資源簡介

構(gòu)造差函數(shù) 強(qiáng)化恒成立
函數(shù)中常會碰到兩個函數(shù)在某個區(qū)間（或整個定義域）內(nèi)一個函數(shù)值恒大于或小于另一個函數(shù)值問題，即對于區(qū)間上的函數(shù)，，對于任意，恒成立．現(xiàn)結(jié)合具體例題為同學(xué)們介紹構(gòu)造差函數(shù)的方法．
例1 設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則當(dāng)時，有（ ）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解析：因為函數(shù)，在區(qū)間上可導(dǎo)，則函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，且由于，則在區(qū)間上恒成立，即在上函數(shù)是增函數(shù)，對于任意有（同時），故，所以，選（C）．
同理可得．
點評：本題并沒有過多地考慮，在某具體點處的函數(shù)值的大小問題，而是從構(gòu)造差函數(shù)入手，研究新函數(shù)的單調(diào)性，利用差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，簡捷得到相應(yīng)的結(jié)論．
例2 已知函數(shù)．求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的下方．
解析：構(gòu)造函數(shù)，即，則．
因為，所以，故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，注意到，所以在區(qū)間上恒成立（恒成立），故函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的下方．
請用上述思想，試解下列三道習(xí)題：
1．設(shè)是銳角三角形的兩個內(nèi)角，求證．
提示：可證，由的單調(diào)性（求導(dǎo)數(shù)），只需證，即即可，這由題設(shè)三角形為銳角三角形易知．
2．當(dāng)時，證明：．
提示：利用導(dǎo)數(shù)，，則，，，是增函數(shù)；同理，構(gòu)造函數(shù)，，由得是增函數(shù)；而時， ，由單調(diào)性知，時，．
3．已知函數(shù)，，若對任意的都有，求實數(shù)的取值范圍．
提示：構(gòu)造函數(shù)，即，對任意的都有，則在上恒成立，只要在上恒成立，．
由，解得或，
若顯然，．
若，，即，解得，則．
特別地，當(dāng)時，也滿足題意．
綜上，實數(shù)的取值范圍是．不等式恒成立、能成立、恰成立問題分析及應(yīng)用
恒成立,也就是一個代數(shù)式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀(jì)教育網(wǎng)" \t "_blank )在某一個給定的范圍內(nèi)總是成立的,例如:x ≥0，在實數(shù) ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀(jì)教育網(wǎng)" \t "_blank )范圍既x∈R內(nèi)恒成立
能成立,也就是一個代數(shù) ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀(jì)教育網(wǎng)" \t "_blank )式在某一個給定的范圍內(nèi)存在值使這個代數(shù)式成立,使代數(shù)式成立的值有可能是一個,兩個或是無窮多個,即個數(shù)是不定的,而在這個給定的范圍內(nèi)可以存在使這個代數(shù)式不成立的值,也可以不存在這樣的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.
恰成立,也就是一個代數(shù)式在某一個給定的范圍內(nèi)恰好是成立的,或是說這個代數(shù)式只有在這個范圍內(nèi)成立,在這個范圍外的值都不能使這個代數(shù)式成立,而這個代數(shù)式里面的值均能使這個代數(shù)式成立.例如:(x-1) =0，在x=1時恰成立.
可以說恰成立時恒成立的一種特例,在給定的范圍內(nèi)恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的條件中還有可能符合代數(shù)式的在給定的范圍之外,即恒成立不一定包含了滿足這個代數(shù)式的所有的值,但是恰成立包含了滿足這個代數(shù)的值,并且給定的范圍也全都滿足這個代數(shù)式.
例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1常見關(guān)鍵詞列表如下：
問題類型 關(guān)鍵詞1 關(guān)鍵詞2
恒成立問題 對任意，一切，所有 恒成立，都成立，都有，總有，總是，
能成立問題 存在實數(shù)…使得，解集不是空集，有解
恰成立問題 解集是，值域是，
一、不等式恒成立問題的處理方法
多參數(shù)恒成立問題舉例：
例1: 已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若，若對于所有的恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.
二、不等式能成立問題的處理方法:圖像法、最值法
若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上；
若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的.
例2、已知不等式在實數(shù)集上的解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍______
例3、若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實數(shù)的取值范圍是________．
例4、已知函數(shù)（）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍________.
三、不等式恰好成立問題的處理方法：韋達(dá)定理法、代入法、最值法
例5、不等式的解集為則___________
例6、已知當(dāng)?shù)闹涤蚴?試求實數(shù)的值.
例7、已知兩函數(shù)f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k為實數(shù)。
（1）對任意x[-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范圍；
（2）存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范圍；
（3）對任意x1、x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范圍。
不等式恒成立、能成立、恰成立問題專項練習(xí)
1、設(shè)函數(shù)．對于任意實數(shù)，恒成立，求的最大值。
2、已知不等式恒成立。求實數(shù)的取值范圍。
3、不等式在內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。
4. （1）若不等式對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍
（2）若不等式對任意實數(shù)m恒成立，求實數(shù)x的取值范圍。
5、已知不等式對任意的恒成立，求實數(shù)k的取值范圍
6、 若不等式在內(nèi)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍 。
6、不等式有解，求的取值范圍。
7、對于不等式，存在實數(shù)，使此不等式成立的實數(shù)的集合是M；對于任意，使此不等式恒成立的實數(shù)的集合為N，求集合．
8、設(shè)函數(shù)，其中．若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．
9、已知函數(shù)，（Ⅰ）求 ( http: / / www. / )的值域；
（Ⅱ）設(shè)，函數(shù) ( http: / / www. / )。若對任意，總存在 ( http: / / www. / )，使, 求實數(shù) ( http: / / www. / )的取值范圍.
解：⑴方法一：對函數(shù)求導(dǎo)， ( http: / / www. / )令=0，得 ( http: / / www. / )或，
當(dāng) ( http: / / www. / )時，>0， ( http: / / www. / )在上單調(diào)遞增；當(dāng) ( http: / / www. / )時, <0, ( http: / / www. / )在(1,2)上單調(diào)遞減。又 ( http: / / www. / )當(dāng) ( http: / / www. / )時的值域是 ( http: / / www. / )；
方法二：當(dāng)時 ( http: / / www. / )=0；當(dāng)時 ( http: / / www. / )當(dāng)且僅當(dāng) ( http: / / www. / )時的值域是 ( http: / / www. / )；
（2）設(shè)函數(shù)在 ( http: / / www. / )的值域是，∵對任意 ( http: / / www. / )，總存在，使 ( http: / / www. / )。
∴ ( http: / / www. / )對函數(shù)求導(dǎo)， ( http: / / www. / )， ( http: / / www. / )
①當(dāng)時，函數(shù) ( http: / / www. / )在上單調(diào)遞減，
( http: / / www. / )∴當(dāng)時，不滿足 ( http: / / www. / )；
②當(dāng) ( http: / / www. / )時， ( http: / / www. / )，令得 ( http: / / www. / )（舍去），
（i）當(dāng)， ( http: / / www. / )時，列表
0 ( http: / / www. / ) ( http: / / www. / ) 2
( http: / / www. / ) － 0 ＋
( http: / / www. / ) 0 ( http: / / www. / ) ( http: / / www. / )
∵ ( http: / / www. / )又∵ ( http: / / www. / )，∴解得 ( http: / / www. / )
(ii）當(dāng)時, ( http: / / www. / ),∴函數(shù)在 ( http: / / www. / )上單調(diào)遞減，
( http: / / www. / ),∴當(dāng)時，不滿足 ( http: / / www. / ).綜上,實數(shù) ( http: / / www. / )的取值范圍是.
10.（2004.福建）已知在區(qū)間上是增函數(shù).
（Ⅰ）求實數(shù)的值組成的集合；
（Ⅱ）設(shè)關(guān)于的方程的兩個非零實根為.試問：是否存在實數(shù)，使得不等式對任意及恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.
解：（Ⅰ）f＇(x)== ，
在[－1，1]上是增函數(shù)， ∴對x∈[－1，1]恒成立，
即對x∈[－1，1]恒成立, ①
方法一：由圖象知
① ， ∴.
方法二：
①或 或
∴.
（Ⅱ）由=，得， ∵△=a2+8>0
∴x1，x2是方程的兩非零實根， ∴， ，
從而|x1－x2|==. ∵，∴=≤3.
要使不等式對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)對任意t∈[－1，1]恒成立，
即對任意t∈[－1，1]恒成立． ② 設(shè)
② ．
所以，存在實數(shù)，使不等式對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是．
11. 設(shè)是函數(shù)的一個極值點.
（Ⅰ）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)，,若存在使得成立，求的取值范圍.
8. 本題的第（Ⅱ） “若存在使得成立，求的取值范圍.”如何理解這一設(shè)問呢？如果函數(shù)在的值域與在的值域的交集非空，則一定存在使得成立，如果函數(shù)在的值域與在的值域的交集是空集，只要這兩個值域的距離的最小值小于1即可.
由（Ⅰ）可得,函數(shù)在的值域為,
又在的值域為,
存在使得成立，等價于或，容易證明,.
于是, .
12. 已知函數(shù)
（1）求的單調(diào)區(qū)間和值域；
（2）設(shè)，函數(shù),若對于任意,總存在使得成立，求a的取值范圍.
9. （1）對函數(shù)求導(dǎo)，得
令解得
可以求得，當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù).
當(dāng)時，的值域為.
（2）對函數(shù)求導(dǎo)，得
因為，當(dāng)時，
因此當(dāng)時，為減函數(shù)，
從而當(dāng)時有
又
即時有的值域為是
如何理解“任給，，存在使得”，
實際上，這等價于值域是值域的子集，即這就變成一個恒成立問題，的最小值不小于的最小值，的最大值不大于的最大值
即
解①式得 ；
解②式得
又，故a的取值范圍為
①
②含參數(shù)的不等式恒成立問題的處理策略
含參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的實質(zhì)是已知不等的解集求參數(shù)的取值范圍。學(xué)生遇到這類問題，較難找到解題的切入點和突破口，下面介紹解決這類問題的策略和方法。
一、分離變量法
對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠?qū)⒉坏仁竭M(jìn)行同解變形，將不等式中的變量和參數(shù)進(jìn)行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題。
例1．不等式-2cos2x+4sinx-k2+k<0對一切實數(shù)x恒成立，求參數(shù)k的取值范圍。
解：所給不等式可化為：（2 sinx+1）2< k2-k+3
<==>（2 sinx+1）2max< k2-k+3
而（2 sinx+1）2max=9 ∴k2-k+3=9
解之得：k > 3或k < -2
故k的取值范圍是（-∞，-2）∪（3，+∞）。
一般地分離變量后有下列幾種情形：
①f(x)≥g(k) <==> [f(x)]min≥g(k)
②f(x)> g(k) <==> g(k) < [f(x)] min
③f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max≤g(k)
④f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max < g(k)
二、數(shù)形結(jié)合
對于含參數(shù)的不等式恒成立問題，當(dāng)不等式兩邊的函數(shù)圖象形狀明顯，我們可以作出它們的圖象，利用圖象直觀和運動變化的觀點進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為某一極端情形如端點、相切等，從而得到關(guān)于參數(shù)K的不等式。
例2 如果不等式 x-5 ≠kx+2在[s，+∞]內(nèi)恒成立求參數(shù)K的取值范圍
解：令f(x) = x-5 , g(k) = kx+2（x≥5）；f(x)的圖象是拋物線y2=x-5位于x軸上方的部分，g(k)的圖象則是斜率為k在y軸上的截距為2的動直線
過A（0，2）作y2=x-5的切線，令它的方程為y=kx+2，顯然k≠0
由 y2=x-5 清去y得 k2x+（4k-1）+9=0
y=kx+2
由△=-20k2-8k+1=0解得k = 1 ，k= 1
10 2
y= 1 x+2切拋物線y2=（x-5）于上半部y=- 1 x+2
10 2
切拋物線y2=x-5于下半部，故y= 1 x+2與y= x+5 相
10
切，又KBA=- 2 ，其中A(0，2) B(5，0)，令y= 1 x切
5 10
y= x-5 于C，x-5 ≠kx+2 在[5，+∞）內(nèi)恒成立。
（二）y = f(x)與y = g(x)的圖象無
交點,如圖知當(dāng)過A的直線在∠BAC
的外部時它們沒有交點
故當(dāng)k> 1 或K<- 2 時,不等
10 5
式 x-5≠kx+2，在[5，+∞)內(nèi)恒成立。
三、利用函數(shù)的單調(diào)性
當(dāng)不等式兩邊的函數(shù)在使不等式恒成立的區(qū)間內(nèi)具有不同的單調(diào)性時，我們可以利用這一特點將問題化歸為極端情形，從而將一般問題作特殊化處理。
例3．不等式x2-loga x<0在（0， 1 ）內(nèi)恒成立，求參
2
數(shù)a的取值范圍。
解：x2-logax<0可化為x2∴l(xiāng)ogax >x2 >0（0<， 1 ） ∴0 < a < 1
2
而y= logax在（0， 1 ）單調(diào)下降，y=x2在（0， 1 ）
2 2
內(nèi)單調(diào)上升
∴x2( 1 )2≤loga 1
2 2 2
即a ≥ 1 ∴m≥ 1 故m的取值范圍是[ 1 ,1)
2 16 16
四、簡價化歸
化歸是一種重要的思想方法，含參數(shù)的不等式恒成立問題也可用一個與之等價的命題來代替它，從而實現(xiàn)化歸。
例4．若不等式（x-1）log32 a-6xlog3 a+x+1 > 0在[0，1]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。
解：令f(x) = (x-1) log32 a -6xlog3 a+x+1
即f(x) =x ( log32 a -6log3 a+1)+1- log32 a
f(x) >0在[0，1]上恒成立<==> f(0) > 0 即 1-log32 a > 0
f(1) > 0 2-log32 a > 0
解之得：-1< log32 a < 1 ∴ 1 < a < 3 3
3 3
故a的取值范圍是（ 1 , 3 3
3
五、分類討論法
當(dāng)不等式中左、右兩邊的函數(shù)具有某些不確定因素時，應(yīng)用分類討論的方法來處理，分類討論可使原問題中的不確定因素變成確定因素，為問題的解決提供新的條件。
例5．已知x∈[2，+∞]時不等式| loga x | > 0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。
解：當(dāng)x∈[2，+∞]時| loga x | > 0恒成立
<==> 當(dāng)x∈[2，+∞] 時loga x > 1 或loga x > -1
若x∈[2，+∞] loga x > 1恒成立
∵loga x > 1 x∈[2，+∞] ∴a > 1 從而y = loga x在[2，+∞]上單調(diào)增加 x∈[2，+∞] loga x > 1<==> log a2 > 1解得a < 2
∴1 < a < 2
若x∈[2，+∞] loga x > -1恒成立
∵loga x > -1 x∈[2，+∞] ∴0 < a < 1 從而y = loga x在[2，+∞]單調(diào)下降 ∴x∈[2，+∞] loga x > -1<==> loga 2
< -1 解得a > 1
2
∴ 1 < a < 1
2
綜上所述，a的取值范圍是（1，2）∪（ 1 , 1）
2
六、利用判別式
可化為一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立的問題，可用判別式來求解。
例6．不等式 2x2+2mx+m < 1，對一切x均成立，求
4x2+6x+3
實數(shù)m的取值范圍。
解：∵4x2+6x+3 = (2x+ 3 ) 2 + 3 > 0在R上恒成立
2 4
∴ 2x2+2mx+m < 1<==> 2x2+2mx+m < 4x2+6x+3
4x2+6x+3
<==> 2x2+(6-2m)x+3-m>0 x∈R
∴ △=(6-2m) 2 – 8(3-m) < 0 解之得1 < m < 3
故實數(shù)m的取值范圍是(1, 3)
一般地f(x)=ax2+bx+c恒正<==> a > 0
△< 0
f(x)=ax2+bx+c恒負(fù)<==> a < 0
△< 0
七、利用基本不等式
基本不等式可用來幫助我們求解含參數(shù)的不等式恒成立的問題。
例7．設(shè)n是自然數(shù)對任意的x, y, z恒有（x2+y2+z2）2≤n(x4+y4+z4)4，求n的最小值。
解：在三元均值不等式 a2+b2+c2 ≥ a+b+c 中
3 3
令x2=a y2=b z2=c 則有 x4+y4+z4 ≥ x2+y2+z2
3 3
變形即得（x2+y2+z2）2≤3 x4+y4+z4
故當(dāng)n=3時不等式恒成立。
在（x2+y2+z2）2≤n(x4+y4+z4)4中令x2=y2=z2則有
9 x4≤3nx4 ∴n≥3
故n的最小值是3。
利用不等式求解含參數(shù)不等式恒成立問題的方法是：先設(shè)法確定參數(shù)的取值范圍，再說明端點能夠?qū)崿F(xiàn)不能實現(xiàn)，從而準(zhǔn)確地得到參數(shù)的取值范圍。
以上介紹了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題的處理方法，在具體解題中可能要用到兩種方式或兩種以上的方法，應(yīng)靈活處理。解決“含參數(shù)不等式的恒成立”問題的基本方法
“含參數(shù)不等式的恒成立”的問題，是近幾年高考的熱點，它往往以函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何為載體具有一定的綜合性，解決這類問題，主要是運用等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：
即一般的，若函數(shù)在定義域為D，則當(dāng)x∈D時，有恒成立；恒成立.因而,含參數(shù)不等式的恒成立問題常根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù),等價轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)的最值討論.
例一 已知函數(shù).
①求的反函數(shù);
②若不等式對于恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
分析：本題的第二問將不等式轉(zhuǎn)化成為關(guān)于t的一次函數(shù)在恒成立的問題. 那么，怎樣完成這個轉(zhuǎn)化呢？轉(zhuǎn)化之后又應(yīng)當(dāng)如何處理呢？
【解析】 ①略解
②由題設(shè)有,∴,
即對于恒成立. 顯然,a≠-1
令,由可知
則對于恒成立.
由于是關(guān)于t的一次函數(shù).（在的條件下表示一條線段，只要線段的兩個端點在x軸上方就可以保證恒成立）
∴
例二 定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，且當(dāng)時，有
恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
分析: 利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性去掉映射符號f，將“抽象函數(shù)”問題轉(zhuǎn)化為常見的含參的二次函數(shù)在區(qū)間(0，1)上恒為正的問題.而對于0在給定區(qū)間[a，b]上恒成立問題可以轉(zhuǎn)化成為在[a，b]上的最小值問題，若中含有參數(shù)，則要求對參數(shù)進(jìn)行討論。
【解析】由得到：
因為為奇函數(shù)，
故有恒成立，
又因為為R減函數(shù)，
從而有對恒成立
設(shè)，則對于恒成立，
在設(shè)函數(shù),對稱軸為.
①當(dāng)時，，
即，又
∴(如圖1)
②當(dāng)，即時,
,即,
∴,又,
∴(如圖2)
③當(dāng)時，恒成立.
∴(如圖3)
故由①②③可知：.
例三 定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求證f(x)為奇函數(shù)；
(2)若對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
分析: 問題(1)欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明．問題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)．f(x)是奇函數(shù)且在x∈R上是增函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+2＞0對于任意t＞0恒成立．對二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解．
【解析】(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)， ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數(shù)．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，
所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)．
，
即對于任意恒成立.
令t=3＞0，
問題等價于對于任意恒成立.
令,其對稱軸為直線
當(dāng),即時,
恒成立,符合題意,故;
當(dāng)時,
對于任意,恒成立，解得
綜上所述,當(dāng)時,對于任意恒成立.
本題還可以應(yīng)用分離系數(shù)法,這種解法更簡捷.
分離系數(shù),由得.
由于,所以,故,即u的最小值為.
要使對于不等式恒成立,只要
說明: 上述解法是將k分離出來，然后用平均值定理求解，簡捷、新穎．
例四 已知向量=(，x+1)，= (1-x，t)。若函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍。（2005年湖北卷第17題）
分析：利用導(dǎo)數(shù)將“函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“在（-1，1）上恒成立”的問題，即轉(zhuǎn)化成為“二次函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上恒成立” ，利用分離系數(shù)法將t分離出來，通過討論最值來解出t的取值范圍。
【解析】依定義。
則，
若在（-1，1）上是增函數(shù)，則在（-1，1）上可設(shè)恒成立。
∴在（-1，1）上恒成立。
考慮函數(shù)，（如圖4）
由于的圖象是對稱軸為，
開口向上的拋物線，
故要使在（-1，1）上恒成立，
即。
而當(dāng)時，在（-1，1）上滿足>0，即在（-1，1）上是增函數(shù)。
故t的取值范圍是.
數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂，同時它又離不開具體的數(shù)學(xué)知識在解決含參數(shù)不等式的恒成立的數(shù)學(xué)問題中要進(jìn)行一系列等價轉(zhuǎn)化．因此，更要重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
t=m
t
g(t)
o
·
1
圖1
t=m
t
g(t)
o
·
1
圖2
t=m
t
g(t)
o
·
1
圖3
·
o
x
·
1
·
-1
y
·
g(x)
圖4剖析高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題
新課標(biāo)下的高考越來越注重對學(xué)生的綜合素質(zhì)的考察，恒成立問題便是一個考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，它主要涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。這三年的數(shù)學(xué)高考中頻頻出現(xiàn)恒成立問題，其形式逐漸多樣化，但都與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識密不可分。
解決高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題常用以下幾種方法：①函數(shù)性質(zhì)法；②主參換位法；③分離參數(shù)法；④數(shù)形結(jié)合法。下面我就以近三年高考試題為例加以剖析：
一、函數(shù)性質(zhì)法
1、二次函數(shù)：
①.若二次函數(shù)（或）在R上恒成立，則有（或）；
②.若二次函數(shù)（或）在指定區(qū)間上恒成立，可以利用韋達(dá)定理以及根的分布等知識求解。
例1(08年江西卷理12)．已知函數(shù)，若對于任一實數(shù)，與的值至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ )
A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)
分析：與的函數(shù)類型，直接受參數(shù)的影響，所以首先要對參
數(shù)進(jìn)行分類討論，然后轉(zhuǎn)換成不等式的恒成立的問題利用函數(shù)性質(zhì)及圖像解題。
解析：當(dāng)時，在上恒成立，而
在上恒成立，顯然不滿足題意；(如圖1)
當(dāng)時，在上遞減且只在上恒成立，
而是一個開口向下且恒過定點（0，1）的二次函數(shù)，顯然不滿足題意。
當(dāng)時，在上遞增且在上恒成立，
而是一個開口向上且恒過定點（0，1）的二次函數(shù)，要使對任一實數(shù)，
與的值至少有一個為正數(shù)則只需在上恒成立。(如圖3)
則有或解得或，
綜上可得即。 故選B。
例2（09年江西卷文17）設(shè)函數(shù)．
（1）對于任意實數(shù)，恒成立，求的最大值。（節(jié)選）
解析：(1) , 對,, 即 在上恒成立, , 得，即的最大值為。
2、其它函數(shù)：
恒成立（注：若的最小值不存在，則恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，則恒成立的上界小于0）.
例3（07年重慶卷理20)已知函數(shù)在處取得極值，其中、為常數(shù).
（1）試確定、的值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。
分析： 恒成立，即 ，要解決此題關(guān)鍵是求 ，。
解：（1）（2）略
（3）由（2）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值.
要使恒成立，只需.即，
從而. 解得或. 的取值范圍為.
例4（08天津文21）．設(shè)函數(shù)，其中．
（Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．（節(jié)選）
分析：，即，，，要解決此題關(guān)鍵是求。
解：（Ⅲ）由條件可知
，從而恒成立．當(dāng)時，；當(dāng)時，．
因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者．
為使對任意，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，
即，即在上恒成立．即，
所以，因此滿足條件的的取值范圍是．
例5（09年全國卷II文21）設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)
（II）若當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍。（節(jié)選）
分析：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。
解：（II）由（I）知，當(dāng)時，在或處取得最小值。
；
則由題意得 即解得 。
二、主參換位法
某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時，可考慮變換思維角度。即把主元與參數(shù)換個位置，再結(jié)合其它知識，往往會取得出奇制勝的效果。
例6（07遼寧卷文科22)已知函數(shù)，，且對任意的實數(shù) 均有，.
(Ⅰ) 求函數(shù)的解析式；
(Ⅱ)若對任意的，恒有，求的取值范圍.
解析： (Ⅰ) ，
，而，恒成立.則由二次函數(shù)性質(zhì)得 ，解得，， 。
（Ⅱ）.令，則 即.由于，則有. 解得 .所以的取值范圍為。
例7 (08安徽文科20 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀(jì)教育網(wǎng) ))．已知函數(shù)，其中為實數(shù)．
（Ⅱ）已知不等式對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍．（節(jié)選）
分析：已知參數(shù)的范圍，要求自變量的范圍，轉(zhuǎn)換主參元和的位置，構(gòu)造以為自變量作為參數(shù)的一次函數(shù)，轉(zhuǎn)換成，恒成立再求解。
解析：由題設(shè)知“對都成立，即對都成立。設(shè)（），
則是一個以為自變量的一次函數(shù)。恒成立，則對，為上的單調(diào)遞增函數(shù)。 所以對，恒成立的充分必要條件是，，，于是的取值范圍是。
三、分離參數(shù)法
　 利用分離參數(shù)法來確定不等式,（ ,為實參數(shù)）恒成立中參數(shù)的取值范圍的基本步驟:
（1） 將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；
（2） 求在上的最大（或最小）值；
（3） 解不等式(或) ，得的取值范圍。
適用題型：（1） 參數(shù)與變量能分離；（2） 函數(shù)的最值易求出。
例8 （07年山東卷文15)當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是 .
解析: 當(dāng)時，由得.令，則易知在上是減函數(shù)，所以時，則∴.
例9（09年山東卷文21）已知函數(shù),其中
當(dāng)滿足什么條件時,取得極值
已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.
分析：此題雖有三個變量、、，而的范圍已知，最終要用表示出的取值范圍，所以可以將看成一個已知數(shù)，對和進(jìn)行離參。
解析：(2) 在區(qū)間上單調(diào)遞增在上恒成立恒成立，。設(shè)，，令得或(舍去)，
當(dāng)時,，當(dāng)時，單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)時，單調(diào)減函數(shù),
。。
當(dāng)時，，此時在區(qū)間恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，。
綜上，當(dāng)時, ； 當(dāng)時，。
四、數(shù)形結(jié)合（對于型問題，利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的關(guān)系再處理）
若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。
例10 (07安徽理科3)若對任意,不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是
(A) (B) (C) （D）
解析：對,不等式恒成立
則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知，即。
上述例子剖析了近三年數(shù)學(xué)高考中恒成立問題的題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，雖然方法表現(xiàn)的不同，但其實質(zhì)卻都與求函數(shù)的最值是等價的，這也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“統(tǒng)一美”。
2009年6月
圖3
1
o
x
y
圖1
1
x
y
0
1
x
y
0
圖2
O常見 “恒成立問題” 的解決辦法
在數(shù)學(xué)問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立問題．這類問題涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用．因此也成為歷年高考的一個熱點．下面本人就高考中常出現(xiàn)的恒成立問題談一談自己的解法．
一 變量分離法
變量分離法主要通過兩個基本思想解決“恒成立問題”
思路1、
思路2、
例1．（2008年上海）已知函數(shù)f(x)＝2x－若不等式2t f(2t)+m f(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍
解：本題可通過變量分離來解決．
當(dāng)時，
即，，
，
故的取值范圍是
例2．（1990年全國）設(shè)，其中a為實數(shù)，n為
任意給定的自然數(shù)，且，如果當(dāng)時有意義，求a的取值范圍．
解：本題即為對于，有恒成立．
這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將a分離出來，得，對于恒成立．
構(gòu)造函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域，由于函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，
則在上為單調(diào)增函數(shù)．于是有的最大值為，從而可得．
如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問題,我們可以通過習(xí)題的實際,采取合理有效的方法進(jìn)行求解,通常可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f（x）的最值．
二 賦值法——利用特殊值求解
等式中的恒成立問題，常常用賦值法求解，特別是對解決填空題、選擇題能很快求得.
例3．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定義映射f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,則f：(4,3,2,1) → ( )
A.10 B.7 C.-1 D.0
略解：取x=0，則 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故選D
例4．如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對稱，那么a=（ ）.
A.1 B.-1 C . D. -.
略解：取x=0及x=，則f(0)=f(),即a=-1，故選B.
此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想.
三 構(gòu)造函數(shù)法
1、一次函數(shù)型
若原題可化為一次函數(shù)型,則由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識求解,十分簡捷．給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價于
同理，若在[m,n]內(nèi)恒有f(x)<0， 則有
例5．對于滿足|a|2的所有實數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍.
分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x及a,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù).顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在[-2，2]內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.
解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2時恒成立,
設(shè)f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：
即解得：
∴x<-1或x>3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)
此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間[m,n]上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方（或下方）即可.
2、二次函數(shù)型
若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，則有；若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，可以利用韋達(dá)定理以及根的分布知識求解．
例6． 若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù) 的取值范圍.
分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)在R上恒成立問題，并且注意對二次項系數(shù)的討論.
解：依題意，當(dāng)恒成立，
所以 ①當(dāng)
此時
②當(dāng)
有
綜上所述，f(x)的定義域為R時，
例7.已知函數(shù)，若時，恒成立，求的取值范圍.
分析：要使時，恒成立，只需的最小值即可.
解：，令在上的最小值為.
⑴當(dāng)，即時， 又
不存在.
⑵當(dāng)，即時， 又
⑶當(dāng)，即時， 又
綜上所述，.
對于二次函數(shù)在R上恒成立問題往往采用判別式法（如例6），而對于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問題（如例7）．
四 數(shù)形結(jié)合法
若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖
象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果．
例8.設(shè)，若不等式恒成立，求a的取值范圍．
解：若設(shè)，則為上半圓．設(shè)，為過原點，a為斜率的直線．在同一坐標(biāo)系內(nèi) 作出函數(shù)圖象，依題意，半圓恒在直線上方時，只有時成立，即a的取值范圍為．
利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.
五 換元引參法
例9.對于所有實數(shù)x，不等式恒成立，求a的取值范圍．
解：因為的值隨著參數(shù)a的變化而變化，若設(shè)，
則上述問題實質(zhì)是“當(dāng)t為何值時，不等式恒成立”．
這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問題，它等價于求解關(guān)于t的不等式組：． 解得，即有，易得．
通過換元引參，把把問題變成熟悉的二次函數(shù)問題，使問題迎刃而解．
六　變更主元法
例10.若對于，方程都有實根，求實根的范圍．
解：此題一般思路是先求出方程含參數(shù)m的根，再由m的范圍來確定根x的范圍，但這樣會遇到很多麻煩，若以m為主元，則，
由原方程知，得 又，即
解之得或．
利用變更主元法解決恒成立問題，應(yīng)先把主元變更，然后結(jié)合兩者之間的關(guān)系，得出正確答案.

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