資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第9講 容斥原理
1、火車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。從開始檢票到檢票隊伍消失，若同時開5個檢票口，則需要30分鐘，若同時開6個檢票口，則需20分鐘。如果要使等候檢票的隊伍10分鐘消失，需要同時開多少個檢票口？
2、建筑工地開工前已經運進一批磚，開工后每天運進相同數量的磚。如果派36個工人砌墻，24天可以把磚用完；如果派40個工人砌墻，20天可以把磚用完。現派工人若干名，砌8天后，有5名工人參加表彰大會，其余工人又工作兩天，才把場上的磚用完，問原來派多少名工人？
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版權聲明
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股份有限公司（以下簡稱“本公司”)旗下網站，為維護本公司合法權益，現依
據相關法律法規作出如下鄭重聲明：
一、本網站上所有原創內容，由本公司依據相關法律法規，安排專項經費
運營規劃，組織名校名師創作完成，著作權歸屬本公司所有。
二、經由網站用戶上傳至本網站的試卷、教案、課件、學案等內容，由本公
司獨家享有信息網絡傳播權，其作品僅代表作者本人觀點，本網站不保證其內容
的有效性，凡因本作品引發的任何法律糾紛，均由上傳用戶承擔法律責任，本網
站僅有義務協助司法機關了解事實情況。
三、任何個人、企事業單位（含教育網站）或者其他組織，未經本公司許可，
不得使用本網站任何作品及作品的組成部分（包括但不限于復制、發行、表演、
廣播、信息網絡傳播、改編、匯編、翻譯等方式)，一旦發現侵權，本公司將聯
合司法機關獲取相關用戶信息并要求侵權者承擔相關法律責任。
四、一旦發現侵犯本網站作品著作權的行為，歡迎予以舉報。
舉報電話：4006379991
舉報信息一經核實，本公司將依法追究侵權人法律責任！
五、本公司將結合廣大用戶和網友的舉報，聯合全國各地文化執法機關和相
關司法機關嚴厲打擊侵權盜版行為，依法追究侵權人的民事、行政和刑事責任！
特此聲明！
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第9講 容斥原理
1、火車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。從開始檢票到檢票隊伍消失，若同時開5個檢票口，則需要30分鐘，若同時開6個檢票口，則需20分鐘。如果要使等候檢票的隊伍10分鐘消失，需要同時開多少個檢票口？
解：設1個檢票口1分鐘檢票的人數為1份；
每分鐘新來旅客：(5×30-6×20)÷(30-20)=3(份）
原有旅客為：(5-3)×30=60(份）
如果要使隊伍10分鐘消失需要：(60+10×3)÷10=9(個）
2、建筑工地開工前已經運進一批磚，開工后每天運進相同數量的磚。如果派36個工人砌墻，24天可以把磚用完；如果派40個工人砌墻，20天可以把磚用完。現派工人若干名，砌8天后，有5名工人參加表彰大會，其余工人又工作兩天，才把場上的磚用完，問原來派多少名工人？
解：假設每人每天砌磚的塊數為單位“1”。
每天運進磚的數量是：(36×24-40×20)÷(24-20)=16(份）
原有磚的數量：40×20-16×20=480(份）
原來派的工人數：
[480+16×(8+2)+5×2]÷(8+2)
=[480+16×10+5×2]÷(8+2)
=[480+160+10]÷10
=650÷10
=65(名）
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第9講 容斥原理
【學習目標】
1、理解容斥原理的研究的范圍；
2、掌握容斥原理的分析方法；
3、學會利用相關分析方法解題。
【知識梳理】
1、容斥原理：對n個事物，如果采用不同的分類標準，按性質a分類與性質b分類（如圖），那么具有性質a或性質b的事物的個數=Na＋Nb－Nab。
2、常用工具：韋恩圖，線段圖，方程，高斯記號
3、常見題型：數論，幾何。
【典例精析】
【例1】五年級的學生一共有42人，參加奧數補習的有30人，參加語文補習的有25人，所有五年級學生都至少補習奧數和語文中的一門。請問五年級中兩門都補習的學生有多少人？
【趁熱打鐵-1】實驗小學五年級一班共有40名同學采集標本，每個同學至少要采集一種標本。采集昆蟲標本的有28人，采集植物標本的有19人，兩種都采集的有多少人？
【例2】星星藝術團有32名同學，其中有14人會拉小提琴，有21人會彈鋼琴，小提琴和鋼琴都會的8人，既不會小提琴又不會彈鋼琴的有多少人？
【趁熱打鐵-2】學校組織100名家長去香港旅游，其中有10人既不懂英語有不懂粵語，有75人懂英語，83人懂粵語。既懂英語又懂粵語的有多少人？
【例3】在1到100的自然數中，既不是5的倍數也不是6的倍數的數有多少個？
【趁熱打鐵-3】在1到200的全部自然數中，既不是5的倍數又不是8的倍數的數有多少個？
【例4】奧斑馬、小美、歐歐給100盆花澆水．奧斑馬澆了78盆，小美澆了68盆，歐歐澆了85盆．那么，至少有______盆花被澆了三次水。
【趁熱打鐵-4】老師要求五位學生背誦常見的1000個英文單詞．已知A生背對950個，B生背對925個，C生背對900個，D生背對875個，E生背對850個．那么在這1000個英文單詞中至少有_______個單詞五位學生全背對了。
【例5】有編號為1，2，3，…1000的1000盞亮著的電燈，各有一個拉線開關控制．若將編號為2的倍數，3的倍數，5的倍數的燈線都各拉一下，這時，亮著的燈有________盞．
【趁熱打鐵-5】200盞亮著的電燈，各有一個拉線開關控制，按順序編號為1、2、……、200.將編號為2的倍數的燈各拉一下，再將編號為3的倍數的燈各拉一下，最后將編號為5的倍數的燈各拉一下，最后亮著的燈有______盞.
【例6】冬冬、阿奇和小悅用一根木棍做游戲，冬冬先用紅筆在木棍上做標記，將木棍12等分；阿奇再用藍筆在木棍上做標記，將木棍20等分；最后小悅用黑筆在木棍上做標記，將木棍30等分，此時按標記將木棍鋸開，那么所鋸成的小段共有______段．
【趁熱打鐵-6】一根30厘米長的木棒，從同一端開始，第一次每隔2厘米畫一個刻度，第二次每隔3厘米畫一個刻度，第三次每隔5厘米畫一個刻度，如果按刻度把木棒截斷，那么可以截出______段.
【例7】中國田徑隊的40名運動員在訓練基地進行封閉訓練，其中男運動員有 20 名，訓練長跑的運動員有15名，訓練競走的女運動員有8名，那么訓練長跑的男運動員有多少名？
【趁熱打鐵-7】某校參加數學競賽有120名男生，80名女生，參加語文競賽的有120名女生，80名男生，已知該校總共有260名學生參加競賽，其中75名男生兩科競賽都參加了，那么只參加數學競賽而沒有參加語文競賽的女生有多少人？
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第9講 容斥原理
【學習目標】
1、理解容斥原理的研究的范圍；
2、掌握容斥原理的分析方法；
3、學會利用相關分析方法解題。
【知識梳理】
1、容斥原理：對n個事物，如果采用不同的分類標準，按性質a分類與性質b分類（如圖），那么具有性質a或性質b的事物的個數=Na＋Nb－Nab。
2、常用工具：韋恩圖，線段圖，方程，高斯記號
3、常見題型：數論，幾何。
【典例精析】
【例1】五年級的學生一共有42人，參加奧數補習的有30人，參加語文補習的有25人，所有五年級學生都至少補習奧數和語文中的一門。請問五年級中兩門都補習的學生有多少人？
30+25-42=13（人）
【趁熱打鐵-1】實驗小學五年級一班共有40名同學采集標本，每個同學至少要采集一種標本。采集昆蟲標本的有28人，采集植物標本的有19人，兩種都采集的有多少人？
28+19-40=7（人）
【例2】星星藝術團有32名同學，其中有14人會拉小提琴，有21人會彈鋼琴，小提琴和鋼琴都會的8人，既不會小提琴又不會彈鋼琴的有多少人？
32-（14+21-8）=5（人）
【趁熱打鐵-2】學校組織100名家長去香港旅游，其中有10人既不懂英語有不懂粵語，有75人懂英語，83人懂粵語。既懂英語又懂粵語的有多少人？
（75+83）-（100-10）=68（人）
【例3】在1到100的自然數中，既不是5的倍數也不是6的倍數的數有多少個？
5的倍數：100÷5=20(個)
6的倍數：100÷6≈16(個）.
5和6的倍數：100÷30≈3(個）
100-(20+16-3)=67(個）
【趁熱打鐵-3】在1到200的全部自然數中，既不是5的倍數又不是8的倍數的數有多少個？
5的倍數：200÷5=40(個)
8的倍數：200÷8=25(個）
5和8的倍數：200÷40=5(個）
200-(40+25-5)=140(個）
【例4】奧斑馬、小美、歐歐給100盆花澆水．奧斑馬澆了78盆，小美澆了68盆，歐歐澆了85盆．那么，至少有______盆花被澆了三次水。
（78+68+85）-（100+100）=31（盆）
【趁熱打鐵-4】老師要求五位學生背誦常見的1000個英文單詞．已知A生背對950個，B生背對925個，C生背對900個，D生背對875個，E生背對850個．那么在這1000個英文單詞中至少有_______個單詞五位學生全背對了。
(950+925+900+875+850)-1000×4=500(個）
【例5】有編號為1，2，3，…1000的1000盞亮著的電燈，各有一個拉線開關控制．若將編號為2的倍數，3的倍數，5的倍數的燈線都各拉一下，這時，亮著的燈有__499__盞．
2的倍數：1000÷2=500(盞）
3的倍數：1000÷3≈333(盞）
5的倍數：1000÷5=200(盞）
2.3的倍數：1000÷6≈166(盞）
2.5的倍數：1000÷10=100(盞）
3.5的倍數：1000÷15≈66(盞）
2、3、5的倍數：1000÷30≈33(盞）
266+133+67+33=499(盞）
【趁熱打鐵-5】200盞亮著的電燈，各有一個拉線開關控制，按順序編號為1、2、……、200.將編號為2的倍數的燈各拉一下，再將編號為3的倍數的燈各拉一下，最后將編號為5的倍數的燈各拉一下，最后亮著的燈有_102__盞.
2的倍數：200÷2=100(盞）
3的倍數：200÷3≈66(盞）
5的倍數：200÷5=40(盞）
2.3的倍數：200÷6≈33(盞）
2.5的倍數：200÷10=20(盞）
3.5的倍數：200÷15≈13(盞）
2、3、5的倍數：200÷30≈6(盞）
54+27+7+14=102(盞）
【例6】冬冬、阿奇和小悅用一根木棍做游戲，冬冬先用紅筆在木棍上做標記，將木棍12等分；阿奇再用藍筆在木棍上做標記，將木棍20等分；最后小悅用黑筆在木棍上做標記，將木棍30等分，此時按標記將木棍鋸開，那么所鋸成的小段共有______段．
60÷12=5(cm) 60÷20=3(cm) 60÷30=2(cm)
12-1=11(條） 20-1=19(條） 30-1=29(條）
60÷（5×3)-1=3(條） 60÷(5×2)-1=5(條）
60÷(3×2)-1=9(條） 60÷(5×3×2)-1=1(條）
11+19+29-3-5-9+1+1=44(段）
【趁熱打鐵-6】一根30厘米長的木棒，從同一端開始，第一次每隔2厘米畫一個刻度，第二次每隔3厘米畫一個刻度，第三次每隔5厘米畫一個刻度，如果按刻度把木棒截斷，那么可以截出______段.
30÷2-1=14(條） 30÷3-1=9(條） 30÷5-1=5(條）
30÷(2×3)-1=4(條） 30÷(2×5)-1=2(條）
30÷(3×5)-1=1(條） 30÷(2×3×5)-1=0(條）
14+9+5-4-2-1+1=22(段）
【例7】中國田徑隊的40名運動員在訓練基地進行封閉訓練，其中男運動員有 20 名，訓練長跑的運動員有15名，訓練競走的女運動員有8名，那么訓練長跑的男運動員有多少名？
15-(40-20-8)=3(人）
【趁熱打鐵-7】某校參加數學競賽有120名男生，80名女生，參加語文競賽的有120名女生，80名男生，已知該校總共有260名學生參加競賽，其中75名男生兩科競賽都參加了，那么只參加數學競賽而沒有參加語文競賽的女生有多少人？
(120+80)+(120+80)-260=140(名)
140-75=65(名）
80-65=15(名）
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第9講 容斥原理
1、四年級某班50人，做兩題數學選擇題，做對第一題的有36人，做對第二題的有24人，兩題都對的18人，那么兩題都沒有做對的最多有_____人。
2、同學們去春游，帶水壺的有80人，帶水果的有70人，兩樣都沒帶的有6人，若兩樣都帶的人數是所有參加春游人數的一半，則參加春游的同學共有 人。
3、有一根長為180厘米的繩子，從一端開始每隔3厘米作一記號，每隔4厘米也作一記號，然后將標有記號的地方剪斷，問繩子共被剪成了多段？
4、小于1000的自然數中，是完全平方數而不是完全立方數的數有______個。
5、把1--200這200個自然數中，即不是3的倍數，又不是5的倍數的是，從小到大排成一排，那么其中第100個是 。
6、某班共有學生48人，其中27人會游泳，33人會騎自行車，40人會打乒乓球。那么，這個班至少有多少學生這三項運動都會？
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第9講 容斥原理
1、四年級某班50人，做兩題數學選擇題，做對第一題的有36人，做對第二題的有24人，兩題都對的18人，那么兩題都沒有做對的最多有_____人。
50-（36+24-18）=8（人）
2、同學們去春游，帶水壺的有80人，帶水果的有70人，兩樣都沒帶的有6人，若兩樣都帶的人數是所有參加春游人數的一半，則參加春游的同學共有 人。
(80+70+6)÷3=52(1)
52×2=104(人）
3、有一根長為180厘米的繩子，從一端開始每隔3厘米作一記號，每隔4厘米也作一記號，然后將標有記號的地方剪斷，問繩子共被剪成了多段？
180÷3＋180÷4-180÷12=90（段）
4、小于1000的自然數中，是完全平方數而不是完全立方數的數有______個。
∵31 ＜1000＜32 ，10 =1000，1 =1 ，8 =4 ，27 =9
∴ 符合條件：31-3=28（個）
5、把1--200這200個自然數中，即不是3的倍數，又不是5的倍數的是，從小到大排成一排，那么其中第100個是 187 。
15以內3的倍數：3、6、9、12、15
15以內5的倍數：5、10、15
15以內既不是3的倍數又不是5的倍數：15-5-3+1=8（個）
100÷8=12……4
15×12=180
180以后第4個即是第100個：181、182、184、187.
∴是187.
6、某班共有學生48人，其中27人會游泳，33人會騎自行車，40人會打乒乓球。那么，這個班至少有多少學生這三項運動都會？
解：不會游泳的有48-27=21(人）,
不會騎車的有48-33=15(人）,
不會打乒乓球的有48-40=8(人）,
至少有一項運動不會的最多有：21+15+8=44(人）,
全班三項運動都會的至少有：48-44=4(人）。
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第9講 容斥原理
1、一個班有52人，班主任在班會上問：“誰做完了語文作業？請舉手！”，有32人舉手．又問：‘誰做完數學作業？請舉手！”有35人舉手；最后問：“誰語文、數學作業都做完了？”有20人舉手．那么這個班語文、數學作業都沒有做完的有_____人。
2、在一次考試中，某班數學得100分的有17人，語文得100分的有8人，兩科都得100分的有3人，那么全班50人中兩科都不得100分的有 人。
3、100個學生中，88人有手機，76人有電腦，其中有電腦沒有手機的學生共有3人，則這100個學生中有手機但沒有電腦的學生共有 人。
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四、一旦發現侵犯本網站作品著作權的行為，歡迎予以舉報。
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五、本公司將結合廣大用戶和網友的舉報，聯合全國各地文化執法機關和相
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1、一個班有52人，班主任在班會上問：“誰做完了語文作業？請舉手！”，有32人舉手．又問：‘誰做完數學作業？請舉手！”有35人舉手；最后問：“誰語文、數學作業都做完了？”有20人舉手．那么這個班語文、數學作業都沒有做完的有_5__人。
52-（32+35-20）=5（人）
2、在一次考試中，某班數學得100分的有17人，語文得100分的有8人，兩科都得100分的有3人，那么全班50人中兩科都不得100分的有 28 人。
50-（17+8-3）=28（人）
3、100個學生中，88人有手機，76人有電腦，其中有電腦沒有手機的學生共有3人，則這100個學生中有手機但沒有電腦的學生共有 15 人。
88-（76-3）=15（人）
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