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直線和圓知識點總結
1、直線的傾斜角：（1）定義：在平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向轉到和直線重合時所轉的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當直線與軸重合或平行時，規定傾斜角為0；（2）傾斜角的范圍。如（1）直線的傾斜角的范圍是____（答：）；
傾斜角的取值范圍是0°≤＜180°.傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示.傾斜角是90°的直線沒有斜率.
（2）過點的直線的傾斜角的范圍值的范圍是______（答：）
2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即＝tan(≠90°)；傾斜角為90°的直線沒有斜率；（2）斜率公式：經過兩點、的直線的斜率為；（3）直線的方向向量，直線的方向向量與直線的斜率有何關系？（4）應用：證明三點共線：
。如(1)
兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的____________條件（答：既不充分也不必要）；（2）實數滿足
()，則的最大值、最小值分別為______（答：）
3、直線的方程：（1）點斜式：已知直線過點斜率為，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。直線的斜率時，直線方程為；當直線的斜率不存在時，不能用點斜式求它的方程，這時的直線方程為.（2）斜截式：已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。（3）兩點式：已知直線經過、兩點，則直線方程為，它不包括垂直于坐標軸的直線。若要包含傾斜角為或的直線，兩點式應變為的形式.（4）截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為，它不包括垂直于坐標軸的直線和過原點的直線。（5）一般式：任何直線均可寫成(A,B不同時為0)的形式。如（1）經過點（2，1）且方向向量為=(－1,)的直線的點斜式方程是___________（答：）；（2）直線，不管怎樣變化恒過點______（答：）；（3）若曲線與有兩個公共點，則的取值范圍是_______（答：）
提醒：(1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）；(2)直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為或直線過原點。如過點，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有___條（答：3）
4.設直線方程的一些常用技巧：（1）知直線縱截距，常設其方程為；（2）知直線橫截距，常設其方程為(它不適用于斜率為0的直線)；（3）知直線過點，當斜率存在時，常設其方程為，當斜率不存在時，則其方程為；（4）與直線平行的直線可表示為；（5）與直線垂直的直線可表示為.
提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當選擇方程的形式，利用待定系數法求解。
5、點到直線的距離及兩平行直線間的距離：
（1）點到直線的距離；
（2）兩平行線間的距離為。
6、直線與直線的位置關系：
（1）平行（斜率）且（在軸上截距）；
（2）相交；
（3）重合且。
提醒：（1）
、、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？（2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線與直線垂直。如（1）設直線和，當＝_______時∥；當＝________時；當_________時與相交；當＝_________時與重合（答：－1；；；3）；（2）已知直線的方程為，則與平行，且過點（—1，3）的直線方程是______（答：）；（3）兩條直線與相交于第一象限，則實數的取值范圍是____（答：）；（4）設分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長，則直線與的位置關系是____（答：垂直）；（5）已知點是直線上一點，是直線外一點，則方程＝0所表示的直線與的關系是____（答：平行）；（6）直線過點（１，０），且被兩平行直線和所截得的線段長為9，則直線的方程是________（答：）
7、特殊情況下的兩直線平行與垂直:當兩條直線中有一條直線沒有斜率時：(1)當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90°，互相平行；(2)當另一條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直．
8、對稱（中心對稱和軸對稱）問題——代入法：如（1）已知點與點關于軸對稱，點P與點N關于軸對稱，點Q與點P關于直線對稱，則點Q的坐標為_______（答：）；（3）點Ａ（４，５）關于直線的對稱點為Ｂ(－2,7)，則的方程是_________（答：）；（4）已知一束光線通過點Ａ（－３，５），經直線:3x－4y+4=0反射。如果反射光線通過點Ｂ（２，15），則反射光線所在直線的方程是_________（答：）；（5）已知ΔABC頂點A(3，－１)，ＡＢ邊上的中線所在直線的方程為6x+10y－59=0，∠B的平分線所在的方程為x－4y+10=0，求ＢＣ邊所在的直線方程（答：）；（6）直線2x―y―4=0上有一點Ｐ，它與兩定點Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距離之差最大，則Ｐ的坐標是______（答：（5,6））；（7）已知軸，，C（2，1），周長的最小值為______（答：）。提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解。
9.（1）直線過定點。如直線（3m+4）x+(5-2m)y+7m-6=0,不論m取
何值恒過定點（-1，2）
（2）直線系方程（1）與已知直線Ax+By+C=0平行的直線的設法:
Ax+By+m=0
(m≠C)
(
2
)
與已知直線Ax+By+C=0垂直的直線的設法:
Bx-Ay+m=0
（3）經過直線∶x+y+=0，∶x+y+=0交點的直線設法：
x+y++λ（x+y+）=0（λ為參數，不包括）
（3）關于對稱
（1）點關于點對稱（中點坐標公式）
（2）線關于點對稱（轉化為點關于點對稱，或代入法，兩條直線平行）
（3）點關于線對稱（點和對稱點的連線被線垂直平分，中點在對稱軸上、kk’=
-1二個方程）
（4）線關于線對稱（求交點，轉化為點關于線對稱）
10、圓的方程：
⑴圓的標準方程：。
⑵圓的一般方程：，特別提醒：只有當時，方程才表示圓心為，半徑為的圓（二元二次方程表示圓的充要條件是什么？
（且且））；
⑶圓的參數方程：（為參數），其中圓心為，半徑為。圓的參數方程的主要應用是三角換元：；
。
⑷為直徑端點的圓方程
如（1）圓C與圓關于直線對稱，則圓C的方程為____________（答：）；（2）圓心在直線上，且與兩坐標軸均相切的圓的標準方程是__________（答：或）；（3）已知是圓（為參數，上的點，則圓的普通方程為________，P點對應的值為_______，過P點的圓的切線方程是___________（答：；；）；（4）如果直線將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么的斜率的取值范圍是____（答：[0，2]）；（5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一個圓，則實數k的取值范圍為____（答：）；（6）若（為參數，，，若，則b的取值范圍是_________（答：）
11、點與圓的位置關系：已知點及圓，（1）點M在圓C外；（2）點M在圓C內
；（3）點M在圓C上
。如點P(5a+1,12a)在圓(x－１)２＋y2=1的內部,則a的取值范圍是______（答：）
12、直線與圓的位置關系：直線和圓
有相交、相離、相切。可從代數和幾何兩個方面來判斷：（1）代數方法（判斷直線與圓方程聯立所得方程組的解的情況）：相交；相離；相切；（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大小）：設圓心到直線的距離為，則相交；相離；相切。提醒：判斷直線與圓的位置關系一般用幾何方法較簡捷。如（1）圓與直線，的位置關系為____（答：相離）；（2）若直線與圓切于點，則的值____（答：2）；（3）直線被曲線所截得的弦長等于
（答：）；（4）一束光線從點A(－1,1)出發經x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是
（答：4）；（5）已知是圓內一點，現有以為中點的弦所在直線和直線，則A．，且與圓相交
　
B．，且與圓相交　　C．，且與圓相離
D．，且與圓相離（答：C）；（6）已知圓C：，直線L：。①求證：對，直線L與圓C總有兩個不同的交點；②設L與圓C交于A、B兩點，若，求L的傾斜角；③求直線L中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程.
（答：②或　　③最長：，最短：）
13、圓與圓的位置關系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關系判斷）：已知兩圓的圓心分別為，半徑分別為，則（1）當時，兩圓外離；（2）當時，兩圓外切；（3）當時，兩圓相交；（4）當時，兩圓內切；（5）當時，兩圓內含。如雙曲線的左焦點為F1，頂點為A1、A2，P是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓位置關系為
（答：內切）
14、圓的切線與弦長：
(1)切線：①過圓上一點圓的切線方程是：，過圓上一點圓的切線方程是：，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑）；②從圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設切線方程，再根據相切的條件，運用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來求；③過兩切點的直線（即“切點弦”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點為直徑端點的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點的直線方程；③切線長：過圓（）外一點所引圓的切線的長為（）；如設A為圓上動點，PA是圓的切線，且|PA|=1，則P點的軌跡方程為__________（答：）；
（2）弦長問題：①圓的弦長的計算：（垂徑定理）常用弦心距，半弦長及圓的半徑所構成的直角三角形來解：；②過兩圓、交點的圓(公共弦)系為，當時，方程為兩圓公共弦所在直線方程.。
15.解決直線與圓的關系問題時，要充分發揮圓的平面幾何性質的作用(如半徑、半弦長、弦心距構成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)!
16.
圓的切線和圓系方程
1．過圓上一點的切線方程：圓，圓上一點為()，則過此點的切線方程為x+
y=
(課本命題)．
圓，圓外一點為()，則過此點的兩條切線與圓相切，切點弦方程為。
2．圓系方程：①設圓C1∶和
圓C2∶．若兩圓相交，則過交點的圓系方程為+λ（）=0(λ為參數，圓系中不包括圓C2，λ=-1為兩圓的公共弦所在直線方程)．
②設圓C∶與直線l：Ax+By+C=0，若直線與圓相交，則過交點的圓系方程為+λ(Ax+By+C)=0(λ為參數)．
例題
1經過點P(2，m)和Q(2m，5)的直線的斜率等于，則m的值是(　B　)
A．4　　　　　
B．3
C．1或3
D．1或4
變：
2.
已知直線l過P(－1，2)，且與以A(－2，－3)、B(3，0)為端點的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍．
點評：要用運動的觀點，研究斜率與傾斜角之間的關系！答案：
∪[5，＋∞)
?3.已知坐標平面內三點A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)，若D為△ABC的邊AB上一動點，求直線CD斜率k的變化范圍．
?答案：∪[5，＋∞)
1.求a為何值時，直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？答案：a=-1
2.求過點P(1，－1)，且與直線l2：2x＋3y＋1＝0垂直的直線方程．答案：3x－2y－5＝0.
例2.求過定點P(2，3)且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程．
例3.已知△ABC的頂點A(1，－1)，線段BC的中點為D(3，)．
(1)求BC邊上的中線所在直線的方程；
(2)若邊BC所在直線在兩坐標軸上的截距和是9，求BC所在直線的方程．
例4.方程(m－2m－3)x＋(2m＋m－1)y＝2m－6滿足下列條件，請根據條件分別確定實數m的值．(1)方程能夠表示一條直線；（答案：m）
(2)方程表示一條斜率為－1的直線．（答案：m）
例5.直線l的方程為(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)．
(1)求證：直線l必過定點；（答案：(，)）
(2)若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程；（答案：5x＋5y－4＝0）
(3)若直線l不過第二象限，求實數a的取值范圍．（答案：分斜率存在與不存在）
例1：求點A(-2,3)到直線
l:3x+4y+3=0的距離
d=
。
例2：已知點（a,2）到直線l:
x-y+1=0的距離為2，則a=
。
(a＜0)
例3:求直線
y=2x+3關于直線l:
y=x+1對稱的直線方程。
類型一：圓的方程
例1
求過兩點、且圓心在直線上的圓的標準方程并判斷點與圓的關系．
變式1：求過兩點、且被直線平分的圓的標準方程.
變式2：求過兩點、且圓上所有的點均關于直線對稱的圓的標準方程.
類型二：切線方程、切點弦方程、公共弦方程
例4　已知圓，求過點與圓相切的切線．
解：∵點不在圓上，∴切線的直線方程可設為
根據∴.解得，所以，即
因為過圓外一點作圓得切線應該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在．易求另一條切線為．
類型三：弦長、弧問題
例7、求直線被圓截得的弦的長.
例8、直線截圓得的劣弧所對的圓心角為
解：依題意得，弦心距，故弦長，從而△OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為.
例9、求兩圓和的公共弦長
類型四：直線與圓的位置關系
例10、已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關系.
類型五：圓與圓的位置關系
例13、判斷圓與圓的位置關系，
例14：圓和圓的公切線共有
條。
類型六：圓中的最值問題
例15：圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是
例16　(1)已知圓，為圓上的動點，求的最大、最小值．
(2)已知圓，為圓上任一點．求的最大、最小值，求的最大、最小值．例17：已知，，點在圓上運動，則的最小值是
.
解：設，則.設圓心為，則，∴的最小值為.
1

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