資源簡介

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)
(
第
1
頁
)
一
長方體和正方體
一、長方體的認識
認識長方體的面、棱、頂點。
(1)從不同的角度觀察同一個長方體。
把長方體放在桌面上,無論從哪個角度觀察,最．多．只．
能．同．時．觀．察．到．長．方．體．的．三．個．面．。．
(2)長方體的棱和頂點。
長方體兩個面相交的線叫作長方體的棱,三條棱相
交的點叫作長方體的頂點。
長方體的特征。
長方體是由
6
個長方形(也可能有
2
個相對的面是
正方形)圍成的立體圖形,它有
6
個面、12
條棱和
8
個頂點。在一個長方體中,相對的面完全相同,相對的棱長度相等。
長方體長、寬、高的含義。
長．方．體．相．交．于．同．一．頂．點．的．三．條．棱．的．長．度．．,分．別．叫．作．它．的．長．、．寬．、．高．。．
長方體的長、寬、高不是固定不變的,它與長方體
的擺放方式有關。長方體相交于同一頂點的三條棱中,
通常把水平方向的兩條棱分別叫作它的長和寬,把豎直
方向的一條棱叫作它的高。
二、正方體的認識
正方體也叫立方體。它是由
6
個完全相同的正方
形圍成的立體圖形。它的6
個面是完全相同的正方形,12
條棱的長度都相等,有
8
個頂點。
正方體的長、寬、高相等,都叫正方體的棱長。
長方體和正方體的特征的異同。
①相同點:都有
6
個面、12
條棱、8
個頂點,相對的面完全相同,相對的棱長度相等。
②不同點:長方體的
6
個面都是長方形(也可能有
2
個相對的面是正方形);一般情況下,棱有3
組,每組4
條棱長度相等。正方體的
6
個面是完全相同的正方形;每條棱的長度都相等。
三、正方體、長方體的展開圖
把一個正方體沿一條棱剪開,如下圖所示。
正方體的展開圖是由
6
個完全相同的正方形組成
的,可以通過觀察、折疊找到
3
組相對的面。
沿長方體的棱把長方體剪開,展開圖中有
3
組相對的面,相．對．的．面．完．全．相．同．．,相．對．的．面．完．全．隔．開．。．
易錯點:誤認為一個長方體中最多有
4
條相等的棱。這是錯誤的,
一定要注意長方體的
6
個面不一
定都是長方形,也可能有
2
個相對
的面是正方形。當長方體有
2
個相
對的面是正方形時,就有
8
條棱長度相等。
直觀圖中的實線表示從某個角度能夠看到的棱,虛線表示看不到的棱。
長方體
12
條棱的長度和叫作長方體的棱長總和。長方體的棱長總和=(長+寬+高)×4。
易錯點:誤認為有
6
個面、12
條棱、8
個頂點的立體圖形不是長方體就是正方體。這是不正確的,
一定要注意有
6
個面、12
條棱、8
個頂點并不代表它就是長方體或正方體,要看它是否具備長方體或正方體的所有特征,如下圖,這個立體圖形既不是長方體,也不是正方體。
正方體的棱長總和:棱長×12。正方體具有長方體的一切特
征,正方體是特殊的長方體。
同一個立體圖形,沿不同的棱剪開,得到的展開圖不同。
技巧:
正方體有
6
個相同的面,可以
通過觀察、折疊找到
3
組相對的面。
長方體有
3
組相對的面,可以通過看是否完全隔開,完全隔開的一組面就是相對的兩個面。
沿著正方體(或長方體)的棱將它剪開,可以把正方
體(或長方體)展開成一個平面圖形,這個平面圖形就是正方體(或長方體)的展開圖。在展開圖中,正方體的
6
個面完全相同(長方體相對的面完全相同),相對的面完全隔開。
四、長方體和正方體表面積的意義及計算方法
1.表面積的意義:長．方．體．．(或．正．方．體．．)6．個．面．的．總．面．積．．,叫．作．它．的．表．面．積．。．
2.長方體和正方體表面積的計算方法。
(1)長．方．體．的．表．面．積．=．長．×．寬．×．2．+．長．×．高．×．2．+．寬．×．高．
×．2．=．．(長．×．寬．+．長．×．高．+．寬．×．高．．)×．2．。．
如果用
S
表示長方體的表面積,用
a、b、h
分別表示長方體的長、寬、高,那么長方體表面積的計算公式是S=2ab+2ah+2bh
或
S=(ab+ah+bh)×2。
(2)正．方．體．的．表．面．積．=．棱．長．×．棱．長．×．6．。．
如果用
S
表示正方體的表面積,用
a
表示棱長,那么正方體表面積的計算公式是
S=6a2。
五、運用長方體和正方體表面積的計算方法解決實
際問題
求長方體和正方體物體的表面積時,最關鍵的是
要根據實際情況確定好求幾個面的面積和。
在實際生活中,并不是所有長方體形狀的物體都有
6
個面,如長方體的魚缸只有
5
個面,通風管只有
4
個面。因此,在計算時要根據實際情況解題。
六、體積和容積的意義
物．體．所．占．空．間．的．大．?。校鳎铮w．的．體．積．。．
能盛裝其他物體的都可以稱為容器,不能盛裝其
他物體的都不是容器。
容．器．所．能．容．納．物．體．的．體．積．叫．作．容．器．的．容．積．。．
有容積的物體一定有體積,但有體積的物體不一
定有容積。
七、體積單位
當所求的長方體的表面積是
6
個面的面積時,先分別求出每組相對的面中一個面的面積,相加后再乘
2
較簡便。
舉例:大廳里有
8
根高為
5
米的方柱需要涂油漆,方柱的橫截面是邊長為0.5
米的正方形,若1
千克油漆可以涂
5
平方米,則涂這
8
根方柱需要多少千克油漆?
錯
解
:(0.5×0.5×2+0.5×5×4)×8÷5×1=
16.8(千克)
答:涂這
8
根方柱需要
16.8
千克油漆。
正解:0.5×5×4×8÷5×1=16(千
克)
答:涂這
8
根方柱需要
16
千克油漆。
一個容器容積的大小與它所能盛裝物體的多少有關。因為容器都有一定的厚度,所以一個容器的體積一般大于它的容積。
棱長是
1
厘米的正方體,體積是
1
立方厘米。
棱長是
1
分米的正方體,體積是
1
立方分米。
棱長是
1
米的正方體,體積是
1
立方米。
(
．
．
．
)4.常．用．的．體．積．單．位．有．立．方．厘．米．、．立．方．分．米．和．立．方．米．．,用．字．母．表．示．分．別．是．c．m3．、．d．m3．和．m3．。．
八、容積單位
并不是只有棱長是
1
cm、1
dm、1
m
的正方體的體積才是
1
cm3、1
dm3
和1
m3。
容積單位的使用方法。
計量容積,一般就用體積單位。計量液體的體積,如
水、油等,通常用升或毫升作單位。升和毫升,用字母表
示分別為
L
和
mL,其中
1
L=1000
mL。
容積單位的換算。
1．d．m3．=．1．L．
1．c．m3．=．1．m．L．
易錯點:誤認為容積就是體積,
這是不對的,一定要注意“容積”與
“體積”的不同。如一本書有體積,
卻沒有容積。
．
．
較大容器盛裝液體時用“升”作
高級單位向低級單位轉換用乘法計算;低級單位向
高級單位轉換用除法計算。
“容積”與“體積”的區別。(1)意義不同。
體積是指物體所占空間的大小,而容積是指容器所
能容納物體的體積。一個物體有體積,但它不一定有容
積。
測量方法不同。
求物體的體積是從物體的外面測量它的長、寬、高進行計算,而求物體的容積則必須從里面來測量它的長、
寬、高,然后計算。因此,對于同一個物體,一般來說,它的容積要比體積小。
單位名稱不完全相同。
體積單位一般用立方米、立方分米、立方厘米。固
體、氣體的容積單位與體積單位相同,而液體的容積單位
一般用升、毫升。
九、長方體體積公式的推導
以取
12
個
1
立方厘米的小正方體,擺出不同形狀的長方體為例,如下圖:
每個小正方體的體積是
1
立方厘米,每個長方體是
由
12
個小正方體擺成的,所以每個長方體的體積都是
12
立方厘米。
單位,較小容器盛裝液體時用“毫升”
作單位。
巧記:
體積單位常用到,相鄰進率是1000。
高級單位化低級,要把此數乘1000。
低級單位化高級,除以
1000
把數算。
轉換過程要細心,掌握進率是關鍵。
明確擺成不同形狀長方體的長、寬、高分別是多少。
1
立方厘米的小正方體的邊長
是
1
厘米。長方體的長、寬、高由幾個小正方體擺成,它的長、寬、高就分別是幾厘米,它的體積正好等于擺成長方體所需小正方體的個數。
(
長
/cm
寬
/cm
高
/cm
小正方體的個數
體積
/cm
3
長方體①
12
1
1
12
12
長方體②
6
2
1
12
12
長方體③
4
3
1
12
12
長方
體④
3
2
2
12
12
)填寫表格。
3.(1)在擺成的長方體中,每排小正方體的個數相當于長方體的長;排數相當于長方體的寬;層數相當于長方
體的高。
(2)長方體所含小正方體(體積單位)的個數正好等
于長方體長、寬、高的乘積。
4.長方體體積公式的字母表達式。
如果用
V
表示長方體的體積,用
a、b、h
分別表示長方體的長、寬、高,那么長方體的體積公式可以寫成V=abh。
舉例:如果一個長方體的長、寬、高都擴大到原來的
2
倍,那么
它的體積就擴大到原來的
23
倍,即
(
2
)8
倍;反之,如果一個長方體的長、寬、高都縮小到原來的1,那么它的
體積就縮小到原來的
1
,即1。
23
8
長．方．體．的．體．積．=．長．×．寬．×．高．．,字．母．公．式．為．V．=．a．b．h．。．
5.拓展提高。
(
n
)當長方體的長、寬、高都擴大到原來的
n
倍時,它的體積就擴大到原來的
n3(n×n×n=n3)倍;當長方體的長、寬、高都縮小到原來的1時,它的體積就縮小到原來
a·a·a
也可以寫成“a3”,即a·a·a=a3,讀作“a
的立方”,表示
3
個a
相乘。因此,正方體的體積公式一般寫成
V=a3。寫
a3
時,“3”要寫在
a
的右上角,且要略小一些。
舉例:如果一個正方體的棱長
(
1
n
3
)擴大到原來的
2
倍,那么它的體積
的
1
1
×
1
×
1
=
。
n3
n
n
n
十、正方體體積公式的推導
長方體的體積=長
×
寬
×
高
↓
↓
↓
正．方．體．的．體．積．=．棱．長．×．棱．長．×．棱．長．
2.正方體體積的字母公式。
如果用
V
表示正方體的體積,用
a
表示正方體的棱
長,那么正方體體積的字母公式可以寫成
V．=．a．．·a．．·a．=．a3．。
就擴大到原來的
8
倍;反之,如果一個正方體的棱長縮小到原來的1,那么它的體積就縮小到原來的1。
(
2
)
(
8
)在有些實際問題中,也可以用“橫截面的面積×長”來計算體積。
．
．
3.拓展提高。
(
n
)當正方體的棱長擴大到原來的
n
倍時,它的體積就擴大到原來的
n3
倍;當正方體的棱長縮小到原來的1時,
(
n
3
)它的體積就縮小到原來的
1
。
十一、運用體積公式解決實際問題
如果長方體和正方體體積公式中的已知條件都具
備,那么可直接利用公式計算體積。
十二、長方體和正方體體積的通用公式
1.長方體和正方體底面積的意義。
長方體和正方體無論怎樣放置,總有一個面與平面接觸,通常把這個面叫作底面。長．方．體．和．正．方．體．底．面．的．面．
積．．,叫．作．它．們．的．底．面．積．。．
長方體和正方體底面積的計算方法。
長方體的底面積=長×寬。
(2)正方體的底面積=棱長×棱長。
長方體和正方體體積公式的推導。
(
棱長
)長方體的體積
=
長×
寬×
高
↓
↓
底面積高
長方體(或正
正方體的體積
=
棱長
×
棱長
×
↓↓
底面積可看作高方體)的體積=底面積×高
長．方．體．．(或．正．方．體．．)的．體．積．=．底．面．積．×．高．。．如果用
V
表
示體積,S
表示底面積,h
表示高,那么長方體(或正方體)
的體積公式可以寫成
V=Sh。
十三、容積的計算方法
長方體或正方體物體容積的計算方法與體積的計算方法相同,知道長、寬、高或棱長,即可根據體積公
式求出物體的容積。
體積和容積的區別與聯系。(1)不同點。
①意義不同。
Ⅰ.物體所占空間的大小叫作物體的體積。
Ⅱ.容器所能容納物體的體積叫作容器的容積。
②測量方法不同。
Ⅰ.求物體的體積是從物體的外部來測量長、寬、高
或棱長。
運用通用公式進行計算時,一定要注意單位的統一。如一個長方體的底面積是
8
平方厘米,高是
3
分米,求體積。
錯解:8×3=24(立方厘米)
正解:3
分米=30
厘
米,8×30=240(立方厘米)
計算體積從外面測量長、寬、高;計算容積從里面測量長、寬、高。有的物體既有體積,也有容積,
如箱子、油桶、瓶子等。有的物體有體積,卻沒有容積,如石頭、木頭這類實心的物體。既有體積又有容積的物體,它的體積一定大于它的容積。只有在容器厚度忽略不計的情況下,容積才可以看作與體積相等。
巧記:
容積、體積孿兄弟,只是度量不統一。
容積心中裝物體,體積只想占空間。
容積尺寸從里測,體積尺寸從外量。
記住二者不同處,計算才能少失誤。
(
Ⅱ.求物體的容積是從容器的內部來測量長、寬、高
或
棱長。
③單位名稱不完全相同。
Ⅰ.體積單位一般用立方米、立方分米、立方厘米。
Ⅱ.容積一般用體積單位,但在計量液體(如藥水、汽
油等)的體積時,常用升或毫升作單位。
(2)相同點。
計算公式相同。長方體(或正方體)的體積(或容積)=
底
面積×高。
)
二
分
數
乘
法
一、分數與整數相乘的意義和計算方法
整數乘法的意義。
求幾個相同加數的和的簡便運算。
(1)分數乘整數的意義與整數乘法的意義相同,都
是求．幾．個．相．同．加．數．的．和．的．簡．便．運．算．。．
分數與整數相乘的計算方法:用．分．數．的．分．子．和．整．
數．相．乘．的．積．作．分．子．．,分．母．不．變．。．能．約．分．的．要．先．約．分．．,再．計．算．。．
二、求一個數的幾分之幾是多少
1.求．一．個．數．的．幾．分．之．幾．是．多．少．．,用．乘．法．計．算．。．
(
2
)2.求一個數的幾倍與求一個數的幾分之幾實質上是相同的,它們都表示兩個數的倍比關系。只是在用整數或
小數表示這種倍比關系時,要說成一個數是另一個數的幾倍,而在用分數表示時,要說成一個數是另一個數的幾分之幾。如一個數的
1.5
倍,也可以表示為一個數的3。因此,求一個數的幾倍是多少與求一個數的幾分之幾是
多少都可以用乘法計算。
三、分數乘分數的意義和計算方法
1.分數乘分數的意義就是求一個數的幾分之幾是多
少。
2.分．數．和．分．數．相．乘．．,用．分．子．相．乘．的．積．作．分．子．．,分．母．相．
巧記:
分數乘整數,計算很簡單;
分子乘整數,分母不用變;
計算想簡便,約分要在先;
結果要想準,分數化最簡。
在解決求一個數的幾分之幾是多少的實際問題時,關鍵是要弄清哪個量是單位“1”。
當相乘的兩個分數的分子和分母能夠約分時,可以先約分,再計算。
找準每步計算的單位“1”是解答連續求一個數的幾分之幾是多少的實際問題的關鍵。
易錯點:比較積與第一個因數
乘．的．積．作．分．母．。．能．約．分．的．要．先．約．分．．,再．計．算．。．
3.整數可以看成分母是1
的分數,所以分數與整數相乘,也可以看成是分數與分數相乘,即分數與分數相乘的計算方法適用于分數與整數相乘。
四、連續求一個數的幾分之幾是多少的解題方法及
分數連乘的計算方法
連續求一個數的幾分之幾是多少的解題方法:先
求出中間的間接量,再求出最后要求的量。
分數連乘的計算方法:分子和分子相乘的積作分子,分母和分母相乘的積作分母。能約分的要先約分,再
計算。
五、積與因數的大小關系積與因數的大小關系:
a×b=c(a
不為
0),當
b>1
時,c>a;當
b<1
時,cb=1
時,c=a。
六、倒數的意義1.意義。
乘．積．是．1．的．兩．個．數．互．為．倒．數．。．
2.理解“互為倒數”。
“互為倒數”是對兩個數來說的,它們是相互依存的,
不能單獨說某個數是倒數。
七、求倒數的方法
觀察互為倒數的兩個數的分子、分母的特點,發現
互為倒數的兩個數,它們分子、分母的位置是互換的。
求一個數的倒數的方法。
求真分數、假分數的倒數,可以直．接．調．換．這．個．分．
的大小只考慮按第二個因數的大小進行判斷,這是不對的,一定要注意前提條件是“第一個因數”不能為
0。
單獨一個數不能稱為倒數。因為互為倒數的兩個數是相互依存的。
(
7
)
(
7
3
7
3
)注意:互為倒數的兩個數不能用等號連接,即把一個數和它的倒數不能表示成相等關系。例如:求3
的倒數?？蓪懗?→7或3的倒數是7,
而不能寫成3=7。
7
3
數．的．分．子．、．分．母．的．位．置．。．
3
7
7
3
3
2
2
3
求一個整數(0
除外)的倒數,先把整數看作分母是1
的假分數,再調換這個分數分子、分母的位置。
求小數的倒數,先把小數化成最簡分數,再調換分
子、分母的位置,也可以根據倒數的意義來找。
(
5
)
(
4
)例如:0.8
4
5,所以
0.8
的倒數是5,或
0.8×1.25=1,所以
0.8
的倒數是
1.25。
巧記:
學．習．倒．數．需．牢．記．．,相．互．關．系．不．可．棄．。．
兩數相乘積為“1”,
4
求帶分數的倒數,先把帶分數化成假分數,再調換
．．．．．．．．．
子．母．顛．倒．即．完．畢．。．
(
因為
0
與任何數相乘都得
0
,沒有一個數與
0
相乘的積是
1,所以
0
沒有倒數。
16
3.特殊數的倒數。
(1
)
1
．
的
．
倒
．
數
．
是
．
1
．
。
．
因為
1×1=1
,所以
1
的倒數是
1。
(2
)
0
．
沒
．
有
．
倒
．
數
．
。
．
3
5
1
的倒數是
3
。
分子、分母的位置。
)
三
分
數
除
法
一、分數除以整數和一個數除以分數的計算方
法
分數除以整數的計算方法。
整數除法的意義:已知兩個因數的積和其中一個
因數,求另一個因數的運算。
分數除法的意義與整數除法的意義相同,都是已知兩個因數的積和其中一個因數,求另一個因數的運算。
(3)分．數．除．以．整．數．．(0．除．外．．)．,等．于．分．數．乘．這．個．整．數．的．倒．數．。．
整數除以分數的計算方法。
把除法轉化為乘法,是由一種形式變換成另一種形式,而其本身的大小不變。
易錯點:在進行計算時,把除號
變為乘號后忘記變為除數的倒數。如4÷2=4×2=
8
,應為4÷2=4×5=2。
整．數．除．以．分．數．．,等．于．整．數．乘．這．個．分．數．的．倒．數．。．
分數除以分數的計算方法。
分數除以分數,可以用被除數乘除數的倒數來計算。4.推導分數除法的計算方法。
5
5
5
舉
5
25
5
5
5
2
利用商不變的規律進行推導。
例
:7÷14=
7
×
15
÷
14
×
15
=5÷1=5
被除數和除數同時乘除數的倒數,讓除數變為
1。
9
15
9
14
15
14
6
6
利用等式的基本性質進行推導。5.分數除法的計算方法。
甲．數．除．以．乙．數．．(0．除．外．．)．,等．于．甲．數．乘．乙．數．的．倒．數．。．
6.商與被除數的大小關系。
小于
1
的數→商大于被除數
被除數(0
除外)與商的大小關系取決于除數與
1
的大小關系。
技巧:
找出單位“1”的量。
一個數(0
除外)除以
1→商等于被除數
大于
1
的數→商小于被除數
看誰和單位“1”的量相比,找出比較量和比較量對應的幾分之幾。
(
3
,所以
16
16
3
3
例如:5
1
)二、“已知一個數的幾分之幾是多少,求這個數”的解
題方法
已知一個數的幾分之幾是多少,求這個數,是把這
個數看作單位“1”,單位“1”的量是未知的,可以設單位“1”
注意:有時一道題中的單位“1”
不止一個,有兩個或多個。一個數量在某一個條件中是單位“1”,在另一個條件中有可能就不是單位“1”,
的量為
x,根據乘法的意義列方程解答。
可以用算術法解答“已知一個數的幾分之幾是多少,求這個數”的應用題。算術解法和方程解法都要根據
數量之間的相等關系來列式。
(
應用題類型
結構特征
計算方法
單位“1”
比較量
比較量
對
應
的幾分
之幾
求一個數的幾分之幾
是多少
已知
未知
已知
乘法:單位“1”的量×
幾分之幾
=比較量
求一個數是另一個數的幾分
之幾
已知
已知
未知
除法:比較量÷單位“1”的量=
幾分之幾
已知一個數的幾分之幾是多少,求這個數
未知
已知
已知
除法:比較量÷幾分之幾=單位“1”的量方程:單位“1”的量×
幾分之幾
=比較量
)比較分數乘法應用題與分數除法應用題的異同:
三、分數連除和乘除混合運算1.乘除混合運算的計算方法。
計算分數乘除混合運算時,先把其中的除法轉化為
乘法,再按照分數連乘的方法進行計算。
2.連除運算的計算方法。
計．算．分．數．連．除．時．．,先．把．其．中．的．除．法．轉．化．為．乘．法．．,再．按．照．分．數．連．乘．的．方．法．進．行．計．算．。．
四、比的意義
比的意義及各部分名稱。
(1)比的意義:兩．個．數．相．除．又．叫．作．兩．個．數．的．比．。．
(2)比的讀、寫方法。
(
2
)“比”可以用比號“∶”來代替,也可以寫成分數的形式,
兩種形式的比都讀“幾比幾”。如
3
比
2,寫作
3∶2
或3,讀
作3
比
2。
(3)比的各部分名稱。
解題時要認真比較,找準幾分之幾對應的單位“1”,才能正確解答。
巧記:
解決問題并不難,讀懂題意最關鍵。
重點找準單位“1”,畫出線段破難關。
根據等量列方程,解答完畢要檢驗。
注意:計算分數連除時,一定要連續地乘除數的倒數,不要只把第一個除數變成它的倒數,其他除數只變符號不變數。
兩個數的比可以表示兩個數之間的倍數關系。如果汁有
2
杯,牛奶有
3
杯,果汁與牛奶杯數的
比是
2
比
3,可以理解為果汁有
2
(
3
)份,牛奶有
3
份;也可以理解為果汁的杯數相當于牛奶的2,牛奶的杯
(
2
)數相當于果汁的3。
兩個數的比可以表示兩個數相除。
舉例:魚缸里有
3
條紅金魚,5
條黑金魚,黑金魚和紅金魚的數量比
是
(
)
。
錯解:3∶5
正解:5∶3
(
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)
第9頁
比值是一個數,它可以是分數、小數或整數。
(
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)
(
第
14
頁
)
(4)比是有序的。
求一個量和另一個量的比,則前一個量是比的前項,
后一個量是比的后項。
比值的意義和求法。
(1)比值的意義:比的前項除以后項所得的商。(2)求比值的方法:用．比．的．前．項．除．以．后．項．。．
比和比值的聯系與區別。
比和比值的聯系:都可以用分數形式表示。
(
b
)比和比值的區別:①比表示兩個數的倍比關系,比值是一個數值;②比只能寫成
a∶b
或a的形式,而比值可以
注意:求兩個不同單位的同類量的比,要先把單位統一。如小明看一本漫畫書用了
1
小時,小東看
同一本漫畫書用了
43
分鐘,小明和小東所用的時間比是(
)。
錯
解
:1∶43
正解:60∶43
因．為．除．數．和．分．母．都．不．能．為．0．．,所．以．比．的．后．項．也．不．能．為．0．。．
是分數、小數或整數。
比與分數、除法的關系。
聯系:比的前項相當于分子、被除數;比號相當于分
數線、除號;比的后項相當于分母、除數;比值相當于分
數值、商。
區別:比是一種關系;分數是一類數;除法是一種運
算。
比與除法、分數之間的區別。
意義不同:比是表示兩個量(或數)的一種關系;除
法是一種運算;分數則是一類數。
表示方法不同:作為一種運算,除法算式不能用分
數表示;比可以用分數表示;分數不一定表示兩個量的
比。
結果表達不同:除法一般要求出商;比只有要求計
算時才求出比值;分數本身就是一個數值,無需計算。
反比:把一個比的前項作為后項,后項作為前項,所得的比和原來的比互成反比。如
3∶5
是
5∶3
的反比,5∶3也是
3∶5
的反比。互成反比的兩個比的比值互為倒數。
7.復比:把兩個(或兩個以上)比的前項相乘的積作為
前項,后項相乘的積作為后項,所成的比叫作這些比的復比。如甲、乙兩人的速度比是
3∶4,時間比是
5∶6,那么他們所行的路程比就是(3×5)∶(4×6)=5∶8,路程比就是速度比和時間比的復比。復比的比值等于組成它的各個單比
比值的乘積。
8.連比:三個(或三個以上)量組成的比叫作連比。如果甲與乙的比是
a∶b,乙與丙的比是
b∶c,那么甲、乙、丙三個量的比可以寫作
a∶b∶c,a∶b∶c
就叫作甲、乙、丙三
知識巧記:
比的意義很重要,記憶方法有訣竅。
兩數相除即為比,除號變點挺奇妙。
前項后項和比值,位置順序不能調。
分數除法比相聯,相互關系要記牢。
個量的連比?？梢园褞讉€比組成連比,也可以把連比分成
幾個比。比可以看作比的前項除以后項,但是連比不能看
作組成連比的幾個數連除。連比與連除的含義是不同的。
五、比的基本性質1.比的基本性質。
比．的．前．項．和．后．項．同．時．乘．或．除．以．相．同．的．數．．(0．除．外．．)．,比．值．不．變．。．這．是．比．的．基．本．性．質．。．
2.化簡比。
(
∶
)比的前項和后項
化簡比的方法:可以用求比值的方法化簡比。
判斷一個比是不是最簡單的整數比的方法:看這個比的前項和后項是不是只有公因數
1。
(
2
6
)舉例:化簡比1∶1。
分數比
同時乘兩分數分
錯解:1∶1=
1
×
6
2
1
×
6
=3
(
2
6
)
(
6
)母的最小公倍數
正
解
:1∶1=
1
×
6
∶
1
×
6
=3∶1
整數比
2
6
2
6
小數比
比的前項和后項
的小數點向右移動相同的位數
易錯點:誤認為化簡同類量的比時只要化為最簡整數比就是正確的。一定要注意先統一單位,再
化簡,但化簡后的比不能有單位。如化簡
0.8
L∶1.4
mL。
比的前項和后項
同時除以它們的最大公因數
整數比
最簡單的
錯解:4
L∶7
mL
正解:4000∶7
解答按比分配的問題時,一定要找準分配的總量和分配的份數。
化．簡．比．的．結．果．是．一．個．比．．,不．是．一．個．數．。．
3.化簡比與求比值的區別:
計算(化簡)依據
方法
結果
化簡比
比的基本性質
把比的前項和后項同時乘或除以相
同的數(0
除外)
是一個最簡單的整數比
求比值
比的意義
用比的前項除以比的
后項
是一個數,
可以是分數、小數
或整數
六、按比分配問題的意義及解題方法
1.在．工．農．業．生．產．和．日．常．生．活．中．．,常．常．需．要．把．一．個．數．量．按．照．一．定．的．比．來．進．行．分．配．．,這．種．分．配．方．法．通．常．叫．作．按．比．分．配．。．
2.按比分配問題的解題方法。
(1)用整數乘、除法解決問題:①求出總份數;②求出
每份是多少;③求出各部分的數量。
如一個長方形的周長是
84
厘米,
長與寬的比是
4∶3,這個長方形的長和寬各是多少厘米?
因為周長是兩個長與兩個寬的和,所以應該先用周長
84
除以
2
后,再按比分配。
(
(2)用分數乘法解決問題:①先根據比求出總份數;②
再求出各部分量占總量的幾分之幾;③最后求出各部分的數量。
3.解決按比分配問題時,無論總數分成幾部分,解題
方法都是相同的。
)
(
在保證滿足總量的前提下,也
可以假設兩種量分別是多少進行推理。
四
解決問題的策略
用假設的策略解決實際問題
在解決兩個或兩個以上的未知數量的問題時,按照一般
的解題思路不易找到正確的解答方法,此時可以采用“假
設”的策略來解決問題。先假設全部為一種量,并從假設
后數量關系的變化情況出發,結合示意圖先推算出其中
一種量,再求另一種量。
)
五
分數四則混合運算
一、分數四則混合運算
分數四則混合運算的運算順序。
分．數．四．則．混．合．運．算．的．運．算．順．序．與．整．數．四．則．混．合．運．算．的．
運．算．順．序．相．同．。．
在一個算式里,如果只含有同級運算,要按照從左往右的
順序進行計算。
在一個算式里,如果含有兩級運算,要先算二級運算(乘法
當算式中含有多個二級運算時,二級運算可以同時運算。如
(
×4+
×
)7
4
11
8
11
16
=7+1
或除法),后算一級運算(加法或減法)。
2
4
(
=
)在一個算式里,如果有括號,要先算小括號里面的,再算中
15
括號里面的,最后算中括號外面的。
4
分數四則混合運算的簡便運算。
整．數．的．運．算．律．或．運．算．性．質．對．于．分．數．同．樣．適．用．。．
①加法交換律:a+b=b+a
②加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c)
③乘法交換律:a×b=b×a
④乘法結合律:(a×b)×c=a×(b×c)
⑤乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c
恰當地運用運算律或運算性質可以使計算簡便。
在加減混合運算中,加括號或去括號時要注意括號前面的
符號,如果是加號,括號里面不變號;如果是減號,括號里面加變減、減變加。
二、用乘法和加、減法解決稍復雜的實際問題
舉例:計算5-3+1。錯解:
5-3+1
(
=
-
)
(
6
5
5
)
(
6
5
5
)5
3
+
1
6
5
5
(
=
)
1
30
(
6
5
5
)正解:
5-3+1
=5-
3
‐
1
6
5
5
(
量時,可以列形如
a-a×
c
或
a×
1‐
c
的算式解題(
b
≠0)。
)
(
找準單位“1”是關鍵。
分析問題時,先抓住關
鍵詞語,如是、比、多、少、
增加、減少、提高、降低、
擴大、縮小等,再根據題意
進行正確解答。
30
=
13
b
b
量時,可以列形如
a±a×
c
或
a×
1
±
c
的算式解題(
b
≠0)。
2
.
已知一個量及另一個量比它多(或少)幾分之幾,求另一個
b
b
1
.
已知總量及一個部分量占總量的幾分之幾,求另一個部分
)
六
百
分
數
一、百分數的意義和讀寫方法
1.意義:一．個．數．是．另．一．個．數．的．百．分．之．幾．的．數．．,叫．作．百．分．數．。．百．分．數．又．叫．作．百．分．比．或．百．分．率．。．
百分數通常不寫成分數形式,而是在原來的分子
后面加上“%”來表示。
百分數的讀法:先讀百分號(分母),讀成“百分之”;再
讀百分號前面的數(分子),是幾就讀幾。
分數與百分數的區別:
寫“%”時,兩個圈要寫得小些,
以免與數字“0”混淆。
百分數讀作“百分之幾”,不讀作“一百分之幾”。
注意:百分數只表示兩個數量間的倍比關系,不能用來表示具體的數量,后面不帶單位名稱。如把
20
千克寫成
20%千克是錯誤的,
100
因為具體的數量不能用百分數表示。
分數
百分數
意義
分數是把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數,它既可以表示兩個數量間的倍比關系,又可以表示具體數
值
表示一個數是另一個數的百分之幾的數,叫作百分數。百分數又叫作百分比或百分率。它只表示兩個數量間的倍比關系
表現形式
分數的表現形式有真分數、假分數和帶分數,計算結果一般要化成最簡分數
百分數的分母固定是
100,并且用百分號表示;分子可以是整數或小數;分子可以大于分母,也可以小于或等于分母;百分數不能約分,也不能寫成帶分數的
形式
單位名稱
如果表示具
當小數點向右移動兩位時,得到的數就擴大到原來的
100
倍,再添上百分號,又縮小到得到的數的
1
,所以當添上百分號時,百分號100
前的數要擴大到原來的
100
倍。
不是所有的分數都能改寫成分母是
100
的分數,只有能改寫成有限小數的分數,才可以改寫成分母是
100
的分數。
一個百分數去掉百分號后,所得到的數就擴大到原來的
100
倍。百分數化成分數要約分成最簡分
數。百分數、小數、分數之間相互轉化,只是數的表示方式發生變化,
數的大小不變。
舉例:
判斷:10
克糖溶解在
100
克水中,糖占糖水的
10%。(
)
錯解:√
此題錯在單位“1”(標準量)找錯了。此題中的單位“1”應該是糖水的總質量,而不是水的質量。
正解:?
出勤率是百分率的一種,公式本身應該用百分數的形式表示。如果不乘
100%,公式只是分數形式,
乘
100%既保持數值不變,又是百
分數的形式。計算時,“100”參與計
體的數量,就
要帶單位名
百分數只表示兩
稱;如果表示
個數量間的倍比
兩個數量間
關系,后面不帶單
的倍比關系,
位名稱
就不帶單位
名稱
應用范圍
分數主要是
百分數主要用于
在測量和計
日常生活中特定
算得不到整
的百分率及調
數結果時使
查、統計、分析
用
和比較
二、百分數和小數的互化
1.?。當担模畬懀桑伲郑當担?把．?。當担c．向．右．移．動．兩．位．．,如．果．
位．數．不．夠．．,用．．“0．．”補．位．．,同．時．在．后．面．添．上．百．分．號．。．
2.百．分．數．改．寫．成．?。當担?把．百．分．號．去．掉．．,同．時．把．?。當担c．
向．左．移．動．兩．位．．,如．果．位．數．不．夠．．,用．．“0．．”補．位．。．
3.百分數和小數可以互化,這只是從數值上看,在具
體運用時,這兩者的意義不完全一樣,不能互相代替。如
一個數的
75%是
75
不能寫成一個數的
0.75
是
75。又
如“求比
68
多
25%的數”和“求比
68
多
0.25
的數”的意義
完全不同。這是因為百分數是表示兩個數的倍比關系,
而小數表示的是數值。如比
68
多
25%的數表示為
68×(1+25%),而比
68
多
0.25
的數表示為
68+0.25。
三、百分數和分數的互化
1.分．數．改．寫．成．百．分．數．．,一．般．先．把．分．數．改．寫．成．?。當担?除．
不．盡．時．．,一．般．保．留．三．位．小．數．．)．,再．把．?。當担模畬懀桑伲郑當担?。．
2.把百分數改寫成分數時,可以先把百分數改寫成
分母是
100
的分數,再進行化簡;分子是小數時,先利用分
數的基本性質把分子、分母同時擴大到原來的若干倍,
把分子化成整數,再進行約分。
3.能化成有限小數的分數,分母中只含有質因數2
和
5,否則就不能化成有限小數。判斷一個分數能不能改寫
成有限小數,先要看這個分數是不是最簡分數,不是最簡
分數的,要把它化成最簡分數后再運用這一規律來判斷。
四、求一個數是另一個數的百分之幾的實際問題
1.求一個數是另一個數的百分之幾的解題方法。
(1)百分數表示一個數是另一個數的百分之幾,也就
是“一個數是另一個數的幾分之幾”的特殊的表示方法,因
此,求一個數是另一個數的百分之幾的解題方法與求一
個數是另一個數的幾分之幾的解題方法相同,都用除法
計算。
解“求一個數是另一個數的百分之幾”的實際問題,
用除法計算,用一．個．數．÷．另．一．個．數．。
求一個數是另一個數的百分之幾,必須找準單位
“1”。
2.求簡單的百分率。
求出勤率等百分率的問題,實際上就是求一個數
是另一個數的百分之幾。
常見的百分率。
出勤率=實際出勤人數×100%
應出勤人數
成活率=
成活棵數
×100%
種植總棵數
發芽率=
發芽種子數
×100%
試驗種子總數
合格率=合格產品數×100%
產品總數
五、求一個數比另一個數多(或少)百分之幾的實際
算,“%”保留。
出勤率、成活率、發芽率等生活中特定的百分率不能超過
100%。
巧記:
各種率,挺簡單,計算形式記心
間。
除法結果是小數,最后化成百分數。
百分數實際問題的解題思路與分數實際問題的解題思路相同。求一個數比另一個數多(或少)百分之幾,就是求兩個數的差量占另一個數(單位“1”)的百分之幾。
應繳納營業稅稅額=營業額×
營業稅稅率
問題
求甲數比乙數多百分之幾的實際問題的解題方
法:．(甲．數．．-乙．數．．)÷．乙．數．或．甲．數．÷．乙．數．．-1．。
求甲數比乙數少百分之幾的實際問題的解題方法:．(乙．數．．-甲．數．．)÷．乙．數．或．1．．-甲．數．÷．乙．數．。
3.解題關鍵:確．定．單．位．．“1．．”。
六、納稅和利息問題
應納稅額的計算方法。
求．應．納．稅．額．實．際．上．就．是．求．一．個．數．的．百．分．之．幾．是．
多．少．．,用．乘．法．計．算．．,即．應．納．稅．額．=．收．入．額．×．稅．率．。．
當納稅的方法不同且稅率也不同時,要先判斷應
納稅額是按哪個稅率繳納的稅款。如果收入中有不納稅
的部分,那么應納稅額÷稅率=應納稅所得額,收入額=應納稅所得額+不納稅金額。
“本金”“利息”及“利率”的含義。
(1)本金:存．入．銀．行．的．錢．叫．作．本．金．。．
注意:任何一種存款,在計算利息時,都要乘存入時間。如王叔叔把
2000
元存入銀行,存期三年,年利率為
3.75%。到期后可得利息多少
元
?
應
是
2000×3.75%×3=225(元),而不是
2000×3.75%=75(元)。
易錯點:誤認為打幾折就是減少(降低)百分之幾。如一件上衣原價
180
元,現在打七折出售,比原價降低了多少元?列式為180×70%=126(元),這樣是不對
(2)利息:?。睿畷r．銀．行．除．還．給．本．金．外．．,另．外．付．的．錢．叫．作．利．息．．,也．叫．應．得．利．息．。．
(3)利率:利．息．占．本．金．的．百．分．率．叫．作．利．率．,按年計算的
的,只求出了現價,沒有求出現價比原價降低了多少元,應為
180-180×70%=54(元)。
叫作年利率,按月計算的叫作月利率。
商品打折后,比原價降低的金
3.利息的計算方法。
額=原價-現價。
利息=本金×利率×時間
4.本息的計算方法。
本息=本金+利息
找準等量關系是列方程解決
七、折扣問題
實際問題的關鍵。
1.折扣問題的解題方法。
商店有時要把商品按原價的百分之幾出售,通常稱
為打折出售。幾．折．就．是．原．價．的．百．分．之．幾．十．．,幾．幾．折．就．是．原．
價．的．百．分．之．幾．十．幾．。．
2.
“已知一個數的百分之幾是多少,求這個數”的實
際問題的解題方法:可以列方程解答,先找出單位“1”的量,
并設為
x,再根據等量關系列方程。
3.表示一個數是另一個數十分之幾的數,叫作成數。
通常用在工農業生產中表示生產的增長狀況。“一成”就
是十分之一,改寫成百分數就是
10%;“二成五”就是十分
之二點五,改寫成百分數就是
25%。
八、列方程解決稍復雜的百分數實際問題
1.稍復雜的百分數實際問題的解題方法。
在實際問題中,單位“1”未知時,通常設單位“1”為
x,先
找出題中的等量關系,再列方程解決問題。
2.解決有關百分數的實際問題,在找準單位“1”的同時,還
要看清所要求的問題與單位“1”的關系。

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