資源簡介

圓錐曲線
【高 考命 題規(guī)律 】
小 題 部 分 ：2013年 第4題 考 查 了 雙 曲 線 的 漸 近 線 方 程 ， 第10題 考 查 了 橢 圓 中 的 中 點 弦 公 式 ；2014
年 第4題 考 查 了 雙 曲 線 中 焦 點 到 漸 近 線 距 離 公 式 ， 第10題 考 查 了 拋 物 線 中 的 焦 點 弦 結(jié) 論 ；2015年
第5題 結(jié)合 向量 考查 了雙 曲線 中的 焦點 三角 形 結(jié)論 ，第14題 以橢 圓的 基本 性質(zhì) 為背 景 ，考 查了 圓的
方 程；2016年 第5題 考查 了雙 曲線 標(biāo)準(zhǔn) 方程 滿足 的 條件 ，第10題 以拋 物線 為背 景，結(jié) 合圓 的方 程，
考 查拋 物線 的焦 準(zhǔn)距 ；2017年 第10題 考查 拋物 線的 焦點 弦公 式 ，第14題 以雙 曲線 為背 景，結(jié) 合圓
的 知 識，考 查 離心 率 。
【基礎(chǔ)知識整合】
橢圓知識點
（一）橢圓的圖像與性質(zhì)
定義：平面上到兩定點F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)的距離之和等于定值2a(2a ?2c)的點的集合.
（求軌跡方法：1:求什么設(shè)什么，設(shè)P(x,y)，2：找條件，|PF1|?|PF2 |?2a，3：代入數(shù)據(jù)
2 2
2 2 2 2 x y
(x?c) ? y ? (x?c) ? y ?2a ，4：化簡得 ，5：檢驗，可能挖點）
2 ? 2 2 ?1
a a ?c
2 2
令 2 2 2
a ?c ?b ，得到焦點在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 x y
2 ? 2 ?1
a b
2
（ c ?b?
|PF 2 2 2
1|?|PF2 |?2a ?|F1F2 |，a ?c ?b ，e? ? 1? ）
? ?
a ?a?
其中|PF1|max?a?c |PF1|min?a?c
2
當(dāng) b
PF2 ? x軸時，|PF2 |? a
2 2 2 2
共焦點的橢圓方程設(shè)為： x y
2 ? 2 ?1 共離心率的橢圓方程設(shè)為： x y
2 ? 2 ?1
a ?m b ?m ma mb
2 2 x x y y
若點 x y 0 0
P(x0,y0)在橢圓 上，則過點 且與橢圓相切的直線方程是 .
2 ? 2 ?1 P 2 ? 2 ?1
a b a b
2 2
若點 x y
P(x0,y0)在橢圓 外，則過點 作橢圓的兩條切線，切點分別為
2 ? 2 ?1 P P1,P2，
a b
x x y y
則切點弦 0 0
P1P2的直線方程是 2 ? 2 ?1.
a b
1
（二）橢圓中的焦點三角形
★題設(shè)：若|PF1|?m，|PF2 |?n，?F1PF2 ??，
2 2
結(jié)論： 2b 2 2 ?? ? 2b cos? 2 2 2 2 ?
mn? ?[b ,a ]，m?n? ?[b ?c ,b ]，S?PF1F2 ?b ?tan ?(0,bc]
1?cos? 1?cos? 2
證明如下：由余弦定理得：
2
2 2 2 2 2 2b
(2c) ?m ?n ?2mncos??(m?n) ?2mn(1?cos?)?4a ?2mn(1?cos?) ?mn?1?cos?
? ?
2 2sin cos
1 1 2b sin? 2
S 2 2 2 ?
?PF1F2 ? mnsin?? ? ?b ? ?b ?tan
2 2 1?cos? 2? 2
2cos 2
2 1?cos? ?
題設(shè)：若橢圓上存在一點P，使得?F1PF2 ??，求離心率范圍. 結(jié)論:e ? ?sin
2 2
證明如下：
2 2 2 2
2b ?m?n? 2 2 2 2(a ?c ) 2 2 1?cos?
mn? ?? ? ?a ?2b ?a (1?cos?)?
2 ?1?cos??2(1?e )?1?cos??e ?
1?cos? ? 2 ? a 2
sin(???)
題設(shè)：焦點三角形PF1F2中，若?PF1F2 ??，?PF2F1 ??，結(jié)論：則離心率e? sin??sin?
2c |F1F2 | 2Rsin? sin? sin(???)
證明如下：e? ? ? ? ?
2a m?n 2Rsin??2Rsin? sin??sin? sin??sin?
（三）橢圓中的中點弦（點差法或韋達(dá)定理）
2
★題設(shè)： b
AB是不平行于對稱軸的弦，P是AB的中點，結(jié)論：kAB?kOP ?? 2
a
證明如下：
2
2
推論1：若A,B關(guān)于原點 b
O對稱，P是橢圓上異于A,B的任意一點，結(jié)論：kPA?kPB ?? 2
a
y2 ? y1 y1?(?y2) y2 ? y1
證明如下：設(shè)P(x1,y1),A(x2,y2)，則B(?x2,?y2)，所以kPA ? ?kPB ? ?
x2 ?x1 x1?(?x2) x2 ?x1
2 2
y ? y
所以 2 1 y2 ? y1 y2 ? y1
kPA?kPB ? ? ? 2 2
x2 ?x1 x2 ?x1 x2 ?x1
2 2
?x1 y
? 1
? 2 2 ?1 2 2 2 2 2 2 2
? 2
x ?x
又 a b ? 2 1 y
? 2 ? y1 y
? ? 2 ? y1 b
? 2 2 2 2 0 2 2 ?? 2 所以 b
kPA?kPB ?? .
2
?x2 y2 a b x2 ?x1 a a
? 2 ? 2 ?1
?a b
2
推論2：若l是橢圓上不垂直于對稱軸的切線，M 為切點，結(jié)論： b
kl ?kOM ?? 2
a
雙曲線知識點
（一）雙曲線的圖像與性質(zhì)
定義：平面上到兩定點F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)的距離之差的絕對值等于定值2a(2a?2c)的點的集合.
（求軌跡方法：1:求什么設(shè)什么，設(shè)P(x,y)，2：找條件，||PF1|?|PF2 ||?2a ，3：代入數(shù)據(jù)
2 2
2 2 2 2 x y
| (x?c) ? y ? (x?c) ? y |?2a ，4：化簡得 ，5：檢驗，可能挖點）
2 ? 2 2 ?1
a c ?a
2 2
令 2 2 2
c ?a ?b ，得到焦點在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 x y
2 ? 2 ?1
a b
2
（ c ?b?
||PF1|?|PF2 ||?2a?|F 2 2 2
1F2 |，c ?a ?b ，e? ? 1? ，已知任意兩個量關(guān)系，設(shè) ）
? ? k
a ?a?
3
2
當(dāng) b
PF2 ? x軸時，|PF2 |? a
雙曲線中與漸近線有關(guān)的直角三角形結(jié)論：
結(jié)論：P為雙曲線上任意一點，三角形F1PF2的圓心一定在x?a或x??a上
結(jié)論：P為雙曲線上任意一點，以PF1為直徑的圓心一定與 2 2 2
x ? y ?a 相切.
2 2
若點 x y x0x y0y
P(x0,y0)在雙曲線 上，則過點 的切線方程是 .
2 ? 2 ?1 P 2 ? 2 ?1
a b a b
2 2
共焦點的雙曲線方程設(shè)為： x y 2 2 2
2 ? 2 ?1(a ?m?b ?m? c )
a ?m b ?m
2 2
共漸近線的雙曲線方程設(shè)為： x y
2 ? 2 ??
a b
（二）雙曲線中的焦點三角形
題設(shè)：若|PF1|?m，|PF2 |?n，?F1PF2 ??，結(jié)論：
4
2
2 2 b
2b 2 ?? ? 2b cos? 2 ?
mn? ?[b ,??]， S?PFF
m?n? ?[?b ,??)， 1 2 ?
1?cos? 1?cos? tan 2
證明如下：由余弦定理得：
2 2 2 2 2
(2c) ?m ?n ?2mncos??(m?n) ?2mn(1?cos?)?4a ?2mn(1?cos?)
? ?
2 2 2sin cos 2
2b 1 1 2b sin? 2 b
?mn? S 2 2
?PF1F2 ? mnsin?? ? ?b ? ?
1?cos? 2 2 1?cos? 2? ?
2sin tan
2 2
sin(???)
題設(shè)：焦點三角形PF1F2中，若?PF1F2 ??，?PF2F1 ??，結(jié)論：則離心率e? sin??sin?
2c |F1F2 | 2Rsin? sin? sin(???)
證明如下：e? ? ? ? ?
2a m?n 2Rsin??2Rsin? sin??sin? sin??sin?
（三）雙曲線中的中點弦（點差法或韋達(dá)定理）
2
題設(shè)： b
AB是不平行于對稱軸的弦，P是AB的中點，結(jié)論：kAB?kOP ? 2
a
證明如下：
2
推論1：若 b
A,B關(guān)于原點O對稱，P是雙曲線上異于A,B的任意一點，結(jié)論：kPA?kPB ? 2
a
y2 ? y1 y1?(?y2) y2 ? y1
證明如下：設(shè)P(x1,y1),A(x2,y2)，則B(?x2,?y2)，所以kPA ? ?kPB ? ?
x2 ?x1 x1?(?x2) x2 ?x1
2 2
y ? y
所以 2 1 y2 ? y1 y2 ? y1
kPA?kPB ? ? ? 2 2
x2 ?x1 x2 ?x1 x2 ?x1
5
2 2
?x1 y
? 1
? 2 2 ?1 2 2 2 2 2 2 2
? 2
x ?x
又 a b ? 2 1 y
? 2 ? y1 y
? ? 2 ? y1 b
? 2 2 2 2 0 2 2 ? 2 所以 b
kPA?kPB ? 2
?x2 y2 a b x2 ?x1 a a
? 2 ? 2 ?1
?a b
2
推論2：圖一， b
A,B為漸近線上兩點，P為AB的中點，則kAB?kOP ? 2
a
2
圖二：A,B為漸近線上關(guān)于原點O對稱的兩點， b
P為漸近線上任意一點，則kPA?kPB ? 2
a
圖三：直線與雙曲線和漸近線分別交于A,B,C,D 四點，則AC ? BD
拋物線知識點：
（一）拋物線的圖像與性質(zhì)
p p
定義：平面上到定點F( ,0)的距離與到直線x?? 距離相等的點的集合.
2 2
（求軌跡方法：1:求什么設(shè)什么，設(shè) P(x,y) ，2：找條件，|PF |?|PH | ，3：代入數(shù)據(jù)
p 2 2 p 2
(x? ) ? y ?|x? |，4：化簡得 y ?2px，5：檢驗，可能挖點）
2 2
即得到開口向右的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 2
y ?2px （拋物線的離心率e?1，解拋物線題目多用定義）
2
（二）拋物線 y ?2px焦點弦的結(jié)論：
題設(shè)：過拋物線 2
y ?2px(p ?0)的焦點F 的一條直線AB和此拋物線相交于A,B兩點，結(jié)論：
代數(shù)結(jié)論：
6
2 2
（1） p
x1x2 ? ， y1y2 ??p
4
2
p p ?
（2）| AF |? x1? ， 2p(1 k )
|BF |? x2 ? ，| AB|? x1?x2 ? p，| AB|? 2
2 2 k
★幾何結(jié)論：
p p
（1）| AF |? ，|BF |? ，??(0,?)
1?cos? 1?cos?
2 2p
（2） p
| AF |?|BF |? ，
2 | AB|?| AF |?|BF |? 2
sin ? sin ?
1 1 2 2 2
（3） ? ? （4） 1 p p
S?AOB ? ，S?AF'B ?
| AF | |BF | p 2sin? sin?
pcos? p p
（5）|PF |? 2 |FQ|? 2 |PQ|?
sin ? sin ? sin?
證明如下：
2
p p 2
當(dāng)直線AB斜率不存在時，此時 p
A( ,p)，B( ,?p)，所以x1x2 ? ， y1y2 ??p 成立
2 2 4
p
當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為 y ?k(x? )
2
2
2 ? p(k ?2)
?y ?2px 2 2 ?x1?x2 ? 2
? 2 2 2 k p ?
聯(lián)立 k
? p ?k x ? p(k ?2)x? ? 0?? 2
?y ?k(x? ) 4 ? p
? 2 x
? 1x2 ?
? 4
2
2 2 2 2 p 4 2
y1 y2 ?2px1?2px2 ?4p ?x1x2 ?4p ? ?16p ? y1y2 ??p (y1y2 ?0)
4
2 2 2 2
2 2 ? p(k ?2)? p 2p(1?k )
| AB|? 1?k |x1?x2|? 1?k ? 2 ? ?4? ? 2
? k ? 4 k
pk pk
|? | 2 |? | 2
點O到直線AB的距離為 ， 1 1 2p(1?k ) 2 1 2 1?k
d ? 2 ?
2 S?AOB |AB|?d ? 2 ?
2 p 2
k ?1 2 2 k k ?1 2 k
（三）拋物線中的中點弦（點差法或韋達(dá)定理）
p
★題設(shè)：直線與拋物線交于A,B兩點，D是弦AB的中點，求證：kAB ? yD
7
（四）拋物線中的角平分線
題設(shè)：直線交拋物線 2
y ?2px于點A,B，交x軸于點M ，M 關(guān)于原點的對稱點為N ，
求證：?ANO ??BNO,?PMN ??BMN
證明如下：
★直線與圓錐曲線相交的弦長問題
直線 y ?kx?m與橢圓相交于兩點A,B，弦長| AB|的公式推導(dǎo)如下：
2 2 2 2 2 2 ?
| AB|? (x1?x2) ?(y1?y2) ? (x1?x2) ?(kx1?kx2) ? 1?k |x1?x2|?( 1?k ? )
a
2 2 y1?m y2 ?m 2 2 1
| AB|? (x1?x2) ?(y1?y2) ? ( ? ) ?(y1?y2) ? 1? 2| y1?y2|
k k k
|x1?x2 | | y1? y2 |
| AB|? ?
cos? sin?
8
圓錐曲線其它結(jié)論：
橢圓結(jié)論：
1、橢圓中，點P處的切線PT 平分?PF1F 在點P處的外角
2、橢圓中，以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切
2 2
3、橢圓 x y 的焦半徑公式 ? ? ? ?
2 ? 2 ?1 |MF1| a ex0,|MF2 | a ex0
a b
4、過橢圓一個焦點F 的直線與橢圓交于兩點P,Q, A1,A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于
點M ，A2P和A1Q交于點N ，則MF ? NF .
2 2 2 2
5、若 x y
P 0 0 0 0
0(x0,y0)在橢圓 內(nèi)，則被 所平分的中點弦的方程是 x x y y x y ；
2 ? 2 ?1 P0 2 ? 2 ? 2 ? 2
a b a b a b
2 2 2 2
6、若 x y
P0(x0,y0)在橢圓 內(nèi)，則過 的弦中點的軌跡方程是 x y x0x y0y ；
2 ? 2 ?1 P0 2 ? 2 ? 2 ? 2
a b a b a b
2 2
7、橢圓 x y 的兩個頂點為
2 ? 2 ?1 A1(?a,0),A2(a,0)，與 y軸平行的直線交橢圓于P1,P2時A1P1與
a b
2 2
x y
A2P交點的軌跡方程是 2 ? 2 ?1.
a b
2 2
8、過橢圓 x y 上任一點 任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于 兩點，則
2 ? 2 ?1 A(x0,y0) B,C
a b
2
b x0
kBC ? 2 （常數(shù)）.
a y0
2 2
9、若P為橢圓 x y 上異于長軸端點的任一點 是焦點 ? ?? ? ??，
2 ? 2 ?1 ,F1,F2 , PF1F2 , PF2F1
a b
a?c ? ?
則 ? tan cot .
a?c 2 2
2 2
10、設(shè)橢圓 x y 的兩個焦點為 （異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在 中，
2 ? 2 ?1 F1,F2,P ?PF1F2
a b
sin? c
記?F1PF2 ??, ?PF1F2 ??,?F1F2P??，則有 ? ?e.
sin??sin? a
2 2
x y
11 、 P 為 橢 圓 上 任 一 點 為 二 焦 點 ， 為 橢 圓 內(nèi) 一 定 點 ， 則
2 ? 2 ?1 , F1,F2 A
a b
2a?| AF2|?|PA|?|PF1|?2a?| AF1|,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點共線時，等號成立.
2 2
(x?x ) (y? y )
12 、 橢 圓 0 0 與 直 線 有 公 共 點 的 充 要 條 件 是
2 ? 2 ?1 Ax? By?C ? 0
a b
2 2 2 2 2
A a ? B b ? (Ax0 ? By0 ?C) .
2 2
13、已知橢圓 x y ， 為坐標(biāo)原點， 為橢圓上兩動點，且
2 ? 2 ?1 O P,Q OP ?OQ.
a b
1 1 1 1 2 2
2 2
（1） 4a b
2 ? 2 ? 2 ? 2 ；（2） OP ? OQ 的最大值為 ；
|OP| |OQ| a b 2 2
a ?b
2 2
（ a b
3）S?OPQ的最小值是 2 2 .
a ?b
9
2 2
14、過橢圓 x y 的右焦點 作直線交該橢圓右支于 兩點，弦 的垂直平分線交 軸
2 ? 2 ?1 F M,N MN x
a b
|PF | e
于P，則 ? .
|MN | 2
2 2
15 、 設(shè) x y
A,B 是 橢 圓 的 長 軸 兩 端 點 ， 是 橢 圓 上 的 一 點 ，
2 ? 2 ?1 P ?PAB ??,
a b
?PBA??,?BPA??，c,e分別是橢圓的半焦距離心率，則有
2 2 2
2ab |cos?| 2a b 1
（1） 2
|PA|? 2 2 2 ； （2）tan?tan??1?e ； （3）S?PAB ? 2 2 ?
a ?c cos ? b ?a tan?
16、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線
必與切線垂直.
雙曲線結(jié)論：
1、雙曲線中，點P處的切線PT 平分?PF1F2在點P處的內(nèi)角.
2、以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）
2 2
x y
3、雙曲線 的焦半徑公式：
2 ? 2 ?1
a b
當(dāng)M(x0,y0)在右支上時，|MF1|?ex0 ?a,|MF2 |?ex0 ?a；
當(dāng)M(x0,y0)在左支上時，|MF1|??ex0 ?a,|MF2 |??ex0 ?a
4、設(shè)過雙曲線焦點F 作直線與雙曲線相交P,Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ
分別交相應(yīng)于焦點F 的雙曲線準(zhǔn)線于M,N 兩點，則MF ? NF .
5、過雙曲線一個焦點F 的直線與雙曲線交于兩點P,Q, A1,A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q
交于點M ，A2P和A1Q交于點N ，則MF ? NF .
2 2 2 2
6、若 x y
P0(x0,y0)在雙曲線 2 ? 2 ?1內(nèi)，則被P0所平分的中點弦的方程是 x0x y0y x0 y0
2 ? 2 ? 2 ? 2 .
a b a b a b
2 2 2 2
7、若 x y x y x
P 0x y0y
0(x0,y0)在雙曲線 內(nèi)，則過 的弦中點的軌跡方程是
2 ? 2 ?1 P0 2 ? 2 ? 2 ? 2 .
a b a b a b
2 2
8、雙曲線 x y 兩個頂點為 ? ，與 y軸平行的直線交雙曲線于 時，
2 ? 2 ?1 A1( a,0),A2(a,0) P1,P2
a b
2 2
x y
A1P1與A2P2交點的軌跡方程是 2 ? 2 ?1.
a b
2 2
9、過雙曲線 x y 上任一點 任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于 兩點，則
2 ? 2 ?1 A(x0,y0) B,C
a b
2
b x0
kBC ?? 2 （常數(shù)）.
a y0
10
2 2
10、若P 為雙曲線 x y
2 ? 2 ?1右（或左）支上除頂點外的任一點,F1,F2 是焦點, ?PF1F2 ??,
a b
c?a ? ? c?a ? ?
?PF2F1 ??，則 ? tan cot （或 ? tan cot ）.
c?a 2 2 c?a 2 2
2 2
11、設(shè)雙曲線 x y 的兩個焦點為 ， （異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在?
2 ? 2 ?1 F1,F2 P PF1F2
a b
sin? c
中，記?F1PF2 ??, ?PF1F2 ??,?F1F2P??，則有 ? ?e.
?(sin??sin?) a
2 2
12、 P 為雙曲線 x y
2 ? 2 ?1 上任一點, F1,F2 為二焦點， A 為雙曲線內(nèi)一定點，則
a b
| AF2 |?2a?|PA|?|PF1| ,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點共線且P和A,F2在 y軸同側(cè)時，等號成立.
2 2
13、雙曲線 x y 與直線 有公共點的充要條件是 2 2 2 2 2
2 ? 2 ?1 Ax? By?C ? 0 A a ?B b ?C .
a b
2 2
14、已知雙曲線 x y
2 ? 2 ?1（b?a ?0），O為坐標(biāo)原點，P,Q為雙曲線上兩動點，且OP ?OQ.
a b
1 1 1 1 2 2
2 2
（1） 4a b
2 ? 2 ? 2 ? 2 ; （2）| OP ? OQ 的最小值為 ;
|OP| |OQ| a b 2 2
b ?a
2 2
（3）S?OPQ的最小值是 a b
2 2 .
b ?a
2 2
x y
15、過雙曲線 2 ? 2 ?1的右焦點F 作直線交該雙曲線的右支于M,N 兩點，MN 的垂直平分線
a b
|PF | e
交x軸于P，則 ? .
|MN | 2
2 2
16、已知雙曲線 x y
2 ? 2 ?1, A,B是雙曲線上的兩點，線段 AB 的垂直平分線與 x 軸相交于點
a b
2 2 2 2
a ?b a ?b
P(x0,0), 則x0 ? 或x0 ?? .
a a
2 2
17、設(shè) x y
A,B 是雙曲線 的長軸兩端點， 是雙曲線上的一點，
2 ? 2 ?1 P ?PAB ??,
a b
?PBA??,?BPA??，c,e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有
2 2 2
2ab |cos?| 2 2a b
(1)|PA|? 2 2 2 (2) tan?tan??1?e (3) S?PAB ? 2 2 cot?
|a ?c cos ?| b ?a
18、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的
連線必與切線垂直.
19、雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).
(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點).
11
拋物線中與焦點弦有關(guān)的幾何關(guān)系結(jié)論：
2 2
1、以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線 p
l相切，切點為C' 2、x1x2 ? ， y1y2 ??p
4
0 0 1 1
3、?AC'B?90 ，?A'FB'?90 ，C'C ? AB ，C'F ? A'B'
2 2
4、A,O,B'三點共線，A',O,B三點共線
2 2
p 2p (S ) p 3
5、 1 p ?AOB
| AB|? x1?x2 ? p ?2(x3? )? 2 ，S?AOB ? ， ?( )
2 sin ? 2sin? | AB| 2
6、BC'垂直平分B'F，AC'垂直平分A'F，C'F ? AB
p y
? ? 1 y2
kAB ?
7、 y3 x1 p
x2 ? 2
2
8、| A'B'| ?4| AF |?|BF |
拋物線中與焦點弦和切線有關(guān)的結(jié)論：
p
1、過拋物線焦點弦兩端點作拋物線的切線，兩切線交點一定在準(zhǔn)線上；當(dāng)AB ? x軸時，P(? ,0)
2
2、切線交點與弦中點的連線平行于對稱軸
3、弦AB不過焦點，即切線交點P不在準(zhǔn)線上時，切線交點與弦中點的連線也平行于對稱軸
4、過拋物線準(zhǔn)線上任意一點作拋物線的切線，則過兩切點的弦必過焦點
12
AB是拋物線 2
y ?2px的焦點弦，Q是AB的中點，過A,B的切線交于點P，PQ與拋物線交于
點M ，則有：
1、PA?PB，PF ? AB
2、M 是PQ的中點
3、AP平分?A'AF ，BP平分?B'BF
4、 2
|FA|?|FB|?|PF |
2
5、(S?PAB)min ? p
當(dāng)弦AB不過焦點， 切線交于P點時，也有與上述結(jié)論類似的結(jié)果
【基礎(chǔ)典例分析】
2 2
例：已知 x y
A,B是橢圓 2 ? 2 ?1?a?b?0?長軸的兩個端點，M 、N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩
a b
點，直線AM 、BN 的斜率分別為 3
k1,k2?k1k2 ?0?，若橢圓離心率為 ，則 k1 ? k2 最小值為（ ）
2
3
(A)1 (B) 2 (C) (D) 3
2
【高考真題研究】
（2017全國卷Ⅰ理10）已知F 為拋物線 2
C：y ?4x的焦點，過點F 作兩條互相垂直的直線l1，l2，
直線l1與C 交于A，B兩點，直線l2與C 交于D，E兩點，則 AB ? DE 的最小值為（ ）
(A)16 (B)14 (C)12 (D)10
2 2
x y
（2017全國卷Ⅰ理15）已知雙曲線C: 2 ? 2 ?1?a ?0,b ?0?的右頂點為A，以A為圓心，b 為
a b
半徑作圓A，圓A與雙曲線C 的一條漸近線交于M ，N 兩點，若 0
?MAN ?60 ，則C 的離心
率為________
13

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