資源簡介

新蘇教版六年級數學上冊知識點總結
（一）長方體和正方體
長方體和正方體的特征：
長方體和正方體的表面積：
概念：長方體或正方體6個面的總面積，叫做它們的表面積
計算公式：
長方體表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2或S表=（aXb+aXc+bxc)x2
正方體表面積=棱長×棱長×6或S表=axax6=6a2
注：不足6個面的實際問題根據具體情況計算，例如魚缸、無蓋紙盒等等。
體積（容積）單位進率換算：
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1m3=1000dm3
1dm3=1000cm3
1升=1000毫升
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
1L=1000mL
1dm3=1L
1cm3=1mL
長方體和正方體的體積（容積）：
概念：物體所占空間的大小叫做它們的體積（容器所能容納其它物體的體積叫做它的容積）。
計算公式：
長方體體積公式=長×寬×高
或
V=axbxh
正方體體積公式=棱長×棱長×棱長
或
V=axaxa=a3
長方體和正方體的體積=底面積×高
或
VS底×h
（二）分數乘法
分數與整數相乘及實際問題：
1.分數與整數相乘：用整數與分數的分子相乘的積作為分子，分數的分母作為分母，最后約分成最簡分數。或者先將整數與分數的分母進行約分，再應用前面計算法則。
注：【任何整數都可以看作為分母是1的分數】
2.求一個數的幾分之幾是多少，可以用乘法計算。
3.解題時可以根據表示幾分之幾的條件，確定單位1的量，想單位1的幾分之幾是哪個數量，找出數量關系式，再根據數量關系式列式解答。
分數與分數相乘及連乘：
1.分數與分數相乘：用分子相乘的積作為分子，用分母相乘的積作為分母，最后約分成最簡分數。
2.分數連乘：通過幾個分數的分子與分母直接約分再進行計算
3.一個數與比1小的數相乘，積小于原數；一個數與比1大的數相乘，積大于原數。
(一)分數乘法的意義：
1、分數乘整數與整數乘法的意義相同。都是求幾個相同加數的和的簡便運算。
例如：65×5表示求5個65的和是多少?
1/3×5表示求5個1/3的和是多少?
2、一個數乘分數的意義是求一個數的幾分之幾是多少。　
例如：1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。
4×3/8表示求4的3/8是多少.
(二)、分數乘法的計算法則：
1、分數與整數相乘：分子與整數相乘的積做分子，分母不變。(整數和分母約分)
2、分數與分數相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。注意：當帶分數進行乘法計算時，要先把帶分數化成假分數再進行計算。
3、為了計算簡便，能約分的要先約分，再計算。（盡量約分，不會約分的就不約，常考的質因數有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×19=361）
4、小數乘分數，可以先把小數化為分數，也可以把分數化成小數再計算（建議把小數化分數再計算）
(三)、
乘法中比較大小的規律
　一個數(0除外)乘大于1的數，積大于這個數。
　一個數(0除外)乘小于1的數(0除外)，積小于這個數。
　一個數(0除外)乘1，積等于這個數。
　　(四)、分數混合運算的運算順序和整數的運算順序相同。整數乘法的交換律、結合律和分配律，對于分數乘法也同樣適用。
　　乘法交換律：
a
×
b
=
b
×
a
　　乘法結合律：
(
a
×
b
)×c
=
a
×
(
b
×
c
)
　　乘法分配律：
(
a
+
b
)×c
=
a
c
+
b
c
　二、分數乘法的解決問題(已知單位“1”的量(用乘法)，即求單位“1”的幾分之幾是多少)
1、畫線段圖：(1)兩個量的關系：畫兩條線段圖，先畫單位一的量，注意兩條線段的左邊要對齊。(2)部分和整體的關系：畫一條線段圖。
2、找單位“1”：
單位“1”
在分率句中分率的前面；
?或在“占”、“是”、“比”“相當于”的后面。
3、寫數量關系式的技巧：
(1)“的”
相當于
“×”
，“占”、“相當于”“是”、“比”是
“
=
”??
(2)分率前是“的”字：用單位“1”的量×分率=具體量?
例如：甲數是20，甲數的1/3是多少？列式是：20×1/3
4、看分率前有沒有多或少的問題；分率前是“多或少”的關系式：?
（比少）：單位“1”的量×(1-分率)=具體量；
例如：甲數是50，乙數比甲數少1/2，乙數是多少？
列式是：50×（1-1/2）
（比多）：單位“1”的量×(1+分率)=具體量　
例如：小紅有30元錢，小明比小紅多3/5，小紅有多少錢？
列式是：50×（1+3/5）
3、求一個數的幾倍是多少：用
一個數×幾倍；?
4、求一個數的幾分之幾是多少：
用一個數×幾分之幾。
5、求幾個幾分之幾是多少：用幾分之幾×個數
6、求已知一個部分量是總量的幾分之幾，求另一個部分量的方法：
(1)、單位“1”的量×(1-分率)=另一個部分量（建議用）
(2)、單位“1”的量-已知占單位“1”的幾分之幾的部分量=要求的部分量
三、倒數
1、倒數的意義：
乘積是1的兩個數互為倒數。
強調：互為倒數，即倒數是兩個數的關系，它們互相依存，倒數不能單獨存在。　(要說清誰是誰的倒數)。
2、求倒數的方法：
(1)、求分數的倒數：交換分子分母的位置。
(2)、求整數的倒數：把整數看做分母是1的分數，再交換分子分母的位置。
(3)、求帶分數的倒數：把帶分數化為假分數，再求倒數。
(4)、求小數的倒數：
把小數化為分數，再求倒數。
　3、??
1的倒數是1；
因為1×1=1；0沒有倒數，因為0乘任何數都得0，(分母不能為0)??
　4、真分數的倒數大于1;假分數的倒數小于或等于1;帶分數的倒數小于1。
5、運用，a×2/3=b×1/4求a和b是多少。把a×2/3=b×1/4看成等于1,也就是求2/3的倒數和求1/4的倒數。
1、分數除法的意義：
乘法：
因數
×
因數
=
積????
除法：
積
÷
一個因數
=
另一個因數
分數除法與整數除法的意義相同，表示已知兩個因數的積和其中一個因數，求另一個因數的運算。
例如：1/2÷3/5意義是：已知兩個因數的積是1/2與其中一個因數3/5，求另一個因數的運算。
2、分數除法的計算法則：
除以一個不為0的數，等于乘這個數的倒數。?
3、分數除法比較大小時的規律：
(1)當除數大于1，商小于被除數;
(2)當除數小于1(不等于0)，商大于被除數;
(3)當除數等于1，商等于被除數。
　“[
]”叫做中括號。一個算式里，如果既有小括號，又有中括號，要先算小括號里面的，
再算中括號里面的。
　二、分數除法解決問題
1，解法：(1)方程：
根據數量關系式設未知量為X，用方程解答。
解：設未知量為X
（一定要解設）,再列方程?
用
X×分率=具體量?
例如：公雞有20只，是母雞只數的1/3，母雞有多少只。（單位一是母雞只數，單位一未知.）解：設母雞有X只。列方程為：X×1/3=20
(2)算術(用除法)：單位“1”的量未知用除法：
即已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。
分率對應量÷對應分率
=
單位“1”的量
例如：公雞有20只，是母雞只數的1/3，母雞有多少只。（單位一是母雞只數，單位一未知，）用除法，列式是：20÷1/3
2、看分率前有沒有比多或比少的問題；
分率前是“多或少”的關系式：?
（比少）：具體量÷
(1-分率)=
單位“1”的量；
例如:桃樹有50棵，比蘋果樹少1/6，蘋果樹有多少棵。
列式是：50÷（1-1/6）
（比多）：具體量　÷
(1+分率)=
單位“1”的量
例如:一種商品現在是80元，比原價增加了1/7，原價多少？
列式是：80÷（1+1/7）
　3、求一個數是另一個數的幾分之幾是多少：
用一個數除以另一個數，結果寫為分數形式。
例如:男生有20人，女生有15人，女生人數占男生人數的幾分之幾。
列式是：15÷20=15/20=3/4　
4、求一個數比另一個數多幾分之幾的方法：?
用兩個數的相差量÷單位“1”的量
=分數
即①求一個數比另一個數多幾分之幾：用（大數–小數）
÷另一個數（比那個數就除以那個數），結果寫為分數形式。
例如：5比3多幾分之幾？（5－3）÷3=2/3
②求一個數比另一個數少幾分之幾：用（大數–小數）
÷另一個數（比那個數就除以那個數），結果寫為分數形式。
例如：3比5少幾分之幾？（5－3）÷5=2/5
說明：多幾分之幾不等于少幾分之幾，因為單位一不同。
5、工程問題：把工作總量看作單位“1”，合做多長時間完成一項工程用1÷效率和，即1÷（1/時間+1/時間），（工作效率=1/時間）
例如：一項工程甲單獨做要5天完成，乙單獨做要10天完成，甲單獨做要3天完成，三人合做幾天可以完成？列式：1÷（1/5+1/10+1/3）
（三）分數除法
分數除法：
1.分數除法計算法則：甲數除以乙數（不為0）等于甲數乘乙數的倒數。
2.分數連除或乘除混合計算：可以從左向右依次計算，但一般是遇到除以一個數，把它改寫成乘這個數的倒數來計算。【轉化成分數的連乘來計算】
3.除數大于1，商小于被除數；除數小于1，商大于被除數；除數等于1，商等于被除數。
4.分數除法的意義：已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數？可以用列方程的方法來解，也可以直接用除法。
注：在單位換算中，要弄清需要換算的單位之間的進率是多少
比的認識：
1.比的意義：比表示兩個數相除的關系。
2.比與分數、除法的關系：
3.比值：比的前項除以比的后項，所得的商就叫比值。
注：比值是一個數，可以是整數、分數、小數，不帶單位名稱。
4.比的基本性質：比的前項和后項同時乘或除以一個相同的數（0除外），比值不變。
5.最簡整數比：比的前項和后項是互質數。也就是比的前項和后項除了1意外沒有其它公因數。
6.化簡：運用比的基本性質對比進行化簡，方法：先把比的前、后項變成整數，再除以它們的最大公因數。
注：化簡比和求比值是不同的兩個概念【意義不同，方法不同，結果不同】
7.按比例分配問題：將一個數量按照一定比例，分成幾個部分，求每個部分是多少，這類問題稱為按比例分配問題。
解決方法：先求出總份數，再求各部分數占總數的幾分之幾，轉化成分數乘法
來計算。
（四）解決問題的策略
用“替換”策略解決實際問題：
問題：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿，已知小杯的容量是大杯的1/3，小杯和大杯的容量各是多少毫升？
如果把720毫升果汁全部倒入小杯，需要（6+3）個小杯。
如果把720毫升果汁全部倒入大杯，需要（1+2）個大杯。
用“假設”策略解決實際問題：
問題：在1個大盒和5個同樣的小盒中裝滿球，正好是80個，每個大盒比每個小盒多裝8個，大盒里裝了多少個球？小盒呢？
分析：假設6個全是小盒?球的總數比80小，把1個大盒換成小盒球的總數比80少8個?小盒：（80-8）÷6=12大盒：12+8=20?檢驗
先假設?再比較（與條件不符）?進行調整?得出結果?檢驗
（五）分數四則混合運算
分數四則混合運算的順序：
分數四則混合運算的順序與整數相同。先算乘除法，后算加減法；有括號的先算括號里面的，后算括號外面的。
分數四則混合運算的運算律：
加法的交換律：axb=bxa
加法的結合律：(a+b)+c=a+(b+c)
乘法的交換律：a+b=b+a
乘法的結合律：(axb)xc=ax(bXc)
乘法的分配律：(a+b)xc=axc+bxc
稍復雜的分數乘法實際問題：
1.甲占（是）乙的幾分之幾
幾分之幾=甲÷乙；
甲=乙×幾分之幾；
乙=甲÷幾分之幾；
2.甲占（是）總量的幾分之幾，求乙？
乙=總量-甲×幾分之幾
3.甲比乙多（增加、上升、提高）幾分之幾
幾分之幾=（甲-乙）÷乙；
甲=乙×（1+幾分之幾）；
乙=甲÷（1+幾分之幾）
4.乙比甲少（減少、下降、降低）幾分之幾
幾分之幾=（甲-乙）÷甲；
甲=乙÷（1-幾分之幾）；
乙=甲×（1-幾分之幾）
（六）百分數
百分數的意義及讀寫：
1.百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數，也叫百分比或百分率。
2.百分數的讀寫：百分數不寫成分數形式，先寫分子，再寫百分號。
注：百分數后面不帶單位名稱。（常出現在判斷題中）
百分數與小數的互化：
百分數與分數的互化：
求一個數是另一個數的百分之幾的實際問題：
公式：（一個數÷另一個數）×100%
生活中常見的一些百分率：
合格率＝合格產品數÷產品總數×100%
出勤率＝實際出勤人數÷應出勤人數×100%
發芽率＝發芽種子數÷試驗種子總數×100%
成活率＝成活棵數÷種植總棵數×100%
出油率＝油的重量÷油料重量×100%
命中率＝命中次數÷總次數×100%
及格率＝及格人數÷參加考試人數×100%
納稅問題：
求應納稅額實際上就是求一個數的百分之幾是多少，也就是把應該納稅部分的總收入乘以稅率百分之幾，就求出了應納稅額。
利息問題：
利息=本金×利率×存期
折扣問題：
折扣=實際售價÷原售價×100%
列方程解決稍復雜的百分數實際問題：
1．解答稍復雜的百分數應用題和稍復雜的分數應用題的解題思路、解題方法完全相同。
2．用字母或含有字母的式子表示題中兩個未知的數量，找出數量間的相等關系。根據求一個數的百分之幾是多少用乘法列方程求解，或者根據除法的意義，直接解答。
3．“已知比一個數多（少）百分之幾的數是多少，求這個數”的實際問題，可以根據數量間的相等關系列方程求解；或者根據除法的意義，直接解答。
4．靈活運用本單元所學知識，解決稍復雜的百分數實際問題，溝通分數、百分數應用題之間的聯系。
一、百分數的意義和寫法
（一）、百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾。百分數是指的兩個數的比，因此也叫百分率或百分比。
（二）、百分數和分數的主要聯系與區別：
聯系：都可以表示兩個量的倍比關系。
區別：①、意義不同：百分數只表示兩個數的倍比關系，不能表示具體的數量，所以不能帶單位;
分數既可以表示具體的數，又可以表示兩個數的關系，表示具體數時可以帶單位。
②、百分數的分子可以是整數，也可以是小數;
分數的分子不能是小數，只能是除0以外的自然數。
3、百分數的寫法：通常不寫成分數形式，而在原來分子后面加上“%”來表示，讀作百分之。
二、百分數和分數、小數的互化
(一)百分數與小數的互化：
1、小數化成百分數：把小數點向右移動兩位（數位不夠用0補足），同時在后面添上百分號。
2.
百分數化成小數：把小數點向左移動兩位（數位不夠用0補足），同時去掉百分號。
(二)百分數的和分數的互化
1、百分數化成分數：先把百分數改寫成分母是100的分數，能約分要約成最簡分數。
2、分數化成百分數：
①
用分數的基本性質，把分數分母擴大或縮小成分母是100的分數，再寫成百分數形式。
②先把分數化成小數(除不盡時，通常保留三位小數)，再把小數化成百分數。（建議用這種方法）
(三)常見分數小數百分數之間的互化；?
?
三、用百分數解決問題
(一)一般應用題
1、常見的百分率的計算方法：
?
??
一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達到100%，出米率、出油率達不到100%，完成率、增長了百分之幾等可以超過100%。　
2、求一個數是另一個數的百分之幾用一個數除以另一個數，結果寫為百分數形式。
例如：例如:男生有20人，女生有15人，女生人數占男生人數的百分之幾。
列式是：15÷20=15/20=75﹪　
3、已知單位“1”的量(用乘法)，求單位“1”的百分之幾是多少的問題，數量關系式和分數乘法解決問題中的關系式相同：
(1)百分率前是“的”：
單位“1”的量×百分率=百分率對應量
(2百分率前是“多或少”的數量關系：?
單位“1”的量×(1±百分率)=百分率對應量
4、未知單位“1”的量(用除法)，已知單位“1”的百分之幾是多少，求單位“1”。
方法與分數的方法相同。
解法：　(1)方程：
根據數量關系式設未知量為X，用方程解答。
(2)算術(用除法)：
百分率對應量÷對應百分率
=
單位“1”的量
5、求一個數比另一個數多(少)百分之幾的方法與分數的方法相同。只是結果要寫為百分數形式。看百分率前有沒有比多或比少的問題；
百分率前是“多或少”的關系式：??
（比少）：具體量÷
(1-百分率)=
單位“1”的量；
例如:大米有50千克，比面粉樹少50﹪，面粉有多少千克。
列式是：50÷（1-50﹪）
（比多）：具體量　÷
(1+百分率)=
單位“1”的量
例如:工人做110個零件，比原計劃多做了10﹪，原計劃做多少個？
列式是：110÷（1+10﹪）
6、求一個數比另一個數多百分之幾的方法：方法與分數的方法相同。
用兩個數的相差量÷單位“1”的量
=百分之幾
即①求一個數比另一個數多百分之幾：用（大數–小數）
÷另一個數（比那個數就除以那個數），結果寫為百分數形式。
甲比乙多幾分之幾的問題，方法A，（甲-乙）÷乙
（建議用）?
方法B，甲÷乙-100﹪
例如：老師計劃改40本作業，實際改了50本，實際比計劃多改了百分之幾？
列式是：（50－40）÷40=0.25=25﹪
②求一個數比另一個數少幾分之幾：用（大數–小數）
÷另一個數（比那個數就除以那個數），結果寫為百分數形式。
乙比甲少幾分之幾的問題，方法A,（甲-乙）÷甲（建議用）????
方法B，
100﹪-乙÷甲
例如：張三家用了100度電，李四家用了90度電，李四家比張三家少用百分之幾？
（100－90）÷100=0.1=10﹪
說明：多百分之幾不等于少百分之幾，因為單位一不同。
7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之幾，用a﹪÷（1±a﹪）
8、求價格先降a﹪又上升a﹪后的價格：1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假設原來的價格為“1”。求變化幅度（求降價后的價格是漲價后價格的百分之幾）用1-降價后又上升的百分率。
10

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