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高一同步拔高
函數與方程部分
知識清單
1．
函數的零點
對于函數y=f(x)(x,我們把使f(x)=0的實數x叫函數y=f(x)(x的零點。
2．
零點與方程的根的關系
確定函數y=f(x)的零點就是求方程f(x)=0的實數根。
3．
函數零點存在定理
如果函數在區間
[a
,
b]
上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有，那么，函數在區間
(a
,
b)
內有零點，即存在，使得，這個c也就是方程的根。
4．
并不是所有的函數都有零點，函數有零點也不定符合零點存在定理，試分別舉出一個例子。
5．
零點唯一性判定定理
如果函數在區間
[a
,
b]
上的圖象是連續不斷的一條曲線，且在區間(a
,
b)單調，若有，那么，函數在區間
(a
,
b)
內只有一個零點，即存在唯一的，滿足，這個c也就是方程唯一的實數根。
6．二分法：二分法主要應用在求函數的變號零點當中，牢記二分法的基本計算步驟：任取兩點x1和x2，判斷（x1，x2）區間內有無一個實根，如果f（x1）和f（x2）符號相反，說明（x1，x2）之間有一個實根，取（x1，x2）的中點x，檢查f（x）與f（x1）是否同符號，如果不同號，說明實根在（x，x1）區間，這樣就已經將尋找根的范圍減少了一半了．然后用同樣的辦法再進一步縮小范圍，直到區間相當小為止．
方法技巧清單
例1、已知唯一的零點在區間、、內，那么下面命題錯誤的（
）
A．函數在或內有零點
B．函數在內無零點
C．函數在內有零點
D．函數在內不一定有零點
解析：C
唯一的零點必須在區間，而不在
例2、．如果二次函數有兩個不同的零點，則的取值范圍是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：D
或
例3、
求零點的個數為
（
）
A．
B．
C．
D．
解析：C
，顯然有兩個實數根，共三個；
例4、函數的零點個數為
。
解析：
分別作出的圖象；
例5．用“二分法”求方程在區間內的實根，取區間中點為，那么下一個有根的區間是
。
解析：
令
例6．設,用二分法求方程內近似解的過程中得則方程的根落在區間（
）
A．
B．
C．
D．不能確定
解析：B
。
例7求函數y＝x3－2x2－x＋2的零點．
【解析】：對求簡單的三次函數的零點：一般原則是進行分解因式，再轉化為求方程的根將零點求出．y＝x3－2x2－x＋2＝（x－2）（x－1）（x＋1），令y＝0可求得已知函數的零點為－1、1、2．
例8求方程的一個近似解（精確度0.1）
解：設f(x)=
∵f(2)=-1<0,f(3)=2>0
∴在區間（2,3）內方程有一實數根，記為。再取2,3的平均數2.5，∵f(2.5)=0.25>0∴2<<2.5.
再取2,2.5的平均數2.25
∵f(2.25)=-0.4375<0∴2.25<<2.5.
如此繼續下去有f(2.375)<0
f(2.5)>0
;
f(2.375)<0
f(2.4375)>0.∵=0.0625<0.1
∴方程的一個精確度0.1近似解可取為2.4375
例9判斷函數零點的個數。
解法一：圖象法
在同一坐標系中畫出y=lnx,
y=
-
x+3的圖像。(略)
解法二：因為f(3)>0,f(2)<0
所以在區間（2，3）內有一零點。又因為
在定義域內是增函數，所以只有唯一的零點。
例10
已知關于x的二次方程有兩根，其中一根在區間（-1,0）內，另一根在區間（1,2）內，求m的取值范圍。
解：由題意知拋物線f(x)=
與x軸的交點分別在區間（-1,0）和（1,2）內，可以畫出示意圖得f(0)=2m+1<0,f(-1)=2>0,f(1)=4m+2<0,f(2)=6m+5>0,解得
課堂練習
1．函數f(x)=2x+7的零點為
（
）
A、7
B、
C、
D、-7
2．方程的一個實數解的存在區間為
（
）
A、（0，1）
B、（0.5，1.5）
C、（-2，1）
D、（2，3）
3．設,用二分法求方程內近似解的過程中得則方程的根落在區間（
）
A
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B
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C
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D
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不能確定
4．函數在區間（1，2）內的函數值為（
）
A、大于等于0
B、等于0
C、大于0
D、小于0
5．某人騎自行車沿直線勻速旅行，先前進了a千米，休息了一段時間，又沿原路返回b千米（b）
6．若方程有兩個實數解，則的取值范圍是（
）
A
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B
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C
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D
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7．方程的實數解的個數為________________。
8．已知函數的圖象是連續不斷的，有如下的，對應值表：
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
函數在哪幾個區間內有零點？為什么？
9．證明：函數在區間（2，3）上至少有一個零點。
10．
設函數
（填“有”或“無”）零點。
參考答案
1-6
C
B
B
D
C
A
6提示：作出圖象，發現當時，函數與函數有個交點。7.2
8.解：因為函數的圖象是連續不斷的，并且由對應值表可知，
，，所以函數在區間（－2，－1.5），
（－0.5，0）以及（0，0.5）內有零點。
9.
證明：函數的定義域為R，函數f(x)的圖像在區間(2,3)上是連續的。
，，f(2)f(3)<0,函數f(x)在區間(2,3)上至少有一個零點。
10．
因為f(1)>0,f(e)<0,所以有零點。
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