資源簡介

新人教版九年級上二次函數(shù)知識點總結(jié)
知識點一：二次函數(shù)的定義
1．二次函數(shù)的定義：
一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．
其中是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項．
知識點二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)拋物線的三要素：開口、對稱軸、頂點
2.
二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
（1）二次函數(shù)基本形式的圖象與性質(zhì)：a的絕對值越大，拋物線的開口越小
（2）的圖象與性質(zhì)：上加下減
（3）的圖象與性質(zhì)：左加右減
（4）二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
3.
二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
（1）當(dāng)時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為．
當(dāng)時，隨的增大而減小；當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，有最小值．
（2）當(dāng)時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為．
當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減小；當(dāng)時，有最大值．
4.
二次函數(shù)常見方法指導(dǎo)
（1）二次函數(shù)圖象的畫法
①畫精確圖
五點繪圖法（列表-描點-連線）
利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.
②畫草圖
抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，與軸的交點，頂點.
（2）二次函數(shù)圖象的平移
平移步驟：
將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標(biāo)；
②
可以由拋物線經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭频玫骄唧w平移方法如下：
平移規(guī)律：概括成八個字“左加右減，上加下減”．
（3）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
①一般式：.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
②頂點式：.已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.
③交點式：
.已知圖象與軸的交點坐標(biāo)、，通常選擇交點式.
（4）求拋物線的頂點、對稱軸的方法
①公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.
②配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.
③運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
（5）拋物線中，的作用
①決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
②和共同決定拋物線對稱軸的位置
由于拋物線的對稱軸是直線，故
如果時，對稱軸為軸；
如果（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；
如果（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè).
③的大小決定拋物線與軸交點的位置
當(dāng)時，，所以拋物線與軸有且只有一個交點（0，），故
如果，拋物線經(jīng)過原點；
如果,與軸交于正半軸；
如果,與軸交于負半軸.
知識點三：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
5.函數(shù)，當(dāng)時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.
(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；
(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.
通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系：
的圖象
的解
方程有兩個不等實數(shù)解
方程有兩個相等實數(shù)解
方程沒有實數(shù)解
6.拓展：關(guān)于直線與拋物線的交點知識
（1）軸與拋物線得交點為.
（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).
（3）拋物線與軸的交點
二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與軸相交；
②有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；
③沒有交點拋物線與軸相離.
（4）平行于軸的直線與拋物線的交點
同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個實數(shù)根.
（5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：
①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;
②方程組只有一組解時與只有一個交點；
③方程組無解時與沒有交點.
（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故
知識點四：利用二次函數(shù)解決實際問題
　　7.利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意義.
　　利用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟是：
　　(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；
　　(2)把實際問題中的一些數(shù)據(jù)與點的坐標(biāo)聯(lián)系起來；
　　(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；
(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題.
1

展開更多......

收起↑