資源簡介

勾股定理
知識點
1.
勾股定理：直角三角形中的兩直角邊的平方之和等于斜邊的平方.
勾股定理的作用：
(1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；
（2）在數軸上作出表示n（n為正整數）的點．
（3)平面直角坐標系中點與點之間的距離；
注意點：
（1）勾股定理的前提是直角三角形
（2）已知直角三角形中兩條邊的長，求第三邊的長，要弄清那條是斜邊，哪條是直角邊，不能確定時，要分類討論。
2.
勾股定理逆定理：三角形中兩邊的平方之和等于第三邊的平方，這個三角形為直角三角形.
作用：
（1）判定一個三角形是否是直角三角形的.
（2）證明兩直線是否垂直。
3.
勾股數：
若三個正整數a，b，c滿足a?+b?=c?，則稱a，b，c是勾股數.
常見勾股數：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,40,41……
4.
含特殊角的三角形的小結論
圖
形
結
論
a：b：c=1：
：2
b
a:
b:
c=1:
1
:
a:
a
:
c=1:
1:
類型一：運用勾股定理計算線段的長
典例精析
例1.已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長為（　　）
A．5
B．7
C．
D．或5
【變式】若一直角三角形兩邊長分別為5和12,則第三邊長為(
)
A.13
B.13或
C.13或15
D.15
例2.如圖：在一個高5米，長13米的樓梯表面鋪地毯，則該地毯的長度至少是
米
【變式】如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5m處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，旗桿折斷之前的高度是（　　）
A．5
m
B．12
m
C．13
m
D．18
m
例3.如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足為D，CD＝1，則AB的長為（　　）
A．
B．2
C．
D．
例4.如圖，△ABC的頂點A、B、C在邊長為1的正方形網格的格點上，BD⊥AC于點D．則CD的長為（　　）
A．
B．
C．
D．
例5.如圖，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線
l1、l2、l3上，且
l1、l2之間的距離為2
,
l2、l3之間的距離為3
,求AC的長。
基礎訓練
如圖所示,一場暴雨過后,垂直于地面的一棵樹在距地面1米處折斷,樹尖B恰好碰到地面,經測量AB=2米,則樹高為(　　)
A.
米
B.
米
C.(+1)米
D.3米
2.如果把直角三角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2倍，那么斜邊擴大到原來的(
)
A．1倍
B．2倍
C．3倍
3.一個直角三角形的兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的高長為（
）
A．13
B．
C．
D．
4.如圖，點E在正方形ABCD內，滿足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，則正方形ABCD的面積為(
)
A．48
B．60
C．100
D．140
5.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的BC邊的中線．若AB＝，BC＝2AC，則AD的長是（　　）
A．1
B．2
C．
D．4
6.如圖,在平面直角坐標系中,點P坐標為(-4,3),以點B(-1,0)為圓心,以BP的長為半徑畫弧,交x軸的負半軸于點A,則點A的橫坐標介于(　)
A.
-6和-5之間
B.
-5和-4之間
C.
-4和-3之間
D.
-3和-2之間
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，則BC＝　
　．
8.等腰三角形的腰長5
cm,底長8
cm,則底邊上的高為
　cm.
9.如圖,OC為∠AOB的平分線,CM⊥OB,OC=5,OM=4,則點C到射線OA的距離為
.?
10.如圖所示，學校有一塊長方形花圃，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內走出了一條“路”．他們僅僅少走了____步路(假設2步為1米)，卻踩傷了花草．
11.如圖，已知帶孔的長方形零件尺寸（單位：），兩孔中心的距離為
．
12.如圖，等腰中，，，以所在直線為軸，點為坐標原點建立直角坐標系，點在第一象限，則點的坐標為__________．
13.如圖，一個長為10米的梯子AB斜靠在墻上，梯子的頂端A距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么它的底端B也滑動1米嗎？試說明理由．
鞏固提高
1.如圖，由四個邊長為1的小正方形構成一個大正方形，連接小正方形的三個頂點，可得到△ABC，則△ABC中AC邊上的高是（　　）
A．
B．
C．
D．
2.如圖，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，過△ABC的頂點B作直線，且點A到的距離為2，點C到的距離為3，則AC的長是（
）
A．
B．
C．
D．5
3.在△ABC中,AB=,AC=5.若BC邊上的高等于3,則BC邊的長為
?.
4.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點M為BC中點，MN⊥AC于點N，則MN的長是　
　．
5.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE為BC邊的中線，BC＝10，AE＝12，AB＝13．若BD平分∠ABC，則△ABD的面積為　
　．
6.如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求證：△ACE≌△ACF；
（2）若AB=21，AD=9，AC=17，求CF的長．
類型二：弦圖有關問題
典例精析
例1.如圖，直線
l上有三個正方形
a、b、c
，若
a、c的面積分別為5和11，則b
的面積為（　　）
A、4
B、6
C、16
D、55
【變式1】如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大的正方形的邊長是，則圖中所有正方形的面積之和是________．
【變式2】如圖，直角三角形三邊上的半圓的面積依次從小到大記作S1
、S
2、S
3，則S1
、S
2、S3
之間的關系是（
）
A、S1+S
2>S3
B、S1
+S
2C、S1
+S2=S3
D、S12
+S22
=S32
例2.2002年8月在北京召開的國際數學家大會會標取材于我國古代數學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為
a，較長直角邊為
b，那么(a+b)2
的值為（
）
A、13
B、19
C、25
D、169
基礎訓練
1.如圖，正方形的面積為4，正方形的面積為3，則正方形的面積為（
）
A．5
B．7
C．9
D．25
2.如圖，是2002年8月北京第24屆國際數學家大會會標，由4個全等的直角三角形拼合而成，若圖中大小正方形的面積分別為52和4，則直角三角形的兩條直角邊的長分別為
。
3.已知：如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3,則圖中陰影部分的面積為
．
鞏固提高
1.如圖，Rt△ABC
的周長為(5+3
)
cm，以
AB、
AC為邊向外作正方形ABPQ
和正方形ACMN
．若這兩個正方形的面積之和為25cm2
，則
△ABC的面積是
cm2.
2.在直線
l上依次擺放著七個正方形（如圖）．已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3,正放置的四個正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1＋S2＋S3＋S4=
．
3.我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1
，S2，S3．
若S1+S2+S3＝10，則S2的值是
4.勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．l955年希臘發行了二枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構成，它可以驗證勾股定理．在右圖的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，點H在邊QR上，點D，E在邊PR上，點G、F在邊PQ上，那么△PQR的周長等于
．
類型三：運用勾股定理解決折疊問題
典例精析
例1.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CD=
。
【變式】如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點D落在點D′處，則重疊部分△AFC的面積為　
　．
例2.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為3，點E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別和AE、AF折疊，點B、D恰好都將在點G處，已知BE=1，則EF的長為（
）
A．
B．
C．
D．3
基礎訓練
1.如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD，點D落在BC邊的D′處，AE是折痕，已知CD=6cm，CD'=2cm，則AD的長為
.
2.如圖，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，將△ABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段BN的長為
。
3.將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則線段CN的長度為
．
4.折疊長方形紙片ABCD，先折出折痕（對角線）BD，再折疊使AD邊與BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的長.
5.如圖，在矩形ABCD中，已知AB=8
cm，BC=10
cm,折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，折痕為AE，求CE的長.
鞏固提高
1.如圖，將矩形ABCD的四個角向內折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，則邊AD的長是（
）
A．12厘米
B．16厘米
C．20厘米
D．28厘米
2.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，將BC向BA方向翻折過去，使點C落在BA上的點C′，折痕為BE，則EC的長度是（　　）
A、5
B、5－5
C、10－5
D、5
+
3.直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現將△ABC如圖折疊，使點A與點B重合，則折痕DE的長是（　　）
A．
B．
C．
D．
4.如圖①是一個直角三角形紙片，∠A=30°，BC=4cm，將其折疊，使點C落在斜邊上的點C′處，折痕為BD，如圖②，再將②沿DE折疊，使點A落在DC′的延長線上的點A′處如圖③，則折痕DE的長
。
5.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD的E點上，BG=10，當折痕的另一端F在AB邊上時，求△EFG的面積．
6.如圖，在長方形ABCD中，DC
=
9．在DC上找一點E，沿直線AE把△AED折疊，使D點恰好落在BC上，設這一點為F，若△ABF的面積是54，求△FCE的面積．
類型四：運用勾股定理解決最值問題
典例精析
例1.如圖，已知圓柱底面的周長為4dm，圓柱高為2dm，在圓柱的側面上，過點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為（　　）
A．4
dm
B．2
dm
C．2
dm
D．4dm
例2.如圖，已知長方體的長為6
cm，寬為5
cm，高為3
cm，那么蟲子想沿表面從A爬到B的最短路程是（
）
A．14
cm
B．10
cm
C．
cm
D．6
cm
例3.如圖,是一個三級臺階,它的每一級的長、寬、高分別為20dm，3dm，2dm，A和B是這個臺階兩相對的端點，A點有一只昆蟲想到B點去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺階爬到B點的最短路程是多少dm？
例4.已知邊長為4的正三角形ABC上一點E，AE=1，AD⊥BC于D,請在AD上找一點N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。
例5.如圖∠AOB
=
45°，P是∠AOB內一點，PO
=
10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值．
鞏固提高
1.如圖，圓柱形容器高為16cm，底面周長為24cm，在杯內壁離杯底的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯子的上沿蜂蜜相對的點A處，則螞蟻A處到達B處的最短距離為
2.如圖，圓柱的底面周長為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=3cm，點P是內壁BC上一點且PC=BC．一只螞蟻從A點出發沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是（　　）
A．（4+）cm
B．5cm
C．8cm
D．7cm
3.如圖，已知正方體的棱長為2，則正方體表面上從A1點到C點的最短距離為_______．
4.在邊長為2
cm的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為____________cm
5.圖①所示的正方體木塊棱長為6cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）
剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為
cm．
6.如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，點M在棱AB上，且AM=6cm，點N是FG的中點，一只螞蟻要沿著長方體盒子的表面從點M爬行到點N，它需要爬行的最短路程為____．
7.已知邊長為4的正方形ABCD上一點E，AE=1，請在對角線AC上找一點N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。
8.已知AB=20，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，DA=10，CB=5．
（1）在AB上找一點E，使EC=ED，并求出EA的長；
（2）在AB上找一點F，使FC+FD最小，并求出這個最小值
9.在長方形ABCD中，AB=4,BC=8,E為CD邊的中點，若P、Q是BC邊上的兩動點，且PQ=2，當四邊形APQE的周長最小時，求BP的長.
如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處（三條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？
11.如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，求壁虎捕捉蚊子的最短距離。
類型五：運用勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形
典例精析
例1.△ABC三邊長分別為a、b、c，則下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝4，c＝5
B．a＝4，b＝5，c＝6
C．a＝6，b＝8，c＝10
D．a＝5，b＝12，c＝13
【變式】如圖，在由單位正方形組成的網格圖中標有AB,CD,EF,GH四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是（
）
A．CD,EF,GH
B.AB,EF,GH
C.AB,CD,GH
D.AB,CD,EF
例2.若△ABC的三邊a、b、c，滿足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，則△ABC是（
）
A．等腰三角形；
B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；
D．等腰直角三角形
【變式】如果△ABC的三邊a,b,c滿足關系式
+（b-18）2+=0則△ABC是
_______三角形。
例3.如圖，在四邊形ABCD中，，，，，AB⊥BC，四邊形ABCD的面積為___________________．
【變式】一塊木板如圖所示,已知AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°,木板的面積是多少？
基礎訓練
1.以下列各組數為邊長，能組成直角三角形的是（
）
A．5，6，7
B．4，5，6
C．6，7，8
D．5，12，13
2.已知三角形的三邊分別為6，8，10，則最長邊上的高等于(
)
A．10
B．14
C．4.8
D．2.4
3.下列各組數中，以a，b，c為邊的三角形不是直角三角形的是（）
A．a=1.5，b=2，c=3
B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10
D．a=5，b=12，c=13
4.已知的三邊長分別為，且滿足，則的形狀為（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
5.由下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C
D．AB2＝BC2+AC2
6.下列說法正確的是（　　）
A．一個三角形的三邊長分別為：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，則這個三角形是直角三角形
B．三邊長度分別為1，1，的三角形是直角三角形，且1，1，是組勾股數
C．三邊長度分別是12，35，36的三角形是直角三角形
D．在一個直角三角形中，有兩邊的長度分別是3和5，則另一邊的長度一定是4
7.已知，△ABC的三邊長分別為：2，，，則△ABC的面積是_____．
8.已知a，b為實數，且滿足+b2﹣6b+9＝0．
（1）求a，b的值；
（2）若a，b為△ABC的兩邊，第三邊c，求△ABC的面積．
9.如圖，在正方形網格中，小正方形的邊長為1，A，B，C為格點
判斷的形狀，并說明理由．
求BC邊上的高．
10.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝4，CD＝6，DA＝2且∠B＝90°，求∠DAB的度數。
鞏固提高
1.若三角形的三邊是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),則這個三角形是
.
2.一個正方體物體沿斜坡向下滑動，其截面如圖所示.正方形DEFH的邊長為2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米.
當正方形DEFH運動到什么位置,即當AE＝
米時,有DC
2＝AE
2＋BC2
.
3.在△ABC中，三條邊的長分別為a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n為整數)，這個三角形是直角三角形嗎？若是，哪個角是直角？
　
　
類型六：運用勾股定理及其逆定理解決實際問題
典例精析
例.如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝30°，點A處有一所中學，AP＝160m。假設拖拉機行駛時，周圍100m以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒？
鞏固提高
1.在甲村至乙村間有一條公路，在C處需要爆破，已知點C與公路上的停靠站A的距離為300米，與公路上的另一停靠站B的距離為400米，且CA⊥CB，如圖所示，為了安全起見，爆破點C周圍半徑250米范圍內不得進入，問：在進行爆破時，公路AB段是否有危險？是否需要暫時封鎖？請用你學過的知識加以解答．
2.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后相距30海里．如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？
為了積極響應國家新農村建設，某市鎮政府采用了移動宣講的形式進行宣傳動員.如圖，筆直公路的一側點處有一村莊，村莊到公路的距離為800米，假使宣講車周圍1000米以內能聽到廣播宣傳，宣講車在公路上沿方向行駛時：
（1）請問村莊能否聽到宣傳，并說明理由；
（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是每分鐘300米，那么村莊總共能聽到多長時間的宣傳？

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