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目錄
等比數列
2
模塊一：等比數列與
2
考點1：等比數列基本量
2
模塊二：等比數列的性質
4
考點2：等比數列性質
5
模塊三：等比數列的判定
6
考點3：等比數列的證明
6
課后作業：
8
等比數列
模塊一：等比數列與
通項的主要公式：⑴；⑵．
前項和的公式：⑴；⑵．
考點1：等比數列基本量
例1.（1（2019春?海州區校級月考）在等比數列{an}中，a4、a12是方程x2+3x+1＝0的兩根，則a8＝（　?。?br/>A．1
B．﹣1
C．±1
D．±3
【解答】解：設等比數列{an}的公比為q，
∵a4，a12是方程x2+3x+1＝0的兩根，
∴a4?a12＝1，a4+a12＝﹣3，∴a82＝a4?a12＝1，a4＜0，a12＜0．
∴a8＝±1，又在等比數列中偶數項同號，
∴a8＝﹣1，
故選：B．
（2）（2019春?五華區校級月考）已知{an}是正項等比數列，若a1是a2，a3的等差中項，則公比q＝（　?。?br/>A．﹣2
B．1
C．0
D．1，﹣2
【解答】解：由題意得，2a1＝a2+a3，
∴q2+q﹣2＝0，解得q＝﹣2或q＝1，
∵{an}是正項等比數列，q＞0，
∴q＝1．
故選：B．
（3）（2019春?鎮海區校級月考）已知Sn為等比數列{an}的前n項和，a2＝3，S3＝13，則a6＝（　?。?br/>A．243或
B．81或
C．243
D．
【解答】解：∵a2＝3，S3＝13，
∴3+3q＝13，
解得q＝3或q，
∴a6＝a3q3＝243或，
故選：A．
（4）（2017秋?湖南月考）已知Sn是等比數列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數列，若a8＝3，則a2+a5為（　?。?br/>A．3
B．6
C．8
D．9
【解答】解：Sn是等比數列{an}的前n項和，設公比為q，
S3，S9，S6成等差數列，
可得2S9＝S3+S6，
若q＝1，則18a1＝3a1+6a1，即a1＝0不成立；
由q≠1可得2?（1﹣q3）（1﹣q6）即有2q9＝q3+q6，
即2q6﹣q3﹣1＝0，
則q3，q3＝1（舍去），
∵a8＝3，
∴a56，
∴a212，
∴a2+a5＝12﹣6＝6，
故選：B．
（5）（2018秋?廣陵區校級月考）已知等比數列{an}的各項均為正數，a2+a3+a4＝14，且4a1，2a2，a3成等差數列，則a1a2a3…a10＝（　?。?br/>A．45
B．235
C．245
D．255
【解答】解：設等比數列{an}的公比為q＞0，∵a2+a3+a4＝14，且4a1，2a2，a3成等差數列，
∴a1q（1+q+q2）＝14，4a1+a3＝4a2，即a1（4+q2）＝4a1q．
解得a1＝1，q＝2．
∴an＝2n﹣1．
則a1a2a3…a10＝20+1+2+…+9245．
故選：C．
（6）（2017秋?長安區校級月考）在數列{an}中，已知a1+a2+…+an＝2n﹣1，則a12+a22+…+an2＝　?。?br/>【解答】解：∵在數列{an}中，Sn＝a1+a2+…+an＝2n﹣1，
∴a1＝2﹣1＝1，
當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）＝2n﹣1，
當n＝1時，上式成立，
∴，∴，
∴a12+a22+…+an2＝1+4+42+…+4n﹣1．
故答案為：．
模塊二：等比數列的性質
⑴若是等比數列，則．
⑵若是等比數列，，，，，當時，，
特別地：當時，．
⑶若是等比數列，則下標成等差數列的子列構成等比數列：，，為等比數列，公比為．
⑷若是等比數列，則（為非零常數）仍然是等比數列，公比為；（保證有意義）；
（等差數列也有類似的性質，在線性變換下仍然保持等差）；
若是正項的等比數列，則是等差數列，公差為；
⑸若與均為等比數列，則也為等比數列．
⑹
當都非零時，它們構成等比數列，公比為．特別地，等比數列相鄰兩項的和構成等比數列，即構成公比為的等比數列．
考點2：等比數列性質
例2.（1）（2017秋?巢湖市校級月考）若等差數列{an}中，a1，a3，a9成等比數列，則　
．
【解答】解：設等差數列{an}的公差為d，∵a1，a3，a9成等比數列，
∴a1?a9，∴a1?（a1+8d），化為：d2＝a1d，
解得：d＝0，或a1＝d≠0．
若d＝0時，則1．
若a1＝d≠0時，則．
故答案為：1或．
（2）（2017春?溧陽市校級月考）已知數列1，a，b，4成等差數列﹣1，c，d，e，﹣4成等比數列，則的值為　　．
【解答】解：由題意可得：a+b＝1+4＝5，d2＝﹣1×（﹣4）＝4，解得d＝﹣2．（d＝2舍去）．
∴．
故答案為：．
（3）（2018秋?新華區校級月考）各項均為實數的等比數列{an}，前n項和為Sn，若S10＝1，S30＝7，則S40＝　?。?br/>【解答】解：設等比數列{an}的公比為q≠1，∵S10＝1，S30＝7，
∴1，7，
化為：q20+q10﹣6＝0，解得q10＝2，∴1．
則S4024﹣1＝15．
故答案為：15．
例3.（2018秋?新羅區校級月考）等比數列{an}的前n項和，則t+a3的值為　?。?br/>【解答】解：n＝1時，a1＝S1＝1+t．
n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n﹣1+t﹣（3n﹣2+t）＝2×3n﹣2．
∵數列{an}為等比數列，∴上式對于n＝1時也成立，可得：1+t，解得t．
∴t+a3．
故答案為：．
模塊三：等比數列的判定
等比數列的常用判定方法：是等比數列，
⑴
公式法：
①利用通項公式是常數；②前項和公式，，是常數；
⑵
定義法：
，（為常數且）（如果考慮，需要驗證）．
⑶
等比中項法：，，但應注意這里．
考點3：等比數列的證明
例4.在數列中，，．求證是等比數列，并求的通項公式．
【解答】條件得，又時，，
故數列構成首項為，公比為的等比數列．從而，即．
例5.已知數列的首項，，．證明：數列是等比數列，并求．
【解答】∵，∴
，
∴，又，∴，
∴數列是以為首項，為公比的等比數列．
故，解得．
例6.已知數列中，．設，
證明是等比數列，并求的通項公式．
【解答】由已知得．
，即．
，又，故．
所以是首項為，公比為4的等比數列，
，．
例7.（2018秋?南山區校級期中）已知等差數列的前項和為，且，．
（1）求的通項公式；
（2）設，求證：是等比數列，并求其前項和．
【解答】解：（1）設等差數列的公差為，，．
，，
解得．
．
（2）證明：．
是等比數列，首項與公比都為．
其前項和．
課后作業：
1．（2020?2月份模擬）已知數列是等比數列，若，則　　
A．2
B．4
C．
D．
【解答】解：根據題意，數列是等比數列，設其公比為，
若，則；
故選：．
2．（2019?全國三模）等比數列的各項均為正數，，，則　　
A．14
B．21
C．28
D．63
【解答】解：設等比數列的公比為，，，
，解得．
則．
故選：．
3．（2018?衡陽一模）記為正項等比數列的前項和，若，則的最小值為　?。?br/>【解答】解：根據題意，設該等比數列的首項為，第二項為，公比為，
若，則有
，
又由數列為正項的等比數列，則，
則有，
則
；
當且僅當，即時等號成立，
則的最小值為12；
故答案為：12．
4．（2020春?興寧區校級期末）在數列中，，．
（1）證明：數列是等比數列，并求的通項公式；
（2）令，求數列的前項和．
【解答】（1）證明：數列中，，．
所以：
又，
是首項為4，公比為2的等比數列，
，；
（2）由于，
，
所以，
，
，
．
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