資源簡介

一元二次方程知識點的總結
知識結構梳理
（1）含有
個未知數。
（2）未知數的最高次數是
1、概念
（3）是
方程。
（4）一元二次方程的一般形式是
。
（1）
法，適用于能化為
的一元。
二次方程
（2）
法，即把方程變形為ab=0的形式，
2、解法
（a，b
為兩個因式）,
則a=0或
（3）
法
（4）
法，其中求根公式是
當
時，方程有兩個不相等的實數根。
（5）
當
時，方程有兩個相等的實數根。
當
時，方程有沒有的實數根。
可用于解某些求值題
（1）
一元二次方程的應用
（2）
（3）
可用于解決實際問題的步驟
（4）
（5）
（6）
知識點歸類
建立一元二次方程模型
知識點一
一元二次方程的定義
如果一個方程通過移項可以使右邊為0，而左邊只含有一個未知數的二次多項式，那么這樣的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必須同時滿足以下三點：①方程是整式方程。②它只含有一個未知數。
③未知數的最高次數是2.同時還要注意在判斷時，需將方程化成一般形式。
例
下列關于的方程，哪些是一元二次方程？
⑴；⑵；（3）；（4）；（5）
知識點二
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式為（a，b，c是已知數，）。其中a，b，c分別叫做二次項系數、一次項系數、常數項。
注意：（1）二次項、二次項系數、一次項、一次項系數，常數項都包括它前面的符號。
（2）要準確找出一個一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項，必須把它先化為一般形式。
（3）形如不一定是一元二次方程，當且僅當時是一元二次方程。
例1
將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數、一次項系數和常數項。
（1）；
（2）；
（3）
例2
已知關于的方程是一元二次方程時，則
知識點三
一元二次方程的解
使方程左、右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解，如：當時，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
知識點四
建立一元二次方程模型
建立一元二次方程模型的步驟是：審題、設未知數、列方程。
注意：（1）審題過程是找出已知量、未知量及等量關系；（2）設未知數要帶單位；（3）建立一元二次方程模型的關鍵是依題意找出等量關系。
例
如圖（1），有一個面積為150㎡的長方形雞場，
雞場一邊靠墻（墻長18m），另三邊用竹籬笆圍成，
若竹籬笆的長為35m，求雞場的長和寬各為多少？
雞場
（只設未知數，列出方程，并將它化成一般形式。）
因式分解法、直接開平方法
知識點一
因式分解法解一元二次方程
如果兩個因式的積等于0，那么這兩個方程中至少有一個等于0，即若pq=0時，則p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0；（2）將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積。（3）令每個因式分別為0，得兩個一元一次方程。（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。
關鍵點：（1）要將方程右邊化為0；（2）熟練掌握多項式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
例
用因式分解法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）。
知識點二
直接開平方法解一元二次方程
若，則叫做a的平方根，表示為，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。
（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。
例
用直接開平方法解下列一元二次方程
（1）；
（2）；
（3）
知識點三
靈活運用因式分解法和直接開平方法解一元二次方程
形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接開平方法解。
例
運用因式分解法和直接開平方法解下列一元二次方程。
（1）；
（2）
知識點四
用提公因式法解一元二次方程
把方程左邊的多項式（方程右邊為0
時）的公因式提出，將多項式寫出因式的乘積形式，然后利用“若pq=0時，則p=0或q=0”來解一元二次方程的方法，稱為提公因式法。
如：，將原方程變形為，由此可得出
注意：在解方程時，千萬注意不能把方程兩邊都同時除以一個含有未知數的式子，否則可能丟失原方程的根。
知識點五
形如“”的方程的解法。
對于形如“”的方程（或通過整理符合其形式的），可將左邊分解因式，方程變形為，則，即。
注意：應用這種方法解一元二次方程時，要熟悉“”型方程的特征。
例
解下列方程：（1）；
（2）
配方法
知識點一
配方法
解一元二次方程時，在方程的左邊加上一次項系數一半的平方，再減去這個數，使得含未知數的項在一個完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方法解一元二次方程，當對方程的左邊配方時，一定記住在方程的左邊加上一次項系數的一半的平方后，還要再減去這個數。
例
用配方法解下列方程：
（1）；
（2）
知識點二
用配方法解二次項系數為1的一元二次方程
用配方法解二次項系數為1的一元二次方程的步驟：
在方程的左邊加上一次項系數的一半的平方，再減去這個數；
把原方程變為的形式。
若，用直接開平方法求出的值，若n﹤0，原方程無解。
例
解下列方程：
知識點三
用配方法解二次項系數不是1的一元二次方程
當一元二次方程的形式為時，用配方法解一元二次方程的步驟：（1）先把二次項的系數化為1：方程的左、右兩邊同時除以二項的系數；
(2)
移項：在方程的左邊加上一次項系數的一半的平方，再減去這個數，把原方程化為的形式；
（3）若，用直接開平方法或因式分解法解變形后的方程。
例
用配方法解下列方程：
（1）；
（2）
公式法
知識點一
一元二次方程的求根公式
一元二次方程的求根公式是：
用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為的形式，確定的值（注意符號）；（2）求出的值；（3）若，則把及的值代人求根公式，求出。
例
用公式法解下列方程
（1）；
（2）；
（3）
知識點二
選擇適合的方法解一元二次方程
直接開平方法用于解左邊的含有未知數的平方式，右邊是一個非負數或也是一個含未知數的平方式的方程
因式分解要求方程右邊必須是0，左邊能分解因式；
公式法是由配方法推導而來的，要比配方法簡單。
注意：一元二次方程解法的選擇，應遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開平方法或因式分解法，不能用這兩種特殊方法時，再選用公式法，沒有特殊要求，一般不采用配方法，因為配方法解題比較麻煩。
例
用適當的方法解下列一元二次方程：
（1）；（2）；（3）
知識點三
一元二次方程根的判別式
一元二次方程根的判別式
△=
運用根的判別式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情況：
△=﹥0方程有兩個不相等的實數根；
△==0方程有兩個相等的實數根；
△=﹤0方程沒有實數根；
利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把所有一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計算的值；④根據的符號判定方程根的情況。
例
不解方程，判斷下列一元二次方程根的情況：
（1）；（2）；（3）
知識點四
根的判別式的逆用
在方程中，
（1）方程有兩個不相等的實數根﹥0
（2）方程有兩個相等的實數根=0
（3）方程沒有實數根﹤0
注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數不為0這一條件。
例
為何值時，方程的根滿足下列情況：
（1）有兩個不相等的實數；
（2）有兩個相等的實數根；
（3）沒有實數根；
知識點五
一元二次方程的根與系數的關系
若是一元二次方程的兩個根，則有，
根據一元二次方程的根與系數的關系求值常用的轉化關系：
（1）
（2）
（3）；
（4）││==
例
已知方程的兩根為，不解方程，求下列各式的值。
（1）；
（2）。
知識點六
根據代數式的關系列一元二次方程
利用一元二次方程解決有關代數式的問題時，要善于用一元二次方程表示題中的數量關系（即列出方程），然后將方程整理成一般形式求解，最后作答。
例
當取什么值時，代數式與代數式的值相等？
一元二次方程的應用
知識點一
列一元二次方程解應用題的一般步驟
審題，（2）設未知數，（3）列方程，（4）解方程，（5）檢驗，（6）作答。
關鍵點：找出題中的等量關系。
知識點二
用一元二次方程解與增長率（或降低率）有關得到問題
增長率問題與降低率問題的數量關系及表示法：（1）若基數為a，增長率為，則一次增長后的值為，兩次增長后的值為；（2）若基數為a，降低率為，則一次降低后的值為，兩次降低后的值為。
例
某農場糧食產量在兩年內由3000噸增加到3630噸，設這兩年的年平均增長率為，列出關于的方程為
知識點三
用一元二次方程解與市場經濟有關的問題
與市場經濟有關的問題：如：營銷問題、水電問題、水利問題等。與利潤相關的常用關系式有：（1）每件利潤=銷售價-成本價；（2）利潤率=（銷售價—進貨價）÷進貨價×100%；（3）銷售額=售價×銷售量
例
某商店如果將進貨價為8
元的商品每件10元售出，每天可售200件，現在采取提高售價，減少進貨價的方法增加利潤，已知這種商品每漲價0.5元，其銷量減少10件。
（1）要使每天獲得700
元，請你幫忙確定售價。
（2）當售價定為多少時，能使每天獲得的利潤最多？并求出最大利潤。
第二章
一元二次方程（補充）
※只含有一個未知數的整式方程，且都可以化為（a、b、c為
常數，a≠0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。
※把（a、b、c為常數，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項系數；b為一次項系數；c為常數項。
※解一元二次方程的方法：①配方法
<即將其變為的形式>
②公式法
（注意在找abc時須先把方程化為一般形式）
③分解因式法
把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
※根與系數的關系：當b2-4ac>0時，方程有兩個不等的實數根；
當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；
當b2-4ac<0時，方程無實數根。
※如果一元二次方程的兩根分別為x1、x2，則有：。
※一元二次方程的根與系數的關系的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的對稱式的值，特別注意以下公式：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦其他能用或表達的代數式。
（3）已知方程的兩根x1、x2，可以構造一元二次方程：
（4）已知兩數x1、x2的和與積，求此兩數的問題，可以轉化為求一元二次方程
的根
※在利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟：①設未知數（在設未知數時，大多數情況只要設問題為x；但也有時也須根據已知條件及等量關系等諸多方面考慮）；②尋找等量關系（一般地，題目中會含有一表述等量關系的句子，只須找到此句話即可根據其列出方程）。
※處理問題的過程可以進一步概括為：

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