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北師版數(shù)學(xué)九年級(jí)上斜邊中線定理的解題應(yīng)用
斜邊中線定理是一個(gè)非常重要的解題工具，也是中考重要的考點(diǎn)，下面結(jié)合2020年考題把定理的應(yīng)用梳理歸納，供學(xué)習(xí)時(shí)借鑒.
1.探求斜邊上的中線長(zhǎng)
例1(2020?湖北省黃石)如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)H、E.F分別是邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，若EF+CH=8，則CH的值為
（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)H，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，
∴EF=AB（三角形中位線定理），CH=AB（直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊一半），∴EF=CH，∵EF+CH=8，∴CH=EF=×8=4，∴選B．
點(diǎn)評(píng)：利用三角形中位線定理，斜邊中線定理，證得EF=CH是解題的關(guān)鍵.
2.探求點(diǎn)的坐標(biāo)
例2(2020?湖北省荊州市)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的斜邊OA在第一象限，并與x軸的正半軸夾角為30°．C為OA的中點(diǎn)，BC=1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（　　）
A．（，）
B．（，1）
C．（2，1）
D．（2，）
解析：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，∵Rt△OAB的斜邊OA在第一象限，并與x軸的正半軸夾角為30°，∴∠AOD=30°，∴AD=OA，∵C為OA的中點(diǎn)，∴BC=OA，
∴AD=BC=1，OA=2，根據(jù)勾股定理，得OD=
=，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，1），∴選B.
點(diǎn)評(píng)：利用斜邊中線定理求得斜邊OA的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，其次，活用勾股定理求得線段的長(zhǎng)，靈活將線段長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)也是解題需要熟練掌握的基本功.
3.探求中位線的長(zhǎng)
例3(2020?浙江省寧波市)如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為中線，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE=BC，連結(jié)DE，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連結(jié)BF．若AC=8，BC=6，則BF的長(zhǎng)為（　　）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=
=10.
又∵CD為斜邊AB上的中線，∴CD=AB=5．∵F為DE中點(diǎn)，BE=BC即點(diǎn)B是EC的中點(diǎn)，
∴BF是△CDE的中位線，則BF=
CD=2.5．∴選B.
點(diǎn)評(píng)：解題的基本思路是：利用勾股定理求得AB；由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得CD的長(zhǎng)度；確定線段BF是△CDE的中位線，根據(jù)三角形中位線定理即可得解．
4.探求三角形的面積
例4（2020?遼寧省丹東市）如圖4，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD=AC，∠BAD=105°，
點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是AC和CD的中點(diǎn)，連接BE，EF，BF，若CD=8，則△BEF的面積是　　．
解法1：如圖4，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BF于H．∵AD=AC，∠DAC=90°，CD=8，
∴AD=AC=4，∵點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是AC和CD的中點(diǎn)，∴EF=AD=2，EF∥AD，
∴∠FEC=∠DAC=90°，∵∠ABC=90°，AE=EC，∴BE=AE=EC=2，∴EF=BE.∵∠BAD=105°，∠DAC=90°，∴∠BAE=15°，∴∠EAB=∠EBA=15°，∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=30°，
∴∠FEB=90°+30°=120°，∴∠EFB=∠EBF=30°，∵EH⊥BF，∴EH=EF=，
FH=EH=，∴BF=2FH=2，∴==2．
解法2：如圖5，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF，交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．∵AD=AC，∠DAC=90°，CD=8，
∴AD=AC=4，∵點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是AC和CD的中點(diǎn)，∴EF=AD=2，EF∥AD，
∴∠FEC=∠DAC=90°，∵∠ABC=90°，AE=EC，∴BE=AE=EC=2.∵∠BAD=105°，∠DAC=90°，∴∠BAE=15°，∴∠EAB=∠EBA=15°，∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=30°，∴∠BEH=60°,
∠EBH=
30°，∴EH=BE=，BH=EH=，∴==2．
點(diǎn)評(píng)：兩種解法各有千秋，解法1側(cè)重等腰三角形底邊上的高，解法2側(cè)重等腰三角形腰上的高，解答遵循的基本原理都是三角形中位線定理，斜邊中線定理，勾股定理，三角形面積公式，因此常態(tài)學(xué)習(xí)時(shí)自覺(jué)重視綜合解題能力，知識(shí)綜合能力，都會(huì)利于解題思路的尋找，都會(huì)極大提升解題效率.

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