資源簡介

高中數學新教材必修第一冊知識點總結
第一章 集合與常用邏輯用語
1.1集合的概念
1.集合的描述：一般地，我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱為集.
2.集合的三個特性：
（1）描述性：“集合”是一個原始的不加定義的概念，它同平面幾何中的“點”、“線”、“面”等概念一樣，都只是描述性地說明.
（2）整體性：集合是一個整體，暗含“所有”、“全部”、“全體”的含義，因此一些對象一旦組成了集合，這個集合就是這些對象的總體.
（3）廣泛性：組成集合的對象可以是數、點、圖形、多項式、方程，也可以是人或物等.
3.集合中元素的三個特性：
（1）確定性：對于給定的集合，它的元素必須是確定的.即按照明確的判斷標準（不能是模棱兩可的）判斷給定的元素，或者在這個集合里，或者不在這個集合里，二者必居其一.
（2）互異性：一個給定的集合中的元素是互不相同的.也就是說集合中的元素是不能重復出現的.
（3）無序性：集合中的元素排列無先后順序，任意調換集合中的元素位置，集合不變.
4.集合的符號表示
通常用大寫的字母，，，…表示集合，用小寫的字母，，表示集合中的元素.
5.集合的相等
當兩個集合的元素是一樣時，就說這兩個集合相等.集合與集合相等記作.
6.元素與集合之間的關系
（1）屬于：如果是集合中的元素，就說屬于集合，記作，讀作屬于.
（2）不屬于:如果不是集合中的元素，就說不屬于集合，記作，讀作不屬于.
7.集合的分類
（1）有限集：含有有限個元素的集合叫做有限集.如方程的實數根組成的集合.
（2）無限集：含有無限個元素的集合叫做無限集.如不等式的解組成的集合.
8.常用數集及其記法
（1）正整數集：全體正整數組成的集合叫做正整數集，記作或.
（2）自然數集：全體非負整數組成的集合叫做自然數集，記作.
（3）整數集：全體整數組成的集合叫做整數集，記作.
（4）有理數集：全體有理數組成的集合叫做有理數集，記作.
（5）實數集：全體實數組成的集合叫做實數集，記作.
9.集合表示的方法
（1）自然語言：用文字敘述的形式描述集合的方法.如所有正方形組成的集合，所有實數組成的集合.例如，三角形的集合.
（2）列舉法：把集合的元素一一列舉出來表示集合的方法叫做列舉法.其格式是把集合的元素一一列舉出來并用逗號隔開，然后用花括號括起來.例如，我們可以吧“地球上的四大洋”組成的集合表示為太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，把“方程的所有實數根”組成的集合表示為.
（3）描述法：通過描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式為，其中是集合中的元素代表，則表示集合中的元素所具有的共同特征.
例如，不等式的解集可以表示為
.
1.2集合間的基本關系
1. 子集
一般地，對于兩個集合,,如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合為集合的子集，記為
或（）
讀作集合包含于集合（或集合包含集合）.
集合是集合的子集可用圖表示如下：
或
關于子集有下面的兩個性質：
（1）反身性：；
（2）傳遞性：如果，且，那么.
2.真子集
如果集合，但存在元素，且，我們稱集合
是集合的真子集，記為
（或），
讀作集合真包含于集合（或集合真包含集合）.
集合是集合的真子集可用圖表示如右.
3.集合的相等
如果集合，且，此時集合與集合的元素是
一樣的，我們就稱集合與集合相等，記為
.
集合與集合相等可用圖表示如右.
4.空集
我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為.我們規定空集是任何一個集合的子集，空集是任何一個非空集合的真子集，即
（1）（是任意一個集合）；
（2）（）.
1.3集合的運算
1.并集
自然語言：一般地，由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合，稱為集合與的并集，記作（讀作“并”）.
符號語言： .
圖形語言：
理解：或包括三種情況：且；且；且.
并集的性質：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5），；
（6）.
2.交集
自然語言：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作（讀作“交”）.
符號語言： .
圖形語言：
理解：當與沒有公共元素時，不能說與沒有交集，只能說與的交集是.
交集的性質：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5），；
（6）.
3.補集
（1）全集的概念：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作.
（2）補集的概念
自然語言：對于一個集合，由屬于全集且不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，記為.
符號語言：
圖形語言：
補集的性質
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
1.4充分條件與必要條件
1.充分條件與必要條件
一般地，“若，則”為真命題，是指由通過推理可以得出.這時，我們就說，由可推出，記作
，
并且說是的充分條件，是的必要條件.
在生活中， 是成立的必要條件也可以說成是: （表示不成立），其實，這與是等價的.但是，在數學中，我們寧愿采用第一種說法.
如果“若，則”為假命題，那么由推不出，記作.此時，我們就說不是的充分條件，不是的必要條件.
2.充要條件
如果“若，則”和它的逆命題“若則”均是真命題，即既有，又有就記作
.
此時，我們就說是的充分必要條件，簡稱為充要條件.顯然，如果是的充要條件，那么也是的充要條件.概括地說，如果，那么與互為充要條件.
“是的充要條件”,也說成“等價于”或“當且僅當”等.
1.5全稱量詞與存在量詞
1.全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞
短語“所有的”，“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.常見的全稱量詞還有“一切”，“每一個”，“任給”，“所有的”等.含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.
全稱量詞命題“對中的任意一個，有成立”可用符號簡記為
，，
讀作“對任意屬于，有成立”.
（2）存在量詞
短語“存在一個”，“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.常見的存在量詞還有“有些”，“有一個”，“對某個”，“有的”等.
含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.
存在量詞命題“存在中的元素，使成立”可用符號簡記為
，，
讀作“存在中的元素，使成立”.
2.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
（1）全稱量詞命題的否定
全稱量詞命題：
，，
它的否定：
，.
全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.
（2）存在量詞命題的否定
存在量詞命題：
，，
它的否定：
，.
存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.
第二章 一元二次函數、方程和不等式
2.1等式性質與不等式性質
1.比較原理
；
；
.
2.等式的基本性質
性質1 如果，那么；
性質2 如果，，那么；
性質3 如果，那么；
性質4 如果，那么；
性質5 如果，，那么.
3.不等式的基本性質
性質1 如果，那么；如果，那么.即
性質2 如果，，那么.即
，.
性質3 如果，那么.
由性質3可得，
.
這表明，不等式中任何一項可以改變符號后移到不等號的另一邊.
性質4 如果，，那么；如果，，那么.
性質5 如果，，那么.
性質6 如果，，那么.
性質7 如果，那么（，）.
2.2 基本不等式
1.重要不等式
，有
，
當且僅當時，等號成立.
2.基本不等式
如果，，則
，
當且僅當時，等號成立.
叫做正數，的算術平均數，叫做正數，的幾何平均數.基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.
3.與基本不等式相關的不等式
（1）當時，有
，
當且僅當時，等號成立.
（2）當，時，有
，
當且僅當時，等號成立.
（3）當時，有
，
當且僅當時，等號成立.
4.利用基本不等式求最值
已知，，那么
（1）如果積等于定值，那么當時，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么當時，積有最大值.
2.3 二次函數與一元二次方程、不等式
1.一元二次不等式
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式.
2.二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系

二次函數
（）的圖象



一元二次方程
有兩相異實根
有兩相等實根
無實根


R


第三章 函數的概念與性質
3.1 函數的概念及其表示
1.函數的概念
設,是非空的實數集，如果對于集合中的任意一個數，按照某種確定的對應關系，在集合中都有唯一確定的的數和它對應，那么就稱為從集合到集合的一個函數，記作
,.
其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域，與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域，顯然，值域是集合的子集.
2.區間：
設,是兩個實數，而且，我們規定：
（1）滿足不等式的實數的集合叫做閉區間，表示為；
（2）滿足不等式的實數的集合叫做開區間，表示為；
（3）滿足不等式或的實數的集合叫做半開半閉區間，分別表示為： , .
這里的實數，都叫做相應區間的端點.
這些區間的幾何表示如下表所示.
定義 名稱 符號 數軸表示
閉 區 間

開 區 間

半開半閉區間

半開半閉區間

（4）實數集可以表示為,“”讀作“無窮大”，“”讀作“負無窮大”，“”
讀作“正無窮大”.
滿足，，，的實數的集合，用區間分別表示為 ，
，.
這些區間的幾何表示如下表所示.
定義 符號 數軸表示










注意：
（1）“”是一個趨向符號，表示無限接近，卻永遠達不到，不是一個數.
（2）以“”或“”為區間的一端時，這一端點必須用小括號.
3.函數的三要素
（1）定義域；
（2）對應關系；
（3）值域.值域隨定義域和對應關系的確定而確定.
4.函數的相等
如果兩個函數的定義域和對應關系分別相同，那么就說這兩個函數是同一個函數.
5.函數的表示方法
（1）解析法
用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系的方法叫做解析法.
解析法是表示函數的一種重要的方法，這種表示法從“數”的方面簡明、全面地概括了變量之間的數量關系.
（2）圖象法
用圖象表示兩個變量之間的對應關系的方法叫做圖象法.
圖象法直觀地表示了函數值隨自變量值改變的變化趨勢，從“形”的方面刻畫了變量之間的數量關系.
說明：將自變量的一個值作為橫坐標，相應的函數值作為縱坐標，就得到坐標平面上的一個點.當自變量取遍函數的定義域中的每一個值時，就得到一系列這樣的點，所有這些點組成的圖形就是函數的圖象.函數的圖象在軸上的射影構成的集合就是函數的定義域，在軸上的射影構成的集合就是函數的值域.
函數的圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點，等等.
（3）列表法
通過列表來表示兩個變量之間的對應關系的方法叫做列表法.例如，初中學習過的平方表、立方表都是表示函數關系的.
6.分段函數
（1）分段函數的概念
有些函數在其定義域內，對于自變量的不同取值區間，有著不同的對應關系，這樣的函數稱為分段函數.如
（1） ， （2）.
說明：①分段函數是一個函數，而不是幾個函數.處理分段函數問題時，要先確定自變量的取值在哪個區間，從而選取相應的對應關系.
②分段函數在書寫時用大括號把各段函數合并寫成一個函數的形式.并且必須指明各段函數自變量的取值范圍.
③分段函數的定義域是自變量所有取值區間的并集，分段函數的定義域只能寫成一個集合的形式，不能分開寫成幾個集合的形式.
④分段函數的值域是各段函數在對應自變量的取值范圍內值域的并集.
（2）分段函數的圖象
分段函數有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成.在同一坐標系中，根據每段的定義區間和表達式依次畫出圖象，要注意每段圖象的端點是空心點還是實心點，組合到一起就得到整個分
段函數的圖象.
3.2 函數的基本性質
函數的性質是指在函數變化過程中的不變性和規律性.
1.單調性與最大（小）值
（1）增函數
設函數的定義域為I,區間DI.如果，，當時，都有,那么就稱函數在區間D上單調遞增.
特別地，當函數在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數.
（2）減函數
設函數的定義域為I，區間DI.如果，，當時，都有,那么就稱函數在區間D上單調遞增.
特別地，當函數在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數.
（3）單調性、單調區間、單調函數
如果函數在區間D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數在區間D上具有（嚴格的）單調性，區間D叫做的單調區間.
如果函數在某個區間上具有單調性，那么就稱此函數在這個區間上是單調函數.
（4）證明函數在區間D上單調遞增或單調遞減，基本步驟如下：
①設值：設，且 ；
②作差： ；
③變形：對變形，一般是通分，分解因式，配方等.這一步是核心 ，要注意變形到底；
④判斷符號，得出函數的單調性.
（5）函數的最大值與最小值
①最大值：設函數的定義域為I，如果存在實數M滿足:
（1）對于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么我們稱M是函數的最大值.
②最小值：設函數的定義域為I，如果存在實數m滿足:
（1）對于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么我們稱是函數的最小值.
2.奇偶性
（1）偶函數
設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做偶函數.
關于偶函數有下面的結論：
①偶函數的定義域一定關于原點對稱.也就是說定義域關于原點對稱是函數為偶函數的一個必要條件；
②偶函數的圖象關于軸對稱.反之也成立；
③偶函數在關于原點對稱的兩個區間上的增減性相反.
（2）奇函數
設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做奇函數.
關于奇函數有下面的結論：
①奇函數的定義域一定關于原點對稱.也就是說定義域關于原點對稱是函數為奇函數的一個必要條件；
②奇函數的圖象關于坐標原點對稱.反之也成立；
③如果奇函數當時有意義，那么.即當有意義時，奇函數的圖象過坐標原點；
④奇函數在關于原點對稱的兩個區間上的增減性相同.
3.3冪函數
1.冪函數的概念
一般地，形如（，為常數）的函數稱為冪函數.
對于冪函數，我們只研究，，，，時的圖象與性質.
2.五個冪函數的圖象和性質





定義域




值域




奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 非奇非偶 奇函數
單調性 增函數 在上遞減
在上遞增 增函數 增函數 在，上遞減
定點
3.4函數的應用（一）
略.
第四章 指數函數與對數函數
4.1 指數
1.n次方根與分數指數冪
（1）方根
如果，那么叫做的次方根，其中，且.
①當是奇數時，正數的次方根是正數，負數的方根是負數.這時，的方根用符號表示.
②當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數.這時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示. 正的次方根與負的次方根可以合并寫成（）.
負數沒有偶次方根.
0的任何次方根都是0，記作.
式子叫做根式，這里叫做根指數，叫做被開方數.
關于根式有下面兩個等式：
；
.
2.分數指數冪
（1）正分數指數冪
（，，，）.
0的正分數指數冪等于0.
（2）負分數指數冪
（，，，）.
0的負分數指數冪沒有意義.
（3）有理數指數冪的運算性質
①（，，）；
②（，，）；
③（，，）.
3. 無理數指數冪及其運算性質
（1）無理數指數冪的概念
當是無理數時，是無理數指數冪.我們可以通過有理數指數冪來認識無理數指數冪.當的不足近似值和過剩近似值逐漸逼近時，和都趨向于同一個數，這個數就是.所以無理數指數冪（，是無理數）是一個確定的數.
（2）實數指數冪的運算性質
整數指數冪的運算性質也適用于實數指數冪，即對于任意實數，，均有下面的運算性質.
①（，，）；
②（，，）；
③（，，）.
4.2 指數函數
1.指數函數的概念
函數（，且）叫做指數函數，其中指數是自變量，定義域是.
2.指數函數的圖象和性質
一般地，指數函數（，且）的圖象和性質如下表所示：


圖 象

定義域
值 域
性 質 （1）過定點，即時，
（2）在上是減函數 （2）在上是增函數
4.3 對數
1.對數的概念
一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作
.
其中叫做對數的底數，叫做真數.
當，且時，.
2. 兩個重要的對數
（1）常用對數：以10為底的對數叫做常用對數，并把記為.
（2）自然對數：以（是無理數，…）為底的對數叫做自然對數，并把記作.
3. 關于對數的幾個結論
（1）負數和0沒有對數；
（2）；
（3）.
4. 對數的運算
如果，且，，，那么
（1）；
（2）；
（3）（）.
5. 換底公式
（，且，，，）.
4.4 對數函數
1. 對數函數的概念
一般地，函數（，且）叫做對數函數，其中是自變量，定義域是.
2.對數函數的圖象和性質


圖
象

定義域
值域
性 質 （1）過定點，即當時，.
（2）增函數 （2）減函數
3. 反函數
指數函數（，且）與對數函數（，且）互為反函數，它們的定義域與值域正好互換.
互為反函數的兩個函數的圖象關于直線對稱.
4. 不同函數增長的差異
對于對數函數（）、一次函數（）、指數函數（）來說，盡管它們在上都是增函數，但是隨著的增大，它們增長的速度是不相同的.其中對數函數（）的增長速度越來越慢；一次函數（）增長的速度始終不變；指數函數（）增長的速度越來越快.總之來說，不管（），（），（）的大小關系如何，（）的增長速度最終都會大大超過（）的增長速度；（）的增長速度最終都會大大超過（）的增長速度.因此，總會存在一個，當時，恒有
.
4.5 函數的應用（二）
1. 函數的零點與方程的解
（1）函數零點的概念
對于函數，我們把使的實數叫做函數的零點.
函數的零點就是方程的實數解，也是函數的圖象與軸的公共點的橫坐標.所以
方程有實數解
函數有零點
函數的圖象與軸有公共點.
（2）函數零點存在定理
如果函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有，那么，函數在區間內至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.
2. 用二分法求方程的近似解
對于在區間上圖象連續不斷且的函數，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
給定精確度，用二分法求函數零點的近似值的一般步驟如下：
（1）確定零點的初始區間，驗證.
（2）求區間的中點.
（3）計算，并進一步確定零點所在的區間：
①若（此時），則就是函數的零點；
②若（此時），則令；
③若（此時），則令.
（4）判斷是否達到精確度：若，則得到零點的近似值（或）；否則重復步驟（2）~（4）.
由函數零點與相應方程解的關系，我們可以用二分法來求方程的近似解.
3. 函數模型的應用
用函數建立數學模型解決實際問題的基本過程如下：
這一過程包括分析和理解實際問題的增長情況（是“對數增長”“直線上升”還是“指數爆炸”）；根據增長情況選擇函數類型構建數學模型，將實際問題化歸為數學問題；通過運算、推理、求解函數模型；用得到的函數模型描述實際問題的變化規律，解決有關問題.在這一過程中，往往需要利用信息技術幫助畫圖、運算等.
第五章 三角函數
5.1 任意角和弧度制
1.任意角
（1）角的概念
角可以看成平面內一條射線繞著端點從
一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.
射線的端點叫做角的頂點，射線在起始
位置和終止位置分別叫做角的始邊和終邊.
（2）正角、負角、零角
按逆時針方向旋轉所成的角叫正角；
按順時針方向旋轉所成的角叫負角；
一條射線沒有作任何旋轉而形成的角叫零角.
這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角.
（3）象限角
當角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，那么角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊落在坐標軸上，這時這個角不屬于任何象限.
（4）終邊相同的角
所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合
即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和.
終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同；
終邊相同的角有無數多個，它們相差的整數倍；
象限角的表示：
第一象限角的集合
第二象限角的集合
第三象限角的集合
第四象限角的集合
終邊落在坐標軸上的角在以后的學習中很重要，它們的表示如下表.
位 置 表 示
終邊在軸非負半軸
終邊在軸非正半軸
終邊在軸
終邊在軸非負半軸
終邊在軸非正半軸
終邊在軸
終邊在坐標軸
2. 弧度制
（1）弧度的概念
長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.
在半徑為的圓中，弧長為的弧所對的圓心角為，那么
.
正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.
（2）弧度與角度的換算
（3）關于扇形的幾個公式
設扇形的圓心角為（），半徑為，弧長為，則有
①； ②； ③.
5.2 三角函數的概念
1. 三角函數的概念
（1）三角函數的定義
一般地，任意給定一個角，它的終邊
與單位圓相交于點.
把點的縱坐標叫做的正弦函數，記作
，即
；
把點的橫坐標叫做的余弦函數，記作
，即
；
把點的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切函數，記作，即
（）.
正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數，通常將它們記為：
正弦函數 ，；
余弦函數 ，；
正切函數 ，（）.
設是一個任意角，它的終邊上任意一點（不與原點
重合）的坐標為，點與原點的距離為.
可以證明：
；
；
.
（2）幾個特殊角的三角函數值
，，，的三角函數值如下表所示：
函 數












不存在
不存在
（3）三角函數值的符號
（4）誘導公式（一）
終邊相同的角的同一三角函數值相等.
，
，
，
其中.
2. 同角三角函數間的基本關系
（1）平方關系
.
（2）商數關系
.
作用：
（1）已知的某一個三角函數值，求其余的兩個三角函數值；
（2）化簡三角函數式；
（3）證明三角函數恒等式.
5.3 誘導公式
1. 公式二
，
，
.
2. 公式三
，
，
.
3. 公式四
，
，
.
小結：
（1）（），，，的三角函數，等于的同名函數，前面加上把看成銳角時原三角函數值的符號.
（2）利用公式一?公式四，可以把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數，一般可按下面步驟進行：
4. 公式五
，
.
5. 公式六
，
.
小結：
，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成銳角時原三角函數值的符號.
5.4 三角函數的圖象與性質
1.正弦函數、余弦函數的圖象
（1）正弦函數的圖象.
①畫點
在直角坐標系中畫出以原點為圓心的單位圓，與軸正半軸的交點為.在單位圓上，將點繞著點旋轉弧度至點，根據正弦函數的定義，點的縱坐標.由此，以為橫坐標，為縱坐標畫點，即得到函數圖象上的點.
② 畫（）的圖象
把軸上從到這一段分成等份，使的值分別為，，，，…，，它們所對應的角的終邊與單位圓的交點將圓周等份，再按上述畫點的方法，就可畫出自變量取這些值時對應的函數圖象上的點.然后將這些點用光滑的曲線連接起來，即得（）的圖象.
③（）的圖象
由誘導公式一可知，函數，，且的圖象，與函數，的圖象形狀完全一樣.因此將函數，的圖象不斷向左、向右平行移動（每次個單位長度），就可以得到正弦函數 ，的圖象（如下圖）.
正弦函數的圖象叫做正弦曲線.
④五點作圖法
在函數，的圖象上，有以下五個關鍵點：
，，，，.
畫出這五個關鍵點，然后用光滑的曲線將它們連接起來，可得到正弦函數的簡圖.這種作圖的方法稱為”五點作圖法”.
（2）余弦函數的圖象
因為，所以可將正弦函數，的圖象向左平移個單位長度即得余弦函數，的圖象.
余弦函數，的圖象叫做余弦曲線.
余弦函數，的圖象上五個關鍵點是：，，，，.
2. 正弦函數、余弦函數的性質
（1）周期性
一般地，對于函數，如果存在一個非零常數，使得當取定義域內的每一個值時，都有
，
那么函數就叫做周期函數.非零常數叫做這個函數的周期.
如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做的最小正周期.
正弦函數是周期函數，（且）都是它的周期，最小正周期是.
余弦函數也是周期函數，（且）都是它的周期，最小正周期是.
（2） 奇偶性
正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數.
（3）單調性
正弦函數，在每一個閉區間（）上都單調遞增，其值從增大到；在每一個閉區間（）上都單調遞減，其值從減小到.
余弦函數，在每一個閉區間（）上都單調遞增，其值從增大到；在每一個閉區間（）上都單調遞減，其值從減小到.
（4）最大值與最小值
正弦函數當且僅當（）時取得最大值，當且僅當（）時取得最小值.
余弦函數當且僅當（）時取得最大值，當且僅當（）時取得最小值.
3.正切函數的圖象
正切函數的圖象叫做正切曲線.
4.正切函數的性質
（1）定義域
正切函數的定義域為
（2）周期性
正切函數是周期函數，最小正周期是.
（3）奇偶性
正切函數是奇函數.
（4）單調性
正切函數在每一個開區間（）上都單調遞增.
（5）值域
正切函數的值域是實數集.
5.5三角恒等變換
1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（1）和角公式
（），
（），
（）.
（2）差角公式
（），
（），
（）.
2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
（），
（），
（）
3. 降冪公式
，
，
.
4. 半角公式
，
，
.
其中，符號由所在象限決定.
5. 輔助角公式
，
其中
，
.
叫做輔助角，的終邊過點.
5.6 函數
1. （，）的圖象
（1）變換法作（，）的圖象
（，）的圖象，可以用下面的方法得到：
①畫出函數的圖象；
②把的圖象向左（）或向右（）平移個單位長度，得到函數的圖象；
③把圖象上各點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；
④把圖象上各點的縱坐標變為原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象.
（2）“五點作圖法”作（，）的圖象
例題：用“五點作圖法”畫函數在一個周期內的圖象.
解：令，則.
①列表：















②描點：，，，，.
③連線：用光滑的曲線把上面的五個點連接起來，即得函數
在一個周期內的簡圖.
2. （，）的性質
（1）周期性
是周期函數，最小正周期為.
（2）奇偶性
當（）時，是奇函數；當（）時是偶函數；當（）且（）時，既不是奇函數也不是偶函數.
（3）單調性
在每一個區間（）上都單調遞增；在每一個區間（）上都單調遞減.
（4）最大值與最小值
當（）時取得最大值；當（）時取得最小值.
（5）對稱軸
（）.
（6）對稱中心
（）.
5.7 三角函數的應用
在物理中，（，，）可以表示一個簡諧運動.
是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；
是這個簡諧運動的周期，它是做簡諧運動的物體往復運動一次所需的時間；
是這個簡諧運動的頻率，它是做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數；
稱為相位；時的相位稱為初相.

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