資源簡介

(共30張PPT)
14.2.2
完全平方公式(1)
若此次支援湖北黃
岡的運輸車有(p+1)輛,
每輛車裝(p+1)噸大蒜,
則這次共運送多少噸
大蒜？
(p+1)(p+1)
=p2+2p+1,
而(p+1)(p+1)=(
)2,
p+1
所以(p+1)2_____p2+2p+1.
=
(m+2)2=_________.
m2+4m+4
生活之中發(fā)現(xiàn)問題
(p+1)2=p2+2p+1,
(m+2)2
=
m2+4m
+4.
并猜想：(a+b)2=__________.
a2+2ab+b2
質(zhì)疑之中探索新知
“數(shù)”
(a+b)2
=(a+b)
(a+b)
=a2
+ab
+ab
+b2
=a2+2ab+b2.
a
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a+b)2
a
b
2
+b2
“形”
等積法
求大正方形的面積.
(a+b)2=a2+2ab+b2
結(jié)論
?
(a-b)2=
=[a+(-b)]2
=a2
+2a(-b)
+(-b)2
(a-b)2
=a2
“數(shù)”
-2ab
+b2.
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2
=
a2-2ab
+b2.
完全平方公式：
這兩個公式的左邊和右邊各
有什么特點？
討論之中領(lǐng)悟公式
公式特點：
2.右邊為__次__項式;
其中兩項為兩數(shù)的_______;
1.左邊為兩個數(shù)的______________.
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2
=
a2-2ab
+b2.
另一項是兩數(shù)的_______,且與左邊括號內(nèi)兩數(shù)中間的符號_____.
+
+
-
-
和(或差)的平方
二
三
平方和
積的2倍
相同
公式特點：
2.右邊為__次__項式;
其中兩項為兩數(shù)的_______;
1.左邊為兩個數(shù)的______________.
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2
=
a2-2ab
+b2.
另一項是兩數(shù)的________,且與左邊
括號內(nèi)兩數(shù)中間的________.
+
+
-
-
和(或差)的平方
二
三
平方和
積的2倍
符號相同
首2±2×首×尾+尾2
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2
=
a2-2ab
+b2.
完全平方公式：
兩個數(shù)的和(或差)的平方,等于它們的平方和,加上(或減去)它們的積的2倍.
討論之中領(lǐng)悟公式
完全平方公式是
多項式乘法(a+b)(p+q)
中p=a,q=b的特殊情形.
運用此公式可以
簡化運算.
口答:
1.(m+n)2=
2.(m-n)2=
3.(x+1)2=(
)2__2?(
)?(
)+(
)2
=
4.(y-5)2=(
)2__2?(
)?(
)+(
)2
=
m2+2mn+n2
小試牛刀
m2
-2mn+n2
x2
+2x+1
y
y
5
5
-
y2
-10y+25
x
x
1
1
+
例3
運用完全平方公式計算：
(1)(4m+n)2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(2)
(y-
)2
應(yīng)用之中鞏固知識
(2)
(y-
)2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
步驟:
1.選擇公式;
2.找準a、b;
3.準確計算.
(y-
)2
=
y2
-2?y?
+(
)2
(a-b)2
=a2
-2
a
b
+
b2
解：
=y2
-y
+
-
練習:運用完全平方公式計算：
(1)(2a+5b)2；
題后小結(jié):
1.整體平方時,切記加括號;
2.中間項勿漏掉,并注意其符號;
3.a,b可以表示單項式、也可以表示多項式.
學以致用
例4
運用完全平方公式計算：
(1)1022;
(2)
992.
例題解析
x2
+2xy+y2
x2
+2xy+y2
1.(x+y)2=
2.(x-y)2=
3.(y-x)2=
4.(-x-y)2=
運用完全平方公式計算：
x2
-2xy+y2
比較上面4個算式的結(jié)果,由此你發(fā)現(xiàn)了什么？
y2
-2yx+x2
拓展之中提升能力
小試牛刀
結(jié)論
(-x-y)2=(x+y)2
(y-x)2
=(x-y)2
智取百寶箱
挑戰(zhàn)之中愛上數(shù)學
下面各式的計算錯在哪里？應(yīng)當怎樣改正？
1.(a-b)2=a2-b2
2.(a+2b)2=a2+4ab+2b2
改正：(a-b)2=a2-2ab+b2
改正：(a+2b)2=a2+4ab+4b2
第一關(guān)
運用完全平方公式計算：
第二關(guān)
運用完全平方公式計算：
(-2m-1)2
解：(-2m-1)2=(2m+1)2
=4m2+4m+1
第三關(guān)
在我國南宋數(shù)學家楊輝(約13世紀)所
著的《詳解九章算術(shù)》(1261年)一書中,用
下圖的三角形解釋二項和的乘方規(guī)律.
這個三角形給出了(a+b)n(n=1,2,3,4,5,6)的
展開式的系數(shù)規(guī)律.
思想方法
運用
總結(jié)之中收獲知識
完全平方
公式
送給大家一只求知的眼睛:
一個正方形的邊長增加3cm,它的面積就增加39cm2,這個正方形的邊長是多少？
達標檢測B卷
cm
cm
必做題
課本112頁
習題14.2
T2.(2)(6)
選做題
提素養(yǎng)
自行查閱史料,了解“楊輝三角”的相關(guān)知識.
作業(yè)
謝謝聆聽！教學設(shè)計
年級
八年級
科目
數(shù)學
任課教師
授課時間
課題
14.2.2
完全平方公式
授課類型
新授課
教學目標
1.理解并掌握完全平方公式的推導過程、結(jié)構(gòu)特點.2.靈活運用完全平方公式進行計算.3.了解公式的幾何背景,培養(yǎng)學生運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的意識,激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探索精神.
教學重點難點]
重點
完全平方公式的推導和運用.
難點
理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征,能靈活、準確運用完全平方公式.
教學過程
教學環(huán)節(jié)
教師活動
學生活動
設(shè)計意圖
情境導入
生活之中發(fā)現(xiàn)問題導入語：同學們,很高興和大家一起完成本節(jié)課的學習！我的家鄉(xiāng)就在金鄉(xiāng)！在今年的抗擊疫情中,我們金鄉(xiāng)為湖北人民無償捐贈大蒜,我們?yōu)槲覀兗亦l(xiāng)而驕傲,為我們的家鄉(xiāng)而自豪!若此次支援湖北黃岡的運輸車有(p+1)輛,每輛車裝(p+1)噸大蒜,則這次共運送多少噸大蒜？
學生觀看圖片并利用多項式相乘原理,計算(p+1)(p+1).
設(shè)計意圖:一方面是利用生活中的實例來激情引趣，另一方面為學生在下面的學習中正確認識公式結(jié)構(gòu)上的特點做好鋪墊.
講授新課
提問:你能舉出一個類似的運算嗎?并猜想：(a+b)2=__________.過渡語:如何驗證我們的猜想？“數(shù)”(a+b)2
=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2那么老師給你一個圖形，你能根據(jù)此圖的面積說明上面的等式成立嗎？“形”等積法(a+b)2=a2+2ab+b2過渡語:我們分別從數(shù)和形兩個角度得出了兩數(shù)和的完全平方公式.結(jié)論：(a+b)2=a2+2ab+b2提問:你能運用兩數(shù)和的完全平方公式推導出兩數(shù)差的完全平方公式嗎？(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2過渡語:我們根據(jù)圖形的面積,推導出(a+b)2=a2+2ab+b2.你能類比此方法,利用圖形的面積說明(a-b)2=a2-2ab+b2.“形”結(jié)論:________________________________.討論之中領(lǐng)悟公式完全平方公式：這兩個公式的左邊和右邊各有什么特點？公式特點：1.左邊為兩個相同的二項式相乘.2.右邊為二次三項式;其中兩項為兩數(shù)的平方和;另一項是兩數(shù)的積的2倍,且與左邊括號內(nèi)兩數(shù)中間的符號相同.首2±2×首×尾+尾2(播放學生小視頻)注意：完全平方公式是多項式乘法(a+b)(p+q)中p=a,q=b的特殊情形.運用此公式可以簡化運算.兩個數(shù)的和(或差)的平方,等于它們的平方和,加上(或減去)它們的積的2倍.過渡語:我們對完全平方公式有了初步的認識,接下來我來考考大家是否會運用.小試牛刀過渡語:同學們反應(yīng)很快,如何運用公式規(guī)范書寫呢？下面我們來看例題.例3
運用完全平方公式計算：解題步驟:1.選擇公式;2.找準a、b;3.準確計算.學以致用練習:運用完全平方公式計算：題后小結(jié):1.平方時,如首尾項的系數(shù)不為1時,需添加括號;2.不要漏掉中間項,并且注意中間項的符號;3.公式中的字母a,b可以表示單項式和多項式.補充:下節(jié)課我們還會遇到a,b是多項式的情況.過渡語:上節(jié)課我們學方差公式，知道了運用平方差公式可以簡化數(shù)的運算.那么這節(jié)課也可以運用完全平方公式簡化數(shù)的運算,請同學們獨立完成例4.例4
運用完全平方公式計算：(1)1022;
(2)
992.過渡語:老師再提升一下難度，再考考大家.
拓展之中提升能力運用完全平方公式計算：1.(x+y)2
2.(x-y)2
3.(y-x)2
4.(-x-y)2比較上面4個算式的結(jié)果,由此你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論.挑戰(zhàn)之中愛上數(shù)學
智取百寶箱第一關(guān)：下面各式的計算錯在哪里？應(yīng)當怎樣改正？1.(a-b)2=a2-b22.(a+2b)2=a2+4ab+2b2第二關(guān)：運用完全平方公式計算：第三關(guān)：運用完全平方公式計算：(-2m-1)2過渡語:闖關(guān)成功,百寶箱終于被打開了,寶藏是什么?南宋數(shù)學家楊輝留給同學的楊輝三角.這個三角形給出了(a+b)n(n=1,2,3,4,5,6)的展開式的系數(shù)規(guī)律.總結(jié)之中收獲知識送給大家一只求知的眼睛:達標檢測A卷填空題：2.運用完全平方公式計算：
EMBED
Equation.KSEE3
達標檢測B卷3.一個正方形的邊長增加3cm,它的面積就增加39cm2,這個正方形的邊長是多少？
讓學生先獨立思考，然后同桌之間合作交流，推導出兩數(shù)和的完全平方公式.這個環(huán)節(jié)讓學生認真觀察課件上的動態(tài)圖,根據(jù)圖形的面積推導出兩數(shù)和的完全平方公式.運用兩數(shù)和的完全平方公式推導出兩數(shù)差的完全平方公式.學生利用等積法推導出兩數(shù)和的完全平方公式;通過類比的方法,說明兩數(shù)差的完全平方公式.學生觀察兩個公式的特點.學生觀看小視頻.學生搶答.學生口述例3(2)的做題過程.兩位學生上臺板演.學生獨立思考,解決問題.學生搶答.學生了解楊輝三角,課下查閱相關(guān)材料,加深完全平方公式的進一步理解.學生梳理本節(jié)課的知識和數(shù)學方法.完成檢測達標.
設(shè)計意圖:充分發(fā)揮學生在課堂上的主觀能動性，讓學生推導出兩數(shù)和的完全平方公式.設(shè)計意圖:讓學生直觀感受,培養(yǎng)學生用圖形來解釋數(shù)的能力.這個過程是引導學生運用“面積法”來解決問題的過程.讓學生充分感受“數(shù)形結(jié)合”的思想.設(shè)計意圖:用已學知識來解決新問題,培養(yǎng)學生的知識轉(zhuǎn)化能力.設(shè)計意圖:為了向?qū)W生滲透類比的數(shù)學思想.設(shè)計意圖:加深學生對公式的理解和記憶,為以后的應(yīng)用做好準備.設(shè)計意圖:通過播放小視頻，激發(fā)學生的興趣,進一步加深對完全平方公式的理解記憶.設(shè)計意圖:充分調(diào)動學生們的積極性.通過主動搶答環(huán)節(jié),進一步理解完全平方公式.設(shè)計意圖:通過學習例題，規(guī)范解答過程.設(shè)計意圖:讓學生進一步加深對完全平方公式的理解和應(yīng)用.設(shè)計意圖:通過練習，讓學生體會運用完全平方公式可以簡化計算.設(shè)計意圖:通過闖關(guān),充分調(diào)動學生們的積極性,使學生能靈活、準確運用完全平方公式.設(shè)計意圖:拓展學生知識面，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情.設(shè)計意圖:通過梳理本節(jié)課的收獲知識，培養(yǎng)學生的歸納總結(jié)能力.設(shè)計意圖:再一次鞏固完全平方公式.
課后任務(wù)
作業(yè):必做題
課本112頁
習題14.2
T2.(2)(6)選做題
提素養(yǎng)
自行查閱史料,了解“楊輝三角”的相關(guān)知識.
課后作業(yè).
通過作業(yè)鞏固本課所學的知識，并能及時反饋本節(jié)知識點的掌握情況.
板書
14.2.2
完全平方公式(1)(圖形)
(a+b)2=a2+2ab+b2,
老師板書(a-b)2=a2-2ab+b2.
學生板書思想方法:數(shù)形結(jié)合
轉(zhuǎn)化
類比
總體把握本節(jié)所學內(nèi)容，明確本節(jié)課需掌握的整體知識框架.
(p+1)2=p2+2p+1,
(m+2)2=m2+4m+4.
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2.
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2.
(-x-y)2=(x+y)2,
(y-x)2=(x-y)2.人教版
八年級數(shù)學(上冊)學案
班級：
小組：
姓名：
14.2.2完全平方公式(一)
使用時間：2020.11.26
【學習目標】
1.理解并掌握完全平方公式的推導過程、結(jié)構(gòu)特點.
2.靈活運用完全平方公式進行計算.
【重點難點】
重點:完全平方公式的推導和運用.
難點:理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征,能靈活、準確運用完全平方公式.
【學習過程】
生活之中發(fā)現(xiàn)問題
若此次支援湖北黃岡的運輸車有(p+1)輛,每輛車裝(p+1)噸大蒜,則這次共
運送多少噸大蒜？
質(zhì)疑之中探究新知
1.“數(shù)”
“形”
結(jié)論:__________________________________________________________.
利用
來計算(a-b)2=?
利用圖形的面積說明.
結(jié)論:__________________________________________________________.
討論之中領(lǐng)悟公式
完全平方公式：
公式特點：
1.左邊為兩個數(shù)的________________.
2.右邊為__次__項式;
其中兩項為兩數(shù)的_____________;
另一項是兩數(shù)的_____________,且與左邊括號內(nèi)兩數(shù)中間的符號________.
兩個數(shù)和(或差)的平方,等于它們的__________,加上(或減去)它們的__________.
注意：完全平方公式是多項式乘法(a+b)(p+q)中p=a,q=b的特殊情形.運用此公式可以簡化運算.
小試牛刀
例3
運用完全平方公式計算：
題后小結(jié)：______________________________________________________________.
學以致用
練習:運用完全平方公式計算：
題后小結(jié)：______________________________________________________________.
例4
運用完全平方公式計算：
拓展之中提升能力
運用完全平方公式計算：
(x+y)2
2.(x-y)2
3.(y-x)2
4.(-x-y)2
比較上面4個算式的結(jié)果,由此你發(fā)現(xiàn)了什么？
結(jié)論:__________________________________________________________.
總結(jié)之中收獲知識
通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲？
達標檢測A卷
填空題：
2.運用完全平方公式計算：
達標檢測B卷
3.一個正方形的邊長增加3cm,它的面積就增加39cm2,這個正方形的邊長是多少？《完全平方公式》教學反思
本節(jié)課是通過我們金鄉(xiāng)為湖北人民無償捐贈大蒜情景引入。首先
從課本入手,由(p+1)2=p2+2p+1和(m+2)2=m2+4m+4猜想(a+b)2=a2+2ab+b2,引導學生運用多項式乘法法則運算進行自主探究,從而推導出(a+b)2=a2+2ab+b2,充分發(fā)揮學生在課堂上的主觀能動性。再根據(jù)圖形的面積說明兩數(shù)和的完全平方公式,讓學生觀察課件上的動態(tài)圖,直觀感受,培養(yǎng)學生用圖形來解釋數(shù)的能力。這個過程是引導學生運用“面積法”來解決問題的過程,讓學生充分感受“數(shù)形結(jié)合”的思想。總結(jié)出兩數(shù)和的完全平方公式,將猜想變?yōu)楣健＿\用兩數(shù)和的完全平方公式推導出兩數(shù)差的完全平方公式,用已學知識來解決新問題,培養(yǎng)學生的知識轉(zhuǎn)化能力。通過類比的方法,引導學生利用等積法說明兩數(shù)差的完全平方公式。讓學生總結(jié)公式等號兩邊的特點,結(jié)合小視頻,激發(fā)學生的興趣,進一步加深對完全平方公式的理解記憶,為以后的應(yīng)用做好準備。分析兩個公式的特點,用文字概括公式的內(nèi)容,從而培養(yǎng)學生抽象的數(shù)學思維能力和語言表達能力。通過主動搶答環(huán)節(jié),進一步理解完全平方公式,充分調(diào)動學生們的積極性。
為了規(guī)范書寫,進行了課本上的例題,2道例題兩種題型,第一道學生說老師板書,第二道學生說,緊跟著歸納解題步驟。在學生掌握了解題的方法和技巧之后,學生獨立完成“學以致用”,隨機找了兩名同學上臺板演展示過程,通過學生相互批改、相互點評的形式來完成這一環(huán)節(jié),總結(jié)注意事項。類比平方差公式可以簡化數(shù)的運算,這節(jié)課學習的完全平方公式也可以簡化數(shù)的運算。因為游戲?qū)W生來說具有特殊的吸引力,所以把學生分成A、B兩組進行競賽,智取百寶箱,把課堂練習寓于游戲之中,消除學生對數(shù)學枯燥乏味的感覺,讓學生能在“玩中學、趣中練”。百寶箱中是南宋數(shù)學家楊輝留給學生的楊輝三角,課下查閱相關(guān)材料,加深完全平方公式的進一步理解,拓展學生知識面,激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情。
整堂課突出以學生為主體的探索性學習原則,整節(jié)課都在緊張而愉快的氣氛中進行,學生非常活躍,人人都能積極參與。
本節(jié)課過后,我自己也進行了深刻的反思,現(xiàn)將自己的一些思考記錄如下：
比較成功的地方。
1.學生的探究活動效果頗好。
2.在探索新知的過程中,讓學生充分感受“數(shù)形結(jié)合”的思想。在學習兩數(shù)差的完全平方公式時,將新知識轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學過的兩數(shù)和的完全平方公式知識,讓學生體會“轉(zhuǎn)化”的思想。通過類比的方法,引導學生利用等積法說明兩數(shù)差的完全平方公式。根據(jù)分析的特點,用自己的語言敘述完全平方公式,有利于提高學生數(shù)學語言的表述能力。
3.播放小視頻,激發(fā)學生的興趣,進一步加深對完全平方公式的理解記憶。
4.通過游戲闖關(guān),拓展學生知識面,激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情。
5.抓住初二學生的特點,多用鼓勵法教學,鼓勵學生大膽發(fā)言,對于完全平方公式的特點,積極引導學生議,真理愈辯愈明,疑點愈理愈清,踴躍舉手回答問題,課堂氣氛熱烈,達到本節(jié)課教學目標。
二、需要改進反思的地方。
1.在教學中盡可能給學生充足的時間讓學生去探究發(fā)現(xiàn)新知。
2.對需要幫助的學生進行針對性的個別指導較少。
3.學生課堂互動應(yīng)該更豐富。
4.整個教學過程中，教學語言還需要進一步的嚴謹和規(guī)范。在今后的教學過程中是要更加關(guān)注和改進的地方。
總之，通過本次市優(yōu)質(zhì)課的歷練收獲很多，也意識到自己的問題。雖說教學沒有完美的課堂，但是要立志于把課講到接近完美為目標，我會繼續(xù)努力奮斗，提高自己的業(yè)務(wù)能力。

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