資源簡介

導數壓軸題型歸類總結
目錄
、導數單調性、極值、最值的直接應用(1)
二、交點與根的分布(23)
三、不等式證明(31)
(一)作差證明不等式
(二)變形構造函數證明不等式
(三)替換構造不等式證明不等式
四、不等式恒成立求字母范圍(51)
(一)恒成立之最值的直接應用
(二)恒成立之分離常數
(三)恒成立之討論字母范圍
五、函數與導數性質的綜合運用(70)
六、導數應用題(84
七、導數結合三角函數(85)
書中常用結論
)sinx點連線斜率小于1
(2)e2>x+1
(3)x>n(x+1)
()Inx0
一、導數單調性、極值、最值的直接應用
1.(切線)設函數f(x)=x2-a
(1)當a=1時,求函數g(x)=xf(x)在區間[0上的最小值
(2)當a>0時,曲線y=f(x)在點P(x1,f(x)(x>a)處的切線為l,1與x軸交于點A(x20
求
解:(1)a=1時,g(x)=x2-x,由8(x)=3x2-1=0,解得x=+3
g(x)的變化情況如下表
33
g'(x)
0
0
極小值
所以當x
3時,8()有最小值g<3)=-23
(2)證明:曲線y=f(x)在點Px,2x2-a)處的切線斜率k=f(x)=2x
曲線y=f(x)在點P處的切線方程為y-(2x2-a)=2x1(x-x)
x1-+a
x12+a
令y=0,得x2
31<0,即xI
X1
ta
xi
a
所以x1>x2>√a
2.(2009天津理20,極值比較討論)
已知函數f(x)=(x2+ax-2a2+3a)e(x∈R,其中a∈R
(1)當a=0時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線的斜率:
(2)當a≠時,求函數f(x)的單調區間與極值
解:本小題主要考查導數的幾何意義、導數的運算、利用導數研究函數的單調性與極值等基礎
知識,考查運算能力及分類討論的思想方法
(1)當a=0時,f(x)=xe,f'(x)=(x2+2x)e',故f"(l)=3e
所以曲線y=f(x)在點(,f()處的切線的斜率為3e
f(x)=2+(a+2)x-2a2+4a
令∫(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2由a≠三知,-2a≠a-2
以下分兩種情況討論
則-2ax(=∞,-2a)-2a(=2a,a-2)a-2(a-2,+)
極大值
極小值
所以f(x)在(-∞,-2a)(a-2,+∞)內是增函數,在(-2a,a-2內是減函數
函數f(x)在x=-2處取得極大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-20
函數f(x)在x=a-2處取得極小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)e“-2
②若a<,則-2a>a-2,當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:
0
極大值
極小值
函數(x)在x=a-2處取得極大值(a-2),且(a-2)=(4-3?%
所以f(x)在(-∞,a-2(-2a,+∞內是增函數,在(a-2,-2a內是減函
函數f(x)在x=-2a處取得極小值f(-2a),且f(-2a)=3ue
3.已知函數f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+
(1)設兩曲線y=f(x)與y=g(x)有公共點,且在公共點處的切線相同,若a>0,試建立b關
于a的函數關系式,并求b的最大值
(2)若b∈[0,2],h(x)=f(x)+8(x)-(2a-b)x在(0,4)上為單調函數,求a的取值范圍。
解:(I)設y=f(x)與y=g(x)(x>0)在公共點(x,)處的切線相同
f(x)-x+2a,g(x)=3由題意知∫(x2)=g(x),(
即2+2,30+
In+2u=
3a2
母x
a(會去,)b=a2-3a2lna(a>0)
b(a)=5a-6wm-3a=2a(1-3ba)
4129e>005+(m4
可見()太m6d+)-2…7分
〔h'(x)x+
b做題:h'(x)≤0或h(x)≥0恒成立
①當h(x)<0時,x+-b≤0:x+≌≤b
∵b∈[o,2]只需x+≤o∵x∈(0,4∴不群在

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