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2021年九年級數學中考復習分類專題：
等腰三角形的性質綜合（二）
1．周長為有理數的等腰三角形，底邊上的高是底邊長的，則該三角形的（　　）
A．腰和底邊的高都是有理數
B．腰和底邊的高都不是有理數
C．腰是有理數，底邊上的高是無理數
D．腰是無理數，底邊上的高是有理數
2．如圖，△ABC中，AB＝AC，D，E在BC上，BE＝BA，CD＝CA，設∠DAE＝x度，則x的取值范圍是（　　）
A．0＜x≤45
B．0＜x＜60
C．0＜x＜90
D．0＜x≤120
3．一個三角形有一內角為48°，如果經過其一個頂點作直線能把其分成兩個等腰三角形，那么它的最大內角可能值有（　　）
A．3個
B．4個
C．5個
D．6個
4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，P在△ABC中，∠PBC＝10°，∠PCB＝30°，則∠PAB的度數為（　　）
A．50°
B．60°
C．70°
D．65°
5．已知等腰三角形一個外角是110°，則它的底角的度數為（　　）
A．110°
B．70°
C．55°
D．70°或55°
6．已知某等腰三角形的腰和底分別是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的兩根，則此三角形的周長是（　　）
A．11
B．7
C．8
D．11或7
7．等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角是36°，則此等腰三角形的兩個相等底角的度數大小是（　　）
A．54°
B．63°
C．27°
D．54°或63°
8．在正五邊形ABCDE所在的平面內能找到點P，使得△PCD與△BCD的面積相等，并且△ABP為等腰三角形，這樣的不同的點P的個數為（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
9．如圖，D是直角△ABC斜邊BC上一點，AB＝AD，記∠CAD＝α，∠ABC＝β．若α＝10°，則β的度數是（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．不能確定
10．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝m，P為BC上任意一點，則PA2+PB?PC的值為（　　）
A．m2
B．m2+1
C．2m2
D．（m+1）2
11．如圖，三角形ABC中，AB＝AC，D，E分別為邊AB，AC上的點，DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，若∠DMN＝110°，則∠DEA＝（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
12．已知等腰三角形的一個外角等于140°，則這個三角形的三個內角的度數分別是（　　）
A．20°、20°、140°
B．40°、40°、100°
C．70°、70°、40°
D．40°、40°、100°或70°、70°、40°
13．如圖，AC＝CD＝DA＝BC＝DE，則∠BAE是∠B的（　　）倍．
A．6
B．4
C．3
D．2
14．如圖，AB＝AC，EA＝ED，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，則∠B的度數為（　　）
A．45°
B．50°
C．55°
D．不能確定
15．若等腰△ABC的三邊長都是方程x2﹣6x+8＝0的根，則△ABC的周長是（　　）
A．10或8
B．10
C．12或6
D．6或10或12
16．在等腰△ABC中，AB＝AC，中線BD將這個三角形的周長分成15和18兩部分，則這個三角形底邊的長為（　　）
A．9
B．13
C．9或13
D．10或12
17．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，P在△ABC中，∠PBC＝10°，∠PCB＝20°，則∠PAB的度數為（　　）
A．50°
B．60°
C．70°
D．65°
18．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BAC＝50°則∠BDC的大小是（　　）
A．30°
B．75°
C．15°
D．25°
19．已知等腰三角形中的一條邊長為3cm，另一條邊長為5cm，則它的周長為（　　）
A．11cm
B．12cm
C．13cm
D．11cm或13cm
20．若等腰三角形的一個外角為100°，則它的底角為（　　）
A．30°
B．50°
C．80°
D．50°或80°
參考答案
1．解：∵等腰三角形底邊上的高是底邊長的，
∴該等腰三角形為等腰直角三角形，
設三角形ABC的腰為a，則底邊長為a，
∴周長＝2a+a＝（2+）a，
∵周長為有理數，
∴（2+）a＝有理數，
∴a＝，為無理數，
a＝（﹣1）×有理數，為無理數，
即腰、底邊和高都為無理數．
故選：B．
2．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝BA，CD＝CA，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CAD＝∠CDA，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠B＝∠DAE＝∠C＝x°，
∴∠BAC＝180°﹣2x°，
∴60°＜180°﹣2x°＜180°，
∴0＜x＜60，
故選：B．
3．解：如圖①所示，當∠BAC＝48°時，那么它的最大內角是90°
當∠ACB＝48°時，有以下4種情況，
所以共5種情況，
故選：C．
4．解：在BC下方取一點D，使得三角形ABD為等邊三角形，連接DP、DC
∴AD＝AB＝AC，
∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝20°，
∴∠ACD＝∠ADC＝80°，
∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠CDB＝140°＝∠BPC，
又∠DCB＝30°＝∠PCB，BC＝CB，
∴△BDC≌△BPC，
∴PC＝DC，
又∠PCD＝60°，
∴△DPC是等邊三角形，
∴△APD≌△APC，
∴∠DAP＝∠CAP＝∠DAC＝×20°＝10°，
∴∠PAB＝∠DAP+∠DAB＝10°+60°＝70°．
或由△BDC≌△BPC，
∴BP＝BD＝BA
∴∠BAP＝∠BPA
又∵∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝40°
∴∠BAP＝（180°﹣40°）÷2＝70°
故選：C．
5．解：①當110°外角是底角的外角時，底角為：180°﹣110°＝70°，
②當110°外角是頂角的外角時，頂角為：180°﹣110°＝70°，
則底角為：（180°﹣70°）×＝55°，
∴底角為70°或55°．
故選：D．
6．解：解方程x2﹣6x+5＝0，得x1＝5，x2＝1；
∵當底為5，腰為1時，由于5﹣1＞1，不符合三角形三邊關系，不能構成三角形；
∴等腰三角形的底為1，腰為5；
∴三角形的周長為1+5+5＝11．
故選：A．
7．解：在三角形ABC中，設AB＝AC，BD⊥AC于D．
①若是銳角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，
底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；
②若三角形是鈍角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，
此時底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．
所以等腰三角形底角的度數是63°或27°．
故選：D．
8．解：①做AB的中垂線DH，做直線BE，兩線交于Q，
根據利用等底同高的面積相等，S△QCD＝S△BCD，
∵Q在AB的中垂線上，
∴BQ＝AQ，
則：Q點符合要求；
②在CD的另一側AB垂直平分線上可以找到一個到CD的距離等于B到CD的距離相等的點M
S△MCD＝S△BCD，MA＝MB
則：M點符合要求；
③以B為圓心，以BA為半徑畫弧交直線BE于S、F，
S△SCD＝S△BCD，S△BCD＝S△FCD，AB＝BS＝BF
則：點S、F符合要求；
④點E也符合要求：因為S△BCD＝S△ECD且AE＝AB；
綜上可得，點S、E、M、Q、F即為所求的點P的位置．
故有5個這樣的點P．
故選：D．
9．解：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵α＝10°，∠ADB＝α+∠C，
∴∠C＝β﹣10°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
即β+β﹣10°＝90°，
解得β＝50°，
故選：B．
10．解：作AD⊥BC交BC于D，
AB2＝BD2+AD2①
AP2＝PD2+AD2②
①﹣②得：
AB2﹣AP2＝BD2﹣PD2，
∴AB2﹣AP2＝（BD+PD）（BD﹣PD），
∵AB＝AC，∴D是BC中點，
∴BD+PD＝PC，BD﹣PD＝PB，
∴AB2﹣AP2＝PB?PC．
∴PA2+PB?PC＝AB2＝m2．
故選：A．
11．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，
∴∠BDN＝∠MDE，∠DEN＝∠CEN，
∵∠B＝∠DMN﹣∠BDM＝∠DMN﹣∠MDE，∠C＝∠MNE﹣∠NEC＝∠MNE﹣∠NED，
∴∠DMN﹣∠MDE＝∠MNE﹣∠NED，
即∠DMN+∠NED＝∠ME+∠MDE，
∵∠DMN+∠NED＝∠MNE+∠MDE，
∵∠DMN+∠NED＝∠MNE+∠MDE＝180°，
∴∠NED＝70°，
∴∠DEA＝180°﹣2∠NED＝40°．
故選：A．
12．解：（1）當40°角是頂角時，另兩個底角度數為70°，70°；
（2）當40°角是底角時，另兩個角度數為40°，100°．
故選：D．
13．解：∵AC＝CD＝DA＝BC＝DE，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠CAD＝60°，∠B＝∠BAC，∠E＝∠DAE，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∠ADC＝∠E+∠DAE，
∴∠B＝∠BAC＝∠DAE＝∠E＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAD+∠DAE＝120°，
∴∠BAE＝4∠B．
故選：B．
14．解：設∠C＝x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝x，
∴∠AED＝x+10°，
∵EA＝ED，
∴∠DAE＝∠EDA＝85°﹣x，
∴x+x+（20°+85°﹣x）＝180°，
∴x＝50°，
∴∠B＝50°，
故選：B．
15．解：解方程x2﹣6x+8＝0得x1＝4，x2＝2，
當4為腰，2為底時，4﹣2＜4＜4+2，能構成等腰三角形，周長為4+2+4＝10；
當2為腰，4為底時，4﹣2＝2不能構成三角形；
當等腰三角形的三邊分別都為4，或者都為2時，構成等邊三角形，周長分別為6，12．
故選：D．
16．解：設等腰三角形的底邊長為x，腰長為y，則根據題意，
得或，解得或，
經檢驗，這兩組解均能構成三角形，所以底邊長為9或13．
故選：C．
17．解：如圖，作P關于AC的對稱點P′，連接AP′、P′C、PP′，
則P′C＝PC，ACP′＝∠ACP．
∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
又∵∠PBC＝10°，∠PCB＝20°，
∴∠BPC＝150°，∠ACP＝30°，∠ACP′＝30°，
∴∠PCP′＝60°，
∴△PCP′是等邊三角形，
∴PP′＝PC，∠P′AC＝∠PAC，∠P′PC＝60°，
∴∠BPP′＝360°﹣150°﹣60°＝150°，
∴∠BPP′＝∠BPC，
∴△PBP′≌△PBC，
∴∠PBP′＝∠PBC＝10°，
∴∠PBC＝20°，∠ABP′＝30°
又∠ACP′＝30°，
∴∠ABP′＝∠ACP′，
∴A、B、C、P′四點共圓，
∴∠PAC＝∠P′AC＝∠P′BC＝20°，
∴∠PAB＝60°．
故選：B．
18．解：由AB＝AC＝AD，∠BAC＝50°，則可添加輔助圓，
∴有∠BDC＝∠BAC＝25°，
故選：D．
19．解：若三邊長度分別是3cm、3cm、5cm，則周長為3+3+5＝11cm；
若三邊長度分別是5cm、5cm、3cm，則周長為5+5+3＝13cm．
故選：D．
20．解：∵等腰三角形的一個外角等于100°，
∴等腰三角形的一個內角為80°，
①當80°為頂角時，其他兩角都為50°、50°，
②當80°為底角時，其他兩角為80°、20°，
所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°
故選：D．

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