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解析幾何單元易錯題練習
一．考試內容：
　　橢圓及其標準方程.橢圓的簡單幾何性質.橢圓的參數(shù)方程.
　　雙曲線及其標準方程.雙曲線的簡單幾何性質.
　　拋物線及其標準方程.拋物線的簡單幾何性質.
二．考試要求：
(1)掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的參數(shù)方程.
(2)掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質.
(3)掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質.
(4)了解圓錐曲線的初步應用.
【注意】圓錐曲線是解析幾何的重點，也是高中數(shù)學的重點內容，高考中主要出現(xiàn)三種類型的試題：①考查圓錐曲線的概念與性質；②求曲線方程和軌跡；③關于直線與圓錐曲線的位置關系的問題.
三．基礎知識:
(一)橢圓及其標準方程
橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內動點與兩定點、的距離的和大于||這個條件不可忽視.若這個距離之和小于||，則這樣的點不存在；若距離之和等于||，則動點的軌跡是線段.
2.橢圓的標準方程：（＞＞0），（＞＞0）.
3.橢圓的標準方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大小：如果項的分母大于項的分母，則橢圓的焦點在x軸上，反之，焦點在y軸上.
4.求橢圓的標準方程的方法：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.
(二)橢圓的簡單幾何性質
橢圓的幾何性質：設橢圓方程為（＞＞0）.
⑴ 范圍： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以橢圓位于直線x=和y=所圍成的矩形里. ⑵ 對稱性：分別關于x軸、y軸成軸對稱，關于原點中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.
⑶ 頂點：有四個（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.
線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長. 所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點.
⑷ 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1時，橢圓越扁；反之，e越接近于0時，橢圓就越接近于圓.
2.橢圓的第二定義
⑴ 定義：平面內動點M與一個頂點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)（e＜1＝時，這個動點的軌跡是橢圓.
⑵ 準線：根據(jù)橢圓的對稱性，（＞＞0）的準線有兩條，它們的方程為.對于橢圓（＞＞0）的準線方程，只要把x換成y就可以了，即.
3.橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點與其焦點所連的線段叫做這點的焦半徑.
設（-c，0），（c，0）分別為橢圓（＞＞0）的左、右兩焦點，M（x，y）是橢圓上任一點，則兩條焦半徑長分別為，.
橢圓中涉及焦半徑時運用焦半徑知識解題往往比較簡便.
橢圓的四個主要元素a、b、c、e中有=+、兩個關系，因此確定橢圓的標準方程只需兩個獨立條件.
4.橢圓的參數(shù)方程
橢圓（＞＞0）的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）.
說明 ⑴ 這里參數(shù)θ叫做橢圓的離心角.橢圓上點P的離心角θ與直線OP的傾斜角α不同：；
⑵ 橢圓的參數(shù)方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實質是三角代換. 92.橢圓的參數(shù)方程是.
5.橢圓的的內外部
（1）點在橢圓的內部.
（2）點在橢圓的外部.
6. 橢圓的切線方程
(1)橢圓上一點處的切線方程是.
（2）過橢圓外一點所引兩條切線的切點弦方程是.
（3）橢圓與直線相切的條件是
(三)雙曲線及其標準方程
雙曲線的定義：平面內與兩個定點、的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a（小于||）的動點的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中，要注意條件2a＜||，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=||，則動點的軌跡是兩條射線；若2a＞||，則無軌跡.
若＜時，動點的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若＞時，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應為“差的絕對值”.
雙曲線的標準方程：和（a＞0，b＞0）.這里，其中||=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.
3.雙曲線的標準方程判別方法是：如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.
4.求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.
(四)雙曲線的簡單幾何性質
1.雙曲線的實軸長為2a，虛軸長為2b，離心率＞1，離心率e越大，雙曲線的開口越大.
2. 雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：，其中k是一個不為零的常數(shù).
3.雙曲線的第二定義：平面內到定點（焦點）與到定直線（準線）距離的比是一個大于1的常數(shù)（離心率）的點的軌跡叫做雙曲線.對于雙曲線，它的焦點坐標是（-c，0）和（c，0），與它們對應的準線方程分別是和.雙曲線的焦半徑公式
，.
4.雙曲線的內外部
(1)點在雙曲線的內部.
(2)點在雙曲線的外部.
5.雙曲線的方程與漸近線方程的關系
(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.
(2)若漸近線方程為雙曲線可設為.
(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）.
6. 雙曲線的切線方程
(1)雙曲線上一點處的切線方程是.
（2）過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.
（3）雙曲線與直線相切的條件是.
(五)拋物線的標準方程和幾何性質
1．拋物線的定義：平面內到一定點（F）和一條定直線（l）的距離相等的點的軌跡叫拋物線。這個定點F叫拋物線的焦點，這條定直線l叫拋物線的準線。
需強調的是，點F不在直線l上，否則軌跡是過點F且與l垂直的直線，而不是拋物線。
2．拋物線的方程有四種類型：
、、、.
對于以上四種方程：應注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一次項；一次項前面是正號則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項前面是負號則曲線的開口方向向x軸或y軸的負方向。
3．拋物線的幾何性質，以標準方程y2=2px為例
（1）范圍：x≥0；
（2）對稱軸：對稱軸為y=0，由方程和圖像均可以看出；
（3）頂點：O（0，0），注：拋物線亦叫無心圓錐曲線（因為無中心）；
（4）離心率：e=1，由于e是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的；
（5）準線方程；
（6）焦半徑公式：拋物線上一點P（x1，y1），F(xiàn)為拋物線的焦點，對于四種拋物線的焦半徑公式分別為（p＞0）：
（7）焦點弦長公式：對于過拋物線焦點的弦長，可以用焦半徑公式推導出弦長公式。設過拋物線y2=2px（p＞O）的焦點F的弦為AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的傾斜角為α，則有①|AB|=x+x+p
以上兩公式只適合過焦點的弦長的求法，對于其它的弦，只能用“弦長公式”來求。
（8）直線與拋物線的關系：直線與拋物線方程聯(lián)立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，當a≠0時，兩者的位置關系的判定和橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可；但如果a=0，則直線是拋物線的對稱軸或是和對稱軸平行的直線，此時，直線和拋物線相交，但只有一個公共點。
4.拋物線上的動點可設為P或 P，其中 .
5.二次函數(shù)的圖象是拋物線：（1）頂點坐標為；（2）焦點的坐標為；（3）準線方程是.
6.拋物線的內外部
(1)點在拋物線的內部.
點在拋物線的外部.
(2)點在拋物線的內部.
點在拋物線的外部.
(3)點在拋物線的內部.
點在拋物線的外部.
(4) 點在拋物線的內部.
點在拋物線的外部.
7. 拋物線的切線方程
(1)拋物線上一點處的切線方程是.
（2）過拋物線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.（3）拋物線與直線相切的條件是.
(六).兩個常見的曲線系方程
(1)過曲線,的交點的曲線系方程是
(為參數(shù)).
(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中.當時,表示橢圓; 當時,表示雙曲線.
(七)直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或
（弦端點A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）.
(八).圓錐曲線的兩類對稱問題
（1）曲線關于點成中心對稱的曲線是.
（2）曲線關于直線成軸對稱的曲線是
.
四．基本方法和數(shù)學思想
1.橢圓焦半徑公式：設P（x0,y0）為橢圓（a>b>0）上任一點，焦點為F1(-c,0),F2(c,0),則（e為離心率）；
2.雙曲線焦半徑公式：設P（x0,y0）為雙曲線（a>0,b>0）上任一點，焦點為F1(-c,0),F2(c,0),則:
（1）當P點在右支上時，；
（2）當P點在左支上時，；（e為離心率）；
另：雙曲線（a>0,b>0）的漸進線方程為；
3.拋物線焦半徑公式：設P（x0,y0）為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點，F(xiàn)為焦點，則；y2=2px(p＜0)上任意一點，F(xiàn)為焦點，；
4.涉及圓錐曲線的問題勿忘用定義解題；
5.共漸進線的雙曲線標準方程為為參數(shù)，≠0）；
6.計算焦點弦長可利用上面的焦半徑公式，
一般地，若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、B兩點分別為A(x1，y1)、B(x2,y2)，則弦長
,這里體現(xiàn)了解析幾何“設而不求”的解題思想；
7.橢圓、雙曲線的通徑（最短弦）為，焦準距為p=，拋物線的通徑為2p，焦準距為p; 雙曲線（a>0，b>0）的焦點到漸進線的距離為b;
8.中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓，雙曲線方程可設為Ax2+Bx2＝1；
9.拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦（過焦點的弦）為AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),則有如下結論：（1）＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=;
10.過橢圓（a>b>0）左焦點的焦點弦為AB，則，過右焦點的弦；
11.對于y2=2px(p≠0)拋物線上的點的坐標可設為（，y0）,以簡化計算;
12.處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代點相減法，設A(x1，y1)、B(x2,y2)為橢圓（a>b>0）上不同的兩點，M(x0,y0)是AB的中點，則KABKOM=；對于雙曲線（a>0，b>0），類似可得：KAB.KOM=；對于y2=2px(p≠0)拋物線有KAB＝
13.求軌跡的常用方法：
（1）直接法：直接通過建立x、y之間的關系，構成F(x,y)＝0，是求軌跡的最基本的方法；
（2）待定系數(shù)法：所求曲線是所學過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據(jù)條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可；
（3）代入法（相關點法或轉移法）：若動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x1,y1)的變化而變化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲線上，則可先用x、y的代數(shù)式表示x1、y1，再將x1、y1帶入已知曲線得要求的軌跡方程；
（4）定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程；
（5）參數(shù)法：當動點P（x,y）坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x、y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程。
例題1　求過點（2，1）且與兩坐標所圍成的三角形面積為4的直線方程。
錯解：設所求直線方程為。
∵（2，1）在直線上，∴， ①
又，即ab = 8 ， ②
由①、②得a = 4，b = 2。故所求直線方程為x + 2 y = 4 。
剖析：本題的“陷阱”是直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積的表示。上述解法中，由于對截距概念模糊不清，誤將直線在x軸和y軸上的截距作距離使用而掉入“陷阱”。
事實上，直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為，而不是ab。
故所求直線方程應為：
x + 2 y = 4，或（+1）x - 2（-1）y – 4 = 0，或（- 1）x - 2（+1）y +4 = 0。
例題2　求過點A（-4，2）且與x軸的交點到（1，0）的距離是5的直線方程。
錯解：設直線斜率為k，其方程為y – 2 = k（x + 4），則與x軸的交點為（-4-，0），
∴，解得k = -。故所求直線的方程為x + 5y – 6 = 0 。
剖析：題中僅考慮了斜率存在的情況，忽視了斜率不存在的情況，即經過A且垂直于x軸的直線，落入“陷阱”。其實x = - 4也符合題意。
例題3　求過點（1，1）且橫、縱截距相等的直線方程。
錯解：設所求方程為，將（1，1）代入得a = 2，
從而得所求直線方程為x + y – 2 = 0。
剖析：上述錯解所設方程為，其中不含橫、縱截距為0的特殊情形，事實上，橫、縱截距為0且過點（1，1）的直線y = x 也符合條件。
例題4　已知圓的方程為x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定點為A（1，2），要使過A點作圓的切線有兩條，求a的取值范圍。
錯解：將圓的方程配方得： ( x + )2 + ( y + 1 )2 = 。
∵其圓心坐標為C（－，－1），半徑r ＝。
當點A在圓外時，過點A可作圓的兩條切線，則 ＞ r 。
即 ＞。即a2 + a + 9 ＞ 0，解得a∈R。
剖析：本題的“陷阱”是方程x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0表示圓的充要條件，上述解法僅由條件得出 ＞ r ，即a2 + a + 9 ＞ 0，卻忽視了a的另一制約條件4 – 3 a2 ＞ 0。
事實上，由a2 + a + 9 ＞ 0及4 – 3 a2 ＞ 0可得a的取值范圍是（）。
例題5　已知直線L：y = x + b與曲線C：y =有兩個公共點，求實線b的取值范圍。
錯解：由消去x得：2y2 - 2by + b2 – 1 = 0。 （ * ）
∵ L與曲線C有兩個公共點， ∴ = 4b2 – 8 ( b2 －1 ) > 0，解得－＜b＜
剖析：上述解法忽視了方程y =中y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1這一限制條件，得出了錯誤的結論。
事實上，曲線C和直線L有兩個公共點等價于方程（*）有兩個不等的非負實根。
　　解得1≤ b ≤。
例題6　等腰三角形頂點是A（4，2），底邊的一個端點是B（3，5），求另一個端點C的軌跡方程。
錯解：設另一個端點的坐標為（ x ，y ），依題意有：
=，即：=
∴ （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10即為C點的軌跡方程。
這是以A（4，2）為圓心、以為半徑的圓。
剖析：因為A、B、C三點為三角形三個頂點，所以A、B、C三點不共線，即B、C不能重合，且不能為圓A一直徑的兩個端點，這正是解題后沒有對軌跡進行檢驗，出現(xiàn)增解，造成的解題錯誤。
事實上，C點的坐標須滿足，且，
故端點C的軌跡方程應為（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x3,y5；x5,y－1)。
它表示以（4，2）為圓心，以為半徑的圓，除去（3，5）（5，-1）兩點。
例題7　求z = 3 x + 5 y的最大值和最小值，使式中的x ，y滿足約束條件：
錯解：作出可行域如圖1所示，過原點作直線L0：3 x + 5 y = 0 。
由于經過B點且與L0平行的直線與原點的距離最近，
故z = 3 x + 5 y在B點取得最小值。解方程組，得B點坐標為（3，0），∴ z最小＝33＋50=9。
由于經過A點且與L0平行的直線與原點的距離最大，
故z = 3x + 5y在A點取得最大值。
解方程組，得A點坐標為（，）。
∴ z最大＝3＋5= 17 。
剖析：上述解法中，受課本例題的影響，誤認為在對過原點的直線L0的平行移動中，與原點距離最大的直線所經過的可行域上的點，即為目標函數(shù)Z取得最大值的點。反之，即為Z取得最小值的點，并把這一認識移到不同情況中加以應用，由此造成了解題失誤。
事實上，過原點作直線L0：3x + 5y = 0，由于使z = 3x + 5y ＞ 0的區(qū)域為直線L0的
右上方，而使z = 3x + 5y ＜ 0的區(qū)域為L0的
左下方。由圖知：z = 3x + 5y應在A點取得最大值，在C點取得最小值。
解方程組，得C（－2，－1）。
∴ z最小＝3（－2）＋5（－1）= －11。
例題8　已知正方形ABCD 對角線AC所在直線方程為 .拋物線過B，D兩點
（1）若正方形中心M為（2，2）時，求點N(b,c)的軌跡方程。
（2）求證方程的兩實根，滿足
解答：（1）設
因為 B,D在拋物線上 所以兩式相減得
則代入（1）
得
故點的方程是一條射線。
（2）設
同上
（1）-（2）得
（1）+（2）得
（3）代入（4）消去得
得 又即的兩根滿足
故。
易錯原因：審題不清，忽略所求軌跡方程的范圍。
例題9　已知雙曲線兩焦點，其中為的焦點，兩點A (-3,2) B (1,2)都在雙曲線上，（1）求點的坐標；（2）求點的軌跡方程，并畫出軌跡的草圖；（3）若直線與的軌跡方程有且只有一個公共點，求實數(shù) t的取值范圍。
解答：（1）由得：，故
（2）設點，則又雙曲線的定義得
又
或
點的軌跡是以為焦點的橢圓
除去點或除去點
圖略。
（3）聯(lián)列：消去得
整理得：
當時 得 從圖可知：，
又因為軌跡除去點 所以當直線過點時也只有一個交點，即或5
易錯原因：（1）非標準方程求焦點坐標時計算易錯；（2）求點的軌跡時易少一種情況；（3）對有且僅有一個交點誤認為方程只有一解。
例題10　已知圓，圓都內切于動圓，試求動圓圓心的軌跡方程。
錯解：圓O2：，即為
所以圓O2的圓心為,半徑,
而圓的圓心為,半徑,
設所求動圓圓心M的坐標為(x,y),半徑為r
則且，所以
即，化簡得
即為所求動圓圓心的軌跡方程。
剖析：上述解法將=3看成,誤認為動圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致。
事實上，|表示動點M到定點及的距離差為一常數(shù)3。
且,點M的軌跡為雙曲線右支，方程為
例題11　點P與定點F（2，0）的距離和它到直線x=8的距離比是1：3,求動點P與定點距離的最值。
錯解：設動點P(x,y)到直線x=8的距離為d，則
即
兩邊平方、整理得=1 （1）
由此式可得：
因為
所以
剖析 由上述解題過程知,動點P(x,y)在一橢圓上，由橢圓性質知，橢圓上點的橫縱坐標都是有限制的，上述錯解在于忽視了這一取值范圍，由以上解題過程知，的最值可由二次函數(shù)在區(qū)間上的單調性給予解決
即：當時，
例題12　已知雙曲線的離心率e=, 過點A（）和B(a,0)的直線與原點的距離為,直線y=kx+m與該雙曲線交于不同兩點C、D，且C、D兩點都在以A為圓心的同一圓上，求m 的取值范圍。
錯解 由已知，有　解之得：
所以雙曲線方程為
把直線 y=kx+m代入雙曲線方程，并整理得：
所以(1)
設CD中點為，則APCD，且易知：
所以 (2)
將(2)式代入(1)式得 解得m>4或
故所求m的范圍是
剖析 上述錯解，在于在減元過程中，忽視了元素之間的制約關系，
將代入(1) 式時，m受k的制約。
因為 所以故所求m的范圍應為m>4或
例題13　橢圓中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率,已知點P（）到橢圓上的點最遠距離是，求這個橢圓的方程。
錯解 設所求橢圓方程為
因為，所以a=2b
于是橢圓方程為
設橢圓上點M（x,y）到點P 的距離為d,
則：
所以當時，有
所以所求橢圓方程為
剖析 由橢圓方程得
由(1)式知是y的二次函數(shù)，其對稱軸為
上述錯解在于沒有就對稱軸在區(qū)間內或外進行分類，
其正解應對f(y)=的最值情況進行討論：
（1）當，即時
=7,方程為
（2）當, 即時，
，與矛盾。
綜上所述，所求橢圓方程為
例題15　已知雙曲線,問過點A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。
錯解 設符合題意的直線存在，并設、
則
（1）得
因為A（1，1）為線段PQ的中點，所以
將(4)、(5)代入（3）得
若，則直線的斜率
所以符合題設條件的直線存在。其方程為
剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應對所求直線進行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的。
應在上述解題的基礎上，再由 得
根據(jù),說明所求直線不存在。
例題15　已知橢圓，F(xiàn)為它的右焦點，直線過原點交橢圓C于A、B兩點。求是否存在最大值或最小值？若不存在，說明理由。
錯解 設A、B兩點坐標分別為、
因為， 所以，
又橢圓中心為（1，0）,右準線方程為x=5， 所以
即，同理
所以
設直線的方程為y=kx，代入橢圓方程得
所以
代入(1)式得
所以，所以|有最小值3,無最大值。
剖析 上述錯解過程忽視了過原點斜率不存在的直線，當?shù)男甭什淮嬖跁r，
有
所以有最小值為 3，最大值為25/4
課后練習題
1、圓x2 + 2x + y2 + 4y –3 = 0上到直線x + y + 1 = 0的距離等于的點共有（ ）
A、1個 B、 2個 C、 3個 D、 4個
分析：這里直線和圓相交，很多同學受思維定勢的影響，錯誤地認為圓在此直線的兩側各有兩點到直線的距離為，導致錯選（ D ）。
事實上，已知圓的方程為：
（x +1）2 + (y+2) 2 = 8，這是一個
以（-1，-2）為圓心，以2為
半徑的圓，圓的圓心到直線
x + y + 1 = 0的距離
為d==，
這樣只需畫出（x +1）2 + (y+2) 2 = 8
和直線x + y + 1 = 0以及和x + y + 1 = 0的距離為的平行直線即可。
如圖2所示，圖中三個點A、B、C為所求，故應選（C）。
2、過定點（1，2）作兩直線與圓相切，則k的取值范圍是
A k>2 B -32 D 以上皆不對
解 答：D
易錯原因：忽略題中方程必須是圓的方程，有些學生不考慮
3、設雙曲線的半焦距為C，直線L過兩點，已知原點到直線L的距離為，則雙曲線的離心率為
A 2 B 2或 C D
解 答：D
易錯原因：忽略條件對離心率范圍的限制。
4、已知二面角的平面角為，PA，PB，A，B為垂足，且PA=4，PB=5，設A、B到二面角的棱的距離為別為，當變化時，點的軌跡是下列圖形中的
A B C D
解 答： D
易錯原因：只注意尋找的關系式，而未考慮實際問題中的范圍。
5、若曲線與直線+3有兩個不同的公共點，則實數(shù) k 的取值范圍是
A B C D
解 答：C
易錯原因：將曲線轉化為時不考慮縱坐標的范圍；另外沒有看清過點(2,-3)且與漸近線平行的直線與雙曲線的位置關系。
6、已知圓+y=4 和 直線y=mx的交點分別為P、Q兩點，O為坐標原點，
則︱OP︱·︱OQ︱=( )
A 1+m B C 5 D 10
正確答案： C 錯因：學生不能結合初中學過的切割線定︱OP︱·︱OQ︱等于切線長的平方來解題。
7、雙曲線－＝1中，被點P(2,1)平分的弦所在直線方程是（ ）
A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在
正確答案：D 錯因：學生用“點差法”求出直線方程沒有用“△”驗證直線的存在性。
8、已知是三角形的一個內角，且sin+cos=則方程xsin－ycos=1表示（ ）
A 焦點在x軸上的雙曲線 B 焦點在y軸上的雙曲線
C 焦點在x軸上的橢圓 D 焦點在y軸上的橢圓
正確答案：D 錯因：學生不能由sin+cos=判斷角為鈍角。
9、過拋物線的焦點F作互相垂直的兩條直線，分別交準線于P、Q兩點，又過P、Q分別作拋物線對稱軸OF的平行線交拋物線于M﹑N兩點,則M﹑N﹑F三點
A 共圓 B 共線 C 在另一條拋物線上 D 分布無規(guī)律
正確答案：B 錯因：學生不能結合圖形靈活應用圓錐曲線的第二定義分析問題。
10、已知實數(shù)x，y滿足3x2+2y2=6x，則x2+y2的最大值是( )
A、 B、4 C、5 D、2
正確答案：B
錯誤原因：忽視了條件中x的取值范圍而導致出錯。
11、過點(0,1)作直線，使它與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有（　）
A.1條 B.2條 C. 3條 D. 0條
正確答案：C
錯解：設直線的方程為，聯(lián)立，得，
即：，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.
剖析：本題的解法有兩個問題，一是將斜率不存在的情況考慮漏掉了，另外又將斜率k=0的情形丟掉了，故本題應有三解，即直線有三條。
12、已知動點P（x,y）滿足，則P點的軌跡是 （ ）
A、直線 B、拋物線 C、雙曲線 D、橢圓
正確答案：A
錯因：利用圓錐曲線的定義解題，忽視了（1，2）點就在直線3x+4y-11=0上。
13、在直角坐標系中，方程所表示的曲線為（　）
A．一條直線和一個圓 　B．一條線段和一個圓
C．一條直線和半個圓 　　D．一條線段和半個圓
正確答案：D　　　　　　錯因：忽視定義取值。
14、設和為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上且滿足，則
的面積是（ ）。
A.1　　　　B.　　　　C.　2　　　　D.
正解：A　　
①
又 ②
聯(lián)立①②解得　　　　　
誤解：未將兩邊平方，再與②聯(lián)立，直接求出。
15、已知對稱軸為坐標軸的雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線上有一點M（），使，那雙曲線的交點（ ）。
A.在軸上　B.在軸上　C.當時在軸上　D.當時在軸上
正解：B。 由得，可設，此時的斜率大于漸近線的斜率，由圖像的性質，可知焦點在軸上。所以選B。
誤解：設雙曲線方程為，化簡得：，
代入，，，焦點在軸上。這個方法沒錯，但確定有誤，應，焦點在軸上。
誤解：選B，沒有分組。
16、與圓相切，且縱截距和橫截距相等的直線共有（ ）
A、2條 B、3條 C、4條 D、6條
答案：C
錯解：A
錯因：忽略過原點的圓C的兩條切線
17、若雙曲線的右支上一點P（a,b）直線y=x的距離為，則a+b 的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：B
錯解：C
錯因：沒有挖掘出隱含條件
18、雙曲線中，被點P（2，1）平分的弦所在的直線方程為（ ）
　　 A、 B、 C、 D、不存在
答案：D
錯解：A
錯因：沒有檢驗出與雙曲線無交點。
19、過函數(shù)y=-的圖象的對稱中心，且和拋物線y2=8x有且只有一個公共點的直線的條數(shù)共有（ ）
A、1條 B、2條 C、3條 D、不存在
正確答案：（B）
錯誤原因 ：解本題時極易忽視中心（2，4）在拋物線上，切線只有1條，又易忽視平行于拋物線對稱軸的直線和拋物線只有一個公共點。
20、雙曲線上的點P到點(5,0)的距離為8.5，則點P到點()的距離_______。
錯解 設雙曲線的兩個焦點分別為,,
由雙曲線定義知
所以或
剖析 由題意知，雙曲線左支上的點到左焦點的最短距離為1,
所以不合題意，事實上，在求解此類問題時，應靈活運用雙曲線定義，分析出點P的存在情況，然后再求解。如本題中，因左頂點到右焦點的距離為9>8.5，故點P只能在右支上，所求
21、一雙曲線與橢圓有共同焦點，并且與其中一個交點的縱坐標為4，則這個雙曲線的方程為_____。
正解：-，設雙曲線的方程為 （27）
又由題意知
故所求雙曲線方程為
誤解：不注意焦點在軸上，出現(xiàn)錯誤。
22、過雙曲線x2－的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，且，則這樣的直線有___________條。錯解：2
錯因：設代入橢圓的方程算出有兩條，當不存在，即直線AB軸時，｜AB｜＝4，忽視此種情況。正解：3
23、一動點到定直線x=3的距離是它到定點F（4，0）的距離的比是，則動點軌道方程為 。
答案：
錯解：由題意有動點的軌跡是雙曲線，又F（4，0），所以c=4，又準線x=3,
所以，故雙曲線方程為
錯因：沒有明確曲線的中心位置，而套用標準方程。
24、經過雙曲線的右焦點F2作傾斜角為的弦AB，則的周長為 。
答案：設其中
，
所以，將弦AB的方程代入雙曲線方程，
整理得，
可求得，故答案為
錯解：10
錯因：作圖錯誤，沒有考慮傾斜角為的直線與漸近線的關系，而誤將直線作成與右支有兩交點。
25、如果不論實數(shù)b 取何值，直線與雙曲線總有公共點，那么k的取值范圍為 。
答案：
錯解：
錯因：沒考慮b=0時，直線不能與漸近線平行。
26、雙曲線上有一點P到左準線的距離為,則P到右焦點的距離為 。
錯解：設F1、F2分別為由雙曲線的左、右焦點，則由雙曲線的方程為，易求得a=3,c=5,從而離心率e＝,再由第二定義，易求|PF1|=ed1＝，于是又由第一定義，得|PF2|=。
剖析：以上出現(xiàn)兩解的原因是考慮到P可能在不同的兩支上。
而事實上P若在右支上，則其到F1的最短距離應為右頂點A2到F1的距離| A2 F1|＝a+c＝8，而，故點P只能在左支，于是|PF2|=。
小結：一般地，若|PF1| ≥ a+c,則P可能在兩支上，
若|PF1| < a+c,則P只能在一支上。
27、已知雙曲線的一條準線方程為x=2,其相應的焦點為(8,0)，離心率為，求雙曲線的方程。
錯解：由,于是可求得雙曲線的方程為
。
點評：看起來問題已經解決，然而離心率這個條件似乎多余，而根據(jù)求得的方程又得不到離心率為。錯誤是顯然的，那么問題在哪里呢？其實問題就在于此方程并不是標準方程，而我們把它當作了標準方程。正確的做法是利用雙曲線的第二定義來求出方程（下略）。由此看來，判斷準方程的類型是個關鍵。
28、過點(0,1)作直線，使它與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有
A.1條 B.2條 C. 3條 D. 0條
錯解：設直線的方程為，聯(lián)立，得，
即：，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.
剖析：本題的解法有兩個問題，一是將斜率不存在的情況考慮漏掉了，另外又將斜率k=0的情形丟掉了，故本題應有三解，即直線有三條。
小結：直線與拋物線只有一解時，并不一定相切，當直線與拋物線的對稱軸平行時，也只有一解。
29、已知曲線C：與直線L：僅有一個公共點，求m的范圍。
錯解：曲線C：可化為（1），聯(lián)立，得：
，由Δ＝0,得。
分析：方程（1）與原方程并不等價，應加上。
故原方程的對應曲線應為橢圓的上半部分。（如圖），結合圖形易求得m的范圍為。
解題回顧：在將方程變形時應時時注意范圍的變化，這樣才不會出錯。
30、設雙曲線的漸近線為：，求其離心率。
錯解：由雙曲線的漸近線為：，可得：，從而
剖析：由雙曲線的漸近線為是不能確定焦點的位置在x軸上的，當焦點的位置在y軸上時，，故本題應有兩解，即：或。
31、已知雙曲線，過P(1,1)能否作一條直線L與雙曲線交于A、B兩點，且P為AB中點。
錯解：（1）過點P且與x軸垂直的直線顯然不符合要求。
（2）設過P的直線方程為，代入并整理得：
∴，又∵ ∴
解之得：k=2，故直線方程為：y=2x-1,即直線是存在的。
剖析：本題的問題在于沒有考慮隱含條件“Δ>0”，當k=2時代入方程可知Δ<0，故這樣的直線不存在。
解題反思：使用一元二次方程的根與系數(shù)的關系必需要注意檢驗根的判別式是否成立。
32、直線L：與圓O：相交于A、B兩點，當k變動時，弦AB的中點M的軌跡方程。
錯解：易知直線恒過定點P（5,0），再由，得：
∴，整理得：
剖析：求動點軌跡時應注意它的完備性與純粹性。本題中注意到點M應在圓內，故易求得軌跡為圓內的部分，此時。
33、設點P(x,y)在橢圓上，求的最大、最小值。
錯解：因 ∴，得：，同理得：，
故 ∴最大、最小值分別為3,-3.
剖析：本題中x、y除了分別滿足以上條件外，還受制約條件的約束。當x=1時,y此時取不到最大值2,故x+y的最大值不為3。其實本題只需令，則，故其最大值為，最小值為。
PAGE正弦定理、余弦定理及其應用
考試要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形．
正、余弦定理的五大命題熱點
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類型的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、角關系轉化為角的關系或邊的關系。在近年高考中主要有以下五大命題熱點：
一、求解斜三角形中的基本元素
是指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個元素問題，進而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長等基本問題．
例1 中，，BC＝3，則的周長為（ ）
A． 　　　　　 B．
C． 　　　　　　 D．
分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出b＋c，則周長為3＋b＋c而得到結果．
解：由正弦定理得：，
得b＋c＝[sinB＋sin(－B)]＝．故三角形的周長為：3＋b＋c＝，故選(D)．
評注：由于本題是選擇題也可取△ABC為直角三角形時，即B＝，周長應為3＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而選(D)．
例2(2005年全國高考湖北卷) 在ΔABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA的值．
分析：本題關鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．
解：設E為BC的中點，連接DE，則DE//AB，且，設BE＝x
在ΔBDE中利用余弦定理可得：，
，解得，（舍去）
故BC=2，從而，即又，
故，
二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關系式，判斷此三角形的形狀．
例3 在中，已知，那么一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故選(B)．
解法2：由題意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．
∴ ＝，即a2＝b2，得a＝b，故選(B)．
評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：⑴統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，⑵統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)．
三、 解決與面積有關問題
主要是利用正、余弦定理，并結合三角形的面積公式來解題．
例4 在中，若，，，
則的面積S＝_________
分析：本題只需由余弦定理，求出邊AC，再運用面積公式S＝AB ACsinA即可解決．
解：由余弦定理，得cosA＝，解得AC＝3．
∴ S＝AB ACsinA＝．∴ AB AC sinA＝AC h，得h＝AB sinA＝，故選(A)．
四、求值問題
例5 在中，所對的邊長分別為，
設滿足條件和，求和的值．
分析：本題給出一些條件式的求值問題，關鍵還是運用正、余弦定理．
解：由余弦定理，因此，
在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知條件，應用正弦定理
解得從而
五、正余弦定理解三角形的實際應用
利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下：
（一.）測量問題
例1 如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點，望對岸標記物C，測得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。
分析：求河的寬度，就是求△ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、∠CAB、∠CBA，這個三角形可確定。
解析：由正弦定理得，∴AC=AB=120m，又∵，解得CD=60m。
點評：雖然此題計算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”。
（二.）遇險問題
例2某艦艇測得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以30海里/小時的速度向正東前進，30分鐘后又測得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周圍10海里內有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險？
解析：如圖艦艇在A點處觀測到燈塔S在東15°北的方向上；艦艇航行半小時后到達B點，測得S在東30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，過點S作SC⊥直線AB，垂足為C，則SC=15sin30°=7.5。
這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險。
點評：有關斜三角形的實際問題，其解題的一般步驟是：（1）準確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應用題中的有關名詞和術語；（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出；（3）分析與所研究問題有關的一個或幾個三角形，通過合理運用正弦定理和余弦定理求解。
（三.）追擊問題
例3 如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°　
方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南　　
偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航
行，應沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？
解析：設用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。
在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，
設∠ABC=α，∠BAC=β。
∴α=180°－45°－15°=120°。根據(jù)余弦定理，
，，（4t－3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）
∴AC=28×=21 n mile，BC=20×=15 n mile。
根據(jù)正弦定理，得，又∵α=120°，∴β為銳角，β=arcsin，又＜＜，∴arcsin＜，
∴甲船沿南偏東－arcsin的方向用h可以追上乙船。
點評：航海問題常涉及到解三角形的知識，本題中的 ∠ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時間t有關。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關于t的一元二次方程，解出t的值。
五、交匯問題
是指正余弦定理與其它知識的交匯，如與不等式、數(shù)列、立體幾何(特別是求角與距離)、解析幾何、實際問題等知識交匯．
例6　△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，
（Ⅰ）求cotA+cotC的值； （Ⅱ）設，求a＋c的值.
分析：本題是正、余弦定理與向量、等比數(shù)列等知識的交匯，關鍵是用好正弦定理、余弦定理等．
解：（Ⅰ）由
由b2=ac及正弦定理得
則
（Ⅱ）由，得ca cosB＝，由ㄋB＝，可得ac＝2，即b2＝2．
由余弦定理b2=a2+c2－2ac+cosB，
得a2+c2=b2+2ac·cosB=5.
易錯題解析
例題1　在不等邊△ABC中，a為最大邊，如果，求A的取值范圍。
錯解：∵。則
，由于cosA在（0°，180°）上為減函數(shù)
且
又∵A為△ABC的內角，∴0°＜A＜90°。
辨析：錯因是審題不細，已知條件弱用。題設是為最大邊，而錯解中只把a看做是三角形的普通一條邊，造成解題錯誤。
正解：由上面的解法，可得A＜90°。
又∵a為最大邊，∴A＞60°。因此得A的取值范圍是（60°，90°）。
例題2　在△ABC中，若，試判斷△ABC的形狀。
錯解：由正弦定理，得
即
。
∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。
辨析：由，得2A＝2B。這是三角變換中常見的錯誤，原因是不熟悉三角函數(shù)的性質，三角變換生疏。
正解：同上得，∴2A＝
或。
∵或。
故△ABC為等腰三角形或直角三角形。
例題3　在△ABC中，A＝60°，b＝1，，求的值。
錯解：∵A＝60°，b＝1，，又，
∴，解得c＝4。
由余弦定理，得
又由正弦定理，得。
∴。
辨析：如此復雜的算式，計算困難。其原因是公式不熟、方法不當造成的。
正解：由已知可得。由正弦定理，得
。。
例題4　在△ABC中，，C＝30°，求a＋b的最大值。
錯解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。
由正弦定理，得
，
又∵
∴。
故的最大值為。
辨析：錯因是未弄清A與150°－A之間的關系。這里A與150°－A是相互制約的，不是相互獨立的兩個量，sinA與sin(150°－A)不能同時取最大值1，因此所得的結果也是錯誤的。
正解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。
由正弦定理，得
因此
∴a＋b的最大值為。
例題5　在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求A。
錯解：由余弦定理，得
∴。
又由正弦定理，得
而。
辨析：由題意，∴。因此A＝150°是不可能的。錯因是沒有認真審題，未利用隱含條件。在解題時，要善于應用題中的條件，特別是隱含條件，全面細致地分析問題，避免錯誤發(fā)生。
正解：同上，
。
例題6　在△ABC中，，判斷△ABC的形狀。
錯解：在△ABC中，∵，由正弦定理
得
∴
∴A＝B且A＋B＝90°
故△ABC為等腰直角三角形。
辨析：對三角公式不熟，不理解邏輯連結詞“或”、“且”的意義，導致結論錯誤。
正解：在△ABC中，∵，由正弦定理，
得。
∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°。
故△ABC為等腰三角形或直角三角形。
例題7　若a，b，c是三角形的三邊長，證明長為的三條線段能構成銳角三角形。
錯解：不妨設，只要考慮最大邊的對角θ為銳角即可。
。
由于a，b，c是三角形的三邊長，根據(jù)三角形三邊關系，有，即。
∴長為的三條線段能構成銳角三角形。
辨析：三條線段構成銳角三角形，要滿足兩個條件：①三條邊滿足三角形邊長關系；②最長線段的對角是銳角。顯然錯解只驗證了第二個條件，而缺少第一個條件。
正解：由錯解可得
又∵
即長為的三條線段能構成銳角三角形。
高考試題展示
1、（06湖北卷）若的內角滿足，則
A. B． C． D．
解：由sin2A＝2sinAcosA0，可知A這銳角，所以sinA＋cosA0，
又，故選A
2、（06安徽卷）如果的三個內角的余弦值分別等于的三個內角的正弦值，則
A．和都是銳角三角形
B．和都是鈍角三角形
C．是鈍角三角形，是銳角三角形
D．是銳角三角形，是鈍角三角形
解：的三個內角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，若是銳角三角形，由，得，那么，，所以是鈍角三角形。故選D。
3、（06遼寧卷）的三內角所對邊的長分別為設向量
,,若,則角的大小為
(A) (B) (C) (D)
【解析】，利用余弦定理可得，即，故選擇答案B。
【點評】本題考查了兩向量平行的坐標形式的重要條件及余弦定理和三角函數(shù)，同時著重考查了同學們的運算能力。
4、（06遼寧卷）已知等腰的腰為底的2倍，則頂角的正切值是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：依題意，結合圖形可得，故，選D
5、（06全國卷I）的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則
A． B． C． D．
解：中，a、b、c成等比數(shù)列，且，則b=a，
=，選B.
6、06山東卷）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,A=,a=,b=1，則c=
1 （B）2 （C）—1 （D）
解：由正弦定理得sinB＝，又ab，所以AB，故B＝30，所以C＝90，故c＝2，選B
7、（06四川卷）設分別是的三個內角所對的邊，則是的
（A）充要條件 （B）充分而不必要條件
（C）必要而充分條件 （D）既不充分又不必要條件
解析：設分別是的三個內角所對的邊，若，
則，則，
∴ ，，
又，∴ ，∴ ，，
若△ABC中，，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到，
所以是的充要條件，選A.
8、（06北京卷）在中，若，則的大小是___________.
解： abc＝578設a＝5k，b＝7k，c＝8k，
由余弦定理可解得的大小為.
9、（06湖北卷）在ABC中，已知，b＝4，A＝30°，則sinB＝ .
解：由正弦定理易得結論sinB＝。
10、（06江蘇卷）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，則AC＝　　　　
【思路點撥】本題主要考查解三角形的基本知識
【正確解答】由正弦定理得，解得
【解后反思】解三角形：已知兩角及任一邊運用正弦定理，已知兩邊及其夾角運用余弦定理
11、（06全國II）已知△ABC的三個內角A、B、C成等差數(shù)列，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為 ．
解析: 由的三個內角A、B、C成等差數(shù)列可得A+C=2B而A+B+C=可得
AD為邊BC上的中線可知BD=2,由余弦定理定理可得。
本題主要考察等差中項和余弦定理,涉及三角形的內角和定理,難度中等。
12、（06上海春）在△中，已知，三角形面積為12，
則 .
解：由三角形面積公式，得，即．
于是從而應填．
13、（06湖南卷）如圖3,D是直角△ABC斜邊BC上一點,AB=AD,記∠CAD=,∠ABC=.
（1）證明 ;
（2）若AC=DC,求的值.
解：(1)．如圖3，，
　　即．
（2）．在中，由正弦定理得
　　　　由(1)得，
　　　　即．
　　　　
14、（06江西卷）在銳角中，角所對的邊分別為，
已知，
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
解：（1）因為銳角△ABC中，A＋B＋C＝，，所以cosA＝，則
（2），則bc＝3。
將a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中得
解得b＝
15、（06江西卷）如圖，已知△ABC是邊長為1的正三角形，
M、N分別是邊AB、AC上的點，線段MN經過△ABC的中心G，
設MGA＝（）
試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S1與S2）表示為的函數(shù)
（2）求y＝的最大值與最小值
解：（1）因為G是邊長為1的正三角形ABC的中心，
所以 AG＝，MAG＝，
由正弦定理得
則S1＝GMGAsin＝，同理可求得S2＝
y＝＝＝72（3＋cot2），
因為，所以當＝或＝時，y取得最大值ymax＝240
當＝時，y取得最小值ymin＝216
16、（06全國卷I）的三個內角為，求當A為何值時，　取得最大值，并求出這個最大值。
.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin =－2(sin － )2+
當sin = , 即A=時, cosA+2cos取得最大值為
17、（06全國II）在,求
（1）
(2)若點
解：（1）由
　由正弦定理知
（2），
由余弦定理知
18、（06四川卷）已知是三角形三內角，
向量，且
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求
解：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應用、分析和計算能力。
（Ⅰ）∵ ∴ 即
,
∵ ∴ ∴
（Ⅱ）由題知，整理得
∴ ∴
∴或
而使，舍去 ∴
∴
19、（06天津卷）如圖，在中，，，．
（1）求的值；
（2）求的值.
本小題考查同角三角函數(shù)關系、兩角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基礎知識，考察基本運算能力及分析解　　決問題的能力.滿分12分.
（Ⅰ）解： 由余弦定理，
那么，
（Ⅱ）解：由，且得
由正弦定理，解得。
所以，。由倍角公式，
且，
故.
20、（07重慶理5）在中，則BC =（ ）
A. B. C.2 D.
【答案】：A
【分析】：由正弦定理得：
21、（07北京文12理11）在中，若，，，則　
解析：在中，若，，∴ A 為銳角，，，則根據(jù)正弦定理=。．
22、（07湖南理12）在中，角所對的邊分別為，若，b=，
，則 ．
【答案】
【解析】由正弦定理得，所以
23、（07湖南文12） 在中，角A、B、C所對的邊分別為，
若，則A=　　　　　.
【解析】由正弦定理得，所以A=
24、（07重慶文13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，則AC＝ 。
【答案】：
【分析】：由余弦定理得：
24、（07北京文理13）2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會，會標
是我國以古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全
等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．如果
小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小
的銳角為，那么的值等于 ．
解析：圖中小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，∴ 每一個直角三角形的面積是6，設直角三角形的兩條直角邊長分別為a, b，則，
∴ 兩條直角邊的長分別為3，4，
設直角三角形中較小的銳角為，cosθ=，cos2θ=2cos2θ－1=。
25、（07福建理17）在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若最大邊的邊長為，求最小邊的邊長．
本小題主要考查兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關系等解斜三角形的基本知識以及推理和運算能力，滿分12分．
解：（Ⅰ），．
又，．
（Ⅱ），邊最大，即．
又，角最小，邊為最小邊．
由且，
得．由得：．
所以，最小邊．
26、（07廣東理16）已知頂點的直角坐標分別為，，．
（1）若，求的值；
（2）若是鈍角，求的取值范圍．
解析： （1），，若c=5， 則，
∴，∴sin∠A＝；
2）若∠A為鈍角，則解得，∴c的取值范圍是；
27、（07海南寧夏理17）如圖，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面內的兩個測點與．現(xiàn)測得，并在點測得塔頂?shù)难鼋菫椋笏撸?br/>解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在中，
．
28、（07湖北理16）已知的面積為，且滿足，設和的夾角為．
（I）求的取值范圍；（II）求函數(shù)的最大值與最小值．
本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質等基本知識，考查推理和運算能力．
解：（Ⅰ）設中角的對邊分別為，
則由，，可得，．
（Ⅱ）
．
，，．
即當時，；當時，．
29、（07全國卷1理17）設銳角三角形的內角的對邊分別為，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的取值范圍．
解：（Ⅰ）由，根據(jù)正弦定理得，所以，
由為銳角三角形得．
（Ⅱ）
．
由為銳角三角形知，，．
，所以．
由此有，
所以，的取值范圍為．
30、（07全國卷2理17）在中，已知內角，邊．設內角，周長為．
（1）求函數(shù)的解析式和定義域；
（2）求的最大值．
解：（1）的內角和，由得．
應用正弦定理，知，
．
因為，
所以，
（2）因為
，
所以，當，即時，取得最大值．
31、（07山東理20）如圖，甲船以每小時海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于處時，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，當甲船航行分鐘到達處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，問乙船每小時航行多少海里？
解法一：如圖，連結，由已知，
，
，
又，
是等邊三角形，
，
由已知，，，
在中，由余弦定理，
．
．
因此，乙船的速度的大小為（海里/小時）．
答：乙船每小時航行海里．
解法二：如圖，連結，
由已知，，，
，
．
在中，由余弦定理，
．
．
由正弦定理，
，即，．
在中，由已知，由余弦定理，
．
，
乙船的速度的大小為海里/小時．
答：乙船每小時航行海里．
32、（07山東文17）在中，角的對邊分別為．
（1）求；
（2）若，且，求．
解：（1）
又 解得．
，是銳角． ．
（2）， ， ．
又． ．
． ．
33、（07上海理17）在中，分別是三個內角的對邊．
若，，求的面積．
解： 由題意，得為銳角，，
，
由正弦定理得 ， ．
34、（07天津文17）在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
本小題考查同角三角函數(shù)的基本關系式、兩角和公式、倍角公式、正弦定理等的知識，考查基本運算能力．滿分12分．
（Ⅰ）解：在中，，
由正弦定理，．所以．
（Ⅱ）解：因為，所以角為鈍角，從而角為銳角，于是
，
，
．
．
35、（07浙江理18）已知的周長為，且．
（I）求邊的長；
（II）若的面積為，求角的度數(shù)．
解：（I）由題意及正弦定理，得，，
兩式相減，得．
（II）由的面積，得，
由余弦定理，得，
所以．
36、（07天津文理15） 如圖，在中，是邊上一點，則.
【答案】
【分析】法一：由余弦定理得
可得，
又夾角大小為，，
所以.
法二：根據(jù)向量的加減法法則有:
,此時
.
圖1
A
B
C
D
西
北
南
東
A
B
C
30°
15°
圖2
圖3
A
B
C
北
45°
15°
B
D
C
α
β
A
圖3
北
甲
乙
北
乙
甲平面向量易錯題解析
1、你熟悉平面向量的運算（和、差、實數(shù)與向量的積、數(shù)量積）、運算性質和運算的幾何意義嗎？
2、你通常是如何處理有關向量的模（長度）的問題？
（利用；）
3、你知道解決向量問題有哪兩種途徑？
（①向量運算；②向量的坐標運算）
4、你弄清“”與“”了嗎？
[問題]：兩個向量的數(shù)量積與兩個實數(shù)的乘積有什么區(qū)別？
在實數(shù)中：若，且ab=0,則b=0,但在向量的數(shù)量積中，若，且，不能推出.
已知實數(shù)，且，則a=c,但在向量的數(shù)量積中沒有.
在實數(shù)中有，但是在向量的數(shù)量積中，這是因為左邊是與共線的向量，而右邊是與共線的向量.
5、向量的平移公式、函數(shù)圖象的平移公式你掌握了嗎？
6、正弦定理、余弦定理及三角形面積公式你掌握了嗎？三角形內的求值、化簡和證明恒等式有什么特點？
1、向量有關概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；
（3）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；
（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；
（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！（因為有)；④三點共線共線；
（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。
如下列命題：（1）若，則。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______（答：（4）（5））
2、向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；（2）符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，，等；（3）坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，＝叫做向量的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。
3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)、，使a=e1＋e2。如（1）若
，則______（答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_____（答：）；（4）已知中，點在邊上，且，，則的值是___（答：0）
4、實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當>0時，的方向與的方向相同，當<0時，的方向與的方向相反，當＝0時，，注意：≠0。
5、平面向量的數(shù)量積：
（1）兩個向量的夾角：對于非零向量，，作，
稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直。
（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內積或點積），記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。如（1）△ABC中，，，，則_________（答：－9）；（2）已知，與的夾角為，則等于____（答：1）；（3）已知，則等于____（答：）；（4）已知是兩個非零向量，且，則的夾角為____（答：）
（3）在上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。如已知，，且，則向量在向量上的投影為______（答：）
（4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。
（5）向量數(shù)量積的性質：設兩個非零向量，，其夾角為，則：
①；
②當，同向時，＝，特別地，；當與反向時，＝－；當為銳角時，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；
③非零向量，夾角的計算公式：；④。如（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）；（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_________（答：）；（3）已知與之間有關系式，①用表示；②求的最小值，并求此時與的夾角的大小（答：①；②最小值為，）
6、向量的運算：
（1）幾何運算：
①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設，那么向量叫做與的和，即；
②向量的減法：用“三角形法則”：設，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。如（1）化簡：①___；②____；③_____（答：①；②；③）；（2）若正方形的邊長為1，，則＝_____（答：）；（3）若O是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為____（答：直角三角形）；（4）若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為___（答：2）；（5）若點是的外心，且，則的內角為____（答：）；
（2）坐標運算：設，則：
①向量的加減法運算：，。如（1）已知點，，若，則當＝____時，點P在第一、三象限的角平分線上（答：）；（2）已知，，則 （答：或）；（3）已知作用在點的三個力，則合力的終點坐標是 （答：（9,1））
②實數(shù)與向量的積：。
③若，則，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。如設，且，，則C、D的坐標分別是__________（答：）；
④平面向量數(shù)量積：。如已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夾角；（2）若x∈，函數(shù)的最大值為，求的值（答：或）；
⑤向量的模：。如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____（答：）；
⑥兩點間的距離：若，則。如如圖，在平面斜坐標系中，，平面上任一點P關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點斜坐標為。（1）若點P的斜坐標為（2，－2），求P到O的距離｜PO｜；（2）求以O為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系中的方程。（答：（1）2；（2））；
7、向量的運算律：（1）交換律：，，；(2)結合律：，；（3）分配律：，。如下列命題中：① ；② ；③
；④ 若，則或；⑤若則；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的是______（答：①⑥⑨）
提醒：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結合律，即，為什么？
8、向量平行(共線)的充要條件：＝0。如(1)若向量，當＝_____時與共線且方向相同（答：2）；（2）已知，，，且，則x＝______（答：4）；（3）設，則k＝_____時，A,B,C共線（答：－2或11）
9、向量垂直的充要條件： .特別地。如(1)已知，若，則 （答：）；（2）以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，，則點B的坐標是________ （答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知向量，且，則的坐標是________ （答：）
10.線段的定比分點：
（1）定比分點的概念：設點P是直線PP上異于P、P的任意一點，若存在一個實數(shù) ，使，則叫做點P分有向線段所成的比，P點叫做有向線段的以定比為的定比分點；
（2）的符號與分點P的位置之間的關系：當P點在線段 PP上時>0；當P點在線段 PP的延長線上時<－1；當P點在線段PP的延長線上時；若點P分有向線段所成的比為，則點P分有向線段所成的比為。如若點分所成的比為，則分所成的比為_______（答：）
（3）線段的定比分點公式：設、，分有向線段所成的比為，則，特別地，當＝1時，就得到線段PP的中點公式。在使用定比分點的坐標公式時，應明確，、的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時應根據(jù)題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，則點P的坐標為_______（答：）；（2）已知，直線與線段交于，且，則等于_______（答：２或－４）
11.平移公式：如果點按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線.注意：（1）函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標不變性，可別忘了啊！如（1）按向量把平移到，則按向量把點平移到點______（答：（－８，３））；（2）函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則＝________（答：）
12、向量中一些常用的結論：
（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；
（2），特別地，當同向或有
；當反向或有；當不共線(這些和實數(shù)比較類似).
（3）在中，①若，則其重心的坐標為。如若⊿ABC的三邊的中點分別為（2，1）、（-3，4）、　　　（-1，-1），則⊿ABC的重心的坐標為_______（答：）；
②為的重心，特別地為的重心；
③為的垂心；
④向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；
⑤的內心；
（3）若P分有向線段所成的比為，點為平面內的任一點，則，特別地為的中點；
（4）向量中三終點共線存在實數(shù)使得且.如平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點,,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_______（答：直線AB）
例題1　已知向量,且求
(1) 及;
(2)若的最小值是,求實數(shù)的值.
錯誤分析:(1)求出=后,而不知進一步化為,人為增加難度;
(2)化為關于的二次函數(shù)在的最值問題,不知對對稱軸方程討論.
答案: (1)易求, = ;
(2) ==
=
從而:當時,與題意矛盾, 不合題意;
當時, ;
當時,解得,不滿足;
綜合可得: 實數(shù)的值為.
例題2　在中,已知,且的一個內角為直角,求實數(shù)的值.
錯誤分析:是自以為是,憑直覺認為某個角度是直角,而忽視對諸情況的討論.
答案: (1)若即
故,從而解得;
(2)若即,也就是,而故,解得;
(3)若即,也就是而,故,解得
綜合上面討論可知,或或
例題4　已知向量m=(1,1)，向量與向量夾角為，且·=-1，
(1)求向量；
(2)若向量與向量=(1,0)的夾角為，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C為ABC的內角，且A、B、C依次成等差數(shù)列，試求+的取值范圍。
解：(1)設=(x,y)
則由<,>=得：cos<,>== ①
由·=-1得x+y=-1 ②
聯(lián)立①②兩式得或 ∴=(0,-1)或(-1,0)
(2) ∵<,>=得·=0
若=(1,0)則·=-10故(-1,0) ∴=(0,-1)
∵2B=A+C，A+B+C= B= ∴C=
+=(cosA,2cos2) =(cosA,cosC)
∴+===
=
= = =
∵0∴+()
例題5　已知函數(shù)f(x)=mx-1(mR且m0)設向量)，，，，當(0，)時，比較f()與f()的大小。
解：=2+cos2，=2sin2+1=2-cos2
f()=m1+cos2=2mcos2， f()=m1-cos2=2msin2
于是有f()-f()=2m(cos2-sin2)=2mcos2
∵(0,) ∴2(0, ) ∴cos2>0
∴當m>0時，2mcos2>0，即f()>f()
當m<0時，2mcos2<0，即f()例題6　已知A、B、C為ABC的內角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2
(1)當f(A、B)取最小值時，求C
(2)當A+B=時，將函數(shù)f(A、B)按向量平移后得到函數(shù)f(A)=2cos2A求
解：(1) f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1
=(sin2A-)2+(sin2B-)2+1
當sin2A=,sin2B=時取得最小值，
∴A=30或60，2B=60或120 C=180-B-A=120或90
(2) f(A、B)=sin22A+cos22()-
=
=
=
例題7　已知向量（m為常數(shù)），且,不共線，若向量,的夾角落< , >為銳角，求實數(shù)x的取值范圍.
解：要滿足<>為銳角 只須>0且（）
= = =
即 x (mx-1) >0
1°當 m > 0時x<0 或
2°m<0時，x ( -mx+1) <0 ，
3°m=0時 只要x<0
綜上所述：x > 0時，
x = 0時，
x < 0時，
例題8　已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a與b之間有關系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0，
（1）用k表示a·b;
（2）求a·b的最小值，并求此時a·b的夾角的大小。
解 （1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用兩邊平方，得
|ka+b|2=(|a－kb|)2
k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)　∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2
a·b =
∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，∴a2=1, b2=1,
∴a·b ==
（2）∵k2+1≥2k，即≥=，∴a·b的最小值為，
又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1　　∴=1×1×cos。
∴=60°,此時a與b的夾角為60°。
錯誤原因：向量運算不夠熟練。實際上與代數(shù)運算相同，有時可以在含有向量的式子左右兩邊平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·b。
例題9　已知向量，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，且，求的值．
解（Ⅰ）,
.
, ,
即 . .
（Ⅱ）
，
，
.
例題10　已知O為坐標原點，點E、F的坐標分別為（-1，0）、（1，0），動點A、M、N滿足（），，，．
（Ⅰ）求點M的軌跡W的方程；
（Ⅱ）點在軌跡W上，直線PF交軌跡W于點Q，且，若，求實數(shù)的范圍．
解：（Ⅰ）∵，，
∴ MN垂直平分AF．
又，∴ 點M在AE上，
∴ ，，
∴ ，
∴ 點M的軌跡W是以E、F為焦點的橢圓，且半長軸，半焦距，
∴ ．
∴ 點M的軌跡W的方程為（）．
（Ⅱ）設
∵ ，，
∴ ∴
由點P、Q均在橢圓W上，
∴ 消去并整理，得，
由及，解得．
基礎練習題
1、設平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若與的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
點評：易誤選C，錯因：忽視與反向的情況。
2、O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足
,則P的軌跡一定通過△ABC的( )
(A)外心 (B)內心 (C)重心 (D)垂心
正確答案：B。
錯誤原因：對理解不夠。不清楚
與∠BAC的角平分線有關。
3、若向量 =(cos,sin) ， =， 與不共線，則與一定滿足（ ）
A． 與的夾角等于- B．∥
C．(+)(-) D． ⊥
正確答案：C 錯因：學生不能把、的終點看成是上單位圓上的點，用四邊形法則來處理問題。
4、已知O、A、B三點的坐標分別為O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P線段AB上且 =t (0≤t≤1)則· 的最大值為 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
正確答案：C 錯因：學生不能借助數(shù)形結合直觀得到當OPcos最大時，· 即為最大。
5、在中,,則的值為 ( )
A 20 B C D
錯誤分析:錯誤認為,從而出錯.
答案: B
略解: 由題意可知,
故=.
6、已知向量 =(2cos，2sin)，()， =（0,-1)，則 與 的夾角為( )
A．- B．+ C．- D．
正確答案：A 錯因：學生忽略考慮與夾角的取值范圍在[0，]。
7、如果，那么 （ ）
A． B． C． D．在方向上的投影相等
正確答案：D。
錯誤原因：對向量數(shù)量積的性質理解不夠。
8、已知向量則向量的夾角范圍是（ ）
A、[π/12，5π/12] B、[0，π/4] C、[π/4，5π/12] D、 [5π/12，π/2]
正確答案：A
錯因：不注意數(shù)形結合在解題中的應用。
9、設=(x1，y1)，=(x2，y2)，則下列與共線的充要條件的有（ ）
① 存在一個實數(shù)λ，使=λ或=λ； ② |·|=|| ||；
③ ； ④ (+)//(－)
A、1個 B、2個 C、3個 D、4個
答案：C
點評：①②④正確，易錯選D。
10、以原點O及點A（5，2）為頂點作等腰直角三角形OAB，使，則的坐標為（ ）。
A、（2，-5） B、（-2，5）或（2，-5）
C、（-2，5） D、（7，-3）或（3，7）
正解：B
設，則由 ①
而又由得 ②
由①②聯(lián)立得。
誤解：公式記憶不清，或未考慮到聯(lián)立方程組解。
11、設向量，則是的（ ）條件。
A、充要 B、必要不充分
　C、充分不必要 D、既不充分也不必要
正解：C
若則，若，有可能或為0，故選C。
誤解：，此式是否成立，未考慮，選A。
12、在OAB中，，若，
則=（ ）
A、 B、 C、 D、
正解：D。
∵∴（LV為與的夾角）
∴∴∴
誤解：C。將面積公式記錯，誤記為
13、設平面向量，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是 （A）
A、 B、（2，+ C、（— D、（-
錯解：C
錯因：忽視使用時，其中包含了兩向量反向的情況
正解：A
14、設是任意的非零平面向量且互不共線，以下四個命題：
① ②
③ ④若不平行
其中正確命題的個數(shù)是
（ ）
A、1個 B、2個 C、3個 D、4個
正確答案：(B)
錯誤原因：本題所述問題不能全部搞清。
15、若向量=，=，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍是______________.
錯誤分析：只由的夾角為鈍角得到而忽視了不是夾角為鈍角的充要條件,因為的夾角為時也有從而擴大的范圍,導致錯誤.
正確解法: ，的夾角為鈍角,
解得或 (1)
又由共線且反向可得 (2)
由(1),(2)得的范圍是
答案: .
16、已知平面上三點A、B、C滿足的值等于 （ C ）
A．25 　　　　B．24 　　　　C．－25 　　　　D．－24
17、已知AB是拋物線的任一弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，l為準線.m是過點A且以向量為方向向量的直線.
（1）若過點A的拋物線的切線與y軸相交于點C，求證：|AF|=|CF|；
（2）若異于原點），直線OB與m相交于點P，求點P的軌跡方程；
（3）若AB過焦點F，分別過A，B的拋物線兩切線相交于點T，求證：且T在直線l上.
解：（1）設A（，因為導數(shù)，
則直線AC的方程：
由拋物線定義知，|AF|=+，又|CF|=－（－）=+，故|AF|=|CF|.
（2）設
由
得. ①
直線OB方程： ②
直線m的方程:， ③
由①②③得y=－p，故點P的軌跡方程為y=－p（x≠0）.
（3）設則
因為AB是焦點弦，設AB的方程為：
得
由（1）知直線AT方程：
同理直線BT方程：
所以直線AB方程：，
又因為AB過焦點，，故T在準線上.
18、如圖，已知直線l與半徑為1的⊙D相切于點C，動點P到直線l的距離為d，若
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若軌跡上的點P與同一平面上的點G、M分別滿足
，
求以P、G、D為項點的三角形的面積.
解：（Ⅰ）
∴點P的軌跡是D為焦點，l為相應準線的橢圓.
由
以CD所在直線為x軸，以CD與⊙D的另一個交點O為坐標原點建立直角坐標系.
∴所求點P的軌跡方程為
（Ⅱ）G為橢圓的左焦點.
又
由題意，（否則P、G、M、D四點共線與已經矛盾）
又∵點P在橢圓上，
又
19、已知O是△ABC所在平面內的一定點，動點P滿足
,，則動點P的軌跡一定通過△ABC的 （D）
A．內心 B．垂心 C．外心 D．重心
20、已知向量是兩個不共線的非零向量, 向量滿足.則向量用向量一定可以表示為 （C）
A. 且.
B.
C.
D. , 或
PAGE集合與函數(shù)、導數(shù)部分易錯題分析
1．進行集合的交、并、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘記了借助數(shù)軸和文氏圖進行求解.
2．你會用補集的思想解決有關問題嗎？
3．求不等式（方程）的解集，或求定義域（值域）時，你按要求寫成集合的形式了嗎？
[問題]:、 、 的區(qū)別是什么？
4．絕對值不等式的解法及其幾何意義是什么？
5．解一元一次不等式（組）的基本步驟是什么？
[問題]:如何解不等式：？
6．三個二次（哪三個二次？）的關系及應用掌握了嗎？如何利用二次函數(shù)求最值？注意到對二次項系數(shù)及對稱軸進行討論了嗎？
7．簡單命題與復合命題有什么區(qū)別？四種命題之間的相互關系是什么？如何判斷充分與必要條件？
[問題]：請舉例說明“否命題”與“命題的否定形式”的區(qū)別.
什么是映射、什么是一一映射？
[問題]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 個A到B上的映射，那么可以作 個A到B上的一一映射.
9．函數(shù)的表示方法有哪一些？如何判斷函數(shù)的單調性、周期性、奇偶性？單調性、周期性、奇偶性在函數(shù)的圖象上如何反應？什么樣的函數(shù)有反函數(shù)？如何求反函數(shù)？互為反函數(shù)的圖象間有什么關系？求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，你注明函數(shù)的定義域了嗎？
[問題]：已知函數(shù)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間.（你處理函數(shù)問題是是否將定義域放在首位）
[問題]：已知函數(shù)圖象與的圖象關于直線.
10、如何正確表示分數(shù)指數(shù)冪？指數(shù)、對數(shù)的運算性質是什么？
11、你熟練地掌握了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質嗎
[問題]：已知函數(shù)上，恒有，則實數(shù)取值范圍是： 。
12．你熟練地掌握了函數(shù)單調性的證明方法嗎？（定義法、導數(shù)法）
13．如何應用函數(shù)的單調性與奇偶性解題 ①比較函數(shù)值的大小；②解抽象函數(shù)不等式；③求參數(shù)的范圍（恒成立問題）.這幾種基本應用你掌握了嗎？
[問題]：寫出函數(shù)的圖象及單調區(qū)間.時,求函數(shù)的最值.這種求函數(shù)的最值的方法與利用均值不等式求函數(shù)的最值的聯(lián)系是什么？
[問題]：證明“函數(shù)的圖象關于直線對稱”與證明“函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱”有什么不同嗎？
例題講解
1、忽略的存在：
例題1、已知A={x|}，B={x|}，若AB，求實數(shù)m的取值范圍．
【錯解】AB，解得：
【分析】忽略A=的情況.
【正解】（1）A≠時，AB，解得：；
（2）A= 時，，得.
綜上所述，m的取值范圍是（,
2、分不清四種集合：、、、的區(qū)別.
例題2、已知函數(shù)，，那么集合中元素的個數(shù)為…………………………………………………………………………（ ）
（A） 1 （B）0 （C）1或0 （D） 1或2
【錯解】：不知題意，無從下手,蒙出答案D.
【分析】：集合的代表元，決定集合的意義，這是集合語言的特征.事實上，、、、分別表示函數(shù)定義域，值域，圖象上的點的坐標，和不等式的解集.
【正解】：本題中集合的含義是兩個圖象的交點的個數(shù).從函數(shù)值的唯一性可知，兩個集合的交中至多有一個交點.即本題選C.
3、搞不清楚是否能取得邊界值：
例題3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m或x>1＋m}且BA，求m的范圍.
【錯解】因為BA，所以：.
【分析】兩個不等式中是否有等號，常常搞不清楚.
【正解】因為BA，所以：.
4、不理解有關邏輯語言：
例題4、“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題，則以下四個命題：⑴M的元素都不是P的元素；⑵M中有不屬于P元素；⑶M中有P的元素；⑷M的元素不都是P的元素，其中真命題的個數(shù)有……………………………………………………………（ ）
（A）1個 （B）2個 （C）3個 　 （D）4個
【錯解】常見錯誤是認為第（４）個命題不對.
【分析】實際上，由“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題知非空集合M不是集合P的子集，故“M的元素不都是P的元素”（M的元素有的是、有的不是集合P的元素，或M的元素都不是P的元素）是正確的.
【正解】正確答案是B（2、4兩個命題正確）.
5、解集錯誤地寫成不等式或不注意用字母表示的兩個數(shù)的大小：
例題5、若a<0, 則關于x的不等式的解集是 .
【錯解】x<－a或x >5 a
【分析】把解集寫成了不等式的形式；沒搞清5 a和－a的大小.
【正解】{x|x<5 a或x >－a }
6、不能嚴謹?shù)卣莆粘湟獥l件的概念：
例題6、題甲“a，b，c成等比數(shù)列”，命題乙“”，那么甲是乙的………………（ ）
（A） 充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分又非必要條件
【錯解】選C
【分析】若a，b，c成等比數(shù)列，則；若，則有可能.
【正解】正確答案為：D
7、考慮充要條件時，忽略了前提條件：
例題7、△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的…………………………………（ ）條件
（A）充分不必要 （B）必要不充分 （C）充要 （D） 非充分非必要
【錯解】錯選A
【分析】實際上，由“A=B”能推出“sinA=sinB”；在△ABC中，由正弦定理及“sinA=sinB”，可知，從而有“A=B”成立.
【正解】正確答案為C.
8、不能正確地理解有關概念，導致推理錯誤：
例題8、已知直線m、n和平面、，其中m、n，則∥的一個充分不必要條件是：……………………………………………………………………………………（ ）
（A）⊥,⊥ （B） m∥, n∥
（C） ∥,∥ （D）內不共線的三點到的距離相等
【錯解】錯選A.
【分析】注意：尋找的是一個充分不必要條件.
學生往往錯誤地認為：∥某條件，且某條件不能推出∥.
而實際上，應該是：某條件∥，且∥不能推出某條件.
【正解】正確答案為C.
9、邏輯推理混亂：
例題9、使不等式成立的充分而不必要的條件是…………………（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【錯解】搞不清所要求的條件和不等式的關系.
【分析】所要求的“某條件”滿足：（1）“某條件”不等式成立；
（2）“某條件”不等式成立；
【正解】正確答案為：B
10、不會用“等價命題”推理：
例題10、設命題p：|4x－3|≤1，命題q：，若p是q的必要而不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是 .
【錯解】常見錯誤解答是：.
【分析】解答此題比較好的思路是：由p是q的必要而不充分條件得知p是q的充分而不必要條件，然后再解兩個不等式，求a的取值范圍.
【正解】正確答案是.
11、不注意數(shù)形結合，導致解題錯誤.
例題11、曲線與直線有兩個不同交點的充要條件是
【錯解】誤將半圓認為是圓.
【分析】利用“數(shù)形結合”易于找到正確的解題思路.
【正解】可得正確答案為：
二、函數(shù)部分
1、忽略函數(shù)具有奇偶性的必要條件是：定義域關于原點對稱.
例題1、函數(shù)的奇偶性為
【錯解】偶函數(shù).
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性不考慮函數(shù)的定義域是否關于原點對稱而導致錯誤.
【正解】實際上，此函數(shù)的定義域為[－1，1），正確答案為：非奇非偶函數(shù)
2、缺乏利用函數(shù)的圖象和性質解題的意識：
例題2、，若時，，則x1、x2滿足的條件是 ；
【錯解】不知如何下手，不會利用函數(shù)圖象及單調性、奇偶性等性質去解題.
【分析】可以判斷出f(x)是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù).
【正解】由f(x)在上的圖象可知答案為.
3、指、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為字母時，缺乏分類討論的意識：
例3、函數(shù)當時，則a的取值范圍是…（ ）
（A）（B） （C） （D）
【錯解】只想到一種情況，選D
【分析】指、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)是字母而沒分類討論.
【正解】正確答案為：C
4、不理解函數(shù)的定義：
例4、函數(shù)y=f(x)的圖象與一條直線x=a有交點個數(shù)是……………………………（ ）
（A）至少有一個 （B） 至多有一個 （C）必有一個 （D） 有一個或兩個
【錯解】選是A、C或D
【分析】不理解函數(shù)的定義（函數(shù)是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射，故定義域內的一個x值只能對應一個y值）.
【正解】正確答案為：B
變式、在同一坐標系內，函數(shù)的圖象關于…………………（ ）
（A） 原點對稱 （B）x軸對稱 （C）y軸對稱 （D） 直線y=x對稱
【錯解】沒有思路.
【分析】要知道兩函數(shù)的圖象關于y軸對稱.
【正解】的圖象由的圖象向左平移1個單位而得到，＝ 的圖象由的圖象向右平移一個單位而得到.故選C.
基礎練習題
1、已知函數(shù)，，那么集合中元素的個數(shù)為（ C ）
A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或2
2、已知函數(shù)的定義域為[0，1]，值域為[1，2]，則函數(shù)的定義域和值域分別是（ C ）
A. [0，1] ，[1，2] B. [2，3] ，[3，4] C. [-2，-1] ，[1，2] D. [-1，2] ，[3，4]
3、已知0＜＜1，＜-1，則函數(shù)的圖象必定不經過（ A ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4、將函數(shù)的圖象向左平移一個單位得到圖象，再將向上平移一個單位得圖象，作出關于直線對稱的圖象，則對應的函數(shù)的解析式為（ B ）
A. B.
C. D.
5、已知函數(shù)在其定義域上單調遞減，則函數(shù)的單調減區(qū)間是（ D　 ）
A. B. C. D.
6、函數(shù)在下面的哪個區(qū)間上是增函數(shù)（ B ）
A. B. C. D.
7、設，、，且＞，則下列結論必成立的是（ D ）
A. ＞ B. +＞0 C. ＜ D. ＞
8、方程和的根分別是、，則有（ A ）
A. ＜ B. ＞ C. = D. 無法確定與的大小
9、若、是關于的方程（）的兩個實根，則的最大值等于（ C ）
A. 6 B. C. 18 D. 19
10、若與在上都是減函數(shù)，對函數(shù)的單調性描述正確的是（ C ）
A. 在上是增函數(shù) B. 在上是增函數(shù)
C. 在上是減函數(shù) D. 在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)
11、已知奇函數(shù)在上單調遞減，且，則不等式＞0的解集是（ B ）
A. B. C. D.
12、不等式≤在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ C ）
A. B. C. D.
13、方程至少有一個負的實根的充要條件是（ C ）
A. 0<≤1 B. ＜1 C.≤1 D. 0<≤1或< 0
14、在同一坐標系中，函數(shù)與（>0且≠1）的圖象可能是C
（A） （B）
（C） （D）
15、函數(shù)是上的奇函數(shù)，滿足，當∈（0，3）時，則當∈（，）時， =（ B ）
A. B. C. D.
16、函數(shù)的圖象關于原點中心對稱，則B
A. 在上為增函數(shù)
B. 在上為減函數(shù)
C. 在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)
D. 在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)
17、且＜0，則的取值范圍是（ A ）
A. B. C. D.
18、二次函數(shù)滿足，又，，若在[0，]上有最大值3，最小值1，則的取值范圍是（ D ）
A. B. C. D. [2,4]
19、已知函數(shù)的圖象如圖所示，
則 （ B ）
A. B.
C. D. 0 1 2
20、設，，，則的面積可能是 （ A ）
A. 1 B. C. 4 D. 4
二、填空題：
21、函數(shù)（＞-4）的值域是____________________.
22、函數(shù)的值域是________________________.
23、函數(shù)的值域是_________________________.
24、若實數(shù)滿足，則=______10____.
25、設定義在區(qū)間上的函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)的值是_________2______________.
26、函數(shù)（<-1）的反函數(shù)是_______.
27、函數(shù)在（1，+）上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是____________________.
28、已知集合，集合，若，則實數(shù)的取值范圍是_______.
29、已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當＜0時， 是單調遞增的，則不等式＞的解集是____________.
30、已知對任意都有意義，則實數(shù)的取值范圍是______________
31、函數(shù)的定義域為，值域為，則實數(shù)的取值范圍是______________________.
32、函數(shù)的值域是______.
33、對于任意，函數(shù)表示，，中的較大者，則
的最小值是_________2___________________.
34、已知＞1，＞＞0，若方程的解是，則方程的解是____________________.
35、已知函數(shù)（≠0）在區(qū)間上的最大值為1，則實數(shù)
的值是____或________________.
36、對于任意實數(shù)、，定義運算*為：*=，其中、、為常數(shù)，等式右邊的運算是通常的加法和乘法運算，現(xiàn)已知1*2=3，2*3=4，并且有一個非零常數(shù)，使得對于任意實數(shù)，都有*=，則=____________4_____.
37、已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是_____或 ___________________.
38、若函數(shù)（>0且≠1）的值域為，則實數(shù)的取值范圍是___或_____________.
39、若曲線與有且只有一個公共點，為坐標原點，則
的取值范圍是________.
40、若定義在區(qū)間上的函數(shù)對上的任意個值，，…，，總滿足≤，則稱為上的凸函數(shù).已知函數(shù)在區(qū)間上是“凸函數(shù)”，則在△中，的最大值是____________________.
41、正實數(shù)x1，x2及函數(shù)，f (x)滿足，則的最小值為 （ B ）
A．4 B． C．2 D．
42、已知函數(shù)，則“b > 2a”是“f (－2) < 0”的（ A ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 　　　　　　　　D．既不充分也不必要條件
43、一次研究性課堂上，老師給出函數(shù)，三位同學甲、乙、丙在研究此函數(shù)時分別給出命題：
甲：函數(shù)f (x)的值域為（－1，1）；
乙：若x1≠x2，則一定有f (x1)≠f (x2)；
丙：若規(guī)定對任意恒成立.
你認為上述三個命題中正確的個數(shù)有（ D ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
44、已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是____
(答：))；
45、直角坐標系中橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點，如果函數(shù)f (x)的圖象恰好通過k個
格點，則稱函數(shù)f (x)為k階格點函數(shù).下列函數(shù)：①；②
③；④其中是一階格點函數(shù)的有 ①②④ .（填上
所有滿足題意的序號）
46、已知二次函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切.
（1）求f（x）的解析式
（2）若函數(shù)上是單調減函數(shù)，求k的取值范圍.
（1）∵f（x+1）為偶函數(shù)，∴
恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0　　　∴b=－2a
∴
∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，
∴二次方程有兩相等實數(shù)根，
∴，
（2）∵，
，故k的取值范圍為
47、已知三次函數(shù)在和時取極值，且．
(1) 求函數(shù)的表達式；
(2) 求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；
(3) 若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，試求、應滿足的條件．
解：(1) ，
由題意得，是的兩個根，
解得，．
再由可得．
∴．
(2) ，
當時，；當時，；
當時，；當時，；
當時，．
∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；
在區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間上是增函數(shù)．
函數(shù)的極大值是，極小值是．
(3) 函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個單位，向上平移4個單位得到的，
所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域為（）．
而，∴，即．
于是，函數(shù)在區(qū)間上的值域為．
令得或．
由的單調性知，，即．
綜上所述，、應滿足的條件是：，且．
48、定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，若是銳角三角形的兩個內角，則的大小關系為____ (答：)；
49、函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)有____個(答：2)
50、如若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對稱軸方程是__ (答：)．
51、已知函數(shù)過點作曲線的切線，求此切線的方程（答：或）。
52、已知函數(shù)在區(qū)間[－1,2 ]上是減函數(shù)，那么b＋c有最__值__答：大，）
53、函數(shù)處有極小值10，則a+b的值為____（答：－7）
54、設集合，，，則_____（答：）　
55、，如果，求的取值。（答：a≤0）
56、已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)，使，求實數(shù)的取值范圍。　（答：）
57、若函數(shù)的導函數(shù)為，則函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（C ）
（A） （B） （C） （D）
58、定義在R上的函數(shù)，它同時滿足具有下述性質：
①對任何
②對任何則 0 .
59、已知全集U=R，集合，則
A． B．
C．{（1，－2）} D．（ ）
60、若y＝3|x|(x∈[a，b])的值域為[1，9]，則a2＋b2－2a的取值范圍是（　　）
A．[2，4]　 B．[4，16]　　C．[2，2]　　D．[4，12]
61、若函數(shù)內為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍（A ）
A． B． C． D．
62、 (12分)設某物體一天中的溫度T是時間t的函數(shù)，，其中溫度的單位是，時間的單位是小時。t=0表示12:00, t取正值表示12:00點以后。若測得該物體在8:00的溫度為8,12:00的溫度為60,13:00的溫度為58,且已知該物體的溫度在8:00和16:00有相同的變化率。
（1）寫出該物體的溫度T關于時間t的函數(shù)關系式；
（2）該物體在10:00到14:00這段時間中（包括10:00,14:00）何時溫度最高？并求出最高溫度。
（1）依題意得
解得：a=1,b=0,c=－3,d=60 故T(t)=t3-3t+60
（2）=0,得：
比較T（－2）,T（－1）,T（1）,T（2）知，在10:0014:00這段時間中，該物體在11:00和14:00的溫度最高，且最高溫度為62.數(shù)列單元易錯題分析
1、如何判斷等差數(shù)列、等比數(shù)列？等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和求和公式如何推導？
2、解決等差（等比）數(shù)列計算問題通常的方法有哪兩種？
基本量方法：抓住及方程思想；
②利用等差（等比）數(shù)列性質）.
[問題]：在等差數(shù)列中，，其前，的最小值；
3、解決一些等比數(shù)列的前項和問題，你注意到要對公比及兩種情況進行討論了嗎？
4、在“已知，求”的問題中,你在利用公式時注意到了嗎？(時，應有)
5、解決遞推數(shù)列問題通常有哪兩種處理方法？（①猜證法；②轉化為等差（比）數(shù)列問題）
[問題]：已知:
6、你知道存在的條件嗎？（,你理解數(shù)列、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列的概念嗎？你知道無窮數(shù)列的前項和與所有項的和的不同嗎？什么樣的無窮等比數(shù)列的所有項的和必定存在？
7、數(shù)列的求和問題你能夠找到一些辦法嗎 (倒序相加法、錯位相減法、拆項裂項法)
*8數(shù)學歸納法證明問題的基本步驟是什么？你注意到“用數(shù)學歸納法證明中，必須用上歸納假設”嗎？
1、自然數(shù)有關的命題常用數(shù)學歸納法證明，其步驟是：（1）驗證命題對于第一個自然數(shù)n＝n0 (k≥n0)時成立；(2)假設n=k時成立，從而證明當n=k+1時命題也成立，（3）得出結論.
2、.(1)、（2）兩個步驟在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據(jù)，二者缺一不可。第二步證明時要一湊假設，二湊結論.
例題選講
1、不能正確地運用通項與前n項和之間的關系解題：
例1、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，求通項公式an：（1）Sn＝5n2＋3n；（2）Sn＝－2；
【錯解】由公式an=sn－sn－1得：（1）an=10n－2; （2）
【分析】應該先求出a1，再利用公式an=sn－sn－1求解.
【正解】（1）an=10n－2; （2）
2、忽視等比數(shù)列的前n項和公式的使用條件：
例2、求和：(a－1)＋(a2－2)＋(a3－3)＋…＋(an－n) .
【錯解】S=(a＋(a2＋a3＋…＋an) －(1＋2＋3＋…＋n)=.
【分析】利用等比數(shù)列前n項和公式時，要注意公比q的取值不能為1.
【正解】S=(a＋(a2＋a3＋…＋an) －(1＋2＋3＋…＋n)
當a=1時，S =；當時，S=
忽視公比的符號
例3、已知一個等比數(shù)列前四項之積為，第二、三項的和為，求這個等比數(shù)列的公比．
【錯解】四個數(shù)成等比數(shù)列，可設其分別為則有，解得或，故原數(shù)列的公比為或
【分析】按上述設法，等比數(shù)列的公比是，是正數(shù)，四項中各項一定同號，而原題中無此條件，所以增加了限制條件。
【正解】設四個數(shù)分別為則，
由時，可得
當時，可得
變式、等比數(shù)列中，若，，則的值
（A）是3或－3 （B） 是3 （C） 是－3 （D）不存在
【錯解】 是等比數(shù)列， ，，成等比，＝9，
選A
【分析】，，是中的奇數(shù)項，這三項要同號。錯解中忽視這一點。
【正解】C
(見手寫P13－25 13)
5、 (見手寫P14－25 14)
6、缺乏整體求解的意識
例6、一個只有有限項的等差數(shù)列，它的前5項的和為34，最后5項的和為146，所有項的和為234，求
【錯解】設該數(shù)列有項且首項為，末項為，公差為
則依題意有 ，三個方程，四個未知數(shù)，覺得無法求解。
【分析】 在數(shù)列問題中，方程思想是常見的思想，使用時，經常使用整體代換的思想。錯解中依題意只能列出3個方程，而方程所涉及的未知數(shù)有4個，沒有將作為一個整體，不能解決問題。事實上，本題求，而沒有要求其他的量，只要巧用等差中項的性質，，求出即可。知識的靈活應用，來源于對知識系統(tǒng)的深刻理解。
【正解】設該數(shù)列有項且首項為，末項為，公差為則依題意有
，可得 ，代入(3)有 ，
從而有， 又所求項恰為該數(shù)列的中間項，
例7　(1)設等比數(shù)列的全項和為.若，求數(shù)列的公比.
錯誤解法 ，
。
錯誤分析 在錯解中，由，
時，應有。
在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比q完全可能為1，因此，在解題時應先討論公比的情況，再在的情況下，對式子進行整理變形。
正確解法 若，則有但，
即得與題設矛盾，故.
又依題意
,即因為，所以所以解得
說明 此題為1996年全國高考文史類數(shù)學試題第（21）題，不少考生的解法同錯誤解法，根據(jù)評分標準而痛失2分。
例題7　已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.
(Ⅰ)若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數(shù)列，證明am，am＋2，am＋1成等差數(shù)列；
(Ⅱ)寫出(Ⅰ)的逆命題，判斷它的真?zhèn)危⒔o出證明.
證 (Ⅰ) ∵Sm＋1＝Sm＋am＋1，Sm＋2＝Sm＋am＋1＋am＋2．
由已知2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，∴ 2(Sm＋am＋1＋am＋2)＝Sm＋(Sm＋am＋1)，
∴am＋2＝－am＋1，即數(shù)列{an}的公比q＝－.
∴am＋1＝－am，am＋2＝am，∴2am＋2＝am＋am＋1，∴am，am＋2，am＋1成等差數(shù)列.
(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命題是：若am，am＋2，am＋1成等差數(shù)列，則Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數(shù)列.
設數(shù)列{an}的公比為q，∵am＋1＝amq，am＋2＝amq2．
由題設，2am＋2＝am＋am＋1，即2amq2＝am＋amq，即2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－.
當q＝1時，A≠0，∴Sm， Sm＋2， Sm＋1不成等差數(shù)列.逆命題為假.
例題8　已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=－13，
（Ⅰ）設的通項公式；
（Ⅱ）求n為何值時，最小（不需要求的最小值）
解：（I）
即數(shù)列{bn}的通項公式為
（Ⅱ）若an最小，則
注意n是正整數(shù)，解得8≤n≤9
∴當n=8或n=9時，an的值相等并最小
例題9　已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，且f '(1)=0．
　 （Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達式；
　 （Ⅱ)設數(shù)列{an}滿足條件：a1∈(1,2)，an+1=f (an)
求證：(a1－ a2)·(a3－1)+(a2－ a3)·(a4－1)+…+(an－ an+1)·(an+2－1)＜1
解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，所以
x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2
對一切實數(shù)x恒成立．得：a=－3，b+c=3，
對由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表達式為：f(x)= x3－3x2+3x．
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)
令bn=an－1，0∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0
(a1－a2)·(a3－1)+(a2－a3)·(a4－1)+…+(an－an+1)·(an+2－1)
=＜=b1-bn+1＜b1＜1。
例題10、平面直角坐標系中，已知、、，滿足向量與向量共線，且點都在斜率為6的同一條直線上．
（1）試用與n來表示；
（2）設，且12＜a≤15，求數(shù)列中的最小值的項．
解：（1）點都在斜率為6的同一條直線上，
，即，
于是數(shù)列是等差數(shù)列，故．
，，又與共線，
．
當n＝1時，上式也成立．
所以an．
（2）把代入上式，
得
12＜a≤15，，
當n=4時，取最小值， 最小值為a4=18－2a．
基礎練習題
1、已知a1 = 1，an = an－1 + 2n－1(n≥2)，則an = ________。2n－1(認清項數(shù))
2、已知 －9、a1、a2、－1 四個實數(shù)成等差數(shù)列，－9、b1、b2、b3、－1 五個實數(shù)成等比數(shù)列，
則 b2 (a2－a1) = A(符號)
(A) －8 (B) 8 (C) － (D)
3、已知 {an} 是等比數(shù)列，Sn是其前n項和，判斷Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比數(shù)列嗎？
當q = －1，k為偶數(shù)時，Sk = 0，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比數(shù)列；
當q≠－1或q = －1且k為奇數(shù)時，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比數(shù)列。
（忽視公比q = －1）
4、已知等差數(shù)列{an}的首項a1=120，d=－4，記Sn= a1＋a2＋…＋an，若Sn≤an（n＞1），則n最小值為……………………………………………………………（　　B　　）
　　(A)60 　　(B)62 　　　(C)63　　　　　 (D)70
5、在等比數(shù)列中,,前項和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于（C ）
(A) (B) (C) (D)
6、若數(shù)列中，，且對任意的正整數(shù)、都有，則
（A） （B） （C） （D） ( C)
7、已知數(shù)列的前項和為非零常數(shù)），則數(shù)列為（ ）
（A）等差數(shù)列 （B）等比數(shù)列
（C）既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列 （D）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列
8、設數(shù)列{an}是等比數(shù)列，，則a4與a10的等比中項為 （ ）
A． 　　　　B．　　　 C． 　　　　D．
9、設成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是____________.（答：）。
10、設成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是____________.（答：）。
11、等差數(shù)列的前項和為，公差. 若存在正整數(shù)，使得，則當（）時，有（填“>”、“<”、“=”）．
12、設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S12＞0，S13＜0，則 ，，…， 中最大的是 B
(A) (B) (C) (D)
13、已知數(shù)列為等差數(shù)列，則“”是“”的（A）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要的條件
易錯原因：不注意為常數(shù)列特殊情況.
14、“”是實數(shù)成等比數(shù)列的 （D）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要的條件
易錯原因：對等比數(shù)列的概念理解不全面.
15、等差數(shù)列中，若，則的值為 （B）
A. B. C. D.
易錯原因：找不到簡捷的解法，用聯(lián)立方程組求解時發(fā)生運算錯誤.
16、等差數(shù)列中，為其前項的和，則 （B）
A.都小于，都大于
B.都小于，都大于
C. 都小于，都大于
D. 都小于，都小于
易錯原因：已知條件不會靈活運用.
17、在等差數(shù)列中，若，則的值是 （C）
A. B. C. D.不能確定
易錯原因：找不到與的關系.
18、若為等比數(shù)列，，若公比為整數(shù)，則（C）
A. B. C. D.
易錯原因：①未考慮為整數(shù)；②運算發(fā)生錯誤.
19、數(shù)列中，，則為 （C）
A. B. C. D.
易錯原因：①對取特殊值排除有些選項的意識不強；②構造新數(shù)列有困難.
20、數(shù)列滿足，且，
則首項等于 （D）
A. B. C. D.
易錯原因：①不能熟練地運用比的性質；②對連等式如何變換缺少辦法.
1、數(shù)列的概念：數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應函數(shù)的解析式。如
（1）已知，則在數(shù)列的最大項為__（答：）；
（2）數(shù)列的通項為，其中均為正數(shù)，則與的大小關系為___（答：）；
（3）已知數(shù)列中，，且是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍（答：）；
（4）一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對任意，由關系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是 （）（答：A）
A B C D
2.等差數(shù)列的有關概念：
（1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法或。如
設是等差數(shù)列，求證：以bn= 為通項公式的數(shù)列為等差數(shù)列。
（2）等差數(shù)列的通項：或。如
（1）等差數(shù)列中，，，則通項　　　　（答：）；
（2）首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______（答：）
（3）等差數(shù)列的前和：，。如
（1）數(shù)列中，，，前n項和，則＝＿，＝＿（答：，）；
（2）已知數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的前項和（答：）.
（4）等差中項：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項，且。
提醒：（1）等差數(shù)列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。
（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設為…，
…（公差為）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設為…，,…（公差為2）
3.等差數(shù)列的性質：
（1）當公差時，等差數(shù)列的通項公式是關于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.
（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。
（3）當時,則有，特別地，當時，則有.如（1）等差數(shù)列中，，則＝____（答：27）；
（2）在等差數(shù)列中，，且，是其前項和，則A、都小于0，都大于0　　B、都小于0，都大于0　　C、都小于0，都大于0　　D、都小于0，都大于0　（答：B）
(4) 若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、、 ，…也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. 如等差數(shù)列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為 。（答：225）
（5）在等差數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，，（這里即）；。如
（1）在等差數(shù)列中，S11＝22，則＝______（答：2）；
（2）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項和為80，偶數(shù)項和為75，求此數(shù)列的中間項與項數(shù)（答：5；31）.
（6）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則
.如設與{}是兩個等差數(shù)列，它們的前項和分別為和，若，那么___________（答：）
(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項是關于的二次函數(shù)，故可轉化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？如
（1）等差數(shù)列中，，，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。（答：前13項和最大，最大值為169）；
（2）若是等差數(shù)列，首項，
，則使前n項和成立的最大正整數(shù)n是 （答：4006）
(8)如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究.
4.等比數(shù)列的有關概念：
（1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或
。如
（1）一個等比數(shù)列共有項，奇數(shù)項之積為100，偶數(shù)項之積為120，則為____（答：）；
（2）數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：數(shù)列｛｝是等比數(shù)列。
（2）等比數(shù)列的通項：或。如設等比數(shù)列中，，，前項和＝126，求和公比. （答：，或2）
（3）等比數(shù)列的前和：當時，；當時，
。如（1）等比數(shù)列中，＝2，S99=77，求（答：44）；（2）的值為__________（答：2046）；
特別提醒：等比數(shù)列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比是否為1時，要對分和兩種情形討論求解。
（4）等比中項：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個。如已知兩個正數(shù)的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關系為______（答：A＞B）
提醒：（1）等比數(shù)列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2；
（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設為…，…（公比為）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設為…，…，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此設，且公比為。如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求此四個數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比數(shù)列的性質：
（1）當時，則有，特別地，當時，則有.如
（1）在等比數(shù)列中，，公比q是整數(shù)，則=___（答：512）；
（2）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 （答：10）。
(2) 若是等比數(shù)列，則、、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，…也是等比數(shù)列。當，且為偶數(shù)時，數(shù)列 ，…是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 如
（1）已知且，設數(shù)列滿足，且，則　　　　　. （答：）；
（2）在等比數(shù)列中，為其前n項和，若，則的值為______（答：40）
(3)若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列；若 ，則為遞減數(shù)列；若, 則為遞增數(shù)列；若，則為擺動數(shù)列；若，則為常數(shù)列.
(4) 當時，，這里，但，這是等比數(shù)列前項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且，則＝ （答：－1）
(5) .如設等比數(shù)列的公比為，前項和為，若成等差數(shù)列，則的值為 _____（答：－2）
(6) 在等比數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，.
(7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設數(shù)列的前項和為（）， 關于數(shù)列有下列三個命題：①若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若，則是等差數(shù)列；③若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是 （答：②③）
6.數(shù)列的通項的求法：
⑴公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式。如已知數(shù)列試寫出其一個通項公式：__________（答：）
⑵已知（即）求，用作差法：。如
已知的前項和滿足，求（答：）；
②數(shù)列滿足，求（答：）
⑶已知求，用作商法：。如數(shù)列中，對所有的都有，則______（答：）
⑷若求用累加法：
。如已知數(shù)列滿足，，則=________（答：）
⑸已知求，用累乘法：。如已知數(shù)列中，，前項和，若，求（答：）
⑹已知遞推關系求，用構造法（構造等差、等比數(shù)列）。特別地，
（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉化為公比為的等比數(shù)列后，再求。如
①已知，求（答：）；
②已知，求（答：）；
（2）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。如
①已知，求（答：）；
②已知數(shù)列滿足=1，，求（答：）
注意：（1）用求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當時，）；（2）一般地當已知條件中含有與的混合關系時，常需運用關系式，先將已知條件轉化為只含或的關系式，然后再求解。如數(shù)列滿足，求（答： ）
7.數(shù)列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類討論.；③常用公式：，，.如
（1）等比數(shù)列的前項和Sｎ＝2ｎ－１，則＝_____（答：）；
（2）計算機是將信息轉換成二進制數(shù)進行處理的。二進制即“逢2進1”，如表示二進制數(shù)，將它轉換成十進制形式是，那么將二進制轉換成十進制數(shù)是_______（答：）
（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和. 如求：（答：）
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導方法）. 如
①求證：；
②已知，則＝___（答：）
（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導方法）. 如
（1）設為等比數(shù)列，，已知，，①求數(shù)列的首項和公比；②求數(shù)列的通項公式.（答：①，；②）；
（2）設函數(shù)，數(shù)列滿足：
，①求證：數(shù)列是等比數(shù)列；②令
，求函數(shù)在點處的導數(shù)，并比較與的大小。（答：①略；②，當時，＝；當時，<；當時，>）
（5）裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：
①；
②；
③，；
④；
⑤；
⑥.
如（1）求和： （答：）；
（2）在數(shù)列中，，且Sｎ＝９，則n＝_____（答：99）；
（6）通項轉換法：先對通項進行變形，發(fā)現(xiàn)其內在特征，再運用分組求和法求和。如
①求數(shù)列1×4，2×5，3×6，…，，…前項和= 　（答：）；
②求和： （答：）
8. “分期付款”、“森林木材”型應用問題
(1)這類應用題一般可轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務必“卡手指”，細心計算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.
(2)利率問題：①單利問題：如零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：若每期存入本金元，每期利率為，則期后本利和為：
（等差數(shù)列問題）；②復利問題：按揭貸款的分期等額還款（復利）模型：若貸款（向銀行借款）元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，分期還清。如果每期利率為（按復利），那么每期等額還款元應滿足：（等比數(shù)列問題）.
PAGE不等式單元易錯題練習
1、不等式的性質：
（1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；
（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；
（3）左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若，則或；（4）若，則；若，則.如（1）
（2）已知，則的取值范圍是______（答：）；
（3）已知，且則的取值范圍是______（答：）
2. 不等式大小比較的常用方法：
（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；
（2）作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函數(shù)的單調性；
（7）尋找中間量或放縮法 ；
（8）圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。
如 （1）設，比較的大小
答：當時，（時取等號）；當時，（時取等號））；
（2）設，，試比較的大小（答：）；
（3）比較與的大小.
答：當或時，；當時，；當時，
3. 利用重要不等式求函數(shù)最值時，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針。
如（1）下列命題中正確的是
A、的最小值是2 B、的最小值是2
C、的最大值是
D、的最小值是（答：C）；
（2）若，則的最小值是______（答：）；
（3）正數(shù)滿足，則的最小值為______（答：）；
4.常用不等式有：
（1） (根據(jù)目標不等式左右的運算結構選用) ；
（2），（當且僅當時，取等號）；
（3）若，則（糖水的濃度問題）。
如：如果正數(shù)滿足，則的取值范圍是 ____（答：）
5、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結論。).
常用的放縮技巧有：
　　　　　　
如（1）已知，求證： ；
（2） 已知，求證：；
（3）已知，且，求證：；
（4）若是不全相等的正數(shù)，求證：
（5）若，求證：；
（7）已知，求證：；
（8）求證：。
6.簡單的一元高次不等式的解法：
標根法：其步驟是：
（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；
（2）將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；
（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。
如（1）解不等式。（答：）；
（2）不等式的解集是____（答：）；
（3）設函數(shù)的定義域都是，且的解集為，
的解集為，則不等式的解集為______
（答：；
（4）要使?jié)M足關于的不等式（解集非空）的每一個的值至少滿足不等式和中的一個，則實數(shù)的取值范圍是______.（答：）
7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。
如（1）解不等式（答：）；
（2）關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為____________（答：）.
8.絕對值不等式的解法：
（1）分段討論法（最后結果應取各段的并集）：如解不等式（答：）；
（2）利用絕對值的定義；
（3）數(shù)形結合；如解不等式（答：）
（4）兩邊平方：如若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______。（答：）
9、含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎，分類討論是關鍵．”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…”。
注意：按參數(shù)討論，最后應按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應求并集.
如（1）若，則的取值范圍是__________（答：或）；
（2）解不等式（答：時，；時，；時，
提醒：
（1）解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；
（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值。
如關于的不等式的解集為，則不等式的解集為__________（答：（－1,2））
10.含絕對值不等式的性質：
同號；
異號.
如設，實數(shù)滿足，求證：
11.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題，也可抓住所給不等式的結構特征，利用數(shù)形結合法）
1).恒成立問題
若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上
若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上
如（1）設實數(shù)滿足，當時，的取值范圍是______（答：）；
（2）不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍_____（答：）；
（3）若不等式對滿足的所有都成立，則的取值范圍_____（答：）；
（4）若不等式對于任意正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_____（答：）；
（5）若不等式對的所有實數(shù)都成立，求的取值范圍.（答：）
2). 能成立問題
若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上；
若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的.
如已知不等式在實數(shù)集上的解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍______（答：）
3). 恰成立問題
若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為；
若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為.
例題選講：
例題1　對于實數(shù)中，給出下列命題：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧，則。其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）；
例題2、已知二次函數(shù)滿足，，求的取值范圍。
錯解：，，
又
正解：設，則有，即
又， ，
剖析：在多次應用不等式樣性質的時候，若等號不能同時成立時，會使所求范圍擴大，因此在解不等式范圍的題時務必要檢查等號能否成立。
例題3、已知，求的最大值。
錯解：
，即的最大值為。
正解1：
因此，當且僅當時，的最大值為。
正解2：（用導數(shù)知識解），
，令，得或
又，且當時，；當時，
當時，的最大值為。
剖析：在應用均值不等式解題時，忽視了均值不等式中等號成立的條件：“一正、二定、三相等”中的第三個條件，因為無論在中取何值，等式都不成立。
例題4、已知且，關于的不等式的解集是，解關于的不等式的解集。
錯解：
正解：因為關于的不等式的解集是，所以，故
或
原不等式的解集是。
剖析：其一、忽視了所給條件的應用和對數(shù)的真數(shù)大于，其二、忽視了分式不等式正確解法。
例題5、已知：、都是正數(shù)，且，，，求的最小值。
錯解：、都是正數(shù)，
，即的最小值為4。
正解：、都是正數(shù)，且，
當且僅當時，的最小值為。
剖析：中等號成立的條件是當且僅當，而
中等號成立的條件是當且僅當。這與矛盾，
因此解題中忽視了條件，從而造成錯誤。
例題6　解不等式.
錯解一：原不等式可化為， 解得x≥2．
∴原不等式的解集是{x|x≥2}.
錯解二：在不等式f(x)·≥0中，按f(x)的取值情況分類，
有，或．
當x – 1 > 0，即x > 1時，原不等式等價于x2 – x – 2 ≥ 0，解得x ≥ 2；
當x – 1 = 0，即x = 1時，顯然無意義，其解集為．
綜上所述，原不等式的解集為{x|x ≥ 2}．
錯因：錯解一中，當x = - 1時，原不等式也成立，漏掉了x = - 1這個解．原因是忽略了不等式中“≥”具有相等與不相等的雙重性．事實上，
不等式f(x)·≥0與或g(x) = 0同解.
錯解二中分類不全，有遺漏，應補充第三種情況
即當x – l < 0，且x2 – x – 2 = 0時也合乎條件，即補上x = - 1．
故原不等式的解集為{x|x≥2，或x = - 1}．
分析一：符號“≥”是由符號“>”“ = ”合成的，故不等式f(x)·≥ 0可轉化為f(x)· > 0或f(x)· = 0．
正解一：原不等式可化為(I)(x-1)> 0，或(Ⅱ)(x - 1) = O．
(I)中,由得x > 2； (Ⅱ)中，由x2 – x – 2 = 0，或x – 1 = O，
且x2 – x - 2有意義，得x = 1，或x = 2．
∴原不等式的解集為{x|≥2，或x = - 1}．
分析二：在不等式f(x)·≥0中，按g(x)的取值情況分類，有兩種情況：
(1)g(x) > 0時,等式等價于(2)g(x) = 0時'只須f(x)有意義即可.
正解二：分兩種情況討論．
(1)當x2 – x – 2 > 0，即x > 2，或x < - 1時，原不等式等價于．
解得x > 2．
(2)當x2 – x – 2 = 0，即x = 2，或x = - 1時，顯然有意義，是原不等式的解．
綜上所述．原不等式的解集是{x|x≥2，或x = - 1}．
例題7　設函數(shù)，其中，解不等式．
錯解：∵不等式f(x)≤1，∴≤1 + ax．兩邊平方，得x2 + 1≤(1 + ax)2 ,
即x·[(a2 - 1)x + 2a]≥0．∵a > 0，∴當a > 1時，x ≥ 0，或x ≤-；
當0 < a < 1時，0 ≤ x ≤．
錯因：未能從已知條件中挖掘出隱含條件：“1 + ax ≥ 1”，即“ax≥0”，
進而由a > 0可得x≥0．
正解：不等式f(x)≤1，即≤1 + ax．
由此得1≤1 + ax，即ax≥O，其中a > 0．
∴原不等式等價于不等式組即
∴當0 < a <1時，原不等式的解集為{x|0≤x≤};
當a≥1時,原不等式的解集為{x|x≥O}．
小結：解不等式常見的思維誤區(qū)有：
（1）概念模糊。變形不同解.常見于解分式不等式、對數(shù)不等式、無理不等式、指數(shù)不等式、含絕對值不等式、含排列數(shù)或組合數(shù)的不等式等等.
（2）以偏概全，未分類或分類不全，對某些含有參數(shù)的不等式，未進行分類討論，片面認為是某種情況.如例題6.
（3）忽視隱含條件，信息不能被全部挖掘出來.如例題7.
例題8　不等式證明的錯解的成因及分析策略
不等式的證明方法有很多,如:基本不等式法、比較法、綜合法、分析法、反證法、判別　　　　　　　　 　式法、換元法、數(shù)學歸納法、放縮法、導數(shù)法、公式法(向量公式、方差公式、斜率公式等)、數(shù)形結合法等等.不等式的證明過程,是常規(guī)的證明方法及構造性思維在新的領域中的移植和運用,以及局部的創(chuàng)新.但在實際教學活動中我們發(fā)現(xiàn),學生對于不等式證明上存在著一定的思維障礙,并仍有不少學生沉醉于“題海戰(zhàn)術”之中,阻礙著創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展.
一、用新教材中新增知識點證明不等式這一思考方法很不適應
例1 (2003年江蘇新課程高考試題)已知,為整數(shù).
(Ⅰ)設,證明: ;
(Ⅱ)設,對任意≥,證明: .
分析 這是一道江蘇考生錯誤率較高的一道考題,考生對導數(shù)法證明不等式這一思考方法很不適應,以致于丟分現(xiàn)象極其嚴重,這反映學生未能真正把握新教材的思想內涵,不能做到學以致用,融會貫通,這一現(xiàn)象值得注意.
證明 (Ⅰ)∵ ,
∴ .
(Ⅱ)對函數(shù)求導數(shù),得
,所以 .
當≥>0時, .
故當≥時,是關于的增函數(shù),因此,當≥時,
.
即對任意≥, .
評述 導數(shù)及其它向量、方差等知識點的引入,使相應的數(shù)學方法、教學工具和數(shù)學語言更加豐富,應用形式更加靈活多樣,新課程卷將導數(shù)與傳統(tǒng)的不等式有機結合在一起設問,這是一種新穎的命題模式,它體現(xiàn)了導數(shù)作為工具分析和解決一些性質問題的方法,在教學中應予以重視.
二、忽視向量不等式等號成立條件,造成范圍失真
向量不等式等號成立的條件為,當向量∥且與方向相同時“+”不等式取等號; 當向量∥且與方向相反時“-”不等式取等號.
例2 ≥ .
錯解 設 ,由得
.
∴≥ .
成因分析 向量不等式等號成立的條件是 ∥,且向量與方向相反,而當∥時,得,此時方向相同,故等號不成立,使不等式范圍縮小了.
正解 設 ,由 ,得
.
當∥即時,方向相同,故等號成立.
評述 向量作為新教材中的另一個新增知識點,利用數(shù)量積不等式與和差不等式證明不等式,有著其它方法所不能比擬的優(yōu)越性,在教學中應適當推廣及應用.
三、多元不等式的元認知障礙
當不等式含有好幾個元(變量)時,需將這些元分別虛擬定位為“常量”、“參元”、“變元”等.若定位點不到位,解題時思路常會在原地徘徊不前或進入繁雜的運算程序,從而形成元認知障礙.
例3 設、、[0,2] , 證明 ≥.
分析 此不等式有三個元,且每項次數(shù)不全相同,學生常因元太多不易定位,而陷入誤區(qū),實際上原等式中、、三個元中只有是一次的,故可將視作變元,其余、視作常量即可解決問題.
證明 設 .
則為關于元的一次函數(shù),且、、[0,2] .
要證≥0,即要證≥0,且≥0 .
而≥0 ,且
≥0 .
∴當、、[0,2]時, ≥0 .
即≥ .
評述 元的定位問題往往不是絕對的,定位切入點不同,解題的途徑也不同,處理好元的定位問題,不但可以開辟問題解決的新途徑,給解題帶來極大的簡便,而且能培養(yǎng)學生的分析問題的思維能力.
四、忽視題設條件或隱含條件
有些題設條件看似平淡,但在解題中就會顯示出其隱蔽性,學生往往由于忽視了隱含條件,或對隱含條件的挖掘只浮于表面,而未能展示其真正的面目,從而在解題過程中誤入陷阱.
例4 設,為偶數(shù),證明 ≥ .
錯解 .
∵為偶數(shù), ∴,又與同號 ,
∴ ,故 .
成因分析 實際上,為偶數(shù)時, 與不一定同號,這里忽略了題設條件,在沒有明確字母的具體值情況下,要考慮分類討論,即需分和有一個負值的兩種情況加以分類討論.
正解 .
①當時, ,≥0 ,
∴≥0 ,故≥ ;
②當有一個負值時,不妨設,且,即 .
∵為偶數(shù)時,∴≥0 ,且
∴≥0 ,故≥ .
綜合①②可知,原不等式成立 .
五、分式不等式分母較復雜時,不能靈活變形而形成思維障礙
證明分式不等式需要去分母,去分母的方法有很多,如輪換法、添加分母法、添加分式法、添加和積式法等等,在添加代數(shù)式時需考慮均值不等式等號成立條件,并最終利用均值不等式去掉分式或部分分母,但學生對于這一靈活的變形常常無法領悟,覺得在解題時處處均可下手,但又無從下手,從而形成分式變形障礙.
例5已知,
證明 ≥ .
分析 這是一道技巧性較強的分式不等式證明題,其分子與分母差別太大,學生往往不能注意其整體聯(lián)系,而想省事處理,想一步到位地消去所有分式,從而進入了繁忙的運算程序中,最后不得結果,反而覺得此題處處都是切入點,又處處陷于被動.實際上,由
.
可添加分式,使得≥ ,
由時,不等式取等號,得 .
故可考慮添加分式來解決問題.
證明 ∵≥;≥;
≥ .
∴++≥(++)≥ .
評述 在證明分式不等式時,要看準所要消的分式結構特征與整個式子的完整性,分清是“和”式還是“積”式、含有幾個字母、各字母的次數(shù),然后應用均值不等式等號成立條件確定待添加式的系數(shù),然后從整體上消去分母.
六、忽視一般化與特殊化之間的轉化障礙
一般化與特殊化的思維方向正好相反,它們相輔相成,是變更問題的兩種基本原則.
例6 證明 .
分析 直接通過計算或用對數(shù)來比較不等式兩邊的大小,是難以辦到的,也是證明中的障礙體現(xiàn).如注意到,則可技巧性地將問題轉化為如下一個一般化命題:“設n是大于1的正整數(shù),證明不等式”.而原命題僅是此命題的一個特殊化的結論.
證明 由≥
∴ . 令 ,即得 .
評述 某些特殊化的結論,其中往往蘊藏著一般化結論的線索,而由一般化的結論得出某些特殊化的結論是非常自然的.由特殊化聯(lián)想到一般化是此類問題解決的一個突破口,教學中要加強這方面的訓練,這有助于培養(yǎng)學生聯(lián)想及變通的數(shù)學直覺意識能力.
七、不能由此及彼的想象探究,揭示不等式間的內在聯(lián)系
如果說由特殊到一般是縱向引申,解決深度問題,那么由此及彼則是橫向推廣,解決廣度問題.
例7 求證 ：
分析 此題可用數(shù)學歸納法加以證明,但新教材中部分省市已將之刪去,學生面對此題,常不能對已有表象進行加工改造,創(chuàng)造出新的形象,對此不等式的遞推感到無能為力,其原因主要在于不能由此及彼地探究此不等式與數(shù)列通項遞推關系,形成障礙.其實,若令,則(k>2), 可用迭加法來證明.
證明 令,則 (k>2) .
令,可得個同向不等式,把這個同向不等式相加,并整理得 .
∵ ,
∴ .
故原不等式成立 .
評述 利用迭加法來證明數(shù)列型不等式,把不等式的一端設為,若經過化簡、變形、放縮能化成該數(shù)列的通項,便可用此法證明,這一證明技巧也簡潔地替代了數(shù)學歸納法的應用.
另外,在不等式證明的教學中部分教師在處理教學內容時,過分強調了數(shù)學解題的技巧,學生沒有理解僅靠“模仿”的訓練,這也是不等式證明錯誤產生的一個主要原因.因此在學習中必需從實際出發(fā),注重基礎知識和基本技能的教學,突破障礙.在不等式證明的學習中可思考以下幾點:
①降低起點,減小坡度,將不等式人為設置出由淺入深的梯度來;
②對有從屬關系的不等式系列題,可采取分散和集中相結合法,切實地使學生既接受得了,又不失系統(tǒng)性和規(guī)律性;
③培養(yǎng)聯(lián)想能力,學會從已有感知入手,剖析不等式新舊信息源的聯(lián)系與異同,尋找其內在因素和從屬關系,領悟到“數(shù)”與“式”之間發(fā)展更替的規(guī)律及必然,并逐步地學會在新舊知識的對比中去聯(lián)想、猜想和想象;
④在不等式證明障礙點和學生的不足之處,應進行必要的循環(huán)和反復,并注重對一些重要方法的濃縮,掌握重點,突破難點,克服不足;
⑤在學習的過程中,要精心選擇數(shù)學題,使雙基中見綜合,綜合中見雙基,將雙基訓練與數(shù)學能力的培養(yǎng)有機地結合起來,以幫助切實掌握不等式證明的基礎知識和基本技能,熟悉其中的數(shù)學基本思想和常用方法,在解題實踐中提高邏輯思維、形象思維和靈感思維的能力,發(fā)展思維的靈活性和創(chuàng)造性.同時通過證明不等式,培養(yǎng)良好的思想品質和數(shù)學素養(yǎng),樹立辯證唯物主義基本觀點,養(yǎng)成勤奮刻苦、嚴格認真、踏踏實實的學習習慣,勇于去攀登數(shù)學高峰.
課后練習題
1．設若0f(b)>f(c),則下列結論中正確的是
A (a-1)(c-1)>0 B ac>1 C ac=1 D ac>1
錯解原因是沒有數(shù)形結合意識,正解是作出函數(shù)的圖象,由圖可得出選D.
2．設成立的充分不必要條件是
A B C D x<-1
錯解:選B,對充分不必要條件的概念理解不清,“或”與“且”概念不清，正確答案為D。
3．不等式的解集是
A B C D
錯解：選B，不等式的等價轉化出現(xiàn)錯誤，沒考慮x=-2的情形。正確答案為D。
4．某工廠第一年的產量為A，第二年的增長率為a,第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x,則
A B C D
錯解：對概念理解不清，不能靈活運用平均數(shù)的關系。正確答案為B。
5．已知，則2a+3b的取值范圍是
A B C D
錯解：對條件“”不是等價轉化，解出a,b的范圍，再求2a+3b的范圍，擴大了范圍。正解：用待定系數(shù)法，解出2a+3b=(a+b)(a-b),求出結果為D。
6．若不等式ax+x+a＜0的解集為 Φ，則實數(shù)a的取值范圍（ ）
A a≤-或a≥ B a＜ C -≤a≤ D a≥
正確答案：D 錯因：學生對一元二次不等式與二次函數(shù)的圖象之間的關系還不能掌握。
7．已知函數(shù)y=㏒(3x在[-1，+∞）上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍（ ）
A a≤-6 B -＜a＜-6 C -8＜a≤-6 D －8≤a≤-6
正確答案：C 錯因：學生忘記考慮定義域真數(shù)大于0這一隱含條件。
8．已知實數(shù)x、y、z滿足x+y+z=0,xyz＞0記T=＋＋,則（ ）
A T＞0 B T=0 C T＜0 D 以上都非
正確答案： C 錯因：學生對已知條件不能綜合考慮，判斷T的符號改為判定
xyz(＋＋)的符號。
9．下列四組條件中，甲是乙的充分不必要條件的是（ ）
A． 甲 a＞b，乙 ＜
B 甲 ab＜0，乙 ∣a+b∣＜∣a－b∣
C 甲 a=b ，乙 a＋b=2
D 甲 ，乙
正確答案： D 錯因：學生對不等式基本性質成立的條件理解不深刻。
10．f(x)=︱2—1｜，當a＜b＜c時有f(a)＞f(c)＞f(b)則（ ） A a＜0,b＜0,c＜0 B a＜0,b＞0,c＞0 C 2＜2 D 2＜2
正確答案：D 錯因：學生不能應用數(shù)形結合的思想方法解題。
11．a,b∈R，且a>b，則下列不等式中恒成立的是（ ）
A.a2>b2 B.( ) a <()b C.lg(a－b)>0 D.>1
正確答案：B。
錯誤原因：容易忽視不等式成立的條件。
12．x為實數(shù)，不等式|x－3|－|x－1|>m恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A.m>2 B.m<2 C.m>－2 D.m<－2
正確答案：D。
錯誤原因：容易忽視絕對值的幾何意義，用常規(guī)解法又容易出錯。
13．已知實數(shù)x、y滿足x2+y2=1，則(1－xy)(1+xy)( )
A.有最小值，也有最大值1 B.有最小值，也有最大值1
C.有最小值，但無最大值 D.有最大值1，但無最小值
正確答案：B 。
錯誤原因：容易忽視x、y本身的范圍。
14．若a>b>0，且>，則m的取值范圍是（ ）
A. mR B. m>0 C. m<0 D. –b正確答案：D 。
錯誤原因：錯用分數(shù)的性質。
15．已知，則是的（　　　）條件
A、充分不必要　　B、必要不充分　　C、既不充分也不必要　　D、充要
正確答案：D
錯因：不嚴格證明隨便判斷。
16．如果那么的取值范圍是（ ）
A、 B、 C、 D、
正確答案：B
錯因：利用真數(shù)大于零得x不等于60度，從而正弦值就不等于，于是就選了D.其實x等于120度時可取得該值。故選B。
17．設則以下不等式中不恒成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
正確答案：B
18．如果不等式（a>0）的解集為{x|m≤x≤n}，且|m-n|=2a，則a的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
正確答案：B
19．若實數(shù)m，n，x，y滿足m2+n2=a，x2+y2=b（a≠b），則mx+ny的最大值為（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：B
點評：易誤選A，忽略運用基本不等式“=”成立的條件。
20．數(shù)列{an}的通項式，則數(shù)列{an}中的最大項是（ ）
A、第9項 B、第8項和第9項
C、第10項 D、第9項和第10項
答案：D
點評：易誤選A，運用基本不等式，求，忽略定義域N*。
21．.若不等式＞在上有解,則的取值范圍是 （ ）
A． B. C． D．
錯解：D
錯因：選D恒成立。
正解：C
22．已知是方程的兩個實根，則的最大值為（ ）
A、18 B、19 C、 D、不存在
答案：A
錯選：B
錯因：化簡后是關于k的二次函數(shù)，它的最值依賴于所得的k的范圍。
23．實數(shù)m,n,x,y滿足m2+n2=a , x2+y2=a , 則mx+ny的最大值是　　　　　。
A、 B、 C、 D、
答案：B
錯解：A
錯因：忽視基本不等式使用的條件，而用得出錯解。
24．如果方程（x-1）(x 2-2x＋m)=0的三個根可以作為一個三角形的三條邊長，那么實數(shù)m的取值范圍是 （ ）
A、0≤m≤1 B、＜m≤1 C、≤m≤1 D、m≥
正確答案：（B）
錯誤原因：不能充分挖掘題中隱含條件。
25、設，則的最大值為
錯解：有消元意識，但沒注意到元的范圍。正解：由得：，且，原式=，求出最大值為1。
26、若恒成立，則a的最小值是
錯解：不能靈活運用平均數(shù)的關系，正解：由，即，故a的最小值是。
27、已知兩正數(shù)x,y 滿足x+y=1,則z=的最小值為 。
錯解一、因為對a>0,恒有,從而z=4,所以z的最小值是4。
錯解二、，所以z的最小值是。
錯解分析：解一等號成立的條件是相矛盾。解二等號成立的條件是，與相矛盾。
正解：z===，令t=xy, 則，由在上單調遞減,故當t=時 有最小值,所以當時z有最小值。
28、若對于任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍
是 。正確答案：(－2,2) 。錯誤原因：容易忽視m＝2。
29、不等式ax+ bx + c＞0 ，解集區(qū)間（- ，2），對于系數(shù)a、b、c，則有如下結論：
①a ＞0 ②b＞0 ③ c＞0 ④a + b + c＞0 ⑤a – b + c＞0，其中正確的結論的序號是________________________________.
正確答案 2 、3、 4
錯因：一元二次函數(shù)的理解
30、不等式(x－2)≥0的解集是 ．正確答案：
31、不等式的解集為（-∞，0），則實數(shù)a的取值范圍是______。
正確答案：{-1，1}
32、若α，β，γ為奇函數(shù)f(x)的自變量，又f(x)是在（-∞，0）上的減函數(shù)，且有α+β>0，α+γ>0，β+γ>0，則f(α)+f(β)與f(-γ)的大小關系是：
f(α)+f(β) ______________f(-γ)。正確答案：<
33、不等式|x+1|(2x－1)≥0的解集為____________
答案：
點評：誤填而忽略x=－1。
34、設x>1，則y=x+的最小值為___________
答案：
點評：誤填：4，錯因：≥，當且僅當即x=2時等號成
立，忽略了運用基本不等式求最值時的“一正、二定、三相等”的條件。
35、設實數(shù)a,b,x,y滿足a2+b2=1,x2+y2=3, 則ax+by的取值范圍為_______________.
錯解：
錯因：，當且僅當時等號成立，而此時與已知條件矛盾。　正解：[－]
36、－4＜k＜o是函數(shù)y=kx2－kx－1恒為負值的___________條件
錯解：充要條件　　　　　錯因：忽視時符合題意。
正解：充分非必要條件
37、函數(shù)y=的最小值為_______________
錯解：2，錯因：可化得，而些時等號不能成立。
正解：
38、已知a,b，且滿足a+3b=1，則ab的最大值為___________________.
錯解：
錯因：由得，，
等號成立的條件是與已知矛盾。
正解：
39、設函數(shù)的定義域為R，則k的取值范圍是 。
A、 B、 C、 D、
答案：B
錯解：C
錯因：對二次函數(shù)圖象與判別式的關系認識不清，誤用。
40、不等式(x-2)2 (3-x) (x-4)3 (x-1) 的解集為 。
答案：
錯解：
錯因：忽視x=2時不等式成立。
41、已知實數(shù)x,y滿足，則x的取值范圍是　　　　　　　。
答案：
錯解：
錯因：將方程作變形使用判別式，忽視隱含條件“”。
42、若，且2x+8y-xy=0則x+y的范圍是 。
答案：由原方程可得
錯解：設代入原方程使用判別式。
錯因：忽視隱含條件，原方程可得y (x-8)=2x，則x>8則x+y>8
43、已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是 。正確答案：
錯誤原因：找不到解題思路，另外變形為時易忽視這一條件。
44、已知兩個正變量恒成立的實數(shù)m的取值范圍是 。正確答案：
錯誤原因：條件x+y＝4不知如何使用。
45、已知函數(shù)①②③
④，其中以4為最小值的函數(shù)個數(shù)是 。
正確答案：0
錯誤原因：對使用算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)的條件意識性不強。
46、已知是定義在的等調遞增函數(shù)，且，則不等式的解集為 。正確答案：
錯誤原因：不能正確轉化為不等式組。
47、已知a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 則ax+by+cz的最大值為
正確答案：3
錯誤原因：忽視使用基本不等式時等號成立的條件，易填成5。應使用如下做法：
9a2+x2≥6ax, 9b2+y2 ≥6by，9c2+z2≥6cz，
6(ax+by+cz)≤9（a2+b2+c2）+9(x2+y2+z2) = 18, ax+by+cz≤3
48、設，且，求的取值范圍。
解：令，則
，比較系數(shù)有，
即
說明：此題極易由已知二不等式求出的范圍，然后再求即的范圍，這種解法錯在已知二不等式中的等號成立的條件不一定相同，它們表示的區(qū)域也不一定相同，用待定系數(shù)法則容易避免上述錯誤。
49、求函數(shù)的極大值或極小值。
解：當時，，當且僅當
即時，，
當時，
當且僅當，即時，
說明：此題容易漏掉對的討論，注意不等式成立的前提是。
50、解不等式：。
解：當時，原不等式為，
當時，原不等式為，
又
原不等式的解為
說明：此題易在時處出錯，忽略了的前提。注意分段求解的結果要考慮分段的前提。
51、方程的兩根都大于2，求實數(shù)的取值范圍。
解：設方程的兩根為，則必有
說明：此題易犯這樣的錯誤：，且和判別式聯(lián)立即得的范圍，原因是只是的充分條件，
即不能保證同時成立.
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