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95道高難度函數題逐題解析
書3
只要保證左邊平移2011后圖象全部在原來圖象上方即可,注意到圖中兩直線的平行,且距
離為5a-(-a)=6a,故必須且只需6a<2011→a<2
例22.設函數f(x)的定義域為D,若存在非零實數l,使得對于任意x∈M(M≤D),有
x+l∈D,且f(x+1)≥f(x),則稱f(x)為D上的7高調函數,如果定義域是[0,+∞)的
函數f(x)=(x-1)2為[0,+∞)上的m高調函數,那么實數m的取值范圍是[2,+∞)
解析:即存在實數m使得對∨x∈[0+∞)都有(x+m-1)2≥(x-1)2恒成立,即
7(2x+m-2)≥0恒成立,當m≥0時,m≥2-2x恒成立,即m≥2;當m<0時,
m≤2-2x恒成立,而2-2x無最小值,此時m不存在
注:本題和第23題定義相同
例23設函數f(x)在R上的導函數為f(x),且2f(x)+xf(x)>x2.下列不等式在R上恒
成立的是13.(把你認為所有正確命題的序號都填上)
(1)f(x)>0;
(2)f(x)<0;(3)f(x)>x
(4)f(x)解析:注意到[x2f(x)-x4=2xf(x)+x2f(x)-x3=x2f(x)+xf(x)-x2],下面
分x正負討論即可
例24.已知f(x)=log3x+2(x∈[1,9]),則函數y=[f(x)]+f(x2)的最大值是
解析:注意定義域[1,3]
x+m
例25.已知奇函數f(x)=lox-2
(a>0且a≠1)在區間(a-3,r)上的值域為(1,+∞),
則a-r=2或5-2√2
解析:由奇函數可求出m=2,當a>1時,8(x)s+≠1+
4
在(2,+∞)上恒正且
x-2
單調遞減,在(-∞,-2)上恒負,故f(x)在(2,+∞)上單調遞減,則
4
f()=1
1+
f(a-3)=+
a-r=2同理,當0a-3-2=0
a
恒正,且單調遞增,則
f(r)=+∞
r+2=0
例26.已知函數f(x)的導函數(x)=2x-9,且f(0)的值為整數,當
x∈(n,n+1](n∈N
)時,f(x)的值為整數的個數有且只有1個,則n=
解析:設f(x)=x2-9x+c,c為整數,由此得f(n+1)-f(n)=2n-8,顯然當n≠4
時,f(m+1)-f(m)=2n-8≥2,不符合題意;當n=4時,f(4)=f(5)=c-20,注
81
意到二次函數f(x)=x2-9x+c,頂點f()=C一,顯然在區間[c-,c-20]上整
數只有c-20,適合題意,故n=4
例27.若函數f(x)=x2+2ax+4a2-3的零點有且只有一個,則實數a=
解析:令x=1,則f(x)=12+2a+4a2-3必有一個0根,且另一根為負根,由
f(0)=0→a
經驗證a=
例28.已知定義域為D的函數f(x),如果對任意x∈D,存在正數K,都有|f(x)|≤K|x|成
立,那么稱函數f(x)是D上的“倍約束函數”,已知下列函數
①r(x2x2fx)=2i(x+x):③f(x)=√x-l;f(x)=-x,其中是“倍約
束函數的序號是
1③④
解析:①|2x2x:②數形結合不可能仔在k使2sim(x+1)k|x恒成立
③x-1≤k→k22-2(x21)成立:④
≤kx→k≥
￥-x十
x+1
解析:等價于方程a2=x有兩解m,n,即xla=nx有兩解,1n如是是(1,e)
例29.若函數∫(x)=a^(a>1)的定義域和值域均為[m,n],則a的取值范圍
=g(x),

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