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不等式的證明方法
長安四中 高竹
不等式的性質(zhì)和基本不等式是證明不等式的理論依據(jù)，但是由于不等式的形式多樣，因此不等式的證明方法也很多。我總結了一些不等式的證明方法 ，下面舉例說明。
比較法
例1 求證：>.
證明：因為
所以 >.
證明例1的方法稱為作差比較法。用差與“0”比較大小。
例2 已知>b>c>0,求證：。
證明：因為
且>b>0, 所以-b>0, ，故。
同理可證 ，。
所以 ，從而。
證明例2的方法稱為求商比較法。用商與“1”比較大小。
二．反證法
例3 求證：是無理數(shù)。
證明：假設不是無理數(shù)，則為有理數(shù)，那么它就可以表示成兩個整數(shù)之比，設=，p≠0,且p,q互素，則p=q. 所以， ①
故是偶數(shù)，q也必是偶數(shù)。
不妨設q=2k,代入①式，則有，即，所以，p也是偶數(shù).
P和q都是偶數(shù)，它們有公約數(shù)2，這與p,q互素相矛盾。
這樣，不是有理數(shù)，而是無理數(shù)。
證明例3的方法稱為反證法。當命題過于簡單，或正面情況非常復雜時，一般用反證法。
放縮法
例4 求證：。
證明：因為
<1++
=1+
=2-
證明例4的方法稱為放縮法。利用學過的不等式的性質(zhì)適當?shù)姆糯蠡蚩s小。
判別式發(fā)
例5 已知：x，y都是實數(shù)，求證：
證明：要證原不等式成立只需證
設
因為的系數(shù)大于0，且
=-3
故f(x)≥0 所以原不等式成立
證明例5的方法稱為判別式法。利用判別式證明不等式的取值范圍。
數(shù)形結合法
例6 已知：求證：
證明：要證原不等式成立，只需證
即證：
如圖，建立平面直角坐標系，設
則改證：
顯然，當P,A,B三點共線時，等號成立；不共線時，不等號成立。
故，原不等式成立。
證明例6的方法稱為數(shù)形結合法。此方法最大的優(yōu)勢在于直觀，可難點卻在于如何才能畫出不等式對應的圖形！
六.構造函數(shù)法
例7 已知,b,c為△ABC的三邊，求證：
證明：
考察函數(shù)f(x)=的單調(diào)性 。
因為f(x)=在(0,+∞)是單點遞增的，
又因為+b>c 所以，
即：成立
證明例7的方法稱為構造函數(shù)法。要用此方法證不等式，對于掌握函數(shù)單調(diào)性的要求比較高！
以上就是我總結的不等式的證明方法。當然還有向量法，綜合法，分析法，在文中沒有專門舉例，那是因為對于綜合和分析這兩種方法，幾乎在每一道題中都有應用，大多數(shù)不等式的證明不是由因?qū)Ч褪菆?zhí)果索因 ；而向量法本身就可理解為數(shù)形結合的一種模式，故這三種方法沒有具體舉例。在實際的做題當中，一定要根據(jù)題的特點選擇合適的方法！
P(x,0)
x
oo
y
B(-,-2b)
A(,b)

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