資源簡介

滬科版九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)概率專題（含答案）
一、
選擇題
1.
(·新疆)下列事件中，是必然事件的是(　　)
A.
購買一張彩票，中獎
B.
通常溫度降到0
℃以下，純凈的水結(jié)冰
C.
明天一定是晴天　　
D.
經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈
2.
(·自貢)下列成語描述的事件為隨機事件的是(　　)
A.
水漲船高　　B.
守株待兔　　
C.
水中撈月　　D.
緣木求魚
3.
(·阿壩州)對“某市明天下雨的概率是75%”這句話，理解正確的是(　　)
A.
某市明天將有75%的時間下雨　　
B.
某市明天將有75%的地區(qū)下雨
C.
某市明天一定下雨　　
D.
某市明天下雨的可能性較大
4.
(·天水)下列說法正確的是(　　)
A.
不可能事件發(fā)生的概率為0
B.
隨機事件發(fā)生的概率為
C.
概率很小的事件不可能發(fā)生
D.
投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1
000次，正面朝上的次數(shù)一定是500
5.
(·蘭州)一個不透明的盒子里有n個除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個黃球．每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后放回盒子，通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%，那么估計盒子中小球的個數(shù)n為(　　)
A.
20　　B.
24　　C.
28　　D.
30
6.
(·北京)如圖顯示了用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘?shù)哪炒卧囼灥慕Y(jié)果．
下面有三個推斷：①
當(dāng)投擲次數(shù)是500時，計算機記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308，所以“釘尖向上”的概率是
0.616；②
隨著試驗次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“釘尖向上”的概率是0.618；③
若再次用計算機模擬試驗，則當(dāng)投擲次數(shù)為1
000時，“釘尖向上”的概率一定是0.620.其中合理的是(　　)
A.
①　　B.
②　　C.
①②　　D.
①③
7.
(·宜昌)九年級(1)班在參加學(xué)校4×100
m接力賽時，安排了甲、乙、丙、丁四位選手，他們的順序由抽簽隨機決定，則甲跑第一棒的概率為(　　)
A.
1
　　B.
　　C.
　　D.
8.
(·岳陽)從，0，π，3.14，6這五個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，抽到有理數(shù)的概率是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
9.
(·綏化)從一副洗勻的普通撲克牌中隨機抽取一張，則抽出紅桃的概率是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
10.
(·貴陽)某學(xué)校在進行防溺水安全教育活動中，將以下幾種在游泳時的注意事項寫在紙條上并折好，內(nèi)容分別是：①
互相關(guān)心；②
互相提醒；③
不要相互嬉水；④
相互比潛水深度；⑤
選擇水流湍急的水域；⑥
選擇有人看護的游泳池．小穎從這6張紙條中隨機抽出一張，抽到內(nèi)容描述正確的紙條的概率是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
11.
(·包頭)在一個不透明的口袋里有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中有5個黃球，4個藍(lán)球．若隨機摸出一個藍(lán)球的概率為，則隨機摸出一個紅球的概率為(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
12.
(·遼陽)如果小球在如圖所示的地面上自由滾動，并隨機停留在某塊方磚上，每塊方磚大小、質(zhì)地完全一致，那么它最終停留在涂色區(qū)域的概率是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
　　　　
13.
(·赤峰)小明向如圖所示的正方形ABCD區(qū)域內(nèi)投擲飛鏢，E是以AB為直徑的半圓與對角線AC的交點．如果小明投擲飛鏢一次，那么飛鏢落在涂色部分的概率為(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
14.
(·南寧)一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為1，2，3，4，隨機摸出一個小球后不放回，再隨機摸出一個小球，則兩次摸出的小球標(biāo)號之和等于5的概率為(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
15.
(·臨沂)小明和小華玩“石頭、剪子、布”的游戲，若隨機出手一次，則小華獲勝的概率是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
16.
(·河南)如圖是一次數(shù)學(xué)活動課制作的一個轉(zhuǎn)盤，盤面被等分成四個扇形區(qū)域，并分別標(biāo)有數(shù)字－1，0，1，2.若轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)盤停止后記錄指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字(當(dāng)指針恰好指在分界線上時，不記，重轉(zhuǎn))，則記錄的兩個數(shù)字都是正數(shù)的概率為(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
17.
(·湖州)一個布袋里裝有4個只有顏色不同的球，其中3個紅球，1個白球．從布袋里摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出一個球，則兩次摸到的球都是紅球的概率是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
18.
(·泰安)袋內(nèi)裝有標(biāo)號分別為1，2，3，4的四個小球，從袋內(nèi)隨機取出一個小球，讓其標(biāo)號為一個兩位數(shù)的十位數(shù)字，放回攪勻后，再隨機取出一個小球，讓其標(biāo)號為這個兩位數(shù)的個位數(shù)字，則組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率為(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
19.
(·淄博)在一個不透明的袋子里裝有四個小球，球上分別標(biāo)有6，7，8，9四個數(shù)字，這些小球除數(shù)字外都相同．甲、乙兩人玩“猜數(shù)字”游戲，甲先從袋中任意摸出一個小球，將小球上的數(shù)字記為m，再由乙猜這個小球上的數(shù)字，記為n.如果m，n滿足|m－n|≤1，那么就稱甲、乙兩人“心領(lǐng)神會”，則兩人“心領(lǐng)神會”的概率是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
20.
(·株洲)三名九年級同學(xué)坐在僅有的三個座位上，起身后重新就坐，恰好有兩名同學(xué)沒有坐回原座位的概率為(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
21.
(·永州)已知從n個人中選出m個人按照一定的順序排成一行，所有不同的站位方法有n×(n－1)×…×(n－m＋1)種．現(xiàn)某校九年級甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一位老師共五人在畢業(yè)前合影留念(站成一行)．若老師站在中間，則不同的站位方法有(　　)
A.
6種　　B.
20種　　C.
24種　　D.
120種
二、
填空題
22.
(1)
(·泰州)一個不透明的袋子共裝有三個小球，它們的標(biāo)號分別為1，2，3，從中摸出一個小球，標(biāo)號為“4”，這個事件是________；(填“必然事件”“不可能事件”或“隨機事件”)
(2)
(·隨州)“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上”是________事件．(填“必然”“隨機”或“不可能”)
23.
(·雞西)在一個不透明的袋子中裝有除顏色外完全相同的3個紅球，3個黃球，2個綠球，任意摸出一球，摸到紅球的概率是________．
24.
(·福建)一個箱子裝有除顏色外都相同的2個白球，2個黃球，1個紅球．現(xiàn)添加同種型號的1個球，使得從中隨機抽取一個球，這三種顏色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是________．
25.
(·七臺河)在一個不透明的袋子中裝有除顏色外完全相同的3個白球、若干紅球，從中隨機摸取一個球，摸到紅球的概率是，則這個袋子中有紅球________個．
26.
(·達(dá)州)從－1，2，3，－6這四個數(shù)中任選兩個數(shù)，分別記作m，n，那么點(m，n)在函數(shù)y＝圖象上的概率是________．
27.
(·通遼)毛澤東在《沁園春·雪》中提到五位歷史名人：秦始皇、漢武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，小紅將這五位名人簡介分別寫在五張完全相同的知識卡片上，小哲從中隨機抽取一張，則卡片上介紹的人物是唐朝以后出生的概率是________．
28.
(·盤錦)對于?ABCD，從以下五個條件中任取一個作為條件：①
AB＝BC；②
∠BAD＝90°；③
AC＝BD；④
AC⊥BD；⑤
∠DAB＝∠ABC.能判定?ABCD是矩形的概率是________．
29.
(·鎮(zhèn)江)如圖，轉(zhuǎn)盤中6個扇形的面積都相等，任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針指向奇數(shù)的概率是________．
　　　　
30.
(·鹽城)如圖是由大小完全相同的正六邊形組成的圖形，小軍準(zhǔn)備用紅色、黃色、藍(lán)色隨機給每個正六邊形分別涂上其中的一種顏色，則上方的正六邊形涂紅色的概率是________．
31.
(·蘇州)如圖，在“3×3”網(wǎng)格中有3個涂色的小方格．若再從余下的6個小方格中隨機選取1個涂色，則完成的圖案為軸對稱圖案的概率是________．
32.
(·葫蘆島)如圖是由若干個全等的等邊三角形拼成的紙板，若某人向紙板上投擲飛鏢(每次飛鏢均落在紙板上)，則飛鏢落在涂色部分的概率是________．
　　　　
33.
(·成都)已知⊙O的兩條直徑AC，BD互相垂直，分別以AB，BC，CD，DA為直徑向外作半圓得到如圖所示的圖形，現(xiàn)隨機地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，記針尖落在涂色區(qū)域內(nèi)的概率為P1，針尖落在⊙O內(nèi)的概率為P2，則的值為________．
34.
(1)
(·黔東南州)黔東南下司“藍(lán)莓谷”以盛產(chǎn)“優(yōu)質(zhì)藍(lán)莓”而吸引來自四面八方的游客，某果農(nóng)今年的藍(lán)莓得到了豐收，為了了解自家藍(lán)莓的質(zhì)量，隨機從種植園中抽取適量藍(lán)莓進行檢測，發(fā)現(xiàn)在多次重復(fù)的抽取檢測中，“優(yōu)質(zhì)藍(lán)莓”出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定在
0.7，該果農(nóng)今年的藍(lán)莓總產(chǎn)量約為800
kg，由此估計該果農(nóng)今年的“優(yōu)質(zhì)藍(lán)莓”產(chǎn)量是________kg；
(2)
(·營口)在一個不透明的箱子里裝有紅色、藍(lán)色、黃色的球共20個，這些球除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，小明通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅色、黃色球的頻率分別穩(wěn)定在10%和15%，則箱子里藍(lán)色球的個數(shù)很可能是________．
35.
(·阿壩州)在一個不透明的空袋子里，放入僅顏色不同的2個紅球和1個白球，從中隨機摸出一個球后不放回，再從中隨機摸出一個球，兩次都摸到紅球的概率是________．
36.
(·天門)有五張背面無差別的卡片，正面分別寫著數(shù)字1，2，3，4，5，洗勻后正面向下放在桌子上，從中隨機抽取2張，抽出的卡片上的數(shù)字恰好是兩個連續(xù)整數(shù)的概率是________．
37.
(·南充)經(jīng)過某十字路口的汽車，可直行，也可向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)．如果這三種可能性大小相同，那么兩輛汽車經(jīng)過該十字路口時都直行的概率是________．
38.
(·杭州)一個不透明布袋里裝有3個球(只有顏色不同)，其中2個是紅球，1個是白球，從中任意摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻，再任意摸出一個球，則兩次摸出的都是紅球的概率是________．
39.
(·聊城)如果任意選擇一對有序整數(shù)(m，n)，其中
|m|≤1，|n|≤3，每一對這樣的有序整數(shù)被選擇的可能性是相等的，那么關(guān)于x的方程x2＋nx＋m＝0有兩個相等實數(shù)根的概率是________．
40.
(·臺州)三名運動員參加定點投籃比賽，原定出場順序是甲第一個出場，乙第二個出場，丙第三個出場，由于某種原因，要求這三名運動員用抽簽的方式重新確定出場順序，則抽簽后每名運動員的出場順序都發(fā)生變化的概率為________．
41.
(·襄陽)同時拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)兩枚正面向上，一枚正面向下的概率是________．
42.(·呼和浩特)我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”計算圓周率．隨著時代的發(fā)展，現(xiàn)在人們依據(jù)頻率估計概率這一原理，常用隨機模擬的方法對圓周率π進行估計．用計算機隨機產(chǎn)生m個有序數(shù)對(x，y)(x，y是實數(shù)，且0≤x≤1，0≤y≤1)，它們對應(yīng)的點在平面直角坐標(biāo)系中全部在某一個正方形的邊界及其內(nèi)部．如果統(tǒng)計出這些點中到原點的距離小于或等于1的點有n個，那么據(jù)此可估計π的值為________．(用含m，n的式子表示)
三、
解答題
43.
(·眉山)一個口袋中放有290個涂有紅、黑、白三種顏色的質(zhì)地相同的小球．若紅球的個數(shù)比黑球個數(shù)的2倍多40，從袋中任取一個球是白球的概率是.求：
(1)
袋中紅球的個數(shù)；
(2)
從袋中任取一個球是黑球的概率．
44.
(·湘潭)從－2，1，3這三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)，作為點的坐標(biāo)．
(1)
寫出該點所有可能的坐標(biāo)；
(2)
求該點在第一象限的概率．
45.
(·六盤水)端午節(jié)當(dāng)天，小明帶了四個粽子(除味道不同外，其他均相同)，其中兩個是大棗味的，另外兩個是火腿味的，準(zhǔn)備按數(shù)量平均分給小紅和小剛兩個好朋友．
(1)
請你用畫樹狀圖或列表的方法表示小紅拿到的兩個粽子的所有可能性；
(2)
請你計算小紅拿到的兩個粽子剛好是同一味道的概率．
46.
(·衡陽)為弘揚中華傳統(tǒng)文化，黔南州近期舉辦了中小學(xué)生“國學(xué)經(jīng)典大賽”．比賽項目：A.
唐詩；B.
宋詞；C.
論語；D.
三字經(jīng)．比賽形式分“單人組”和“雙人組”．
(1)
小麗參加“單人組”比賽，她從中隨機抽取一個比賽項目，恰好抽中“三字經(jīng)”的概率是________．
(2)
小紅和小明組成一個小組參加“雙人組”比賽，比賽規(guī)則如下：同一小組的兩名隊員的比賽項目不能相同，且每人只能隨機抽取一次，則恰好小紅抽中“唐詩”且小明抽中“宋詞”的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表的方法進行說明．
47.
(·白銀)在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，李燕和劉凱兩名同學(xué)設(shè)計了如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲(每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形，并在每個扇形區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字)．游戲規(guī)則如下：兩人分別同時轉(zhuǎn)動甲、乙轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)之和小于12，則李燕獲勝；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)之和等于12，則為平局；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)之和大于12，則劉凱獲勝(若指針停在等分線上，重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一扇形內(nèi)為止)．
(1)
請用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述游戲中兩數(shù)之和的所有可能的結(jié)果；
(2)
分別求出李燕和劉凱獲勝的概率．
48.
(·日照)若n是一個兩位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，則稱n為“兩位遞增數(shù)”(如13，35，56)．在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從由數(shù)字1，2，3，4，5，6構(gòu)成的所有“兩位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次．
(1)
寫出所有個位數(shù)字是5的“兩位遞增數(shù)”；
(2)
請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的“兩位遞增數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字之積能被10整除的概率．
49.
(·錦州)傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的早晨，小文媽媽為小文準(zhǔn)備了四個粽子作早點：一個棗餡粽，一個肉餡粽，兩個花生餡粽，四個粽子除內(nèi)部餡料不同外，其他一切均相同．
(1)
小文吃前兩個粽子剛好都是花生餡粽的概率為________．
(2)
若媽媽在早點中給小文再增加一個花生餡的粽子，則小文吃前兩個粽子都是花生餡粽的可能性是否會增大？請說明理由．
50.
(·常德)甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排進行畢業(yè)合影留念，請用列表或樹狀圖的方法列出所有可能的情形，并求出甲、乙兩人相鄰的概率．
51.
(·連云港)為落實“垃圾分類”，環(huán)衛(wèi)部門要求垃圾要按A，B，C三類分別裝袋，投放，其中A類指廢電池，過期藥品等有毒垃圾，B類指剩余食品等廚余垃圾，C類指塑料、廢紙等可回收垃圾．甲投放了一袋垃圾，乙投放了兩袋垃圾，這兩袋垃圾不同類．
(1)
直接寫出甲投放的垃圾恰好是A類的概率；
(2)
求乙投放的垃圾恰有一袋與甲投放的垃圾是同類的概率．
52.
(·懷化)“端午節(jié)”是我國流傳了上千年的傳統(tǒng)節(jié)日，全國各地舉行了豐富多彩的紀(jì)念活動，為了繼承傳統(tǒng)，減緩學(xué)生考前的心理壓力，某班學(xué)生組織了一次拔河比賽，裁判員讓甲、乙兩隊隊長用“石頭、剪刀、布”的手勢方式選擇場地位置，規(guī)則是石頭勝剪刀，剪刀勝布，布勝石頭，手勢相同則再決勝負(fù)．
(1)
用列表或畫樹狀圖的方法，列出甲、乙兩隊隊長手勢可能出現(xiàn)的情況．
(2)
裁判員的這種做法對甲、乙雙方公平嗎？請說明理由．
53.
(·營口)如圖，有四張背面完全相同的紙牌A，B，C，D，其正面分別畫有四個不同的幾何圖形，將這四張紙牌背面朝上洗勻．
(1)
從中隨機摸出一張，求摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率．
(2)
小明和小亮約定做一個游戲，其規(guī)則如下：先由小明隨機摸出一張紙牌，不放回，再由小亮從剩下的紙牌中隨機摸出一張，若摸出的兩張牌面圖形都是軸對稱圖形，則小明獲勝，否則小亮獲勝，這個游戲公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由．(紙牌用A，B，C，D表示)
54.
(·畢節(jié))由于只有1張市運動會開幕式的門票，小王和小張都想去，兩人商量采用轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(如圖，轉(zhuǎn)盤盤面被分為面積相等，且標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的4個扇形區(qū)域)的游戲方式?jīng)Q定誰勝誰去觀看．規(guī)則如下：兩人各轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，若兩次指針對應(yīng)盤面數(shù)字都是奇數(shù)，則小王勝；若兩次指針對應(yīng)盤面數(shù)字都是偶數(shù)，則小張勝；若兩次指針對應(yīng)盤面數(shù)字是一奇一偶，則視為平局．若為平局，繼續(xù)上述游戲，直至分出勝負(fù)．如果小王和小張按上述規(guī)則各轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，那么
(1)
小王轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針對應(yīng)盤面數(shù)字為奇數(shù)的概率為________．
(2)
該游戲是否公平？請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由．
55.
(·葫蘆島)隨著通訊技術(shù)的迅猛發(fā)展，人與人之間的溝通方式更多樣、便捷．某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了“你最喜歡的溝通方式”調(diào)查問卷(每人必選且只選一種)，在全校范圍內(nèi)隨機調(diào)查了部分學(xué)生，將統(tǒng)計結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題：
(1)
這次統(tǒng)計共抽查了________名學(xué)生，在扇形統(tǒng)計圖中，表示“QQ”的扇形圓心角的度數(shù)為________；
(2)
將條形統(tǒng)計圖補充完整；
(3)
該校共有1
500名學(xué)生，請估計該校最喜歡用“微信”進行溝通的學(xué)生人數(shù)；
(4)
某天甲、乙兩名同學(xué)都想從“微信”“QQ”“電話”三種溝通方式中選一種方式與對方聯(lián)系，請用列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙兩名同學(xué)恰好選中同一種溝通方式的概率．
　
56.
(·東營)為大力弘揚“奉獻、友愛、互助、進步”的志愿服務(wù)精神，傳播“奉獻他人、提升自我”的志愿服務(wù)理念，東營市某中學(xué)利用周末時間開展了“助老助殘、社區(qū)服務(wù)、生態(tài)環(huán)保、網(wǎng)絡(luò)文明”四個志愿服務(wù)活動(每人只參加一個活動)，九年級某班全班同學(xué)都參加了志愿服務(wù)活動，班長為了解志愿服務(wù)的情況，收集整理數(shù)據(jù)后，繪制了以下不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題：
(1)
求該班的人數(shù)；
(2)
請把折線統(tǒng)計圖補充完整；
(3)
求扇形統(tǒng)計圖中，網(wǎng)絡(luò)文明部分對應(yīng)的圓心角的度數(shù)；
(4)
小明和小麗參加了志愿服務(wù)活動，請用畫樹狀圖或列表的方法求出他們參加同一服務(wù)活動的概率．
答案
一、
B　
B　
D　
A　
D　
B　
D　
C　
B
C　
A　
B　
B　
C　
C　
C　
D　
B　
B　
D　
C
二、
(1)
不可能事件　(2)
隨機　　
紅球　
5　　　　　　　
(1)
560　(2)
15　　　　　　　　
三、
(1)
設(shè)口袋中的黑球有x個，則紅球有(2x＋40)個，∴
口袋中白球的個數(shù)為290－x－(2x＋40)＝250－3x.根據(jù)題意，得＝，解得x＝80.此時2x＋40＝200.∴
袋中紅球共有200個　(2)
從袋中任取一個球是黑球的概率為＝
(1)
畫出如圖所示的樹狀圖，∴
所有可能的坐標(biāo)為(1，3)，(1，－2)，(3，1)，(3，－2)，(－2，1)，(－2，3)　(2)
由(1)可知，共有6種等可能的結(jié)果，其中點(1，3)，(3，1)落在第一象限，∴
P(該點在第一象限)＝＝
(1)
記兩個大棗味的粽子分別為A1，A2，兩個火腿味的粽子分別為B1，B2.畫樹狀圖如圖所示　(2)
由樹狀圖可知，小紅拿到的兩個粽子一共有12種等可能的結(jié)果，其中小紅拿到的兩個粽子剛好是同一味道的有(A1，A2)、(A2，A1)、(B1，B2)、(B2，B1)這4種結(jié)果，∴
P(小紅拿到的兩個粽子剛好是同一味道的)＝＝
(1)
　(2)
畫出如圖所示的樹狀圖，從樹狀圖看出，小紅和小明分別抽出不同的比賽項目共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好小紅抽中“唐詩(A)”且小明抽中“宋詞(B)”的結(jié)果只有
1種，∴
P(恰好小紅抽中“唐詩”且小明抽中“宋詞”)＝
(1)
根據(jù)題意列表如下：
乙和甲
6
7
8
9
3
9
10
11
12
4
10
11
12
13
5
11
12
13
14
(2)
由表格可知，兩數(shù)之和共有12種等可能的結(jié)果，其中和小于12的結(jié)果有(3，6)，(3，7)，(3，8)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，共6種，和大于12的結(jié)果有(4，9)，(5，8)，(5，9)，共3種，∴
P(李燕獲勝)＝＝，P(劉凱獲勝)＝＝
(1)
根據(jù)題意，得所有個位數(shù)字是5的“兩位遞增數(shù)”有15，25，35，45，共4個　(2)
畫出如圖所示的樹狀圖，從樹狀圖看出，抽取的“兩位遞增數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字之積共有15種等可能的結(jié)果，其中個位數(shù)字與十位數(shù)字之積能被10整除的結(jié)果有3種，∴
P(個位數(shù)字與十位數(shù)字之積能被10整除)＝＝
(1)
分別用A，B，C表示棗餡粽，肉餡粽，花生餡粽，畫出如圖①所示的樹狀圖，從樹狀圖看出，小文吃前兩個粽子的餡共有12種等可能的結(jié)果，其中小文吃前兩個粽子剛好都是花生餡的有2種情況，∴
P(小文吃前兩個粽子剛好都是花生餡粽)＝＝　(2)
會增大　理由：分別用A，B，C表示棗餡粽，肉餡粽，花生餡粽，畫出如圖②所示的樹狀圖，從樹狀圖看出，小文吃前兩個粽子的餡共有20種等可能的結(jié)果，其中兩個都是花生餡的有6種結(jié)果，∴
P(小文吃前兩個粽子都是花生餡粽)＝>.∴
給小文再增加一個花生餡的粽子，則小文吃前兩個粽子都是花生餡粽的可能性會增大．
畫出如圖所示的樹狀圖，從樹狀圖看出，甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排的位置次序一共有6種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人恰好相鄰有4種結(jié)果：(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)，∴
P(甲、乙兩人相鄰)＝＝
(1)
　(2)
畫出如圖所示的樹狀圖，由樹狀圖可知，甲、乙投放的垃圾共有18種等可能的結(jié)果，其中乙投放的垃圾恰有一袋與甲投放的垃圾是同類的結(jié)果有12種，∴
P(乙投放的垃圾恰有一袋與甲投放的垃圾是同類)＝＝
(1)
畫出如圖所示的樹狀圖，所有等可能的結(jié)果為(石頭，石頭)、(石頭，剪刀)、(石頭，布)、(剪刀，石頭)、(剪刀，剪刀)、(剪刀，布)、(布，石頭)、(布，剪刀)、(布，布)　(2)
裁判員的這種做法對甲、乙雙方是公平的　理由：根據(jù)(1)得共9種等可能的結(jié)果，其中甲獲勝的結(jié)果有(石頭，剪刀)、(剪刀，布)、(布，石頭)，共3種，∴
P(甲獲勝)＝＝；其中乙獲勝的結(jié)果有(石頭，布)、(剪刀，石頭)、(布，剪刀)，共3種，∴
P(乙獲勝)＝＝.∵
P(甲獲勝)＝P(乙獲勝)，∴
裁判員的這種做法對甲、乙雙方是公平的．
(1)
在這四張背面完全相同的紙牌A，B，C，D中，正面是中心對稱圖形的有B，C，D共3種，∴
P(摸到牌面圖形是中心對稱圖形的紙牌)＝　(2)
公平　理由：畫出如圖所示的樹狀圖，從樹狀圖可以看出，小明、小亮分別摸出一張紙牌共有12種等可能的結(jié)果，其中摸出的兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的有AB，AD，BA，BD，DA，DB這6種情況，即P(小明獲勝)＝＝，∴
P(小亮獲勝)＝1－＝.∴
這個游戲規(guī)則對小明、小亮雙方是公平的．
(1)
　(2)
公平　理由：列表如下：
第二次結(jié)果第一次
1
2
3
4
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
從表中可以看出，一共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次指針?biāo)笖?shù)字都是偶數(shù)或都是奇數(shù)的共有4種結(jié)果，∴
P(小王勝)＝＝，P(小張勝)＝＝.∴
P(小王勝)＝P(小張勝)．∴
這個游戲?qū)﹄p方是公平的．
(1)
100　108°　(2)
最喜歡用短信的人數(shù)為100×5%＝5，最喜歡用微信的人數(shù)為100－20－5－30－5＝40，根據(jù)上述數(shù)據(jù)補圖略　(3)
最喜歡用微信溝通的人數(shù)所占百分比為×100%＝40%，∴
估計該校最喜歡用“微信”進行溝通的學(xué)生有1
500×40%＝600(人)　(4)
畫出如圖所示的樹狀圖，從樹狀圖可以看出，甲、乙兩名同學(xué)從三種溝通方式中選一種共有9種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好選中同一種溝通方式有(微信，微信)、(QQ，QQ)、(電話，電話)這3種情況，∴
P(甲、乙兩名同學(xué)恰好選中同一種溝通方式)＝＝
(1)
該班全部學(xué)生有12÷25%＝48(人)　(2)
48×50%＝24(人)，補充折線統(tǒng)計圖如圖所示　(3)
網(wǎng)絡(luò)文明部分對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為360°×＝45°　(4)
分別用“1，2，3，4”代表“助老助殘、社區(qū)服務(wù)、生態(tài)環(huán)保、網(wǎng)絡(luò)文明”四個服務(wù)活動，列表如下：
小明結(jié)果小麗
1
2
3
4
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
從上述表格中可以看出，小明和小麗參加志愿服務(wù)活動共有16種等可能的情況，其中他們參加同一活動的有(1，1)、(2，2)、(3，3)、(4，4)這4種情況，∴
P(他們參加同一服務(wù)活動)＝＝滬科版九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)與解直角三角形專題（含答案）
一、
選擇題
1.
(·日照)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，則sin
A的值為(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
2.
(·阿壩州)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB的長為m，∠A＝35°，則直角邊BC的長是(　　)
A.
msin
35°　　B.
mcos
35°　　C.
　　D.
　　　　
3.
(·湖州)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則cos
B的值是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
4.
(·哈爾濱)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，則cos
B的值為(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
5.
(·金華)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則tan
A的值是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
6.
(·懷化)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(3，4)，那么sin
α的值是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
　　　　
7.
(·宜昌)△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示(每個小正方形的邊長為1)，AD⊥BC于點D.下列選項中，錯誤的是(　　)
A.
sin
α＝cos
α　　B.
tan
C＝2　　
C.
sin
β＝cos
β　　D.
tan
α＝1
8.
(·云南)sin
60°的值為(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
9.
(·天津)cos
60°的值為(　　)
A.
　　B.
1　　C.
　　D.
10.
(·聊城)在Rt△ABC中，cos
A＝，那么sin
A的值是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
11.
(·溫州)如圖，一輛小車沿傾斜角為α的斜坡向上行駛13
m．若cos
α＝，則小車上升的高度是(　　)
A.
5
m　　B.
6
m　　C.
6.5
m　　D.
12
m
12.
(·天水)在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cos
B的值為(　　)
A.
　
　　B.
　　C.
　　D.
13.
(·廣安)如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H.若cos∠CDB＝，BD＝5，則OH的長度為(　　)
A.
　　B.
　　C.
1　　D.
　　　　
14.
(·黃石)如圖，⊙O為四邊形ABCD的外接圓，點O為圓心．若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，則⊙O的半徑為(　　)
A.
　　B.
　　
C.
　　D.
15.
(·黃石)如圖，在△ABC中，E為BC邊的中點，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝，則∠CDE＋∠ACD等于(　　)
A.
60°　　B.
75°　　C.
90°　　D.
105°
　　　　
16.
(·濱州)如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，D是CB延長線上的一點，且BD＝BA，則
tan∠DAC
的值為(　　)
A.
2＋　　B.
2　　C.
3＋
　　D.
3
17.
(·六盤水)三角形的兩邊a，b的夾角為60°，且滿足方程x2－3x＋4＝0，則第三邊的長是(　　)
A.
　　B.
2　　C.
2　　D.
3
18.(·荊門)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等邊三角形AOB的邊長為6，點C在邊OA上，點D在邊AB上，且OC＝3BD，反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象恰好經(jīng)過點C和點D，則k的值為(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
19.(·瀘州)如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點，AE⊥BD，垂足為F，則
tan∠BDE
的值是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
20.
(·杭州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E為AC邊的中點，線段BE的垂直平分線交邊BC于點D.設(shè)BD＝x，tan∠ACB＝y(tǒng)，則(　　)
A.
x－y2＝3　　　B.
2x－y2＝9　　
C.
3x－y2＝15　　D.
4x－y2＝21
二、
填空題
21.
(1)
(·大慶)計算：2sin
60°＝________；
(2)
(·陜西)計算：tan
38°15′≈________．(結(jié)果精確到0.01)
22.
(·煙臺)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，則sin
＝________．
23.
(·廣州)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tan
A＝，則AB＝________．
24.
(·攀枝花)如圖，在?ABCD中，CH⊥AD，垂足為H.若tan∠ABC＝2，且
AB＝2，則CH＝________．
25.
(·臨沂)如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O.若AB＝4，BD＝10，sin∠BDC＝，則?ABCD的面積是________．
26.
(·海南)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，點E在DC上．將矩形ABCD沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，那么cos∠EFC的值是________．
27.
(·包頭)如圖，在矩形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是BC上一點，且FC＝2BF，連接AE，EF.若AB＝2，AD＝3，則cos∠AEF的值是________．
28.
(·寧波)如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°.將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F，G分別在邊AB，AD上，則cos∠EFG的值為________．
29.
(·貴港)如圖，點P在等邊三角形ABC的內(nèi)部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10.將線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P′C，連接AP′，則sin∠PAP′的值為________．
30.
(·無錫)在如圖所示的正方形方格紙中，每個小方格都是相同的正方形，點A，B，C，D都在格點處，AB與CD相交于點O，則tan∠BOD＝________．
31.
(·舟山)如圖，把n個邊長為1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，計算tan∠BA4C＝________，….按此規(guī)律，寫出
tan∠BAnC＝__________．(用含n的代數(shù)式表示)
32.
(·義烏)以Rt△ABC的銳角頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，與邊AB，AC各相交于一點，再分別以這兩個交點為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，過兩弧的交點與點A作直線，與邊BC交于點D.若∠ADB＝60°，點D到AC的距離為2，則AB的長為________．
33.
(·涼山州)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為4的⊙O中，且∠C＝2∠A，則BD＝________．
34.
(·通遼)如圖，直線y＝－x－與x軸，y軸分別交于點A，B，與反比例函數(shù)y＝的圖象在第二象限交于點C，過點A作x軸的垂線交該反比例函數(shù)的圖象于點D.若AD＝AC，則點D的坐標(biāo)為____________．
35.
(·自貢)如圖，等腰三角形ABC內(nèi)接于⊙O.若AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直徑，CD＝，則
AD＝________．
36.
(·隨州)如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，P是OA上一動點，N(3，0)是OB上一定點，M是ON的中點，∠AOB＝30°，要使PM＋PN最小，則點P的坐標(biāo)為____________．
37.
(·威海)如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2.若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB＝∠ACP，則線段PB長度的最小值為________．
38.
(·龍東五市)在△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，則△ABC的面積是________________．
39.
(·株洲)如圖，直線y＝x＋與x軸，y軸分別交于點A，B.當(dāng)直線繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到與x軸首次重合時，點B運動的路徑的長度是________．
40.
(·山西)一副三角尺按如圖所示的方式擺放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°，E為AB的中點，過點E作EF⊥CD于點F.若AD＝4
cm，則EF的長為____________cm.
41.
(·綿陽)如圖，過銳角三角形ABC的頂點A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延長線于點F.在AF上取點M，使得AM＝AF，連接CM并延長交直線DE于點H.若AC＝2，△AMH的面積是，則的值是________．
三、
解答題
42.
(·福建)小明在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：
sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.994
5，
sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.001
8，
sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.987
3，
sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.000
0，
sin245°＋sin245°＝＋＝1.
據(jù)此，小明猜想：對于任意銳角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.
(1)
當(dāng)α＝30°時，驗證sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立．
(2)
小明的猜想是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請舉出一個反例．
43.
(·包頭)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分線，DE∥BA交AC于點E，DF∥CA交AB于點F，已知CD＝3.求：
(1)
AD的長；
(2)
四邊形AEDF的周長．
44.
(·上海)如圖，一座鋼結(jié)構(gòu)橋梁的框架是△ABC，水平橫梁BC長18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中點，且AD⊥BC.
(1)
求sin
B的值；
(2)
現(xiàn)需要加裝支架DE，EF，其中點E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足為F，求支架DE的長．
45.
(·廣州)如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝2.
(1)
利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線DE，垂足為E，交AB于點D；(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)
若△ADE的周長為a，先化簡T＝(a＋1)2－a(a－1)，再求T的值．
46.
(·寧波)在一次課題學(xué)習(xí)中，老師讓同學(xué)們合作編題，某學(xué)習(xí)小組受趙爽弦圖的啟發(fā)，編寫了下面這道題，請你來解一解：
如圖，將矩形ABCD的四邊BA，CB，DC，AD分別延長至E，F(xiàn)，G，H四點，使得AE＝CG，BF＝DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE.
(1)
求證：四邊形EFGH為平行四邊形；
(2)
若矩形ABCD是邊長為1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的長．
47.
(·廣安)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與直徑AB相交于點F.點E在⊙O外，作直線AE，且∠EAC＝∠D.
(1)
求證：直線AE是⊙O的切線；
(2)
若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝，CF＝，求BF的長．
48.
(·武漢)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，CO的延長線交AB于點D.
(1)
求證：AO平分∠BAC；
(2)
若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的長．
49.
(·包頭)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，過點B的切線BP與CD的延長線交于點P，連接OC，CB.
(1)
求證：AE·EB＝CE·ED；
(2)
若⊙O的半徑為3，OE＝2BE，＝，求tan∠OBC的值及DP的長．
50.
(·寧夏)在邊長為2的等邊三角形ABC中，P是BC邊上任意一點，過點
P分別作
PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分別為M，N.
(1)
求證：不論點P在BC邊的何處時都有PM＋PN的長恰好等于△ABC一邊上的高．
(2)
當(dāng)BP的長為何值時，四邊形AMPN的面積最大？并求出最大值．
51.(·赤峰)如圖①，在△ABC中，設(shè)∠BAC，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，過點A作AD⊥BC，垂足為D，則sin
C＝，即AD＝AC·sin
C，則S△ABC＝BC·AD＝·BC·ACsin
C＝ab
sin
C，∴
S△ABC＝ab
sin
C．同理，S△ABC＝bc
sin
A，S△ABC＝ac
sin
B.
通過推理還可以得到另一個表達(dá)三角形邊角關(guān)系的定理——余弦定理：
如圖②，在△ABC中，若∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則a2＝b2＋c2－2bccos
A,
b2＝a2＋c2－2accos
B，c2＝a2＋b2－2abcos
C.
用上面的三角形面積公式和余弦定理解決問題：
(1)
如圖③，在△DEF中，∠F＝60°，∠D，∠E的對邊分別長3和8.求S△DEF和DE2.
S△DEF＝EF·DF
sin
F＝________；
DE2＝EF2＋DF2－2EF·DF
cos
F＝________．
(2)
如圖④，在△ABC中，AC>BC，∠C＝60°，△ABC′，△BCA′，△ACB′分別是以AB，BC，AC為邊的等邊三角形．設(shè)△ABC，△ABC′，△BCA′，△ACB′的面積分別為S1，S2，S3，S4，求證：S1＋S2＝S3＋S4.
52.
(·鎮(zhèn)江)【回顧】
如圖①，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝3，BC＝4，則△ABC的面積為________；
【探究】
如圖②是同學(xué)們熟悉的一副三角尺，一個含有30°的角，較短的直角邊長為a；另一個含有45°的角，直角邊長為b.小明用兩副這樣的三角尺拼成一個平行四邊形ABCD(如圖③)，用了兩種不同的方法計算它的面積，從而推出sin
75°＝.小軍用兩副這樣的三角尺拼成一個矩形EFGH(如圖④)，也推出sin
75°＝.
請你寫出小明或小軍推出sin
75°＝的具體說理過程．
1.
銳角三角函數(shù)與解直角三角形
一、
B　
A　
A　
A　
A　
C　
C　
B　
D
B　
A　
B　
D　
D　
C　
A　
A
A　
A　
B
二、
(1)
　(2)
2.03　　
17　
4　
24　　　　　
3　　
　
2　
4　
(－3，2)　
4　　　
21或15　　
(＋)　
8－
三、
(1)
當(dāng)α＝30°時，sin2α＋sin2(90°－α)＝sin230°＋sin260°＝＋＝＋＝1　(2)
小明的猜想成立　如圖，設(shè)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，則∠B＝90°－α，∴
sin2α＋sin2(90°－α)＝＋＝＝＝1
(1)
∵
∠C＝90°，∠B＝30°，∴
∠CAB＝60°.∵
AD是△ABC的角平分線，∴
∠CAD＝∠CAB＝30°.∵
在
Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，CD＝3，∴
AD＝2CD＝6　(2)
∵
DE∥BA，DF∥CA，∴
∠CDE＝∠B＝30°，∠EAD＝∠ADF，四邊形AEDF是平行四邊形．∵
AD平分∠CAB，∴
∠EAD＝∠DAF.∴
∠ADF＝∠DAF.∴
AF＝DF.∴
?AEDF是菱形．∴
AE＝DE＝DF＝AF.∵
在Rt△CED中，CD＝3，∠CDE＝30°，∴
DE＝＝2.∴
四邊形AEDF的周長為2×4＝8
(1)
∵
BC＝18米，D是BC的中點，∴
BD＝DC＝9米．∵
AD⊥BC,
AD＝6米，∴
在Rt△ABD中，AB＝＝＝3(米)．∴
sin
B＝＝＝　(2)
∵
BE＝2AE，∴
＝.∵
AD⊥BC，EF⊥BC，∴
EF∥AD.∴
△BEF∽△BAD.∴
＝＝＝，即＝＝.∴
EF＝4，BF＝6.∴
DF＝3.∴
在Rt△DEF中，DE＝＝＝5
(1)
如圖，DE即為所求　(2)
∵
DE垂直平分AC，∴
DE⊥AC，AE＝AC＝.∵
在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴
DE＝AE·tan
30°＝1，AD＝＝2.∴
△ADE的周長a＝1＋2＋＝3＋.∵
T＝(a＋1)2－a(a－1)＝3a＋1，∴
當(dāng)a＝3＋時，T＝3×(3＋)＋1＝10＋3
(1)
∵
四邊形ABCD是矩形，∴
AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°.∴
∠EAH＝∠GCF＝90°.∵
BF＝DH，∴
AH＝CF.∵
AE＝CG，∴
△EAH≌△GCF(SAS)．∴
EH＝GF.同理，EF＝GH.∴
四邊形EFGH為平行四邊形　(2)
在正方形ABCD中，AB＝AD＝1，設(shè)AE＝x，則BE＝x＋1.在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，∴
BE＝BF.∵
BF＝DH，∴
DH＝BE＝x＋1.∴
AH＝AD＋DH＝x＋2.∵
在Rt△AEH中，tan∠AEH＝2，∴
＝2.∴
AH＝2AE.∴
2＋x＝2x，解得x＝2.∴
AE＝2
(1)
∵
AB是⊙O的直徑，∴
∠ACB＝90°.∴
在△ACB中，∠B＋∠CAB＝90°.∵
∠EAC＝∠D，∠D＝∠B，∴
∠EAC＋∠CAB＝90°，即∠BAE＝90°.∴
BA⊥AE.∴
直線AE是⊙O的切線　(2)
∵
在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，BC＝4，∴
AB＝2BC＝2×4＝8.由勾股定理，得CA＝＝4.如圖，連接BD.∵
AB是⊙O的直徑，∴
∠ADB＝90°.∵
在Rt△ADB中，cos∠BAD＝＝，∴
＝.∴
AD＝6.由勾股定理，得BD＝＝2.∵
∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，∴
△DFB∽△AFC.∴
＝.∵
CF＝，∴
＝.∴
BF＝
(1)
如圖，延長AO交BC于點H，連接OB.∵
AC＝AB，OC＝OB，∴
點A，O在線段CB的中垂線上．∴
OA⊥CB.∵
AC＝AB，∴
AO平分∠BAC　(2)
如圖，過點D作DK⊥AO于點K.∵
由(1)，知OC＝OB，AO⊥BC，BC＝6，∴
BH＝CH＝BC＝3，∠COH＝∠BOC.∵
∠BAC＝∠BOC，∴
∠COH＝∠BAC.∵
在Rt△COH中，∠OHC＝90°，CH＝3，∴
sin∠COH＝＝＝.∴
CO＝AO＝5.∴
OH＝＝4.∴
AH＝AO＋OH＝4＋5＝9.在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，AH＝9，CH＝3，∴
tan∠CAH＝＝，AC＝＝＝3.由(1)，知∠CAH＝∠BAH，∴
tan∠BAH＝tan∠CAH＝.設(shè)DK＝3a，則在
Rt△ADK中，AK＝9a.在Rt△DOK中，∵
tan∠DOK＝tan∠COH＝，∴
OK＝4a，OD＝5a.∴
AO＝OK＋AK＝13a＝5.∴
a＝，OD＝5a＝.∴
CD＝OC＋OD＝5＋＝
(1)
如圖，連接AD.∵
∠A＝∠BCD，∠AED＝∠CEB，∴
△AED∽△CEB.∴
＝.∴
AE·EB＝CE·ED
(2)
∵
⊙O的半徑為3，∴
OA＝OB＝OC＝3.∵
OE＝2BE，∴
OE＝2，BE＝1，AE＝5.由＝，可設(shè)CE＝9x，DE＝5x(x>0)．∵
AE·EB＝CE·ED，∴
5×1＝9x·5x，解得x＝.∴
CE＝9x＝3，DE＝5x＝.如圖，過點C作CF⊥AB于點F.∵
OC＝CE＝3，∴
OF＝EF＝OE＝1.∴
BF＝2.∴
CF＝＝2.∵
在Rt△CFB中，∠CFB＝90°，∴
tan∠OBC＝＝＝.∵
CF⊥AB于點F，∴
∠CFB＝90°.∵
BP是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，∴
∠EBP＝90°.∴
∠CFB＝∠EBP.在△CFE和△PBE中，∴
△CFE≌△PBE.∴
EP＝EC＝3.∴
DP＝EP－ED＝3－＝
(1)
如圖，連接AP，過點C作CD⊥AB于點D，則CD是△ABC的邊AB上的高．∵
△ABC是等邊三角形，∴
AB＝AC.∵
S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，∴
AB·CD＝AB·PM＋AC·PN，即AB·CD＝AB·PM＋AB·PN，∴
PM＋PN＝CD.因此不論點P在BC邊的何處時都有PM＋PN的長恰好等于△ABC一邊上的高　(2)
設(shè)BP＝x，則CP＝2－x.∵
△ABC是等邊三角形，∴
∠B＝∠C＝60°.∵
CD⊥AB，∴
CD＝CB·sin
60°＝2×＝.∵
PM⊥AB，PN⊥AC，∴
BM＝
BP·cos
60°＝x，PM＝
BP·sin
60°＝x，CN＝
CP·cos
60°＝(2－x)，PN＝CP·sin
60°＝(2－x)．∴
S四邊形AMPN＝S△ABC－S△BMP－S△CNP＝×2×－×x×x－×(2－x)×(2－x)＝－x2＋x＋＝－(x－1)2＋.∴
當(dāng)BP＝1時，四邊形AMPN的面積最大，最大是
(1)
6　49　(2)
方法1：∵
∠ACB＝60°，∴
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos
60°＝AC2＋BC2－AC·BC.兩邊同時乘sin
60°，得AB2sin
60°＝AC2sin
60°＋BC2sin
60°－AC·BCsin
60°.∵
△ABC′，△BCA′，△ACB′是等邊三角形，∴
S1＝AC·BCsin
60°，S2＝AB2sin
60°，S3＝BC2sin
60°，S4＝AC2sin
60°.∴
S2＝S4＋S3－S1.∴
S1＋S2＝S3＋S4.方法2：令∠BAC，∠ABC，∠ACB的對邊分別為a，b，c，∴
S1＝ab
sin∠ACB＝ab
sin
60°＝ab.∵
△ABC′，△BCA′，△ACB′是等邊三角形，∴
S2＝c·c·sin
60°＝c2，S3＝a·a·sin
60°＝a2，S4＝b·b·sin
60°＝b2.∴
S1＋S2＝(ab＋c2)，S3＋S4＝(a2＋b2)．∵
c2＝a2＋b2－2ab·cos∠ACB＝a2＋b2－2ab·cos
60°，∴
a2＋b2＝c2＋ab.∴
S1＋S2＝S3＋S4
3　小明的說理過程如下：如圖①，設(shè)圖形內(nèi)部四邊形的頂點為P，Q，M，N，過點A作AK⊥BC于點K.由拼圖知，四邊形PQMN是矩形．在Rt△ABP中，∠APB＝90°，∠ABP＝30°，AP＝a，∴
AB＝2a，BP＝a.在Rt△BCQ中，∠BQC＝90°，∠CBQ＝45°，∴
BQ＝CQ＝b，BC＝b.在Rt△ABK中，∠AKB＝90°，∠ABK＝75°，AB＝2a，∴
AK＝sin
75°×AB＝2a·sin
75°.∵
AD＝BC，AB＝DC，∴
四邊形ABCD是平行四邊形．∴
S?ABCD＝BC·AK＝2ab·sin
75°.又∵
S?ABCD＝2S△ABP＋2S△BCQ＋S矩形PQMN＝a2＋b2＋(a－b)(b－a)＝(＋1)ab，∴
2ab·sin
75°＝(＋1)ab.∴
sin
75°＝＝
小軍的說理過程如下：如圖②，設(shè)圖形內(nèi)部四邊形的頂點為P，Q，M，N，作NK⊥PQ于點K.由拼圖知，四邊形EFGH是矩形．在Rt△PNE中，∠PEN＝90°，∠PNE＝30°，PE＝a，∴
PN＝2a，NE＝a.在Rt△PFQ中，∠PFQ＝90°，∠FPQ＝45°，∴
PF＝QF＝b，PQ＝b.在Rt△PNK中，∠PKN＝90°，∠NPK＝180°－60°－45°＝75°，∴
NK＝sin
75°×PN＝2a·sin
75°.∵
PQ＝MN，PN＝QM，∴
四邊形PQMN是平行四邊形．∴
S?PQMN＝PQ·NK＝2ab·sin
75°.又∵
S矩形EFGH＝2S△PNE＋2S△PFQ＋S?PQMN＝a2＋b2＋2ab·sin
75°，S矩形EFGH＝FG·EF＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋b2＋(＋1)ab，∴
a2＋b2＋2ab·sin
75°＝a2＋b2＋(＋1)ab.∴
sin
75°＝＝滬科版九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)統(tǒng)計專題（含答案）
一、
選擇題
1.
(·西寧)下列調(diào)查中，適合采用全面調(diào)查(普查)方式的是(　　)
A.
了解西寧電視臺“教育在線”欄目的收視率
B.
了解青海湖斑頭雁種群數(shù)量
C.
了解全國快遞包裹產(chǎn)生包裝垃圾的數(shù)量
D.
了解某班同學(xué)跳繩的成績
2.
(·重慶)下列調(diào)查中，最適合采用抽樣調(diào)查的是(　　)
A.
對某地區(qū)現(xiàn)有的16名百歲以上老人睡眠時間的調(diào)查
B.
對“神舟十一號”運載火箭發(fā)射前零部件質(zhì)量情況的調(diào)查
C.
對某校九年級三班學(xué)生視力情況的調(diào)查
D.
對某市場上某一品牌電腦使用壽命的調(diào)查
3.
(·內(nèi)江)為了解某市老人的身體健康狀況，需要抽取部分老人進行調(diào)查，下列抽取老人的方法最合適的是(　　)
A.
隨機抽取100位女性老人　　
B.
隨機抽取100位男性老人
C.
隨機抽取公園內(nèi)100位老人　　
D.
在城市和鄉(xiāng)鎮(zhèn)各選10個點，每個點任選5位老人
4.
(·畢節(jié))為估計魚塘中的魚的數(shù)量，可以先從魚塘中隨機打撈50條魚，在每條魚身上做上記號后，把這些魚放歸魚塘，經(jīng)過一段時間，等這些魚完全混合于魚群后，再從魚塘中隨機打撈50條魚，發(fā)現(xiàn)只有2條魚是前面做好記號的，那么可以估計這個魚塘魚的數(shù)量約為(　　)
A.
1
250條
　　B.
1
750條
　　
C.
2
500條
　　D.
5
000條
5.
(·安徽)為了解某校學(xué)生今年“五一”期間參加社團活動時間的情況，隨機抽查了其中100名學(xué)生進行統(tǒng)計，并繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，已知該校共有1
000名學(xué)生，據(jù)此估計，該校五一期間參加社團活動時間在8～10小時之間的學(xué)生人數(shù)大約是(　　)
A.
280　　B.
240　　C.
300　　D.
260
6.
某校對全體學(xué)生開展心理健康知識測試，七、八、九三個年級共有800名學(xué)生，各年級的合格人數(shù)如下表所示，則下列說法正確的是(　　)
年　級
七年級
八年級
九年級
合格人數(shù)
270
262
254
A.
七年級的合格率最高
B.
八年級的學(xué)生人數(shù)為262
C.
八年級的合格率高于全校的合格率
D.
九年級的合格人數(shù)最少
7.
(·通遼)空氣是混合物，為直觀介紹空氣中各成分的百分比，最適合用的統(tǒng)計圖是(　　)
A.
折線圖　　B.
條形圖　　C.
直方圖　D.
扇形圖
8.
(·溫州)某校學(xué)生到校方式情況的統(tǒng)計圖如圖所示，若該校步行到校的學(xué)生有100人，則乘公共汽車到校的學(xué)生有(　　)
A.
75人　　B.
100人　　C.
125人　　D.
200人
9.
(·呼和浩特)如圖是根據(jù)某市2010年至2014年工業(yè)生產(chǎn)總值繪制的折線統(tǒng)計圖．觀察統(tǒng)計圖獲得以下信息，其中錯誤的是(　　)
A.
2010年至2014年間工業(yè)生產(chǎn)總值逐年增加
B.
2014年的工業(yè)生產(chǎn)總值比前一年增加了40億元
C.
2012年與2013年每一年與前一年比，其增長額相同
D.
從2011年至2014年，每一年與前一年比，2014年的增長率最大
10.
(·宜賓)某單位組織職工開展植樹活動，植樹量與人數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，下列說法不正確的是(　　)
A.
參加本次植樹活動的共有30人　　
B.
每人植樹量的眾數(shù)是4棵
C.
每人植樹量的中位數(shù)是5棵　　
D.
每人植樹量的平均數(shù)是5棵
11.
(·百色)九年級(2)班同學(xué)根據(jù)興趣分成五個小組，各小組人數(shù)分布如圖所示，則在扇形圖中，第一小組對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是(　　)
A.
45°　　B.
60°　　C.
72°　　D.
120°
12.
(·六盤水)國產(chǎn)大飛機C919用數(shù)學(xué)建模的方法預(yù)測的價格是(單位：美元)：5
098，5
099，5
001，5
002，4
990，4
920，5
080，5
010，4
901，4
902，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是(　　)
A.
5
000.3　　B.
4
999.7　　C.
4
997
　　D.
5
003
13.
(·聊城)為了滿足顧客的需求，某商場將5
kg奶糖，3
kg酥心糖和2
kg水果糖混合成什錦糖出售．已知奶糖的售價為每千克40元，酥心糖為每千克20元，水果糖為每千克15元，混合后什錦糖的售價應(yīng)為每千克(　　)
A.
25元　　B.
28.5元　　C.
29元　　D.
34.5元
14.
(·郴州)在創(chuàng)建“全國園林城市”期間，郴州市某中學(xué)組織共青團員去植樹，其中七名同學(xué)植樹的棵數(shù)分別為3，1，1，3，2，3，2，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是(　　)
A.
3，2　　B.
2，3　　C.
2，2　　D.
3，3
15.
(·泰安)某班學(xué)生積極參加獻愛心活動，該班50名學(xué)生的捐款統(tǒng)計情況如下表：
金額/元
5
10
20
50
100
人　數(shù)
4
16
15
9
6
則他們捐款金額的中位數(shù)和平均數(shù)分別是(　　)
A.
10元，20.6元　　B.
20元，20.6元　　
C.
10元，30.6元　　D.
20元，30.6元
16.
(·常德)如圖是根據(jù)我市某天七個整點時的氣溫繪制成的統(tǒng)計圖，則這七個整點時氣溫的中位數(shù)和平均數(shù)分別是(　　)
A.
30
℃，28
℃　　B.
26
℃，26
℃　　
C.
31
℃，30
℃　　D.
26
℃，22
℃
17.
(·安順)如圖是根據(jù)某班40名同學(xué)一周的體育鍛煉情況繪制的條形統(tǒng)計圖．那么該班40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是(　　)
A.
16小時，10.5小時　　B.
8小時，9小時　　
C.
16小時，8.5小時　　D.
8小時，8.5小時
18.
(·畢節(jié))對一組數(shù)據(jù)：－2，1，2，1，下列說法不正確的是(　　)
A.
平均數(shù)是1
　　B.
眾數(shù)是1　　
C.
中位數(shù)是1
　　D.
極差是4
19.
(·南充)某校數(shù)學(xué)興趣小組在一次數(shù)學(xué)課外活動中，隨機抽查該校10名同學(xué)參加今年初中學(xué)業(yè)水平考試的體育成績，得到的結(jié)果如下表：
成績/分
36
37
38
39
40
人　數(shù)
1
2
1
4
2
下列說法正確的是(　　)
A.
這10名同學(xué)體育成績的中位數(shù)為38分　　
B.
這10名同學(xué)體育成績的平均數(shù)為38分
C.
這10名同學(xué)體育成績的眾數(shù)為39分　　
D.
這10名同學(xué)體育成績的方差為2分2
20.
(·棗莊)下表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數(shù)與方差：
甲
乙
丙
丁
平均數(shù)/cm
185
180
185
180
方差/cm2
3.6
3.6
7.4
8.1
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽，應(yīng)該選擇(　　)
A.
甲　　B.
乙　　C.
丙　　D.
丁
21.
(·濰坊)甲、乙、丙、丁四名射擊運動員在選拔賽中，每人射擊了10次，甲、乙兩人的成績?nèi)缦卤硭荆⒍扇说某煽內(nèi)鐖D所示．欲選一名運動員參賽，從平均數(shù)與方差兩個因素分析，應(yīng)選(　　)
甲
乙
平均數(shù)/環(huán)
9
8
方差/環(huán)2
1
1
　第21題
A.
甲　　B.
乙　　C.
丙　　D.
丁
22.
(·德州)某專賣店專營某品牌的襯衫，店主對上一周中不同尺碼的襯衫銷售情況統(tǒng)計如下表：
尺碼/碼
39
40
41
42
43
平均每天銷售數(shù)量/件
10
12
20
12
12
該店主決定本周進貨時，增加一些41碼的襯衫，影響該店主決策的統(tǒng)計量是(　　)
A.
平均數(shù)　　B.
方差　　C.
眾數(shù)　　D.
中位數(shù)
23.
(·盤錦)在我市舉辦的中學(xué)生“爭做文明盤錦人”演講比賽中，有15名學(xué)生進入決賽，他們決賽的成績各不相同，小明想知道自己能否進入前8名，不僅要了解自己的成績，還要了解這15名學(xué)生成績的(　　)
A.
眾數(shù)　　B.
方差　　C.
平均數(shù)　　D.
中位數(shù)
24.
(·南通)一組數(shù)據(jù)：1，2，2，3，若添加一個數(shù)據(jù)2，則發(fā)生變化的統(tǒng)計量是(　　)
A.
平均數(shù)　　B.
中位數(shù)　　C.
眾數(shù)　　D.
方差
25.
(·寧波)若一組數(shù)據(jù)：2，3，x，5，7的眾數(shù)為7，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為(　　)
A.
2　　B.
3　　C.
5
　　D.
7
26.
(·牡丹江)一組數(shù)據(jù)：1，5，7，x的眾數(shù)與中位數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是(　　)
A.
6　　B.
5　　C.
4.5　　D.
3.5
27.
(·雞西)一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：a，3，4，4，6(a為正整數(shù))，唯一的眾數(shù)是4，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是(　　)
A.
3.6　　B.
3.8　　
C.
3.6或3.8　　D.
4.2
28.
(·舟山)已知一組數(shù)據(jù)：a，b，c的平均數(shù)為5，方差為4，那么數(shù)據(jù)：a－2，b－2，c－2的平均數(shù)和方差分別是(　　)
A.
3，2　　B.
3，4　　C.
5，2　　D.
5，4
29.
(·鎮(zhèn)江)根據(jù)下表中的信息解決問題：
數(shù)　據(jù)
37
38
39
40
41
頻　數(shù)
8
4
5
a
1
若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不大于38，則符合條件的正整數(shù)a的取值共有(　　)
A.
3個　　B.
4個　　C.
5個　　D.
6個
30.(·泰州)某科普小組有5名成員，身高分別為(單位：cm)：160，165，170，163，167.增加1名身高為165
cm的成員后，現(xiàn)科普小組成員的身高與原來相比，下列說法正確的是(　　)
A.
平均數(shù)不變，方差不變　B.
平均數(shù)不變，方差變大
C.
平均數(shù)不變，方差變小　D.
平均數(shù)變小，方差不變
二、
填空題
31.
(·賀州)為了調(diào)查某市中小學(xué)生對“營養(yǎng)午餐”的滿意程度，適合采用的調(diào)查方式是________．(填“普查”或“抽樣調(diào)查”)
32.
(·常德)彭山的枇杷大又甜，在今年5月18日“彭山枇杷節(jié)”期間，從山上5棵枇杷樹上采摘到了200千克枇杷，請估計彭山近600棵枇杷樹今年一共收獲了枇杷________千克．
33.
(·益陽)學(xué)習(xí)委員調(diào)查本班學(xué)生課外閱讀情況，對學(xué)生喜愛的書籍進行分類統(tǒng)計，其中“古詩詞類”的頻數(shù)為12，頻率為0.25，那么被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為________．
34.
(·玉林)如圖是小強根據(jù)全班同學(xué)喜愛四類電視節(jié)目的人數(shù)而繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，則喜愛“體育”節(jié)目的人數(shù)是________．
35.
(·大慶)已知一組數(shù)據(jù)：3，5，x，7，9的平均數(shù)為6，則x＝________．
36.
(·張家界)某校組織學(xué)生參加植樹活動，活動結(jié)束后，統(tǒng)計了九年級(1)班50名學(xué)生每人植樹的情況，繪制了如下的統(tǒng)計表：
植樹棵數(shù)
3
4
5
6
人　數(shù)
20
15
10
5
那么這50名學(xué)生平均每人植樹________棵．
37.
(·新疆)某餐廳供應(yīng)單價為10元、18元、25元三種價格的抓飯，如圖是該餐廳某月銷售抓飯情況的扇形統(tǒng)計圖，根據(jù)該統(tǒng)計圖可算得該餐廳銷售抓飯的平均單價為________元．
38.
(1)
(·沈陽)一組數(shù)據(jù)：2，3，5，5，6，7的中位數(shù)是________；
(2)
(·揚州)為了了解某班數(shù)學(xué)成績情況，抽樣調(diào)查了13份試卷成績，結(jié)果如下：3個140分，4個135分，2個130分，2個120分，1個100分，1個80分．則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為________分；
(3)
(·重慶)某同學(xué)在體育訓(xùn)練中統(tǒng)計了自己五次“1分鐘跳繩”成績，并繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，這五次“1分鐘跳繩”成績的中位數(shù)是________個．
39.
(1)
(·岳陽)在環(huán)保整治行動中，某市環(huán)保局對轄區(qū)內(nèi)的單位進行了抽樣調(diào)查，他們的綜合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________，眾數(shù)是________；
(2)
(·咸寧)小明的爸爸是個“健步走”運動愛好者，他用手機軟件記錄了某個月(30天)每天健步走的步數(shù)，并將記錄結(jié)果繪制成了如下統(tǒng)計表：
步數(shù)/萬
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
天　數(shù)
3
7
5
12
3
在這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是________．
40.
(·綏化)在一次射擊訓(xùn)練中，某位選手五次射擊的環(huán)數(shù)分別為5，8，7，6，9，則這位選手五次射擊環(huán)數(shù)的方差為________．
41.
(·長沙)甲、乙兩名同學(xué)進行跳高測試，每人10次跳高的平均成績恰好是1.6米，方差分別是S＝1.2米2，S＝0.5米2，則在本次測試中，________同學(xué)的成績更穩(wěn)定．(填“甲”或“乙”)
42.
(·遼陽)甲、乙、丙、丁四名射擊運動員分別連續(xù)射靶10次，他們各自的平均成績及其方差如下表：
甲
乙
丙
丁
平均成績/環(huán)
8.6
8.4
8.6
7.6
方差/環(huán)2
0.94
0.74
0.56
1.92
如果選一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參賽，那么應(yīng)選擇的運動員是________．
43.
(1)
(·黔西南州)若一組數(shù)據(jù)：3，4，x，6，8的平均數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________；
(2)
(·江西)已知一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：2，5，x，y，2x，11的平均數(shù)與中位數(shù)都是7，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________．
44.
(·溫州)數(shù)據(jù)1，3，5，12，a，其中整數(shù)a是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是____________．
三、
解答題
45.
(·德州)隨著移動終端設(shè)備的升級換代，手機已經(jīng)成為我們生活中不可缺少的一部分，為了解中學(xué)生在假期使用手機的情況(選項：A.
和同學(xué)親友聊天；B.
學(xué)習(xí)；C.
購物；D.
游戲；E.
其他)，端午節(jié)后某中學(xué)在全校范圍內(nèi)隨機抽取了若干名學(xué)生進行調(diào)查，得到如下圖表(部分信息未給出)：
選　項
A
B
C
D
E
頻　數(shù)
10
n
5
p
5
頻　率
m
0.2
0.1
0.4
0.1
第45題
根據(jù)以上信息解答下列問題：
(1)
這次被調(diào)查的學(xué)生有多少人？
(2)
求表中m，n，p的值，并補全條形統(tǒng)計圖．
(3)
若該中學(xué)約有800名學(xué)生，估計全校學(xué)生中利用手機購物或玩游戲的共有多少人．并根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，就中學(xué)生如何合理使用手機給出你的一條建議．
46.
(·河南)為了了解同學(xué)們每月零花錢的數(shù)額，校園小記者隨機調(diào)查了本校部分同學(xué)．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出了如下兩個尚不完整的統(tǒng)計圖表.
組　別
分組(單位：元)
人　數(shù)
A
0≤x<30
4
B
30≤x<60
16
C
60≤x<90
a
D
90≤x<120
b
E
x≥120
2
　
請根據(jù)以上圖表，解答下列問題：
(1)
填空：這次被調(diào)查的同學(xué)共有________人，a＋b＝________，m＝________；
(2)
求扇形統(tǒng)計圖中扇形C的圓心角度數(shù)；
(3)
該校共有學(xué)生1
000人，請估計每月零花錢的數(shù)額x在60≤x<120范圍的人數(shù)．
47.
(·寧波)大黃魚是中國特有的地方性魚類，有“國魚”之稱，由于過去濫捕等多種因素，大黃魚資源已基本枯竭，目前，我市已培育出十余種大黃魚品種，某魚苗人工養(yǎng)殖基地對其中的四個品種“寧港”“御龍”“甬岱”“象山港”共300尾魚苗進行成活實驗，從中選出成活率最高的品種進行推廣，通過實驗得知“甬岱”品種魚苗的成活率為80%，并把實驗數(shù)據(jù)繪制成下面兩幅統(tǒng)計圖(部分信息未給出)：
300尾魚苗中四個品種
的魚苗數(shù)扇形統(tǒng)計圖
(1)
求實驗中“寧港”品種魚苗的數(shù)量．
(2)
求實驗中“甬岱”品種魚苗的成活數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖．
(3)
你認(rèn)為應(yīng)選哪一品種進行推廣？請說明理由．
48.
(·福建)自2016年國慶后，許多高校均投放了使用手機就可隨用的共享單車．某運營商為提高其經(jīng)營的A品牌共享單車的市場占有率，準(zhǔn)備對收費作如下調(diào)整：一天中，同一個人第一次使用的車費按0.5元收取，每增加一次，當(dāng)次車費就比上次車費減少0.1元，第6次開始，當(dāng)次用車免費．具體收費標(biāo)準(zhǔn)如下：
使用次數(shù)
0
1
2
3
4
5(含5次以上)
累計車費/元
0
0.5
0.9
a
b
1.5
同時，就此收費方案隨機調(diào)查了某高校100名師生在一天中使用A品牌共享單車的意愿，得到如下數(shù)據(jù)：
使用次數(shù)
0
1
2
3
4
5(含5次以上)
人　數(shù)
5
15
10
30
25
15
(1)
寫出a，b的值．
(2)
已知該校有5
000名師生，且A品牌共享單車投放該校一天的費用為5
800元．試估計：收費調(diào)整后，此運營商在該校投放A品牌共享單車能否獲利？說明理由．
49.
(·宜昌)YC市首批一次性投放公共自行車700輛供市民租用出行，由于投入數(shù)量不夠，導(dǎo)致出現(xiàn)需要租用卻未租到車的現(xiàn)象，現(xiàn)隨機抽取某五天在同一時段的調(diào)查數(shù)據(jù)匯成如下表格：
時　間
需要租用自行車卻未租到車的人數(shù)
第一天7：00～8：00
1
500
第二天7：00～8：00
1
200
第三天7：00～8：00
1
300
第四天7：00～8：00
1
300
第五天7：00～8：00
1
200
請回答下面的問題：
(1)
表格中的五個數(shù)據(jù)(人數(shù))的中位數(shù)是多少？
(2)
由隨機抽樣估計，平均每天在7：00～8：00需要租用公共自行車的人數(shù)是多少？
50.
(·齊齊哈爾)為養(yǎng)成學(xué)生課外閱讀的習(xí)慣，各學(xué)校普遍開展了“我的夢·中國夢”課外閱讀活動，某校為了解七年級1
200名學(xué)生課外日閱讀所用時間情況，從中隨機抽查了部分同學(xué)，進行了相關(guān)統(tǒng)計，整理并繪制出如下不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖，請根據(jù)圖表信息解答下列問題：
(1)
表中a＝________，b＝________；
(2)
請補全頻數(shù)分布直方圖中空缺的部分；
(3)
樣本中，學(xué)生日閱讀所用時間的中位數(shù)落在第____組；
(4)
請估計該校七年級學(xué)生日閱讀量不足1小時的人數(shù).
組
別
時間/小時
頻
數(shù)
頻
率
1
0≤x<0.5
10
0.05
2
0.5≤x<1.0
20
0.10
3
1.0≤x<1.5
80
b
4
1.5≤x<2.0
a
0.35
5
2.0≤x<2.5
12
0.06
6
2.5≤x<3.0
8
0.04
第50題
51.
(·綿陽)紅星中學(xué)課外興趣活動小組對某水稻品種的稻穗谷粒數(shù)目進行調(diào)查，從試驗田中隨機抽取了30株，得到的數(shù)據(jù)如下表(單位：顆)：
182
195
201
179
208
175
193
200
203
188
188
186
198
202
221
204
186
192
210
204
197
212
207
185
206
199
219
208
187
224
(1)
對抽取的30株水稻稻穗谷粒數(shù)進行統(tǒng)計分析，請補全下表中的空格，并完善頻數(shù)分布直方圖.
谷粒顆數(shù)
175≤
x<185
185≤
x<195
195≤
x<205
205≤
x<215
215≤
x<225
頻　數(shù)
8
10
3
對應(yīng)扇形
圖中區(qū)域
D
E
C
在如圖所示的扇形統(tǒng)計圖中，扇形A對應(yīng)的圓心角為________°，扇形B對應(yīng)的圓心角為________°；
(2)
該試驗田中大約有3
000株水稻，據(jù)此估計，其中稻穗谷粒數(shù)大于或等于205顆的水稻有多少株？
52.(·百色)甲、乙兩名運動員的射擊成績(靶心為10環(huán))統(tǒng)計如下表(不完全)：
次數(shù)環(huán)數(shù)運動員
1
2
3
4
5
甲
10
8
9
10
8
乙
10
9
9
a
b
某同學(xué)計算出了甲的成績平均數(shù)是9環(huán)，方差是S＝[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝0.8(環(huán)2)，請作答：
(1)
在圖中用折線統(tǒng)計圖將甲運動員的成績表示出來；
(2)
若甲、乙射擊成績平均數(shù)一樣，則a＋b＝________；
(3)
在(2)的條件下，當(dāng)甲比乙的成績較穩(wěn)定時，請列舉出a，b的所有可能的取值，并說明理由．
答案
一、
D　
D　
D　
A　
A　
D　
D　
D　
D
D　
C　
A　
C　
B　
D　
B　
B　
A　
C　
A　
C　
C　
D　
D　
C
C　
C　
B　
C　
C
二、
抽樣調(diào)查　
24
000　
48　
10　
6　
4
17　
(1)
5　(2)
135　(3)
183　
(1)
92　95　(2)
1.4萬，1.35萬　
2環(huán)2　
乙　
丙　
(1)
4　(2)
5　
4.8或5或5.2
三、
(1)
從選項C可看出，這次被調(diào)查的學(xué)生有5÷0.1＝50(人)　(2)
m＝＝0.2，n＝0.2×50＝10，p＝0.4×50＝20，補全圖形如圖所示　(3)
估計全校學(xué)生中利用手機購物或玩游戲的學(xué)生有800×(0.1＋0.4)＝800×0.5＝400(人)　根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，建議不唯一，如中學(xué)生要將手機多用于學(xué)習(xí)
(1)
由于B組的人數(shù)是16，對應(yīng)的百分比是32%，∴
被調(diào)查的同學(xué)共有16÷32%＝50(人)．此時b＝50×16%＝8，a＝50－4－16－8－2＝20，a＋b＝8＋20＝28.A組所占的百分比是＝8%，即m＝8　(2)
扇形統(tǒng)計圖中扇形C的圓心角度數(shù)是360°×＝144°　(3)
每月零花錢的數(shù)額x在
60≤x<120范圍的有1
000×＝560(人)
(1)
實驗中“寧港”品種魚苗有300×(1－30%－25%－25%)＝60(尾)　(2)
實驗中“甬岱”品種魚苗有300×30%×80%＝72(尾)，補全條形統(tǒng)計圖略　(3)
“寧港”　理由：“寧港”品種魚苗的成活率為×100%＝85%,
“御龍”品種魚苗的成活率為×100%≈74.7%,
“象山港”品種魚苗的成活率為×100%＝80%，∴
“寧港”品種魚苗的成活率最高，應(yīng)選“寧港”品種進行推廣．
(1)
a＝0.9＋0.3＝1.2，b＝1.2＋0.2＝1.4　(2)
不能獲利
理由：根據(jù)用車意愿調(diào)查結(jié)果，抽取的100名師生每人每天使用A品牌共享單車的平均車費為×(0×5＋0.5×15＋0.9×10＋1.2×30＋1.4×25＋1.5×15)＝1.1(元)，∴
估計5
000名師生一天使用A品牌共享單車的費用為
5
000×1.1＝5
500(元)．∵
5
500<5
800，∴
收費調(diào)整后，此運營商在該校投放A品牌共享單車不能獲利．
(1)
表格中5個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1
200，1
200，1
300，13
00，15
00，∴
中位數(shù)是1
300　(2)
平均每天需要租用公共自行車卻未租到車的人數(shù)為(1
500＋1
200＋1
300＋1
300＋1
200)÷5＝1
300.∵
YC市首批一次性投放公共自行車700輛供市民租用出行，∴
平均每天需要租用公共自行車的人數(shù)是1
300＋700＝2
000
(1)
70　0.40　(2)
根據(jù)a＝70補全頻數(shù)分布直方圖略　(3)
樣本中一共有200人，中位數(shù)是第100和101人的讀書時間的平均數(shù)，即第3組：1.0～1.5小時　(4)
1
200×(0.05＋0.10)＝1
200×0.15＝180(人)，∴
估計該校七年級學(xué)生日閱讀量不足1小時的人數(shù)為180
(1)
表格中：175≤x<185的頻數(shù)為3，對應(yīng)扇形圖中的區(qū)域為B；205≤x<215的頻數(shù)為6，對應(yīng)扇形圖中的區(qū)域為A；完善的頻數(shù)分布直方圖如圖所示．在扇形統(tǒng)計圖中，扇形A對應(yīng)的圓心角為360°×＝72°，扇形B對應(yīng)的圓心角為360°×＝36°　(2)
3
000×＝900(株)，∴
該試驗田
3
000株水稻中稻穗谷粒數(shù)大于或等于205顆的水稻大約有900株
(1)
如圖所示　(2)
由題意，知＝9，∴
a＋b＝17　(3)
a＝7，b＝10或a＝10，b＝7　理由：∵
甲比乙的成績較穩(wěn)定，∴
S[(10－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(a－9)2＋(b－9)2]>0.8.∵
a＋b＝17，∴
b＝17－a.代入上式，整理，得a2－17a＋71>0.構(gòu)造二次函數(shù)y＝
a2－17a＋71，令y＝0，得a＝，∴
二次函數(shù)的圖象與x軸的兩交點坐標(biāo)為，.觀察拋物線，得函數(shù)值y>0的自變量a的取值范圍是a<或a>.∵
a，b均為整數(shù)，且a＋b＝17，0≤a≤10，0≤b≤10，∴
a＝7，b＝10或a＝10，b＝7.滬科版九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)一次方程(組)和分式方程匯編（含答案）
1、一次方程組
一、
選擇題
1.
(·杭州)設(shè)x，y，c是實數(shù)．(　　)
A.
若x＝y(tǒng)，則x＋c＝y(tǒng)－c
　　
B.
若x＝y(tǒng)，則xc＝y(tǒng)c
C.
若x＝y(tǒng)，則＝　　
D.
若＝，則2x＝3y
2.
(·南充)如果a＋3＝0，那么a的值是(　　)
A.
3　　B.
－3　　
C.
　　D.
－
3.
(·永州)已知x＝1是關(guān)于x的方程2x－a＝0的解，則a的值是(　　)
A.
－2　　B.
2　　C.
－1　　D.
1
4.
(·天津)方程組的解是(　　)
A.
　　B.
　　
C.
　　D.
5.
(·衢州)二元一次方程組的解是(　　)
A.
　　B.
　　
C.
　　D.
6.
(·舟山)若二元一次方程組的解為則a－b的值為(　　)
A.
1　　B.
3　　
C.
－　　D.
7.
(·眉山)已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為則a－2b的值是(　　)
A.
－2　　B.
2　　
C.
3　　D.
－3
8.
(·巴中)若方程組的解滿足x＋y＝0，則k的值為(　　)
A.
－1　　B.
1　　C.
0　　D.
無法確定
二、
填空題
9.
(·云南)已知關(guān)于x的方程2x＋a＋5＝0的解是
x＝1，則a的值為________．
10.
(·崇左)若4a2b2n＋1與amb3是同類項，則m＋n的值為________．
11.
(·長沙)方程組的解是________．
12.
(·樂山)二元一次方程組＝＝x＋2的解是________．
13.
(·南寧)已知是方程組的解，則3a－b＝________．
14.
(·包頭)若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是則ab的值為________．
15.
(·棗莊)已知是方程組的解，則a2－b2＝________．
16.
(·鎮(zhèn)江)若實數(shù)a滿足＝，則a對應(yīng)于圖中數(shù)軸上的點可以是A，B，C三點中的點________．
17.
(·荊州)若單項式－5x4y2m＋n與2
017xm－ny2是同類項，則m－7n的算術(shù)平方根是________．
三、
解答題
18.
(·柳州)解方程：2x－7＝0.
19.
(·武漢)解方程：4x－3＝2(x－1)．
20.
(·湖州)對于任意實數(shù)a，b，定義關(guān)于“?”的一種運算如下：a?b＝2a－b.例如：5?2＝2×5－2＝8，(－3)?4＝2×(－3)－4＝－10.若3?x＝－2
011，求x的值．
21.
(·荊州)解方程組
22.
(·桂林)解二元一次方程組
23.
(·鎮(zhèn)江)解方程組
24.
(·廣州)解方程組
25.
(·重慶)對任意一個三位數(shù)n，如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”．將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為F(n)．例如n＝123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132，這三個新三位數(shù)的和為213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F(123)＝6.
(1)
計算：F(243)，F(xiàn)(617)．
(2)
若s，t都是“相異數(shù)”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù))，規(guī)定：k＝.當(dāng)F(s)＋F(t)＝18時，求k的最大值．
2.
分式方程
一、
選擇題
1.
(·河南)解分式方程－2＝，去分母，得(　　)
A.
1－2(x－1)＝－3　　B.
1－2(x－1)＝3
C.
1－2x－2＝－3　　D.
1－2x＋2＝3
2.
(·哈爾濱)方程＝的解為(　　)
A.
x＝3　　B.
x＝4　　
C.
x＝5　　D.
x＝－5
3.
(·黔東南州)分式方程＝1－的根為(　　)
A.
－1或3　　B.
－1　　
C.
3　　D.
1或－3
4.
(·岳陽)解分式方程－＝1，可知方程的解為(　　)
A.
x＝1　　B.
x＝3　　
C.
x＝　　D.
無解
5.
(·濱州)分式方程－1＝的解為(　　)
A.
x＝1
　　B.
x＝－1　　
C.
無解　　D.
x＝－2
6.
(·成都)已知x＝3是分式方程－＝2的解，那么實數(shù)k的值為(　　)
A.
－1　　B.
0　　
C.
1　　D.
2
7.
(·畢節(jié))已知關(guān)于x的分式方程＋5＝有增根，則m的值為(　　)
A.
1　　B.
3　　
C.
4　　D.
5
8.
(·聊城)如果解關(guān)于x的分式方程－＝1時出現(xiàn)增根，那么m的值為(　　)
A.
－2　　B.
2　　
C.
4　　D.
－4
9.
(·七臺河)已知關(guān)于x的分式方程＝的解是非負(fù)數(shù)，那么a的取值范圍是(　　)
A.
a>1　　B.
a≥1
C.
a≥1且a≠9　　D.
a≤1
10.
(·重慶)若實數(shù)a使關(guān)于x的分式方程＋＝4的解為正數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組的解集為y<－2，則符合條件的所有整數(shù)a的和為(　　)
A.
10　　B.
12　　
C.
14　　D.
16
二、
填空題
11.
(·淮安)方程＝1的解是________．
12.
(·寧波)分式方程＝的解是________．
13.
(·常德)分式方程＋1＝的解為________．
14.
(·襄陽)分式方程＝的解是________．
15.
(·株洲)分式方程－＝0的解為________．
16.
(·南京)方程－＝0的解是________．
17.
(·威海)方程＋＝1的解是________．
18.
(·黃石)分式方程＝－2的解為________．
19.
(·綿陽)分式方程－＝的解是________．
20.
(·六盤水)方程－＝1的解為x＝________.
21.
(·泰安)已知分式與的和為4，則x的值為________．
22.
(·宿遷)若關(guān)于x的分式方程＝－3有增根，則實數(shù)m的值是________．
23.
(·荊州)若關(guān)于x的分式方程＝2的解為負(fù)數(shù)，則k的取值范圍為________．
24.(·瀘州)若關(guān)于x的分式方程＋＝3的解為正實數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是____________．
三、
解答題
25.
(·無錫)解方程：＝.
26.
(·常州)解方程：＝－3.
27.
(·湖州)解方程：＝＋1.
28.
(·寧夏)解方程：－＝1.
29.
(·眉山)解方程：＋2＝.
30.
(·泰州)解方程：＋＝1.
31.
(·隨州)解分式方程：＋1＝.
32.
(·上海)解方程：－＝1.
1.
一次方程(組)
一、
B　
B　
B　
D　
B　
D　
B　
B
二、
－7　
3　　　
5　
1
1　
B　
4
三、
x＝　
x＝
根據(jù)題意，得2×3－x＝－2
011，即6－x＝－2
011，解得
x＝2
017
　　　
(1)
F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9　F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14　(2)
∵
s，t都是“相異數(shù)”，∴
F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5，F(xiàn)(t)＝(510＋y＋100y＋51＋105＋10y)÷111＝y(tǒng)＋6.∵
F(s)＋F(t)＝18，∴
x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18.∴
x＋y＝7.∵
1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)，∴
或或或或或∵
s，t是“相異數(shù)”，∴
x≠2，x≠3，y≠1，y≠5.∴
滿足條件的有或或∴
或或∴
k＝＝＝或k＝＝＝1或k＝＝＝.∴
k的最大值為
2.
分式方程
一、
A　
C　
C　
D　
C　
D　
C　
D　
C
A
二、
x＝3　
x＝1　
x＝2　
x＝9　
x＝－
x＝2　
x＝3　
x＝　
x＝－2　
－2　
3　
1　
k<3且k≠1　
m<6且m≠2
三、
x＝13
兩邊同時乘(x－2)，得
2x－5＝3x－3－3(x－2)；去括號，得2x－5＝3x－3－3x＋6；移項，得2x－3x＋3x＝6－3＋5；合并同類項，得2x＝8；系數(shù)化為1，得x＝4.檢驗：當(dāng)x＝4時，x－2≠0，∴
x＝4是原分式方程的解
方程兩邊都乘(x－1)，得2＝1＋x－1，解得x＝2.檢驗：當(dāng)x＝2時，x－1≠0，∴
x＝2是原方程的解
方程兩邊同乘(x－3)(x＋3)，得(x＋3)2－4(x－3)＝(x－3)(x＋3)，解得x＝－15.檢驗：當(dāng)x＝－15時，(x－3)(x＋3)≠0，∴
x＝－15是原分式方程的解
原方程可化為＋2＝，方程兩邊都乘(x－2)，得
1＋2(x－2)＝x－1，解得x＝2.檢驗：當(dāng)x＝2時，x－2＝0，∴
x＝2是原方程的增根，因此原方程無解
原方程可化為－＝1，方程兩邊同乘(x＋1)(x－1)，得(x＋1)2－4＝(x＋1)(x－1)，解得x＝1.檢驗：當(dāng)x＝1時，(x＋1)(x－1)＝0，∴
x＝1是原方程的增根，因此原分式方程無解
原方程可化為＋1＝，方程兩邊同乘x(x－1)，得3＋x(x－1)＝x2，解得x＝3.檢驗：當(dāng)x＝3時，x(x－1)＝6≠0，∴
x＝3是原方程的根
原方程可化為－＝1，方程兩邊都乘x(x－3)，得3－x＝x(x－3)，即x2－2x－3＝0，∴
(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1.經(jīng)檢驗，x＝3是原方程的增根，x＝－1是原方程的根，∴
原方程的根為x＝－1滬科版九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)方程(組)的應(yīng)用專題（含答案）
一、
選擇題
1.
(·深圳)一球鞋廠，現(xiàn)打折促銷賣出330雙球鞋，比上個月多賣10%，設(shè)上個月賣出x雙，列出方程為(　　)
A.
10%x＝330　　B.
(1－10%)x＝330
C.
(1－10%)2x＝330　　D.
(1＋10%)x＝330
2.
(·濱州)某車間有27名工人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺母16個或螺栓22個．若分配x名工人生產(chǎn)螺栓，其他工人生產(chǎn)螺母，恰好使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母配套，則下列所列方程正確的是(　　)
A.
22x＝16(27－x)　　B.
16x＝22(27－x)
C.
2×16x＝22(27－x)　　D.
2×22x＝16(27－x)
3.
(·荊州)為配合荊州市“我讀書，我快樂”讀書節(jié)活動，某書店推出一種優(yōu)惠卡，每張卡售價20元，憑卡購書可享受8折優(yōu)惠．小慧同學(xué)到該書店購書，她先買優(yōu)惠卡再憑卡付款，結(jié)果節(jié)省了10元．若此次小慧同學(xué)不買卡直接購書，則她需付款(　　)
A.
140元　　B.
150元　　
C.
160元　　D.
200元
4.
(·長沙)中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其大意是，有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到達(dá)目的地，則此人第六天走的路程為(　　)
A.
24里　　B.
12里　　
C.
6里　　D.
3里
5.
(·內(nèi)江)端午節(jié)前夕，某超市用1
680元購進A，B兩種商品共60件，其中A型商品每件24元，B型商品每件36元．設(shè)購買A型商品x件、B型商品y件，依題意列方程組正確的是(　　)
A.
　　B.
C.
　　D.
6.
(·隨州)小明到商店購買“五四青年節(jié)”活動獎品，購買20支鉛筆和10本筆記本共需110元，但購買30支鉛筆和5本筆記本只需85元．設(shè)每支鉛筆x元，每本筆記本y元，則可列方程組為(　　)
A.
　　B.
C.
　　D.
7.
(·雞西)某企業(yè)決定投資不超過20萬元建造A，B兩種類型的溫室大棚．經(jīng)測算，投資A種類型的大棚6萬元/個、B種類型的大棚7萬元/個，那么建造方案有(　　)
A.
2種　　B.
3種　　
C.
4種　　D.
5種
8.
(·德州)某校美術(shù)社團為練習(xí)素描，他們第一次用120元買了若干本資料，第二次用240元在同一商家買同樣的資料，這次商家每本優(yōu)惠4元，結(jié)果比上次多買了20本，第一次買了多少本資料？若設(shè)第一次買了x本資料，列方程正確的是(　　)
A.
－＝4　　B.
－＝4
C.
－＝4　　D.
－＝4
9.
(·烏魯木齊)年，在創(chuàng)建文明城市的進程中，烏魯木齊市為美化城市環(huán)境，計劃種植樹木30萬棵，由于志愿者的加入，實際每天植樹比原計劃多20%，結(jié)果提前5天完成任務(wù)，設(shè)原計劃每天植樹x萬棵，可列方程是(　　)
A.
－＝5　　B.
－＝5
C.
＋5＝　　D.
－＝5
10.
(·南寧)一艘輪船在靜水中的最大航速為35
km/h，它以最大航速沿江順流航行120
km所用時間與以最大航速逆流航行90
km所用時間相等．設(shè)江水的流速為
v
km/h，則可列方程為(　　)
A.
＝　　B.
＝
C.
＝　　D.
＝
11.
(·達(dá)州)某市從今年1月1日起調(diào)整居民用水價格，每立方米水費上漲.小麗家去年12月的水費是15元，而今年5月的水費則是30元．已知小麗家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5米3.求該市今年居民用水的價格．設(shè)去年居民用水價格為x元/米3，根據(jù)題意列方程，正確的是(　　)
A.
－＝5　　B.
－＝5
C.
－＝5　　D.
－＝5
12.
(·白銀)如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為32
m、寬為20
m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570
m2.若設(shè)道路的寬為x
m，則下列方程正確的是(　　)
A.
(32－2x)(20－x)＝570
B.
32x＋2×20x＝32×20－570
C.
(32－x)(20－x)＝32×20－570
D.
32x＋2×20x－2x2＝570
13.
(·遼陽)共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放1
000輛單車，計劃第三個月投放單車數(shù)量比第一個月多440輛．設(shè)該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，則所列方程正確的為(　　)
A.
1
000(1＋x)2＝1
000＋440
B.
1
000(1＋x)2＝440
C.
440(1＋x)2＝1
000
D.
1
000(1＋2x)＝1
000＋440
14.
(·無錫)某商店今年1月的銷售額是2萬元，3月的銷售額是4.5萬元，從1月到3月，該店銷售額平均每月的增長率是(　　)
A.
20%　　B.
25%　　C.
50%　　D.
62.5%
二、
填空題
15.
(·杭州)某水果店銷售50千克香蕉，第一天售價為9元/千克，第二天降為6元/千克，第三天再降為3元/千克．三天全部售完，共計所得270元．若該店第二天銷售香蕉t千克，則第三天銷售香蕉________千克．(用含t的代數(shù)式表示)
16.
(·遵義)明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個數(shù)學(xué)問題，其大意為有一群人分銀子，如果每人分七兩，那么剩余四兩；如果每人分九兩，那么還差八兩，請問：所分的銀子共有________兩．(注：明代時1斤＝16兩，故有“半斤八兩”這個成語)
17.
(·荊門)派派的媽媽和派派今年共36歲，再過5年，派派的媽媽的年齡比派派年齡的4倍還大1歲，當(dāng)派派的媽媽40歲時，則派派的年齡為________歲．
18.
(1)
(·新疆)一臺空調(diào)標(biāo)價2
000元，若按6折銷售仍可獲利20%，則這臺空調(diào)的進價是________元；
(2)
(·寧夏)某種商品每件的進價為80元，標(biāo)價為120元，后來由于該商品積壓，將此商品打七折銷售，則該商品每件銷售利潤為________元．
19.
(·自貢)我國明代數(shù)學(xué)家程大位的名著《直接算法統(tǒng)宗》里有一道著名算題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？”意思是有100個和尚分100個饅頭，正好分完；如果大和尚一人分3個，小和尚3人分一個，試問大、小和尚各幾人？設(shè)大、小和尚各有x，y人，則可列方程組為__．
20.
(·濟寧)《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中有一段文字的大意是甲、乙兩人各有若干錢，如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢48文；如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢48文，甲、乙兩人原來各有多少錢？設(shè)甲原有x文錢，乙原有y文錢，可列方程組是________．
21.
(·天門)“六一”前夕，市關(guān)工委準(zhǔn)備為希望小學(xué)購進圖書和文具若干套，已知1套文具和3套圖書需104元，3套文具和2套圖書需116元，則1套文具和1套圖書需________元．
22.
(·營口)某市為綠化環(huán)境計劃植樹2
400棵，實際勞動中每天植樹的數(shù)量比原計劃多20%，結(jié)果提前8天完成任務(wù)．若設(shè)原計劃每天植樹x棵，則根據(jù)題意可列方程為____________．
23.
(·永州)某水果店搞促銷活動，對某種水果打8折出售，若用60元錢買這種水果，可以比打折前多買3千克．設(shè)該種水果打折前的單價為x元，根據(jù)題意可列方程為____________．
24.
(·南通)甲、乙二人做某種機械零件．已知甲每小時比乙多做4個，甲做60個所用的時間與乙做40個所用的時間相等，則乙每小時所做零件的個數(shù)為________．
25.
(·宜賓)經(jīng)過兩次連續(xù)降價，某藥品銷售單價由原來的50元降到32元，設(shè)該藥品平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意可列方程是________________．
26.
(·蘭州)王叔叔從市場上買了一塊長80
cm、寬
70
cm
的矩形鐵皮，準(zhǔn)備制作一個工具箱．如圖，他將矩形鐵皮的四個角各剪掉一個邊長x
cm的正方形后，剩余的部分剛好能圍成一個底面積為3
000
cm2的無蓋長方體工具箱，根據(jù)題意列方程為________________．
三、
解答題
27.
(·安徽)《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？譯文為現(xiàn)有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差
4元，問共有多少人？這個物品的價格是多少？
28.
(·張家界)某校組織“大手拉小手，義賣獻愛心”活動，購買了黑、白兩種顏色的文化衫共140件，進行手繪設(shè)計后出售，所獲利潤全部捐給山區(qū)困難孩子．每件文化衫的批發(fā)價和零售價如下表：
批發(fā)價/元
零售價/元
黑色文化衫
10
25
白色文化衫
8
20
假設(shè)文化衫全部售出，共獲利1
860元，黑、白兩種文化衫各購多少件？
29.
(·岳陽)我市某校組織愛心捐書活動，準(zhǔn)備將一批捐贈的書打包寄往貧困地區(qū)，其中每包書的數(shù)目相等．第一次他們領(lǐng)來這批書的，結(jié)果打了16個包還多40本；第二次他們把剩下的書全部取來，連同第一次打包剩下的書一起，剛好又打了9個包，那么這批書共有多少本？
30.
(·海南)在某市“棚戶區(qū)改造”建設(shè)工程中，有甲、乙兩種車輛參加運土，已知5輛甲種車和2輛乙種車一次共可運土64米3，3輛甲種車和1輛乙種車一次共可運土36米3，求甲、乙兩種車每輛一次分別可運土多少立方米．
31.
(·威海)某農(nóng)場去年計劃生產(chǎn)玉米和小麥共200噸，采用新技術(shù)后，實際產(chǎn)量為225噸，其中玉米超產(chǎn)5%，小麥超產(chǎn)15%，該農(nóng)場去年實際生產(chǎn)玉米、小麥各多少噸？
32.
(·呼和浩特)某專賣店有A，B兩種商品，已知在打折前，買60件A商品和30件B商品用了1
080元，買50件A商品和10件B商品用了840元，A，B兩種商品打相同折以后，某人買500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1
960元，計算打了多少折？
33.
(·長春)某校為了豐富學(xué)生的課外體育活動，購買了排球和跳繩．已知排球的單價是跳繩的單價的3倍，購買跳繩共花費750元，購買排球共花費900元，購買跳繩的數(shù)量比購買排球的數(shù)量多30個，求跳繩的單價．
34.
(·廣州)甲、乙兩個工程隊均參與某筑路工程，先由甲隊筑路60千米，再由乙隊完成剩下的筑路工程，已知乙隊筑路總千米數(shù)是甲隊筑路總千米數(shù)的倍，甲隊比乙隊多筑路20天．
(1)
求乙隊筑路的總千米數(shù)；
(2)
若甲、乙兩隊平均每天筑路千米數(shù)之比為5∶8，求乙隊平均每天筑路多少千米．
35.
(·淄博)某內(nèi)陸城市為了落實國家“一帶一路”戰(zhàn)略，促進經(jīng)濟發(fā)展，增強對外貿(mào)易的競爭力，把距離港口420
km的普通公路升級成了同等長度的高速公路，結(jié)果汽車行駛的平均速度比原來提高了50%，行駛時間縮短了2
h．求汽車原來的平均速度．
36.
(·通遼)一汽車從甲地出發(fā)開往相距240
km的乙地，出發(fā)后第1
h內(nèi)按原計劃的速度勻速行駛，1
h后比原來的速度加快，比原計劃提前24
min到達(dá)乙地，求汽車出發(fā)后第1
h內(nèi)的行駛速度．
37.
(·襄陽)受益于國家支持新能源汽車發(fā)展和“一帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略等多重利好因素，我市某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤逐年提高，據(jù)統(tǒng)計，2014年利潤為2億元，2016年利潤為2.88億元．
(1)
求該企業(yè)從2014年到2016年利潤的年平均增長率；
(2)
若年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)年的利潤能否超過3.4億元？
38.
(·深圳)一個矩形的周長為56
cm.
(1)
當(dāng)矩形的面積為180
cm2時，長、寬分別為多少？
(2)
能圍成面積為200
cm2的矩形嗎？請說明理由．
39.
(·菏澤)某玩具廠生產(chǎn)一種玩具，按照控制固定成本降價促銷的原則，使生產(chǎn)的玩具能夠及時售出，據(jù)市場調(diào)查：每個玩具按480元銷售時，每天可銷售160個；若銷售單價每降低1元，每天可多售出2個．已知每個玩具的固定成本為360元，問這種玩具的銷售單價為多少元時，廠家每天可獲利潤20
000元？
40.(·眉山)東坡某烘焙店生產(chǎn)的蛋糕禮盒分為六個檔次，第一檔次(即最低檔次)的產(chǎn)品每天生產(chǎn)76件，每件利潤10元．調(diào)查表明：生產(chǎn)提高一個檔次的蛋糕產(chǎn)品，該產(chǎn)品每件利潤增加2元．
(1)
若生產(chǎn)的某批次蛋糕每件利潤為14元，則此批次蛋糕屬第幾檔次產(chǎn)品？
(2)
由于生產(chǎn)工序不同，蛋糕產(chǎn)品每提高一個檔次，一天產(chǎn)量會減少4件．若生產(chǎn)的某檔次產(chǎn)品一天的總利潤為1
080元，則該烘焙店生產(chǎn)的是第幾檔次的產(chǎn)品？
41.
(·鹽城)某商店在2014年至2016年期間銷售一種禮盒.2014年，該商店用3
500元購進了這種禮盒并且全部售完；2016年，這種禮盒的進價比2014年下降了11元/盒，該商店用2
400元購進了與2014年相同數(shù)量的禮盒也全部售完，禮盒的售價均為60元/盒．
(1)
2014年這種禮盒的進價是多少？
(2)
若該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率相同，問年增長率是多少？
42.
(·宜昌)某市總預(yù)算a億元用三年時間建成一條軌道交通線．軌道交通線由線路敷設(shè)、搬遷安置、輔助配套三項工程組成．從2015年開始，市政府在每年年初分別對三項工程進行不同數(shù)額的投資．
2015年年初，對線路敷設(shè)、搬遷安置的投資分別是輔助配套投資的2倍、4倍．隨后兩年，線路敷設(shè)投資每年都增加b億元，預(yù)計線路敷設(shè)三年總投資為54億元時會順利如期完工；搬遷安置投資從2016年年初開始逐年按同一百分?jǐn)?shù)遞減，依此規(guī)律，在
年年初只需投資5億元，即可順利如期完工；輔助配套工程在2016年年初的投資在前一年基礎(chǔ)上的增長率是線路敷設(shè)2016年投資增長率的1.5倍，年年初的投資比該項工程前兩年投資的總和還多4億元，若這樣，輔助配套工程也可以如期完工．經(jīng)測算，這三年的線路敷設(shè)、輔助配套工程的總投資資金之比達(dá)到3∶2.
(1)
這三年用于輔助配套的投資將達(dá)到多少億元？
(2)
市政府2015年年初對三項工程的總投資是多少億元？
(3)
求搬遷安置投資逐年遞減的百分?jǐn)?shù)．
答案
一、
D　
D　
B　
C　
B　
B　
B　
D　
A
D　
A　
A　
A　
C
二、
　
46　
12　
(1)
1
000　(2)
4　　　
48　－＝8　＝－3　
8　
50(1－x)2＝32　
(80－2x)(70－2x)＝3
000
三、
設(shè)購買該物品的共有x人．由題意，得8x－3＝7x＋4，解得x＝7，∴
8x－3＝53.∴
購買該物品的共有7人，這個物品的價格是53元
解法1：設(shè)購黑色文化衫x件，則購白色文化衫(140－x)件．根據(jù)題意，得(25－10)x＋(20－8)(140－x)＝1
860，解得
x＝60，此時140－x＝80.∴
購黑色文化衫60件，購白色文化衫80件．解法2：設(shè)購黑色文化衫x件，購白色文化衫y件．依題意，得解得∴
購黑色文化衫60件，購白色文化衫80件
解法1：設(shè)每包x本書，共有y本書．由題意，得解得∴
這批書共有1
500本．解法2：設(shè)這批書共有3x本，根據(jù)題意，得＝，解得x＝500，此時3x＝1
500.∴
這批書共有1
500本
設(shè)每輛甲種車一次運土x米3，每輛乙種車一次運土y米3.由題意，得解得∴
每輛甲種車一次運土8米3，每輛乙種車一次運土12米3
設(shè)農(nóng)場去年計劃生產(chǎn)小麥x噸，玉米y噸．根據(jù)題意，得解得∴
50×(1＋5%)＝52.5(噸)，150×(1＋15%)＝172.5(噸)．∴
農(nóng)場去年實際生產(chǎn)玉米52.5噸，小麥172.5噸
設(shè)打折前A商品的單價為x元/件，B商品的單價為y元/件．根據(jù)題意，得解得∴
500×16＋450×4＝9
800(元)．∴
＝0.8，即打了
8折．∴
購買500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1
960元，此時打了8折
設(shè)跳繩的單價為x元，則排球的單價為3x元．依題意，得－＝30，解得x＝15.經(jīng)檢驗，x＝15是原方程的根，且符合題意．∴
跳繩的單價是15元
(1)
60×＝80(千米)．∴
乙隊筑路的總千米數(shù)為80　(2)
設(shè)乙隊平均每天筑路8x千米，則甲隊平均每天筑路5x千米．根據(jù)題意，得－＝20，解得x＝0.1.經(jīng)檢驗，x＝0.1是原方程的解，且符合題意，∴
8x＝0.8.∴
乙隊平均每天筑路0.8千米
設(shè)汽車原來的平均速度為x
km/h，根據(jù)題意，得－＝2，解得x＝70.經(jīng)檢驗，x＝70是所列方程的解，且符合題意．∴
汽車原來的平均速度為70
km/h
設(shè)汽車出發(fā)后第1
h內(nèi)的行駛速度是x
km/h，則1
h后的速度為x＝x
km/h.根據(jù)題意，得＝1＋＋，解得x＝80.經(jīng)檢驗，x＝80是原方程的根，且符合題意．∴
汽車出發(fā)后第1
h內(nèi)的行駛速度是80
km/h
(1)
設(shè)這兩年該企業(yè)利潤的年平均增長率為x.根據(jù)題意，得2(1＋x)2＝2.88，即(1＋x)2＝1.44，解得
x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合題意，舍去)．∴
這兩年該企業(yè)利潤的年平均增長率為20%　(2)
如果年仍保持相同的年平均增長率，那么年該企業(yè)年利潤為2.88×(1＋20%)＝3.456>3.4.∴
該企業(yè)年的利潤能超過3.4億元
(1)
設(shè)矩形的長為x
cm，則寬為(28－x)cm.依題意，得
x(28－x)＝180，即x2－28x＋180＝0，解得x1＝10(不合題意，舍去)，x2＝18，∴
28－x＝28－18＝10.∴
矩形的長為18
cm，寬為10
cm　(2)
不能　理由：設(shè)矩形的長為y
cm，則寬為(28－y)cm.依題意，得y(28－y)＝200，即y2－28y＋200＝0，則Δ＝(－28)2－4×1×200＝784－800<0，∴
上述方程沒有實數(shù)根，因此不能圍成一個面積為200
cm2的矩形．
解法1：設(shè)這種玩具的銷售單價為x元．由題意，得(x－360)·[160＋2(480－x)]＝20
000.整理，得x2－920x＋211
600＝0，即(x－460)2＝0，解得x1＝x2＝460.∴
這種玩具的銷售單價為460元時，廠家每天可獲利潤20
000元．解法2：設(shè)這種玩具的銷售單價降低x元后，廠家每天可獲利潤為20
000元，此時售價為(480－x)元，銷售量為(160＋2x)件，根據(jù)題意，得(480－x－360)(160＋2x)＝20
000，整理，得x2－40x＋400＝0，即(x－20)2＝0，解得x1＝x2＝20，此時銷售單價為480－20＝460(元)．∴
這種玩具的銷售單價為460元時，廠家每天可獲利潤20
000元
(1)
(14－10)÷2＋1＝3(檔次)．∴
此批次蛋糕屬第三檔次產(chǎn)品　(2)
設(shè)該烘焙店生產(chǎn)的是第x檔次的產(chǎn)品．根據(jù)題意，得[2(x－1)＋10]×[76－4(x－1)]＝1
080，整理，得x2－16x＋55＝0，解得x1＝5，x2＝11(不合題意，舍去)．∴
該烘焙店生產(chǎn)的是第五檔次的產(chǎn)品
(1)
設(shè)2014年這種禮盒的進價為x元/盒，則2016年這種禮盒的進價為(x－11)元/盒．根據(jù)題意，得＝，解得x＝35.經(jīng)檢驗，x＝35是原方程的解，且符合題意．∴
2014年這種禮盒的進價是35元/盒　(2)
設(shè)年增長率為a.由(1)，得2014年的銷售數(shù)量為3
500÷35＝100(盒)，根據(jù)題意，得(60－35)×100(1＋a)2＝(60－35＋11)×100，即(1＋a)2＝，解得a1＝0.2＝20%，a2＝－2.2(不合題意，舍去)．∴
年增長率為20%
(1)
三年用于輔助配套的投資將達(dá)到54×＝36(億元)　(2)
設(shè)2015年年初，對輔助配套的投資為x億元，則線路敷設(shè)的投資為2x億元，搬遷安置的投資是4x億元，根據(jù)題意，得解得∴
市政府2015年年初對三項工程的總投資為x＋2x＋4x＝7x＝35(億元)　(3)
由x＝5，得2015年年初搬遷安置的投資為20億元，設(shè)從2016年年初開始，搬遷安置投資逐年遞減的百分?jǐn)?shù)為y.由題意，得20(1－y)2＝5，即(1－y)2＝0.25，解得y1＝0.5＝50%，y2＝1.5(不合題意，舍去)．∴
搬遷安置投資逐年遞減的百分?jǐn)?shù)為50%滬科版九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)解直角三角形的應(yīng)用專題（含答案）
一、
選擇題
1.
(·綏化)某樓梯的側(cè)面如圖所示，已測得BC的長約為3.5
m，∠BCA約為29°，則該樓梯的高度AB可表示為(　　)
A.
3.5
sin
29°
m　　B.
3.5
cos
29°
m　　
C.
3.5
tan
29°
m　　D.
m
2.
(·蘭州)如圖，一個斜坡長130
m，坡頂離水平地面的距離為50
m，那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值為(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
3.
(·益陽)如圖，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC相互垂直．設(shè)A，D，B在同一條直線上，∠CAB＝α，則拉線BC的長度為(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
h·cos
α
4.
(·威海)如圖，為了方便行人推車過某天橋，市政府在10
m高的天橋一側(cè)修建了40
m長的斜道，我們可以借助科學(xué)計算器求這條斜道傾斜角的度數(shù)，具體按鍵順序是(　　)
A.
B.
C.
D.
5.
(·煙臺)如圖，數(shù)學(xué)實踐活動小組要測量學(xué)校附近樓房CD的高度，在水平地面A處安置測傾器測得樓房CD頂部點D的仰角為45°，向前走20
m到達(dá)A′處，測得點D的仰角為67.5°.已知測傾器AB的高度為1.6
m，則樓房CD的高度約為(結(jié)果精確到0.1
m，tan
67.5°≈2.414)(　　)
A.
34.14
m　　B.
34.1
m　　C.
35.7
m　　D.
35.74
m
　　　　
6.
(·深圳)如圖，學(xué)校環(huán)保社成員想測量斜坡CD旁一棵樹AB的高度，他們先在點C處測得樹頂B的仰角為60°，然后在坡頂D處測得樹頂B的仰角為30°.已知斜坡CD的長度為20
m，DE的長為10
m，則樹AB的高度是(　　)
A.
20
m　　B.
30
m　　C.
30
m　　D.
40
m
7.
(·玉林)如圖，一艘輪船在A處測得燈塔P位于其北偏東60°方向上，輪船沿正東方向航行30海里到達(dá)B處后，此時測得燈塔P位于其北偏東30°方向上，此時輪船與燈塔P的距離是(　　)
A.
15海里　　B.
30海里　　C.
45海里　　D.
30海里
8.
(·南寧)如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向上，距離燈塔60
n
mile的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處，這時，B處與燈塔P的距離為(　　)
A.
60
n
mile　　B.
60
n
mile
C.
30
n
mile　　D.
30
n
mile
9.
(·百色)如圖，在距離鐵軌200
m的B處，觀察由南寧開往百色的“和諧號”動車．當(dāng)動車車頭在A處時，恰好位于B處的北偏東60°方向上；10
s后，動車車頭到達(dá)C處，恰好位于B處的西北方向上，則這時段動車的平均速度是(　　)
A.
20(＋1)m/s　　B.
20(－1)m/s
C.
200
m/s　　D.
300
m/s
10.
(·重慶)如圖，小王在長江邊某瞭望臺D處，測得江面上的漁船A的俯角為40°.若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡長BC＝10米，則此時AB的長約為(參考數(shù)據(jù)：sin
40°≈0.64，cos
40°≈0.77，tan
40°≈0.84)(　　)
A.
5.1米　　B.
6.3米　　C.
7.1米　　D.
9.2米
11.(·重慶)如圖，點C與某建筑物底端B相距306米(點C與點B在同一水平面上)，某同學(xué)從點C出發(fā)，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡頂D處，斜坡CD的坡度i＝1∶2.4，在D處測得該建筑物頂端A的俯角為20°，則建筑物AB的高度約為(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin
20°≈0.342，cos
20°≈0.940，tan
20°≈0.364)(　　)
A.
29.1米　B.
31.9米　C.
45.9米　D.
95.9米
二、
填空題
12.
(·寧波)如圖，一名滑雪運動員沿著傾斜角為34°的斜坡，從A滑行至B.已知AB＝500米，則這名滑雪運動員的高度下降了約________米．(參考數(shù)據(jù)：sin
34°≈0.56，cos
34°≈0.83，tan
34°≈0.67)
　　　　
13.
(·山西)如圖，創(chuàng)新小組要測量公園內(nèi)一棵樹的高度AB，其中一名小組成員站在距離樹10米的點E處，測得樹頂A的仰角為54°.已知測角儀的架高CE＝1.5米，則這棵樹的高度為________米．(結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin
54°≈0.809
0，cos
54°≈0.587
8，tan
54°≈1.376
4)
14.
(·邵陽)如圖，運載火箭從地面l處垂直向上發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點A時，從位于地面R處的雷達(dá)測得AR的距離是40
km，仰角是30°，n秒后，火箭到達(dá)點B，此時仰角是45°，則火箭在這n秒中上升的高度是________km.
15.
(·黃石)如圖，為了測量出一垂直于水平地面的某高大建筑物AB的高度，一測量人員在該建筑物附近C處，測得建筑物頂端A處的仰角為45°，隨后沿直線BC向前走了100米到達(dá)D處，在D處測得A處的仰角為30°，則建筑物AB的高度約為________米．(注：不計測量人員的身高，結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)
16.
(·宜賓)如圖，為了測量某條河的寬度，現(xiàn)在河的一岸邊任意取一點A，又在河的另一岸邊取兩點B，C，測得α＝30°，β＝45°，量得BC的長為100
m，則河的寬度為________m.
17.
(·南通)如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角α為45°，看這棟樓底部C的俯角β為60°，熱氣球與樓的水平距離為100
m，則這棟樓的高度為________m.
18.
(·東營)一數(shù)學(xué)興趣小組來到某公園，準(zhǔn)備測量一座塔的高度．如圖，在A處測得塔頂?shù)难鼋菫棣粒贐處測得塔頂?shù)难鼋菫棣拢譁y量出A，B兩點的距離為s米，則塔高為________米．
19.
(·泰州)小明沿著坡度i為1∶的直路向上走了50
m，則小明沿垂直方向升高了________m.
20.
(·天門)為加強防汛工作，某市對一攔水壩進行加固，如圖，加固前攔水壩的橫斷面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12米，∠B＝60°，加固后攔水壩的橫斷面為梯形ABED，tan
E＝，則CE的長為________米．
21.
(·葫蘆島)一艘貨輪由西向東航行，在A處測得燈塔P在它的北偏東60°方向上，繼續(xù)航行到達(dá)B處，測得燈塔P在正南方向4海里的C處是港口，點A，B，C在一條直線上，則這艘貨輪由A到B航行的路程為________海里．(結(jié)果保留根號)
22.
(·大連)如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東60°方向，距離燈塔86
n
mile的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，此時，B處與燈塔P的距離約為________n
mile.(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7，≈1.4)
23.
(·大慶)如圖，有一條東西走向的河流，在河流對岸有一點A，小明在岸邊點B處測得點A在點B的北偏東30°方向上，小明沿河岸向東走80
m后到達(dá)點C，測得點A在點C的北偏西60°方向上，則點A到河岸BC的距離為________m.
24.
(·蘇州)如圖，在一筆直的沿湖道路l上有A，B兩個游船碼頭，觀光島嶼C在碼頭
A北偏東60°的方向上，在碼頭
B北偏西45°的方向上，AC＝4
km.游客小張準(zhǔn)備從觀光島嶼C乘船沿CA回到碼頭A或沿CB回到碼頭B，設(shè)開往碼頭A，B的游船速度分別為v1，v2.若回到
A，B所用時間相等，則＝________.(結(jié)果保留根號)
三、
解答題
25.
(·湘潭)某游樂場部分平面圖如圖所示，C，E，A三處在同一直線上，D，E，B三處在同一直線上．測得A處與E處的距離為80米，C處與D處的距離為34米，∠C＝90°，∠ABE＝90°，∠BAE＝30°.求：
(1)
旋轉(zhuǎn)木馬E處到出口B處的距離；
(2)
海洋球D處到出口B處的距離．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7)
26.
(·安徽)如圖，游客在點A處坐纜車出發(fā)，沿A－B－D的路線可至山頂D處，假設(shè)AB和BD都是直線段，且AB＝BD＝600
m，α＝75°，β＝45°，求DE的長．(參考數(shù)據(jù)：sin
75°≈0.97，cos
75°≈0.26，≈1.41)
27.
(·貴陽)如圖，貴陽市某消防支隊在一幢居民樓前進行消防演習(xí)，消防官兵利用云梯成功救出在C處的求救者后，發(fā)現(xiàn)在C處正上方17米的B處又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯將其救出，已知點A與居民樓的水平距離是15米，且在A點測得第一次施救時云梯與水平線的夾角∠CAD＝60°，求第二次施救時云梯與水平線的夾角∠BAD的度數(shù)．(結(jié)果精確到1°)
28.
(·涼山州)如圖，若要在寬AD為20米的城南大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂BC長2米，且與燈柱AB成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線CO與燈臂BC垂直，當(dāng)燈罩的軸線CO通過公路路面的中心線時照明效果最好，此時，路燈的燈柱AB的高應(yīng)該設(shè)計為多少米？
29.
(·舟山)如圖是小強洗漱時的側(cè)面示意圖，洗漱臺(矩形ABCD)靠墻擺放，高AD＝80
cm，寬AB＝48
cm，小強身高166
cm，下半身FG＝100
cm，洗漱時下半身與地面成80°角(∠FGK＝80°)，身體前傾成125°角(∠EFG＝125°)，腳與洗漱臺距離GC＝15
cm(點D，C，G，K在同一直線上)．
(1)
此時小強頭部E點與地面DK相距多少厘米？
(2)
小強希望他的頭部E恰好在洗漱盆AB的中點O的正上方，他應(yīng)向前或后退多少厘米？
(參考數(shù)據(jù)：sin
80°≈0.98，cos
80°≈0.17，≈1.41，結(jié)果精確到0.1
cm)
30.
(·通遼)如圖，物理教師為同學(xué)們演示單擺運動，單擺左右擺動中，在OA的位置時俯角∠EOA＝30°，在OB的位置時俯角∠FOB＝60°.若OC⊥EF，點A比點B高7
cm.求：
(1)
單擺的長度；
(2)
從點A擺動到點B經(jīng)過的路徑長．
31.
(·遵義)如圖，烏江快鐵大橋是快鐵渝黔線的一項重要工程，由主橋AB和引橋BC兩部分組成，建造前工程師用以下方式做了測量：無人機在A處正上方97
m處的P點，測得B處的俯角為30°(當(dāng)時C處被小山體阻擋無法觀測)，無人機飛行到B處正上方的D處時能看到C處，此時測得C處的俯角為80°36′.
(1)
求主橋AB的長度；
(2)
若兩觀察點P，D的連線與水平方向的夾角為30°，求引橋BC的長．
(長度均精確到1
m，參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin
80°36′≈0.987，cos
80°36′≈0.163，tan
80°36′≈6.04)
32.
(·濰坊)如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組要測量一棟五層居民樓CD的高度．該樓底層為車庫，高2.5
m；上面五層居住，每層高度相等．測角儀支架離地1.5
m，在A處測得五樓頂部點D的仰角為60°，在B處測得四樓頂部點E的仰角為30°，AB＝14
m．求居民樓的高度．(結(jié)果精確到0.1
m，參考數(shù)據(jù)：≈1.73)
33.（·荊門）金橋?qū)W校“科技體藝”期間，八年級數(shù)學(xué)活動小組的任務(wù)是測量旗桿AB的高度，他們在旗桿正前方臺階上的點C處，測得旗桿頂端A的仰角為45°，朝著旗桿的方向走到臺階下的點F處，測得旗桿頂端A的仰角為60°，已知升旗臺的高度BE為1
m，點C距地面的高度CD為3
m，臺階CF的坡角為30°，且點E，F(xiàn)，D在同一條直線上，求旗桿AB的高度．(結(jié)果精確到0.1
m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)
34.
(·隨州)風(fēng)電已成為我國繼煤電、水電之后的第三大電源，風(fēng)電機組主要由塔桿和葉片組成(如圖①)，圖②是從圖①引出的平面圖．假設(shè)你站在A處測得塔桿頂端C的仰角是55°，沿HA方向水平前進43
m到達(dá)山底G處，在山頂B處發(fā)現(xiàn)正好一葉片到達(dá)最高位置，此時測得葉片的頂端D(D，C，H在同一直線上)的仰角是45°.已知葉片的長度為35
m(塔桿與葉片連接處的長度忽略不計)，山高BG為10
m，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔桿CH的高度．(參考數(shù)據(jù)：tan
55°≈1.4，tan
35°≈0.7，sin
55°≈0.8，sin
35°≈0.6)
　　　　
35.
(·長沙)為了維護國家主權(quán)和海洋權(quán)利，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時50海里的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1小時到達(dá)B處，此時測得燈塔P在北偏東30°方向上．
(1)
求∠APB的度數(shù)；
(2)
已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？
36.
(·南京)如圖，港口B位于港口A的南偏東37°方向上，燈塔C恰好在AB的中點處，一艘海輪位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D處，它沿正北方向航行5
km到達(dá)E處，測得燈塔C在北偏東45°方向上，這時，E處距離港口A有多遠(yuǎn)？(參考數(shù)據(jù)：sin
37°≈0.60，cos
37°≈0.80，tan
37°≈0.75)
37.
(·瀘州)如圖，海中一漁船在A處且與小島C相距70
n
mile.若該漁船由西向東航行30
n
mile到達(dá)B處，此時測得小島C位于B的北偏東30°方向上．求該漁船此時與小島C之間的距離．
38.
(·錦州)超速行駛是一種十分危險的違法駕駛行為．如圖，在一條筆直的高速公路MN上，小型車限速為每小時120
km，設(shè)置在公路旁的超速監(jiān)測點C，現(xiàn)測得一輛小型車在監(jiān)測點C的南偏西30°方向的A處，7
s后，測得其在監(jiān)測點C的南偏東45°方向的B處，已知BC＝200
m，B在A的北偏東75°方向上，請問：這輛車超速了嗎？通過計算說明理由．(參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)
39.
(·海南)如圖，為做好防汛工作，防汛指揮部決定對某水庫的水壩進行加高加固，專家提供的方案如下：水壩加高2
m(即CD＝2
m)，背水坡DE的坡度i＝1∶1，已知AE＝4
m，∠EAC＝130°，求水壩原來的高度BC.(參考數(shù)據(jù)：sin
50°≈0.77，cos
50°≈0.64，tan
50°≈1.2)
40.
(·荊州)如圖，某數(shù)學(xué)活動小組為測量學(xué)校旗桿AB的高度，從旗桿正前方2
m處的點C處出發(fā)，沿斜面坡度i＝1∶的斜坡CD前進4
m到達(dá)點D處，在點D處安置測角儀，測得旗桿頂部A的仰角為37°，量得儀器的高DE為1.5
m．已知點A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，AB⊥BC，AB∥DE.求旗桿AB的高度．(參考數(shù)據(jù)：sin
37°≈，cos
37°≈，tan
37°≈.結(jié)果保留根號)
41.(·達(dá)州)如圖，信號塔PQ坐落在坡度i＝1∶2的山坡上，其正前方直立著一警示牌．當(dāng)太陽光線與水平線成60°角時，測得信號塔PQ落在斜坡上的影子QN長為2
m，落在警示牌上的影子MN長為3
m，求信號塔PQ的高度.
42.
(·鄂州)小明想要測量學(xué)校食堂和食堂正前方一棵樹的高度，他從食堂樓底M處出發(fā)，向前走3
m到達(dá)A處，測得樹頂端E的仰角為30°，他又繼續(xù)走下臺階到達(dá)C處，測得樹頂端E的仰角是60°，再繼續(xù)向前走到大樹底D處，測得食堂樓頂N的仰角為45°.已知A點離地面的高度AB＝2
m，∠BCA＝30°，且B，C，D三點在同一直線上．求：
(1)
樹DE的高度；
(2)
食堂MN的高度．
答案
一、
A　
C　
B　
A　
C　
B　
B　
B　
A
A　
A
二、
280　
15.3　
(20－20)　
137　
50(＋1)　
(100＋100)　　
25　
8　
(4－4)　
102　
20　
三、
(1)
在Rt△ABE中，AE＝80米，∠BAE＝30°，sin∠BAE＝，∴
BE＝AE·sin∠BAE＝80×sin
30°＝80×＝40(米)．∴
旋轉(zhuǎn)木馬E處到出口B處的距離為40米　(2)
∵
∠C＝90°，∠ABE＝90°，∠DEC＝∠AEB，△ABE，△DCE的內(nèi)角和均為180°，∴
∠D＝∠BAE＝30°.在Rt△DCE中，CD＝34米，cos
D＝，∴
DE＝＝＝≈＝40(米)．∴
DB＝DE＋BE≈40＋40＝80(米)．∴
海洋球D處到出口B處的距離約為80米
∵
在Rt△ABC中，
AB＝600
m，∠ABC＝α＝75°，∴
BC＝AB·cos
75°≈600×0.26＝156(m)．∵
在Rt△BDF中，∠DBF＝β＝45°，∴
DF＝BD·sin
45°＝600×≈300×1.41＝423(m)．由題意，得四邊形BCEF是矩形，∴
EF＝BC＝156
m．∴
DE＝DF＋EF＝423＋156＝579(m)．∴
DE的長為579
m
延長AD交BC所在直線于點E.由題意，得∠AEB＝90°，BC＝17米，AE＝15米，∠CAE＝60°.∵
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，∴
CE＝AE·tan
60°＝15米．∴
BE＝(17＋15)米．∵
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，∴
利用計算器，可得∠BAE≈71°.∴
第二次施救時云梯與水平線的夾角∠BAD約為71°
由題意，得O是AD的中點，∴
AO＝AD＝10米．如圖，過點C作CH⊥AO，垂足為H，再過點B作BE⊥CH，垂足為E.∵
AD⊥AB，CH⊥AO，BE⊥CH，∴
四邊形HABE為矩形．∴
AB＝EH，AH＝BE，∠ABE＝90°.∵
∠ABC＝120°，∴
∠CBE＝30°.∵
BC＝2米，∴
在Rt△CEB中，CE＝BC＝1米，BE＝BC·cos
30°＝米．∴
AH＝米．∴
OH＝AO－AH＝(10－)米．∵
四邊形OABC的內(nèi)角和為360°，∴
∠AOC＝360°－∠ABC－90°×2＝60°.∴
在Rt△CHO中，CH＝OH·tan
60°＝(10－)×＝(10－3)米．∴
EH＝CH－CE＝(10－4)米．∴
AB＝(10－4)米．∴
路燈的燈柱AB的高應(yīng)該設(shè)計為(10－4)米　點撥：本題另解如下：延長OC，AB交于點P，構(gòu)造兩個含30°角的直角三角形解題．
(1)
如圖，過點F作FN⊥DK于點N，過點E作EM⊥NF的延長線于點M.∵
EF＋FG＝166
cm，F(xiàn)G＝100
cm，∴
EF＝66
cm.∵
∠FGK＝80°，∴
FN＝FG·sin∠FGK＝100·sin
80°≈98
cm.∵
∠GFN＋∠FGN＝90°，∴
∠GFN＝10°.∵
∠EFG＝125°，∴
∠EFM＝180°－125°－10°＝45°.∴
FM＝EF·cos∠EFM＝66·cos
45°＝33≈46.53(cm)．∴
MN＝FN＋FM≈144.5
cm，∴
此時小強頭部E點與地面DK相距約為144.5
cm　(2)
如圖，過點E作EP⊥AB于點P，延長OB交MN于點H.∵
AB＝48
cm，O為AB中點，∴
AO＝BO＝24
cm.∵
EM＝EF·sin∠EFM＝66·sin
45°≈46.53
cm，即PH≈46.53
cm，GN＝FG·cos∠FGK＝100·cos
80°≈17
cm，CG＝15
cm，∴
OH≈24＋15＋17＝56(cm)．∴
OP＝OH－PH≈9.5(cm)．∴
他應(yīng)向前約9.5
cm
(1)
如圖，過點A作AP⊥OC于點P，過點B作BQ⊥OC于點Q.∵
∠EOA＝30°，∠FOB＝60°，且OC⊥EF，∴
∠AOP＝60°，∠BOQ＝30°.設(shè)OA＝OB＝x
cm，則在
Rt△AOP中，OP＝OAcos∠AOP＝x
cm.在Rt△BOQ中，OQ＝OBcos∠BOQ＝x
cm.∵
PQ＝OQ－OP＝7
cm，∴
x－x＝7，解得x＝(7＋7)．∴
單擺的長度為(7＋7)cm　(2)
由(1)知，∠AOP＝60°，∠BOQ＝30°，∴
∠AOB＝90°.∵
OA＝OB＝(7＋7)cm，∴
從點A擺動到點B經(jīng)過的路徑長為＝(cm)．∴
從點A擺動到點B經(jīng)過的路徑長為cm
(1)
由題意，知PA⊥AC，DB⊥AC，∠ABP＝30°，∠C＝80°36′，AP＝97
m．∵
在Rt△PAB中，tan∠ABP＝，∴
AB＝＝＝＝97≈168(m)．∴
主橋AB的長度約為168
m　(2)
∵
在Rt△PAB中，∠ABP＝30°，AP＝97
m，∴
PB＝2PA＝194
m．∵
DB⊥AC，∠ABP＝30°，∴
∠PBD＝60°.根據(jù)題意，得∠DPB＝30°＋30°＝60°，∴
∠DPB＝∠PBD.∴
PD＝DB.∴
△PBD是等邊三角形．∴
DB＝PB＝194
m．∵
在Rt△CBD中，tan
C＝，∴
BC＝＝≈32(m)．∴
引橋BC的長約為32
m
設(shè)每層樓高為x
m，由題意，得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1
m，∴
DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m.在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴
C′A′＝＝(5x＋1)m.在
Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴
C′B′＝＝(4x＋1)m.∵
A′B′＝C′B′－C′A′＝AB＝14
m，∴
(4x＋1)－(5x＋1)＝14，解得x≈3.18.∴
CD＝DM＋MC≈5×3.18＋2.5＝18.4(m)．∴
居民樓的高度約為18.4
m
過點C作CM⊥AB于點M，則四邊形MEDC是矩形，∴
ME＝DC＝3
m，CM＝ED.在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，設(shè)EF＝x
m，則AF＝＝2x
m，AE＝EF·tan
60°＝x
m．在Rt△FDC中，CD＝3
m，∠CFD＝30°，∴
DF＝＝3
m．在Rt△AMC中，∠ACM＝45°.∴
∠MAC＝∠ACM＝45°.∴
MA＝MC.∴
MA＝ED.∵
MA＝AE－ME，ED＝EF＋DF，∴
x－3＝x＋3，解得x＝6＋3.∴
AE＝(6＋3)＝(6＋9)m.∴
AB＝AE－BE＝9＋6－1≈18.4(m)．∴
旗桿AB的高度約為18.4
m
根據(jù)題意，得AG＝43
m，CD＝35
m，BG＝10
m，∠CAH＝55°.如圖，作BE⊥DH交DH于點E，則∠DBE＝45°，四邊形BGHE為矩形，∴
GH＝BE，BG＝EH＝10
m．設(shè)AH＝x
m，則BE＝GH＝AG＋AH＝(43＋x)m.在Rt△ACH中，CH＝AH·tan∠CAH＝(tan
55°·x)m，∴
CE＝CH－EH＝(tan
55°·x－10)m.此時DE＝CD＋CE＝(tan
55°·x＋25)m.∵
在Rt△BED中，∠DBE＝45°，∴
∠D＝∠DBE＝45°.∴
BE＝DE＝(tan
55°·x＋25)m.由GH＝BE，得43＋x＝tan
55°·x＋25，解得x≈45.∴
CH＝tan
55°·x≈63(m)．∴
塔桿CH的高約為63
m
(1)
由題意，得AB＝50×1＝50(海里)，∠PAB＝90°－60°＝30°，∠ABP＝90°＋30°＝120°，∴
在△ABP中，∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°　(2)
如圖，作PH⊥AB于點H.由(1)，得∠BAP＝∠BPA＝30°，∴
BA＝BP＝50(海里)．∵
在Rt△PBH中，∠PBH＝90°－30°＝60°，∴
PH＝PB·sin
60°＝50×＝25(海里)．∵
25>25，∴
海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的
如圖，過點C作CH⊥AD，垂足為H.設(shè)CH＝x
km.在
Rt△ACH中，∵
tan
A＝，∠A＝37°，即tan
37°＝，∴
AH＝＝
km.在Rt△CEH中，∵
∠CEH＝45°，∴
∠ECH＝∠CEH＝45°.∴
CH＝EH＝x
km.∵
CH⊥AD，BD⊥AD，∴
∠AHC＝∠ADB＝90°.∴
CH∥BD.∴
＝.∵
C是AB的中點，∴
AC＝CB.∴
AH＝HD.∴
＝x＋5.∴
x＝≈＝15.∴
AE＝AH＋HE≈＋15≈35(km)．∴
E處距離港口A有35
km
如圖，過點C作CD⊥AB，交AB的延長線于點D.由題意，得AC＝70
n
mile，AB＝30
n
mile，∠CBD＝90°－30°＝60°.設(shè)BC＝x
n
mile，則在Rt△BCD中，BD＝BC·cos
60°＝x
n
mile，CD＝BC·sin
60°＝x
n
mile，∴
AD＝n
mile.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2，即＋＝702，即x2＋30x－4
000＝0，解得x1＝50，x2＝－80(不合題意，舍去)．∴
該漁船此時與小島C之間的距離為50
n
mile
這輛車超速了　理由：如圖，點D在點C的正南方向上，并且點D在AB上．過點D分別作DF⊥CB于點F，作DE⊥AC于點E.由題意，得∠ACD＝30°，∠DCB＝45°，∠CDB＝75°，則∠DAE＝45°，∠CDF＝45°，∠FDB＝30°.設(shè)BF＝x
m，則在Rt△DFB中，DF＝＝x
m．在Rt△DFC中，CF＝DF·tan
45°＝x
m．∵
BC＝200
m，BC＝
CF＋
BF，∴
x＋x＝200，解得x＝100(－1)．∴
BF＝100(－1)m，DF＝CF＝100(－1)m.∴
在
Rt△DFB中，BD＝＝200(－1)m.在Rt△DFC中，DC＝＝CF＝(300－100)m.∴
在
Rt△DEC中，DE＝DC＝(150－50)m.在
Rt△AED中，AD＝＝(300－100)m，∴
AB＝AD＋BD＝300－100＋200(－1)＝100(＋1)≈273(m)．∴
汽車的速度為＝39(m/s)．∵
小型車限速為每小時120千米，≈33.3(m/s)，此時39>33.3，∴
這輛車超速了．
設(shè)BC＝x
m．∵
∠EAC＝130°，∴
∠CAB＝180°－∠EAC＝50°.在Rt△ABC中，tan∠CAB＝，∴
AB＝≈＝x
m．∵
CD＝2
m，AE＝4
m，∴
BD＝(x＋2)m,
BE＝m.∵
背水坡DE的坡度i＝1∶1，∴
在
Rt△EBD中，i＝BD∶BE＝1∶1，即BD＝BE.∴
x＋2＝x＋4，解得x＝12.∴
BC＝12
m．∴
水壩原來的高度BC為12
m
如圖，延長ED交BC的延長線于點F.∵
AB⊥BC，AB∥DE，則EF⊥BF，即∠CFD＝90°.∵
斜坡CD的坡度i＝1∶，∴
tan∠DCF＝i＝＝.∴
∠DCF＝30°.∵
CD＝4
m，∴
DF＝CD＝2
m，CF＝CD·cos∠DCF＝4×＝2
m．∴
BF＝BC＋CF＝2＋2＝4(m)．過點E作EG⊥AB于點G，則四邊形GBFE是矩形，∴
GE＝BF＝4
m，GB＝EF＝ED＋DF＝1.5＋2＝3.5(m)．又
∵
在
Rt△AGE中，∠AEG＝37°，∴
AG＝GE·tan∠AEG＝4·tan
37°≈4×＝3(m)．∴
AB＝AG＋BG＝(3＋3.5)m.∴
旗桿AB的高度為(3＋3.5)m
由題意，得MN∥PQ.如圖，作MF⊥PQ于點F，QE⊥MN于點E，則四邊形QEMF是矩形，∴
FQ＝EM，EQ＝MF.在Rt△QEN中，設(shè)EN＝x
m(x>0)．∵
斜坡QN的坡度
i＝tan∠EQN＝1∶2，∴
EQ＝2EN＝2x
m．在Rt△QEN中，由勾股定理，得EN2＋QE2＝QN2，即(2x)2＋x2＝(2)2，解得x＝2(負(fù)值舍去)．∴
EN＝2
m，EQ＝MF＝4
m．∵
MN＝3
m，∴
FQ＝EM＝1
m．根據(jù)題意，得∠PMF＝60°.∵
在Rt△PFM中，tan∠PMF＝，∴
PF＝FM·tan
60°＝4
m．∴
PQ＝PF＋FQ＝(4＋1)m.∴
信號塔PQ的高度為(4＋1)m
(1)
由題意，四邊形ABDF是矩形，∴
∠ABC＝∠BDF＝∠AFD＝90°，AF＝BD.如圖，設(shè)DE＝x
m．∵
AB＝DF＝2
m，∴
EF＝DE－DF＝(x－2)m.∵
在Rt△AFE中，∠EAF＝30°，∴
AF＝＝＝(x－2)m.又∵
在Rt△CDE中，∠DCE＝60°，∴
CD＝＝＝x
m．∵
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∴
BC＝＝＝2(m)．∴
BD＝BC＋CD＝m.由AF＝BD，得(x－2)＝2＋x，解得x＝6.∴
樹DE的高度為6
m　(2)
延長NM交DB的延長線于點P，則四邊形MPBA是矩形，∴
AM＝BP＝3
m，MP＝AB＝2
m．由(1)，知CD＝x＝×6＝2(m)，BC＝2
m，∴
PD＝BP＋BC＋CD＝3＋2＋2＝(3＋4)m.∵
在Rt△NPD中，∠NDP＝45°，∴
∠PND＝∠NDP＝45°.∴
NP＝PD＝(3＋4)m.∴
MN＝NP－MP＝3＋4－2＝(1＋4)m.∴
食堂MN的高度為(1＋4)m滬科版九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)一元二次方程專題（含答案）
一、
選擇題
1.
(·廣東)如果2是方程x2－3x＋k＝0的一個根，那么常數(shù)k的值為(　　)
A.
1　　B.
2　　C.
－1　　D.
－2
2.
(·威海)若1－是方程x2－2x＋c＝0的一個根，則c的值為(　　)
A.
－2　　B.
4－2　　C.
3－　　D.
1＋
3.
(·溫州)我們知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，現(xiàn)給出另一個方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是(　　)
A.
x1＝1，x2＝3　　B.
x1＝1，x2＝－3
C.
x1＝－1，x2＝3　　D.
x1＝－1，x2＝－3
4.
(·泰安)一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化為(　　)
A.
(x－3)2＝15　　B.
(x－3)2＝3
C.
(x＋3)2＝15　　D.
(x＋3)2＝3
5.
(·臺灣)一元二次方程式x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式，其中a，b為整數(shù)，則a＋b的值為(　　)
A.
20　　B.
12　　C.
－12　　D.
－20
6.
(·涼山州)若關(guān)于x的方程x2＋2x－3＝0與＝有一個解相同，則a的值為(　　)
A.
1　　B.
1或－3　　C.
－1　　D.
－1或3
7.
(·東營)若|x2－4x＋4|與的值互為相反數(shù)，則x＋y的值為(　　)
A.
3　　B.
4　　C.
6　　D.
9
8.
(·益陽)關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根為x1＝1，x2＝－1，那么下列結(jié)論一定成立的是(　　)
A.
b2－4ac>0　　B.
b2－4ac＝0
C.
b2－4ac<0　　D.
b2－4ac≤0
9.
(·宜賓)一元二次方程4x2－2x＋＝0的根的情況是(　　)
A.
有兩個不相等的實數(shù)根　B.
有兩個相等的實數(shù)根
C.
沒有實數(shù)根　　D.
無法判斷
10.
(·河南)一元二次方程2x2－5x－2＝0的根的情況是(　　)
A.
有兩個相等的實數(shù)根　B.
有兩個不相等的實數(shù)根
C.
只有一個實數(shù)根　　
　　D.
沒有實數(shù)根
11.
(·上海)下列方程中，沒有實數(shù)根的是(　　)
A.
x2－2x＝0　　B.
x2－2x－1＝0
C.
x2－2x＋1＝0　　D.
x2－2x＋2＝0
12.
(·廣州)已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋8x＋q＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則q的取值范圍是(　　)
A.
q<16　　B.
q>16
　　C.
q≤4
　　D.
q≥4
13.
(·蘭州)如果一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有兩個相等的實數(shù)根，那么實數(shù)m的取值為(　　)
A.
m>　　B.
m>　　C.
m＝　　D.
m＝
14.
(·咸寧)已知a，b，c為常數(shù)，點P(a，c)在第二象限，則關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情況是(　　)
A.
有兩個相等的實數(shù)根　B.
有兩個不相等的實數(shù)根
C.
沒有實數(shù)根　　D.
無法判斷
15.
(·通遼)若關(guān)于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是(　　)
　　　　　　
16.
(·寧夏)已知關(guān)于x的一元二次方程(a－1)x2＋3x－2＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍是(　　)
A.
a
>－　　B.
a
≥－
C.
a
>－且a≠1　　D.
a
≥－且a≠1
17.
(·齊齊哈爾)若關(guān)于x的方程kx2－3x－＝0有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是(　　)
A.
k＝0　　B.
k≥－1且k≠0　　
C.
k≥－1　　D.
k>－1
18.
(·懷化)若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的兩個根，則x1·x2的值是(　　)
A.
2　　B.
－2　　C.
4　　D.
－3
19.
(·涼山州)一元二次方程3x2－1＝2x＋5兩實根的和與積分別是(　　)
A.
，－2　　B.
，－2　　C.
－，2　　D.
－，2
20.
(·江西)已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的兩個根為x1，x2，下列結(jié)論正確的是(　　)
A.
x1＋x2＝－　　B.
x1·x2＝1
C.
x1，x2都是有理數(shù)　　D.
x1，x2都是正數(shù)
21.
(·新疆)已知關(guān)于x的方程x2＋x－a＝0的一個根為2，則另一個根是(　　)
A.
－3　　B.
－2　　C.
3　　D.
6
22.
(·煙臺)若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的兩個根，且x1＋x2＝1－x1x2，則m的值為(　　)
A.
－1或2　　B.
1或－2　　C.
－2　　D.
1
23.
(·黔東南州)已知一元二次方程x2－2x－1＝0的兩根分別為x1，x2，則＋的值為(　　)
A.
2　　B.
－1　　C.
－　　D.
－2
24.
(·綿陽)已知關(guān)于x的方程2x2＋mx＋n＝0的兩個根是－2和1，則nm的值為(　　)
A.
－8　　B.
8　　C.
16　　D.
－16
25.
(·呼和浩特)已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，則a的值為(　　)
A.
2　　B.
0　　C.
1　　D.
2或0
26.(·天門)若α，β為方程2x2－5x－1＝0的兩個實數(shù)根，則2α2＋3αβ＋5β的值為(　　)
A.
－13　　B.
12　　C.
14　　D.
15
二、
填空題
27.
(1)
(·常州)已知x＝1是關(guān)于x的方程ax2－2x＋3＝0的一個根，則a的值為________；
(2)
(·菏澤)關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一個根是0，則k的值是________．
28.
(·貴陽)方程(x－3)(x－9)＝0的根是__．
29.
(1)
(·淮安)若關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋k＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是________；
(2)
(·連云港)已知關(guān)于x的方程x2－2x＋m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是________；
(3)
(·泰安)已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋(k2－1)＝0無實數(shù)根，則k的取值范圍為________．
30.
(1)
(·遼陽)若關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－5＝0沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是________；
(2)
(·棗莊)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2－2x－1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是________________；
(3)
(·營口)若關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是__________________；
(4)
(·白銀)若關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是__．
31.
(·南京)已知關(guān)于x的方程x2＋px＋q＝0的兩根為－3和－1，則p＝________，q＝________．
32.
(1)
(·張家界)已知一元二次方程x2－3x－4＝0的兩根是m，n，則m2＋n2＝________；
(2)
(·泰州)已知方程2x2＋3x－1＝0的兩個根為x1，x2，則＋的值為________．
33.
(1)
(·眉山)已知一元二次方程x2－3x－2＝0的兩個實數(shù)根為x1，x2，則(x1－1)(x2－1)的值是________；
(2)
(·西寧)若x1，x2是一元二次方程x2＋3x－5＝0的兩個根，則xx2＋x1x的值是________．
34.
(·內(nèi)江)設(shè)α，β是方程(x＋1)(x－4)＝－5的兩實數(shù)根，則＋的值為________．
35.
(·鹽城)若方程x2－4x＋1＝0的兩根是x1，x2，則x1(1＋x2)＋x2的值為________．
36.
(·成都)已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程
x2－5x＋a＝0的兩個實數(shù)根，且x－x＝10，則a＝________.
37.
(·淄博)已知α，β是方程x2－3x－4＝0的兩個實數(shù)根，則α2＋αβ－3α的值為________．
38.
(·鎮(zhèn)江)已知實數(shù)m滿足m2－3m＋1＝0，則代數(shù)式m2＋的值為________．
39.
(·岳陽)在△ABC中，BC＝2，AB＝2，AC＝b，且關(guān)于x的方程x2－4x＋b＝0有兩個相等的實數(shù)根，則AC邊上的中線長為________．
三、
解答題
40.
解方程：
(1)
(·德州)3x(x－1)＝2(x－1)；
(2)
(·麗水)(x－3)(x－1)＝3.
41.
(·濱州)根據(jù)要求解答下列問題：
(1)
①
方程x2－2x＋1＝0的解為__；
②
方程x2－3x＋2＝0的解為__；
③
方程x2－4x＋3＝0的解為__；
…
(2)
根據(jù)以上方程及其解的特征，請猜想：
①
方程x2－9x＋8＝0的解為__；
②
關(guān)于x的方程________________的解為x1＝1，x2＝n.
(3)
請用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以驗證猜想結(jié)論的正確性．
42.
(·湘潭)由多項式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”進行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
例如分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)
分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋______)(x＋______)；
(2)
請用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
43.
(·北京)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.
(1)
求證：方程總有兩個實數(shù)根；
(2)
若方程有一根小于1，求k的取值范圍．
44.
(·南充)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.
(1)
求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)
如果方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，且x＋x－x1x2＝7，求m的值．
45.
(·黃石)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－4x－m2＝0.
(1)
求證：該方程有兩個不等的實數(shù)根；
(2)
若該方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足x1＋2x2＝9，求m的值．
46.
(·荊州)已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(k－5)x＋1－k＝0，其中k為常數(shù)．
(1)
求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)
若原方程的一個根大于3，另一個根小于3，求k的最大整數(shù)值．
47.
(·鄂州)已知關(guān)于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
(1)
求實數(shù)k的取值范圍．
(2)
設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，存不存在這樣的實數(shù)k，使得|x1|－|x2|＝？若存在，求出這樣的k值；若不存在，說明理由．
48.
(·孝感)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有兩個實數(shù)根x1，x2.
(1)
求m的取值范圍；
(2)
若x1，x2滿足3x1＝|x2|＋2，求m的值．
49.
(·綏化)已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－4＝0.
(1)
當(dāng)m為何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？
(2)
若邊長為5的菱形的兩條對角線的長分別為方程兩根的2倍，求m的值．
答案
一、
B　
A　
D　
A　
A　
C　
A　
A　
B　
B　
D　
A　
C　
B　
A　
D　
C　
D　
B　
D　
A　
D　
D　
C
B　
B
二、
(1)
－1　(2)
0　
x1＝3，x2＝9　
(1)
k<－(2)
1　(3)
k>　
(1)
k<　
(2)
a>－1且a≠0　(3)
k>且k≠1　(4)
k≤5且k≠1　
4　3　
(1)
17(2)
3　
(1)
－4　(2)
15　
47　
5　　
0
9　
2
三、
(1)
x1＝1，x2＝　(2)
x1＝0，x2＝4
(1)
①
x1＝x2＝1　②
x1＝1，x2＝2　③
x1＝1，x2＝3　(2)
①
x1＝1，x2＝8　②
x2－(1＋n)x＋n＝0　(3)
移項，得x2－9x＝－8；配方，得x2－9x＋＝－8＋，即＝；直接開平方，得x－＝或x－＝－，∴
x1＝1，x2＝8.因此猜想正確
(1)
2　4　(2)
∵
x2－3x－4＝0，∴
(x＋1)(x－4)＝0，解得x1＝－1，x2＝4
(1)
∵
在方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0中，Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0，∴
方程總有兩個實數(shù)根　(2)
∵
x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0，∴
x2－(k＋3)x＋2(k＋1)＝0.將方程的左邊分解因式，得(x－2)(x－k－1)＝0，∴
x1＝2，x2＝k＋1.∵
方程有一根小于1，∴
k＋1<1，解得k<0.∴
k的取值范圍為k<0
(1)
在x2－(m－3)x－m＝0中，∵
Δ＝[－(m－3)]2－4×1×(－m)＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8>0，∴
方程有兩個不相等的實數(shù)根　(2)
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m.∵
x＋x－x1x2＝7，∴
(x1＋x2)2－3
x1x2＝7.∴
(m－3)2－3×(－m)＝7，即m2－3m＋2＝0，(m－1)(m－2)＝0，解得m1＝1，m2＝2.∴
m的值是1或2
(1)
在方程x2－4x－m2＝0中，Δ＝(－4)2－4×1×(－m2)＝16＋4m2.∵
m2≥0，∴
4m2≥0.∴
16＋4m2>0，即Δ>0.∴
該方程有兩個不等的實數(shù)根　(2)
∵
該方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，∴
x1＋x2＝4
①，x1x2＝－m2
②.∵
x1＋2x2＝9
③，∴
聯(lián)立①③，解得x1＝－1，x2＝5.代入②，得m2＝－x1x2＝5，∴
m＝±.∴
m的值為±
(1)
在方程x2＋(k－5)x＋1－k＝0中，Δ＝(k－5)2－4(1－k)＝k2－6k＋21＝(k－3)2＋12.∵
(k－3)2≥0，∴
(k－3)2＋12>0，即Δ>0.∴
無論k為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根　(2)
設(shè)方程的兩個根分別是x1，x2.根據(jù)題意，得(x1－3)(x2－3)<0，即x1x2－3(x1＋x2)＋9<0.又∵
x1＋x2＝－(k－5)，x1x2＝1－k，代入，得1－k＋3(k－5)＋9<0，解得k<，∴
此時k的最大整數(shù)值為2
(1)
∵
方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴
Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2－2k＋3)＝4k－11>0，解得k>　(2)
假設(shè)存在滿足題意的k值．由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2>0.將|x1|－|x2|＝兩邊平方，得x－2|x1x2|＋x＝5，即x－2
x1x2
＋x＝5，∴
(x1＋x2)2－4x1x2＝5.∴
(2k－1)2－4(k2－2k＋3)＝5.整理，得4k－11＝5，解得k＝4.∴
假設(shè)成立．因此k的值為4
(1)
∵
關(guān)于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，∴
Δ＝(－6)2－4×1×(m＋4)＝20－4m≥0，解得m≤5.∴
m的取值范圍為m≤5　(2)
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝6
①，x1x2＝m＋4
②.∵
3x1＝|x2|＋2，∴
當(dāng)x2≥0時，有3x1＝x2＋2
③.聯(lián)立①③，解得x1＝2，x2＝4.代入②，得8＝m＋4，∴
m＝4.當(dāng)x2<0時，有3x1＝－x2＋2
④，聯(lián)立①④，解得x1＝－2，x2＝8(不合題意，舍去)．∴
符合條件的m的值為4
(1)
∵
方程x2＋(2m＋1)x＋m2－4＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴
Δ＝(2m＋1)2－4(m2－4)＝4m＋17>0，解得m>－.∴
當(dāng)m>－時，方程有兩個不相等的實數(shù)根　(2)
設(shè)方程的兩根分別為a，b.由根與系數(shù)的關(guān)系，得a＋b＝－2m－1，ab＝m2－4.根據(jù)題意，得2a，2b為邊長為5的菱形的兩條對角線的長，結(jié)合菱形對角線的性質(zhì)，得a2＋b2＝52，即(a＋b)2－2ab＝25，∴
(－2m－1)2－2(m2－4)＝25.整理，得m2＋2m－8＝0，解得m1＝－4，m2＝2.∵
a>0，b>0，∴
a＋b＝－2m－1>0，ab＝m2－4>0，即m<－2.∴
m＝－4

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