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專題九
四邊形中的函數關系
【例1】如圖，已知四邊形
ABCD
是矩形，cot∠ADB=
，AB=16．點
E
在射線
BC
上，點
F
在線段
BD
上，且∠DEF=∠ADB．
（1）
求線段
BD
的長；
（2）
設
BE=x，△DEF
的面積為
y，求
y
關于
x
的函數關系式，并寫出函數定義域；
（3）
當△DEF
為等腰三角形時，求線段
BE
的長．
【例2】如圖，矩形
ABCD
中，AB=3，BC=4，點
E
是射線
CB
上的動點，點F
是射線
CD
上一點，且
AF⊥AE，射線
EF
與對角線
BD
交于點
G，與射線
AD
交于點
M；
（1）
當點
E
在線段
BC
上時，求證：△AEF∽△ABD；
（2）
在（1）的條件下，聯結
AG，設
BE=x，tan∠MAG=y，求
y
關于
x
的函數解析式，并寫出
x
的取值范圍；
（3）當△AGM
與△ADF
相似時，求
BE
的長．
【例3】如圖，已知在梯形
ABCD
中，AD
//
BC，AB
=
AD
=
5，tan∠DBC=
。點
E
為線段
BD
上任意一點（點
E
與點
B、D
不重合），過點
E
作
EF
//
CD，與BC
相交于點
F，聯結CE．設BE
=
x，y=
。
（1）
求
BD
的長；
（2）
如果
BC
=
BD，當△DCE
是等腰三角形時，求
x
的值；
（3）
求
y
關于
x
的函數解析式，并寫出自變量
x
的取值范圍．
【例4】已知：如圖，在菱形
ABCD
中，AB=5，聯結
BD，sin∠ABD=
。點
P
是射線
BC
上的一個動點（點
P
不與點
B
重合），聯結
AP，與對角線
BD相交于點
E，聯結
EC．
（1）
求證：AE=CE；
（2）
當點
P
在線段
BC
上時，設
BP=x，△PEC
的面積為
y，求
y
關于
x
的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）當點
P
在線段
BC
的延長線上時，若△PEC
是直角三角形，求線段
BP
的長．
如圖，在梯形
ABCD
中，
AD
//
BC,
AC與BD相交于點O，AC
=
BC
，點
E
在
DC
的延長線上，∠BEC
=
∠ACB
,已知cos∠ABC
=
。
（1）
求證：BC2
=
CDBE
;
（2）
設
AD
=
x，CE
=
y,
求
y與x之間的函數解析式，并寫出定義域；
（3）
如果△DBC∽△DEB，求
CE
的長.
如圖，在邊長為
6
的正方形
ABCD
中，點
E
為
AD
邊上的一個動點（與點
A
、
D
不重合），∠EBM
=
45；B
E
交對角線
AC
于點
F
，BM
交對角線
AC
于點G
，交CD
于點
M
；
如圖
1，聯結
BD，求證：△DEB
∽△CGB
，并寫出的值；
聯結
EG
，如圖
2，設
AE
=
x
，EG
=
y
，求
y
關于
x
的函數解析式，并寫出定義域；
當
M
為邊
DC
的三等分點時，求
S△EGF的面積；
如圖，平行四邊形
ABCD
中，AB=5，BC=10，sin∠B=
，E
點為
BC
邊上的一個動點（不與
B、C
重合），過
E
作直線
AB
的垂線，垂足為
F，FE
與
DC
的延長線相交于點
G，連結
DE，DF.
(1)
當△ABE
恰為直角三角形時，求
BF：CG
的值：
(2)
當點
E
在線段
BC
上運動時，△BEF
與△CEG
的周長之和是否是常數，請說明理由：
(3)
設
BE=x，△DEF
的面積為
y，試求出
y
關于
x
的函數關系式，并寫出定義域.
如圖，在?ABCD
中，E
為邊
BC
的中點，F
為線段
AE
上一點，聯結
BF
并延長交邊
AD于點
G，過點
G
作
AE
的平行線，交射線
DC
于點
H.設=
=
x
。
（1）當x
=
1時，求
AG
:
AB
的值；
（2）設
=
y，求關于
x
的函數關系式，并寫出
x
的取值范圍；
（3）當DH
=
3HC
時，求
x
的值.
5.
如圖，已知矩形
ABCD中，
AB
=
6，BC
=
8，E
是BC
邊上一點（不與B
、C
重合），過點E
作EFAE
交
AC
、CD于點M
、F
，過點B
作BGAC
，垂足為G
，BG
交
AE
于點H
；
（1）求證：△
ABH
∽△ECM
；
（2）設BE
=
x
，
=
y，求
y
關于x
的函數解析式，并寫出定義域；
（3）當△BHE
為等腰三角形時，求BE
的長；
6.
已知，等腰梯形
ABCD
中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，點
P
是對角線
AC
上的一個動點，且∠APE=∠B，PE
分別交射線
AD
和射線
CD
于點
E
和點
G.
（1）
如圖
1，當點
E、D
重合時，求
AP
的長；
（2）
如圖
2，當點
E
在
AD
的延長線上時，設
AP=x，DE=y，求
y
關于
x
的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）當線段
DG=
時，求
AE
的值.
7.
已知：在梯形
ABCD
中，AD//BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB
=
，點
E
在對角線
AC上，且
CE＝AD，BE
的延長線與射線
AD、射線
CD
分別相交于點
F、G．設
AD=x，△AEF的面積為
y．
（1）求證：∠DCA＝∠EBC；
（2）如圖，當點
G
在線段
CD
上時，求
y
關于
x
的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）如果△DFG
是直角三角形，求△AEF
的面積．
8．如圖，在直角梯形
ABCD
中，AB∥CD，∠ABC=90°，對角線
AC、BD
交于點
G，已知AB=BC=3，tan∠BDC=
，點
E
是射線
BC
上任意一點，過點B
作
BF⊥DE，垂足為點
F，交射線AC
于點
M，射線DC
于點
H．
（1）當點
F
是線段BH
中點時，求線段CH
的長；
（2）當點
E
在線段
BC
上時（點
E
不與
B、C
重合），設
BE=x，CM=y，求
y
關于
x
的函數解析式，并指出
x
的取值范圍；
（3）連接
GF，如果線段GF
與直角梯形
ABCD
中的一條邊（AD
除外）垂直時，求
x
的值．
9.
如圖，梯形
ABCD
中，AD∥BC，∠A=90°，AD=4，AB=8，BC=10，M
在邊CD
上，且
=
．
（1）如圖①，聯結
BM，求證：BM⊥DC；
（2）
如圖②，
作∠EMF=90°，ME
交射線
AB
于點
E，MF
交射線
BC
于點
F，若
AE=x，
BF=y．
當點
F
在線段
BC
上時，求
y
關于
x
的函數解析式，并寫出定義域；
（3）若△MCF
是等腰三角形，求AE的值．
10.
已知：如圖1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90?，
BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，點E在AD邊上，且AE=3ED，EF//AB交BC于點F，點M、N分別在射線FE和線段CD上．
（1）求線段CF的長；
（2）如圖2，當點M在線段FE上，且AM⊥MN，設FM·cos∠EFC=x，CN=y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）如果△AMN為等腰直角三角形，求線段FM的長．
11.
如圖，在梯形ABCD中，AD=BC=10，tan
D
=
，E是腰AD上一點，
且AE：ED=1：3．
（1）當AB：CD=1：3時，求梯形ABCD的面積；
（2）當∠ABE=∠BCE時，求線段BE的長；
（3）當△BCE是直角三角形時，求邊AB的長．
12.
如圖1，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=4，M、N分別是邊AD、BC上的任意一點，聯結AN、DN，點E、F分別在線段AN、DN上，且ME//DN，MF//AN，聯結EF．
（1）如圖2，如果EF//BC，求EF的長；
（2）如果四邊形MENF的面積是△ADN的面積的，求AM的長；
（3）如果BC=10，試探索△ABN、△AND、△DNC能否兩兩相似？如果能，求AN的長；如果不能，請說明理由．

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