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利用原理巧涂色，和兩個計數(shù)原理有關(guān)的涂色問題
山東省濟(jì)寧市嘉祥縣第三中學(xué)數(shù)學(xué)組 李本強(qiáng)
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例：在一個正六邊形的6個區(qū)域栽種觀賞植物，如圖1，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物．現(xiàn)有四種不同的植物可供選擇，則有________種栽種方案．
【分析】將栽種植物問題看成涂色問題.
以A、C、E（相間）栽種植物情況作為分類標(biāo)準(zhǔn)：
①A、C、E栽種同一種植物，有4種栽法；B、D、F各有3種栽法，
∴ 共有 4×3×3×3＝108 種栽法.
②A、C、E栽種兩種植物,有種栽法（是4種植物中選出2
種，是A、C、E3個區(qū)域中選出2個區(qū)域栽種同一種植物，是選出的2種植物排列），B、D、F共有3×2×2 種栽法（注：若A、C栽種同一種植物，則B有3 種栽法，D、F各有2種栽法），
③A、C、E栽種3種植物，有種栽法；B、D、F各有2種栽法，
∴ 共有 ×2×2×2＝192 種栽法.
綜合①、②、③，共有 108+432+192=732種栽法.
歸納與拓展：
如圖2讓我們首先用m（m≥3）種不同的顏色（可供選擇），去涂4個扇形的情形（要求每一個扇形著一種顏色，相鄰扇形著不同顏色），如圖所示以1和3（相間）涂色相同與否為分類標(biāo)準(zhǔn)：
①1和3涂同一種顏色，有m種涂法；2有m-1種涂法,4也有m-1種涂法,
∴ 共有 種涂法.
②1和3涂不同種顏色，有種涂法;2有m-2種涂法，4也有m-2種涂法，
∴ 共有 種涂法.
綜合①和②，共有+種涂法.
“設(shè)一個圓分成P1，P2，…，，共n個扇形，用m種不同的顏色對這n個扇形著色（m≥3，n≥3），每一個扇形著一種顏色，相鄰扇形著不同顏色，共有多少種不同的著色方法” 這類問題有沒有更為一般的解法（即通法）呢？（n為不小于3的整數(shù)）
【分析】設(shè)為符合要求的對n個扇形的涂色方法.
對扇形P1有m種涂色方法，
扇形P2有m－1種涂色方法，
扇形P3也有m－1種涂色方法，
…………
扇形也有m－1種涂色方法．
于是，共有種不同的涂色方法.但是，，因?yàn)檫@種涂色方法可能出現(xiàn)P1與著色相同的情形，這是不符合題意的，因此，答案應(yīng)從中減去這些不符合題意的涂色方法.那么，這些不符合題意的涂色方法，又怎樣計算呢？這時，把P1與看作一個扇形，其涂色方法相當(dāng)于用m種顏色對n－1個扇形涂色（這種轉(zhuǎn)換思維相當(dāng)巧妙），不同的涂色方法有種，于是，
有－（n≥3），①.顯然，．
上述的式①就是數(shù)列的遞推公式，由此，我們就可以推導(dǎo)出的通項公式：
.
至此，我們就找到了“設(shè)一個圓分成P1，P2，…，，共n個扇形，用m種不同的顏色對這n個扇形著色（m≥3，n≥3），每一個扇形著一種顏色，相鄰扇形著不同顏色，共有多少種不同的著色方法” 這類問題的通項公式：即．
【注意】上述問題中的m種顏色是可供選擇的，而不是全部都要用上的.
變式訓(xùn)練：某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有_____種．（以數(shù)字作答）
【分析】
①首先栽種第1部分，有種栽種方法；
②然后問題就轉(zhuǎn)化為用余下3種顏色的花，去栽種周圍的5個部分（如右圖所示）， 對扇形2有3種栽種方法，扇形3有2種栽種方法，扇形4也有2種栽種方法，扇形5也有2種栽種方法，扇形6也有2種栽種方法．于是，共有種不同的栽種方法.但是，這種栽種方法可能出現(xiàn)區(qū)域2與6著色相同的情形，這是不符合題意的，因此，答案應(yīng)從中減去這些不符合題意的栽種方法.這時，把2與6看作一個扇形，其涂色方法相當(dāng)于用3種顏色的花對4個扇形區(qū)域栽種（這種轉(zhuǎn)換思維相當(dāng)巧妙）.而用3種顏色的花對4個扇形區(qū)域的栽種問題.
綜合①和②，共有種栽法.（當(dāng)然此式中的18也可以直接用（1）中的公式算出：即
）.
圖 1
圖 2
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