和
未知量
；
(2)設：設未知數，可以直接設也可以
間接設
；
(3)列：依題意構建方程；
(4)解方程，求出未知數的值；
(5)檢驗作答．
2．構建一元二次方程來解決實際問題時，必須驗證方程的解是否符合
實際意義
。
3．面積問題：求不規則圖形的面積問題，往往把不規則圖形轉化成規則圖形，找出各部分面積之間的關系，再運用規則圖形的面積公式列出方程。
4．利潤=（
售價
-
進價
）×
銷售量
。
利潤率=
第22章
二次函數
22.1.1二次函數
一般地，形如_
y=ax2+bx+c(a≠0)
_（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數，其中__x_是自變量，a、b、c分別是函數解析式的_二次__項系數、_一次__項系數、常數__項。
22.1.2二次函數y=ax2圖象和性質
1．二次函數y=
ax2
的圖象是一條
拋物線
，其對稱軸為
y
軸，頂點坐標為
原點
。
2．拋物線y=
ax2
與y=
-
ax2
關于
x
軸對稱。拋物線y=
ax2
，當a>0時，開口向
上
，頂點是它的最
低
點；當a<0時，開口向
下
，頂點是它的最
高
點。
隨著的增大，開口越來越
小
。
22.1.3二次函數y=ax2+k的圖像和性質
1．二次函數y=
ax2+k
的圖象是一條
拋物線
．它與拋物線y=
ax2的
形狀
相同，只是
頂點位置
不同，它的對稱軸為
y
軸，頂點坐標為
(0,
k)
__。
2．二次函數y=
ax2+k
的圖象可由拋物線y=
ax2
平移
得到．當k
>0時，拋物線y=
ax2
向上平移
k
個單位得y=
ax2+k。
當k<0時，拋物線y=
ax2
向__下__平移個單位得y=
ax2+k
。
22.1.3二次函數y=a（x-h）2的圖像和性質
1．二次函數y=
a（x-h）2
的圖象是
拋物線
，它與拋物線y=
ax2的
形狀
相同，只是
位置
不同；它的對稱軸為直線
x=h
，
頂點坐標為
(h,0)
．
2．二次函數y=
a（x-h）2的圖象可由拋物線y=
ax2
平移
得到。當h>0時，拋物線y=
ax2向
右
平移h個單位得y=
a（x-h）2；當h<0時，拋物線y=
ax2向
左
平移個單位得y=
a（x-h）2
。
22.1.3二次函數y=a(x-h)2+k的圖像和性質
1．二次函數y=a（x-h）2+k的圖象是
拋物線
，它與拋物線y=
ax2的
形狀
相同，只是
位置
不同；其對稱軸為直線
x=h
，頂點坐標為__(h,
k)
。
2．二次函數y=a（x-h）2+k，當a>0時，開口向
上
，有最
小
值為
k
，在對稱軸的左側，y隨x的增大而
減少
，右側相反；當a
<0時，恰好相反。
3．把拋物線y=
ax2'向左（或右），向上（或下）平移，可得到拋物線y=a（x-h）2+k，其平移方向和距離由
h
，k
值決定．
22.1.4二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質
1．二次函數y
=ax2
+bx
+c(a≠0)通過配方可化為
的形式，它的對稱軸是
，頂點坐標是
，當a>0時，在對稱軸的左側y隨x的增大而
減小
，在對稱軸右側y隨x的增大而
增大
；當a<0時，在對稱軸的左側y隨x的增大而
增大
，在對稱軸的右側y隨x的增大而___減小_。
2．二次函數y
=ax2+bx+c的圖象與y=
ax2的圖象
形狀相同
，只是
位置
不同；y
=ax2+bx+c的圖象可以看成y=ax2的圖象上、下平移或左、右平移得到的。
3．
一般式y
=ax2+bx+c：已知圖象上
任意三
點坐標或
三
對x、y值，分別代入一般式，可以求得函數解析式。
4．頂點式y=a（x-h）2+k：已知拋物線
頂點
坐標和另
一
點坐標，可求得解析式。
5．交點式y=a（x-x1）（x-x2），其中x1、x2是圖象與x軸兩交點的橫坐標，還需要一個異于交點的點的坐標，適合此特點的拋物線設為交點式可求得解析式。
22.2二次函數與一元二次方程
1．一元二次方程ax2+bx+c=0的實數根，就是二次函數y
=ax2+bx+c，當
y=0
時，自變量x的值，它是二次函數的圖象與x軸交點的
橫坐標
。
2．拋物線y
=ax2+bx+c與x軸交點個數與一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式的關系：當b2
-4ac<0時，拋物線與x軸
無
交點；當b2
-4ac
=0時，拋物線與x軸有
一
個交點（即頂點在x軸上）；當b2
-4ac
>0時，拋物線與x軸有
兩
個交點。
3．拋物線y
=ax2+bx+c的圖象與字母系數a、b、c之間的關系：
(1)當a>0時開口
向上
，當a<0時開口
向下
。
(2)若對稱軸在y軸的左邊，則a、b
同號
；若對稱軸在y軸的右邊，則a、b
異號
；
(3)若拋物線與y軸的正半軸相交，則c
＞
0；若拋物線與y軸的負半軸相交，則c
＜
0；若拋物線經過原點，則c
=
0。
22.3實際問題與二次函數
1．求二次函數y
=ax2+bx+c
最值的方法：
(1)用配方法將y
=ax2+bx+c
化成y=a（x-h）2+k的形式，當自變量x=
h
時，函數y有最大（?。┲禐?br/>k
；
(2)用公式法，當x=
時，二次函數y有最大（小）值
2．面積最值問題應設圖形的一邊長為
自變量
，所求面積為因變量，建立
二次函數
模型，利用二次函數有關知識求得最值，要注意函數自變量的
取值范圍
。
3．建立二次函數模型解決建筑類實際問題的一般步驟：
(1)根據題意建立適當的
平面直角坐標系
；
(2)把已知條件轉化為
點的坐標
；
(3)合理設出函數
解析式
；
(4)利用
待定系數
法求出函數解析式；
(5)根據求出的函數解析式進一步分析、判斷并進行有關的計算。
第23章
旋轉
23.1圖形的旋轉
１．圖形旋轉的定義：把一個圖形繞著平面內某一點O轉動一定的角度就叫做圖形的
旋轉
，點O叫作
旋轉中心
，轉動的角度叫作
旋轉角
。
2．圖形旋轉的性質：
(l)對應點到旋轉中心的距離
相等
；
(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于
旋轉角
；
(3)旋轉前后的圖形
全等(或重合)
。
3．在旋轉的過程中，要確定一個圖形旋轉后的位置，除了應了解圖形原來的位置外，還應了解
旋轉中心
、
旋轉方向
和
旋轉角
。
4．旋轉作圖的步驟：
(1)首先確定
旋轉中心
、旋轉方向和
旋轉角
；
(2)其次確定圖形的關鍵點；
(3)將這些關鍵點沿指定的方向旋轉指定的角度；
(4)連接
對應點
，形成相應的圖形。
23.2.1中心對稱
1．把一個圖形繞著點O旋轉180°，能夠與另一個圖形完全重合，那么就說這兩個圖形關于點O
對稱
或
中心對稱
，點O叫作
對稱中心
，這兩個圖形中的對應點叫作關于中心的
對稱點
。
2．中心對稱的兩個圖形，對稱點的連線都經過
對稱中心
，而且被
對稱中心
平分，中心對稱的兩個圖形是
全等圖形
。
23.2.2中心對稱圖形
1．把一個圖形繞著某一個點旋轉
180°
，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形
重合
，那么這個圖形叫作中心對稱圖形，這個點就是它的
對稱中心
。
2．如果將中心對稱的兩個圖形看成一個圖形，那么這個圖形的整體就是
中心對稱圖形
；反過來，如果將一個中心對稱圖形沿過對稱中心的任一條直線分成兩個圖形，那么這兩個圖形成
中心對稱
。
23.2.3關于原點對稱的點的坐標
1．若P(x，y)與P’關于原點對稱，則P’的坐標為
(-x，-y)
；
2．點P(x，y)，P1(
-
x，y)，P2(x，-
y)，P3(
-
x，-
y)．則點P與點P1的關系是
關于y軸對稱，點P與點P2的關系是
關于x軸對稱
，點P與點P3的關系是
關于原點對稱
。
第24章
圓
24.1.1圓
1．在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O
旋轉一周
，
另一端點
所形成的圖形叫作圓。這個固定的端點O叫作
圓心
，線段OA叫做
半徑
。
2．連接圓上任意兩點間的線段叫作
弦
，圓上任意兩點間的部分叫作
弧
，直徑是經過同圓心的弦，是圓中最長的弦。
3．在同圓或等圓中，能夠
互相重合
的弧叫等?。?br/>4．確定一個圓有兩個要素，一是
圓心
，二是
半徑
，圓心確定
位置
，半徑確定
大小
。
24.1.2垂直于弦的直徑
1．圓是
軸
對稱圖形，它的對稱軸是
經過圓心
的直線；圓又是
中心
對稱圖形，它的對稱中心是
圓心
。
2．垂直于弦的直徑的性質定理是
垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧
。
3．平分弦（不是直徑）的直徑
垂直
于弦，并且平分
弦所對的兩條弧
。
24.1.3弧、弦、圓心角
1．頂點在
圓心
的角叫作圓心角．
2．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧
相等
，所對的弦
相等
；兩個圓心角及它們所對的兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等，那么其余各組量也
相等
。
24.1.4圓周角
1．頂點在
圓周上
，并且
兩邊都與圓相交
的角叫作圓周角．
2．在同圓或
等圓
中，同弧或
等弧
所對的圓周角
相等
，都等于這條弧所對的
圓心角
的一半。
3．半圓（或
直徑
）所對的圓周角是
直角
；90°的圓周角所對的弦是
直徑
。
4．如果一個多邊形的所有頂點都在同一圓上，這個多邊形叫作
圓內接多邊形
，這個圓叫作
多邊形的外接圓
圓內接四邊形對角
互補
。
24.2.1點和圓的位置關系
1．如圖，⊙O的半徑為r．
(1)點d在⊙O外，則OA
＞
r；點B在⊙O上，則OB
=
r；點C在⊙O內，則OC
＜__
r。
(2)若OA>r，則點d在⊙O
外
；若OB
=r，則點B在⊙O
上
；若OC內
。
2．在同一平面內，經過一個點能作
無數
個圓；經過兩個點可
作
無數
個圓，經過
不在同一直線上
的三個點只能作一個圓。
3．三角形的外心是三角形外接圓的圓心，此點是
三邊垂直平分線的交點
。
4．反證法首先假設命題的
結論
不成立，經過推理得出矛盾，由此判定假設
錯誤
，從而得到原命題成立。
24.2.2直線和圓的位置關系
1．直線和圓有
相交
、
相切
、
相離
三種位置關系；
2．直線a與⊙O
有唯一
公共點，則直線a與⊙O相切；直線b與⊙O
有兩個
公共點，則直線b與⊙O相交；直線c與⊙O
沒有
公共點，則直線c與⊙O相離。
3．設⊙O的半徑為r，直線到圓心的距離為d，則：
(1)直線l1與⊙O
相離
，則d
＞
r；
(2)直線l2與⊙O
相切
，則d
=
r；
(3)直線l3與⊙O
相交
，則d
＜
r。
4．切線的判定定理：
經過半徑的外端并且垂直于這條半徑
的直線是圓的切線。
5．切線的性質定理：圓的切線
垂直于經過切點的半徑
。
6．經過
圓外
一點作圓的切線，這點和切點之間
線段
的長，叫作這點到圓的切線長。
7．圓的切線長定理：從圓外一點可以引圓的
兩
條切線，它們的切線長
相等
，這一點和圓心的連線
平分
兩條切線的夾角。
8．與三角形各邊都
相切
的圓叫作三角形的內切圓，圓心叫作三角形的
內
心，它是三角形
三內角平分線
的交點。
＊圓和圓的位置關系
在同一平面內，兩個半徑不同的圓之間有下列五種位置關系：
如果兩圓的半徑分別為r1和r2（r1＜r2），圓心距為d，則:當兩圓外離時_d＞r1+r2
；當兩圓外切時__d=r1+r2__；當兩圓相交時r2-r1＜d＜r1+r2_；當兩圓內切時_d=r2-r1；當兩圓內含時_0≤d＜r2-r1
。
24.3正多邊形和圓
1．__各邊相等__、__各角相等__
的多邊形是正多邊形。
2．只要把一個圓分成
相等
的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的
外接
圓。
3．一個正多邊形的外接圓的
圓心
叫作這個正多邊形的中心，外接圓的
半徑
叫作這個正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的
圓心角
叫作正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的
邊心距
。
4．
一股地，正n邊形的一個內角的度數為
，中心角的度數等于
，正多邊形的中心角與外角的大小
相等
。
24.4弧長和扇形面積
1．在半徑為R的圓中，因為360°的圓心角所對的弧長是圓周長C=
，所以n°的同心角所對的弧長為l
=
。
2．在半徑為R的圓中，因為360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓的面積s=
，所以圓心角為n°的扇形面積是S扇形=
。
3．用弧長表示扇形面積為
，其中l為扇形弧長，R為半徑。
4．圓錐是由一個
底
面和一個
側
面圍成的，我們把連接圓錐
頂
點和底面圓周上
任意
一點的線段叫作圓錐的母線。
5．圓錐的側面展開圖是一個
扇
形，圓錐的母線是扇形的
半徑
，圓錐底面圓的周長是扇形的
弧長
，圓錐側面積是扇形的
面積
。
6．如圖，設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑是
l
，扇形的弧長是
2πr
，因此圓錐的側面積為
πrl
，h、r、l之問滿是的關系式為。
第25章
概率初步
25.1.1隨機事件
１．在一定條件下，有些事件　必然　
會發生，這樣的事件稱為必然事件。
2．在一定條件下，有些事件必然
　不會　
發生，這樣的事件稱為不可能事件。
3．在一定條件下，可能
　發生　
也可能
　不發生　
的事件，稱為隨機事件。
4．生活中的事件可分為
確定性
事件和
隨機
事件，其中確定性事件又分為
必然
事件和
不可能
事件。
25.1.2概率
1．一般地,對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發生_可能性大小_的數值,稱為隨機事件A發生的概率,記為__P(A)__.
2．當試驗具有以下特點時：①每次試驗，可能出現的結果只有__有限__個；②每次試驗，各結果出現的可能性__相等__。可以從事件所包含的___各種可能
的結果數在__全部可能的結果數中所占的_比__，分析出事件發生的概率。
3．一般地，如果在一次試驗中，有_
n
_種可能的結果，并且它們發生的可能性都__相等__，事件A包含其中的_m_種結果，那么事件A發生的概率為
。
4．當A為必然事件時，P（A）=_1_；當A為不可能事件時，P（A）=_0_；當A為隨機事件時，_0_25.2用列舉法求概率
1．古典概率：即一個實驗有n個結果，而事件A包含了其中的rn個結果，則P(A)=
。
2．用古典概率定義求概率，必須具備兩個條件：
一是一次實驗中，可能出現的結果有
有限
個，各種結果發生的可能性
相等
。二是每個基本事件出現的可能性
相同
。
3．用概率的大小可以判斷游戲是否
公平
。
4．當一次試驗要涉及兩個因素并且可能出觀的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用
列表
或畫
樹狀
法。
5．對于二元事件（兩次型問題）要分清摸球放回與不放回。
6．若試驗只有兩步，用
列表法
和
樹狀法
都可以．若試驗在三步或三步以上，只能用
畫樹狀圖
來計算。
25.3利用頻率估計概率
1．對一般的隨機事件，在同樣條件下做大量重復試驗時，隨著試驗次數的增加，一個事件出現的
頻率
總在一個
固定
數的附近擺動，顯示出一定的穩定性。
2．一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發生的頻率里會穩定在某個常數p附近，那么事件A發生的概率P(A)=
P
=
。
外離
外切
相交
內切
內含
九年級數學（上）知識要點
第
15
頁
共
18
頁

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