資源簡介

人教版五年級下冊數學空間與圖形知識點匯總
一、軸對稱與旋轉
1、圖形的變換包括平移、旋轉和對稱。
2、軸對稱圖形：一個圖形沿某一條直線對折，直線兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。這條直線叫做它的對稱軸。
3、軸對稱圖形都有對稱軸。有一條對稱軸的圖形有等腰三角形，等腰梯形、線段、角。有兩條對稱軸的圖形有長方形、菱形。有三條對稱軸的圖形有正三角形。正方形有4條對稱軸。
4、軸對稱圖形的特征：
（1）、對應點到對稱軸的距離相等；
（2）、對應點連線與對稱軸互相垂直。
5、軸對稱圖形的畫法：
（1）、找出已知圖形的關鍵點。
（2）、在對稱軸的另一側畫出關鍵點的對應點。
（3）、按順序連接各對應點。
6、旋轉：圖形或物體繞著一個點或一條軸運動的現象叫做旋轉。圖形旋轉后只改變位置，不改變形狀和大小。
一、長方體和正方體的認識
【知識點1】
要素立體圖形
棱
面
頂點
數量
特征
數量
特征
數量
特征
長方體
12
互相平行的棱長度相等
6
相對的面完全相同
8
同一個頂點引出的三條棱分別叫做長、寬、高
特殊長方體
12
垂直于正方形面的棱長度相等
6
兩個面是正方形，其余四個面是完全相同的長方形
8
正方體
12
所有的棱長度都相等
6
所有面都是正方形且完全相同
8
一個長方體至少可以有兩個面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不會存在3個、4個、5個面是正方形！
練習：
（1）判斷并改正：
1、長方體的六個面一定是長方形；
(
)
2、正方體的六個面面積一定相等；
(
)
3、一個長方體(非正方體)
最多有四個面面積相等；
(
)
4、相交于一個頂點的三條棱相等的長方體一定是正方體。
(
)
7、長方體的三條棱分別叫做長、寬、高。
(
)
8、有兩個面是正方形的長方體一定是正方體。(
)
9、有三個面是正方形的長方體一定是正方體。（
）
11、有兩個相對的面是正方形的長方體，另外四個面的面積是相等的。（　
）
12、長方體和正方體最多可以看到3個面。（
）
　
14、正方體不僅相對的面的面積相等，而且所有相鄰的面的面積也都相等。（
?。?br/>　
15、長方體（不包括正方體）除了相對的面相等，也可能有兩個相鄰的面相等。（　
）
16、一個長方體中最少有4條棱長度相等，最多有8條棱長度相等。（
）
（2）填空：
1、一個長方體最多有（
）個面是正方形，最多有（
）條棱長度相等。
2、一個長方體的底面是一個正方形，則它的4個側面是（
）形。
3、
正方體不僅相對的面相等，而且所有相鄰的面（?
?
），它的六個面都是相等的（??
）形。
4、
把長方體放在桌面上，最多可以看到（
）個面。最少可以看到（
）個面。
【知識點2】
棱長和公式：長方體棱長和=（長+寬+高）×4
長+寬+高=棱長和÷4
長方體棱長和=下面周長×2+高×4
長方體棱長和=右面周長×2+長×4
長方體棱長和=前面周長×2+寬×4
正方體棱長和=棱長×12
棱長=棱長和÷12
棱長和的變形：
例如：有一個禮盒需要用彩帶捆扎，捆扎效果如圖，打結部分需要10厘米彩帶，一共需要多長的彩帶？
分析：本題雖然并未直接提出求棱長和，但由于彩帶的捆扎是和棱相互平行的，
因此，在解決問題時首先確定每部分彩帶與那條棱平行，從而間接去求棱長和。
前面和后面的彩帶長度=高的長度；左面和右面的彩帶長度=高的長度；
上面和下面的彩帶長度=長的長度。
需要彩帶的長度=高×4+長×2+寬×2+打結部分長度
20×4+30×2+10=150cm
練習：
（1）看圖2-6，并填空
單位：厘米
這個長方體長(　)厘米，寬(　)厘米，高(　)厘米。由一個頂點引出的三條棱的長度和是(　　　
)厘米。棱長總和是(　　　
)厘米。上下兩個面是(　　　
)形。
（2）看圖2-7并填空單位：厘米
這是一個(　　　
)體，正方體的棱長是(　　　
)厘米，棱長之和是(　　　
)厘米，每個面的面積是(　　　
)平方厘米。
（3）有一個長方體的魚缸，長50厘米，寬30厘米，高30厘米，需要在用鋁合金包裹玻璃連接處，需要（
）米的鋁合金。
（4）
把兩個棱長
1厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的棱長總和是（　
）厘米。
（7）一個長方體長
12厘米寬
8厘米高
7厘米，把它切成一個盡可能大的正方體，這個正方體的棱長是（　
）。
（7）一個長方體的禮堂如圖，過節時需要在四周裝上成串的彩燈，每串彩燈長2m，一共需要多少串彩燈？
（8）
一只魚缸，棱長和為280cm，其中，底面周長為50cm，右面周長為40cm，前面周長為50cm，魚缸的長、寬、高各是多少？
【知識點3】
確定長方體中每個面的形狀以及長、寬、高分別是多少。
長方體一共有（
）個面，（
）面完全相同，如：前面和（
）完全相同，（
）和（
）完全相同，（
）和（
）完全相同。
根據習慣我們一般認為在一個平面中水平方向的為長，垂直方向的為高。根據這一習慣我們我們只需找到需要的面并根據習慣確定長和寬即可。
例如：如圖下列長方體的后面是（
）形狀，長是（
）寬是（
）；它的右面是（
）形狀，長是（
）寬是（
）；下面是（
）形狀，長是（
）寬是（
）。
練習：
（1）長方體展開后每個面都是什么形狀？
展開后哪倆個面是相對的面？面積相等嗎？
上下，左右、前后各個面的長和寬分別是原長方體的什么？
（2）一個長方體的長是25厘米，寬是20厘米，高是18厘米，最大的面的長是（
）厘米，寬是（
）厘米，它的面積是（
）平方厘米；最小的面長是（
）厘米，寬是（
）厘米，它的面積是（
）平方厘米。
（3）一個長方體的長、寬、高分別是8、6、4米，它的前后的面的面積是（
），左右的面的面積是（
），上下的面的面積是（
）。
【知識點4】
經過折疊可以組合成正方體:
經過折疊可以組合成長方體：
練習：
下列三個圖形中，能拼成正方體的是（
?。?br/>　?、??
②???
③
【知識點5】
長方體或正方體的切割組合對棱長的影響
（1）切割
將長方體橫向切割成兩個長方體后，棱長將比原來一個長方體時增加4條長和4條寬；（棱長增加的最長）
將長方體豎向切割成兩個長方體后，棱長將比原來一個長方體時增加4條寬和4條高；（棱長增加的最短）
將正方體沿無論沿那個方向切割成兩個長方體后，棱長將比原來增加4條棱。
2、組合
將兩個完全相同的長方體沿上下面組合后，棱長比原來兩個長方體時減少4條長和4條寬；（棱長減少的最多）
將兩個完全相同的長方體沿前后面組合后，棱長比原來兩個長方體時減少4條長和4條高；
將兩個完全相同的長方體沿左右面組合后，棱長比原來兩個長方體時減少4條寬和4條高；（棱長減少的最少）
將兩個完全相同的正方體沿上下面組合后，棱長比原來兩個正方體時減少8條棱；
一次類推將三個完全相同的正方體沿上下面組合后，棱長比原來三個正方體時減少16條棱，四個組合減少24條棱，五個組合減少32條……（公式：8×（N—1））
例如：將五個完全相同的正方體組合成一個長方體后，棱長和為140厘米，原來每個正方體的棱長和是多少？
分析：五個正方體棱長共有12×5=60條；
將五個完全相同正方體組合后棱長比原來減少32條，還剩60-32=28條；
即這28條棱的長度和即為新長方體的棱長和，所以正方體一條棱的長度為：140÷28=5cm；
所以一個正方體的棱長和為：5×12=60cm。
【知識點6】
小正方體拼大正方體的規律
由于正方體，每條棱的長度相等，所以要用小的正方體拼出大的正方體每條棱上擺放的小正方的個數應該是相等的，因此要拼出最小的正方體至少需要2×2×2=23=8個（也就是說每條棱上放2個小正方體），接著再往大了拼正方體，就是每條棱上放3個小正方體即3×3×3=33=27個，依次類推接下來是4×4×4=43=64個；5×5×5=53=125個……
從中我們可以發現要用小的正方體拼出大的正方體所需要的小正方體的個數應該是一個數的立方。這就要求我們能夠熟記一些數的立方：
23=8
33=27
43=64
53=125
63=216
73=343
83=512
93=729
103=1000
小正方體拼大長方體的規律
規律同正方體，首先觀察大長方體各棱長分別是小正方體棱長的幾倍，如，長方體長是小正方體棱長的a倍，寬是小正方體棱長的b倍，高是小正方體棱長的c倍，則，大長方體就是由a×b×c個小正方體組成的。
練習：
（1）用棱長為3厘米的小正方體拼棱長為9厘米的大正方體需要（
）個小正方體。
A、8個
B、27個
C、26個
D、64個
（2）一個長方體的長寬高分別是18、12、9，如果用棱長為3的小正方拼一個這樣的長方體，一共需要（
）塊這樣的小正方體。
（3）一個長方體的盒子里面長5分米，寬4分米，深3分米，放棱長為5厘米的正方體小木塊共可以放（
?。K。
2、長方體和正方體的表面積
【知識點1】
長方體表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2
=（a×b+a×c+b×c）×2
=（前面面積+上面面積+右面面積）×2
正方體表面積=棱長×棱長×6=a×a×6=6a2
=任意一個面的面積×6
前面面積=后面面積；左面面積=右面面積；上面面積=下面面積
兩個棱長和相等的長方體或一個長方體和一個正方體，表面積不一定相等！
表面積相等的兩個長方體或一個長方體和一個正方體，棱長和也不一定相等！
練習：
1、一個長方體長6厘米，寬4厘米，高3厘米。這個長方體上下兩個面的面積各是（??
）平方厘米，前后兩個面的面積各是（??
）平方厘米，左右兩個面的面積各是（??
）平方厘米，表面積是（??
）平方厘米。
2、
判斷題：長方體的表面積一定比正方體的表面積大。
(
)
如果一個長方體能鋸成四個完全一樣的正方體，那么長方體前面的面積是底面積的4倍．（?????）
3、
把一個棱長為6米的正方體分成兩個大小、形狀相同的長方體，每個長方體的表面
積是（????
）㎡。
4、
長方體的長是6厘米，寬是4厘米，高是2厘米，它的棱長總和是
（??????
）厘米，六個面中最大的面積是（??????
）平方厘米，表面積是（??????
）平方厘米。
5、用字母表示正方體（或長方體）的表面積＝（　　　
）；用字母表示長方體的體積公式是（　　　
）。
6、下面哪些問題跟長方體表面積有關。
（
）
A：在一個長方體木箱外面刷油漆，刷油漆的面積一共有多少平方分米？
B：做一個長方體的金魚缸需要多少玻璃？
C：
求一個長方形足球場需多少平方米的草皮？
7、一個長方體的長是5分米，寬和高都是4分米，在這個長方體中，長度為4分米的棱有（
）條，面積是20平方分米的面有（
）個。
8、一個長方體的金魚缸，長是8分米，寬是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打壞了，修理時配上的玻璃的面積是（
）。
9、一個長方體側面積是360平方厘米，高是9厘米，長是寬的1.5倍，求它的表面積。
【知識點2】
長方體表面求法的變形：
1　貼商標類型：只求四周面積。
例如：一個長方體包裝盒，長寬高分別為8,4,5，需要在包裝盒四周貼上商標，需要商標紙的面積是多少？
2　游泳池類型：只求四周和底面。
例如：一座游泳池，長寬高分別為10m，4m，1.5m，需要在池內貼上邊長為1dm的瓷磚，大約需要多少塊瓷磚？
3　抽紙盒類型：六個面面積減去缺口面積。
例如：一款抽紙盒，長寬高分別是20cm，12cm，5cm，上面有長14cm，寬3cm的抽紙口，做這款抽紙盒需要多少硬紙片？
4　占地面積問題：只求底面面積。
例如：一個長方體蓄水池，長12m，寬8m，深3m，這個水池占地面積多少平方米？
練習：
（1）一盒餅干長20厘米，寬15厘米，高30厘米，現在要在它的四周貼上商標紙，如果商標紙的接頭處是4厘米，這張商標紙的面積是多少平方厘米？
（2）一種長方體硬紙盒，長10厘米，寬6厘米，高5厘米，有2平方米的硬紙板210張，可以做這樣的硬紙盒多少個？（不計接口）
（3）一個通風管的橫截面是邊長是0.5米的正方形,長2.5米.如果用鐵皮做這樣的通風管50只,需要多少平方米的鐵皮?
（4）一個房間的長6米，寬3.5米，高3米，門窗面積是8平方米。現在要把這個房間的四壁和頂面粉刷水泥，粉刷水泥的面積是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？
（5）在一節長120厘米，寬和高都是10厘米的通風管，至少需要鐵皮多少平方厘米？做12節這樣的通風管呢？
（6）做一個正方體無蓋紙盒，棱長是21厘米，至少需要多少平方厘米的紙板？
（7）一個抽屜，長50厘米，寬30厘米，高10厘米，做這樣的2個抽屜，至少需要木板多少平方厘米？
（8）長方體的長為12厘米，高為8厘米，陰影部分的兩個面的面積和是200平方厘米，這個長方體的表面積是多少平方厘米？
3.
一只魚缸，棱長和為280cm，其中，底面周長為50cm，右面周長為40cm，前面周長為50cm，這只魚缸的占地面積是多少平方厘米？
（10）一塊長方形鐵皮長60厘米，寬40厘米，如
圖，
從四個角上剪去邊長是10厘米的正方形，然后做成盒子，這個盒子的表面積是多少平方厘米？
（11）一個無蓋正方體鐵桶內外進行涂漆，涂漆的是（
）個面.
【知識點3】
棱長變化對表面積的影響：
（1）正方體
正方體的棱長擴大2倍，其棱長和也擴大2倍，表面積擴大4倍，體積擴大8倍；
正方體的棱長擴大3倍，其棱長和也擴大3倍，表面積擴大9倍，體積擴大27倍；
正方體的棱長擴大n倍，其棱長和也擴大n倍，表面積擴大n2倍，體積擴大n3倍。
2、長方體
長方體的長寬高同時擴大2倍，其棱長和也擴大2倍，表面積擴大4倍，體積擴大8倍；
長方體的長寬高同時擴大3倍，其棱長和也擴大3倍，表面積擴大9倍，體積擴大27倍；
長方體的長寬高同時擴大n倍，其棱長和也擴大n倍，表面積擴大n2倍，體積擴大n3倍。
長方體的長擴大a倍，寬擴大b倍，高擴大c倍，棱長和變化無規律，表面積變化也無規律，體積擴大a×b×c倍。
長方體的長擴大a倍，寬擴大b倍，棱長和變化無規律，表面積變化無規律，體積擴大a×b倍
。
長方體的寬擴大b倍，高擴大c倍，棱長和變化無規律，表面積變化無規律，體積擴大b×c倍
。
長方體的長擴大a倍，高擴大c倍，棱長和變化無規律，表面積變化無規律，體積擴大a×c倍
。
練習：
（1）大正方體的棱長是小正方體的棱長的2倍，那么大正方體的表面積是小正方體表面積的（?????
）倍。
（2）正方體的棱長縮小5倍，它的體積就縮小（??????
）倍．
（3）一個長方體的長、寬、高都擴大4倍，它的表面積就（
）。
（4）正方體的棱長擴大6倍，表面積擴大（
??????）倍。
（5）一個正方體的棱長為4厘米擴大為2倍后，其棱長和為（
）厘米，表面積為（
）平方厘米比原來擴大了（
）。
（6）一個長方體長擴大2倍，高擴大4倍，體積擴大（
）倍。
（7）大正方體的表面積是小正方體的4倍，那么大正方體的棱長是小正方體的（　?。淮笳襟w棱長之和是小正方體的（
）
A.2倍
B.4倍
C.6倍
D.8倍
（8）把一個正方體切成大小相等的8個小正方體，8個小正方體的表面積之和（　
　
）。
A.等于大正方體的表面積
B.等于大正方體表面積的2倍
C.等于大正方體表面積的3倍
（9）判斷：一個長方體的長擴大2倍，寬擴大3倍，高擴大4倍，這個長方體的表面積擴大24倍。（
）
正方體的棱長擴大1.2倍，它的棱長也擴大1.2倍，它的表面積就擴大14.4倍。（
）
有棱長為1厘米的正方體拼成較大的正方體，其表面積比原來一個正方體時擴大了4倍。（
）
棱長為16厘米的正方體，將棱長縮小2倍后，其棱長為4厘米，其表面積也縮小了4倍。（
）
【知識點4】
5、立體圖形的切割：（切割會使表面積增加，因此存在表面積增加最多或最少的問題）
?
長方體
沿與原來長方體最大面平行的方向切割，其表面積比原來增加的最多。
沿與原來長方體最小面平行的方向切割，其表面積比原來增加的最少。
而且每切一刀增加兩個完全相同的面，切兩刀增加四個完全相同的面，依次類推。
?
正方體
無論沿那個面平行的方向切，都將增加兩個正方形的面，增加的面積均為2a2不存在增加最多最少的問題。
例如：兩盒磁帶有三種不同的包裝方式，你說哪一種最省包裝紙？
要求最省包裝紙，即表面積最小，也就是表面積比原來單獨包裝時減少的表面積最多，根據規律應該選擇第一種包裝方式。
練習：
（1）把一個棱長為6米的正方體分成兩個大小、形狀相同的長方體，每個長方體的表面積是（??
??
）㎡。
（2）用兩個長4厘米、寬4厘米、高1厘米的長方體拼成一個大長方體，這個長方體的表面積最大是（????
）平方厘米，最小是（?????
）平方厘米。
（3）把一根長80厘米，寬5厘米，高3厘米的長方體木料鋸成長都是40厘米的兩段，表面積比原來增加了（
）平方厘米。
（4）用兩個長、寬、高分別是3厘米，2厘米，1厘米的長方體拼成一個大長方體，這個大長方體的表面積最小是（????
）平方厘米。
（5）棱長是a的兩個立方體拼成長方體，長方體的表面積比正方體的表面積和減少（????
）。
（6）一根長方體木料，長1.5米，寬和厚都是2分米，把它鋸成4段，表面積最少增加（???
）平方分米．
（7）一個長5厘米，寬4厘米，高3厘米的長方體，截成兩個形狀，大小完全一樣的長方體，表面積最多能增加多少平方厘米？
（8）把一根長2米的方木（底面是正方形）鋸成三段，表面積增加5.76平方分米，原來這根方木的底面積是多少平方分米？
（9）一根1.8m長的木材，鋸成三個完全相同的正方體后，表面積比原來增加多少平方厘米？
（10）一個長方體長為1.5分米，寬為0.5分米，高位1分米，鋸三刀之后之后可以鋸成6個完全相同的正方體，每個正方體的表面積是多少？這時表面積之和比原來增加多少？
?
從一個長方體中切出一個最大的正方體問題
應該以長方體中最短的棱作為切出正方體的棱長，這樣的正方體將是能切出的最大正方體，否則切出的將不是正方體。
例如：在一個長是4厘米，寬為3厘米，高為2厘米的長方體中切出一個最大的正方體，該正方體的棱長和是多少？剩余部分的表面積是多少？
?
立體圖形的組合（組合只會使表面積減少，因此存在減少最多或最少的問題）
?
長方體
將原來長方體的最大面組合在一起，其表面積比原來減少的最多。
將原來長方體的最小面組合在一起，其表面積比原來減少的最少。
而且兩個組合將減少兩個完全相同的面，三個組合減少四個完全相同的面，依次類推。
?
正方體
無論沿那個面組合，都將減少兩個正方形的面，減少的面積均為2a2不存在增加最多最少的問題。
練習：
（1）把三個棱長是1厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是（
），比原來3個正方體表面積之和減少了（
）。
（2）把三個棱長是2分米的正方體拼成一個長方體，表面積是（
），體積是（
）。
（3）用27個體積是1立方厘米的小正方體粘合成一個大正方體，粘合后的大正方體的表面積是（
）
（4）把三個完全相等的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是350平方米。這個正方形的表面積是多少平方米？
3、
一個長方體的長8厘米，寬6厘米，高5.5厘米。將兩個這樣的長方體拼成一個大長方體，表面積最大是多少？體積是多少？
（6）一種長方體積木，長3厘米，寬2.5厘米，高2厘米。將兩塊這樣的長方體拼成一個新的長方體，表面積最小是多少？
4、用3個棱長5分米的正方體粘合成一個長方體，表面積減少多少平方分米？表面積是多少平方厘米？
（8）有三個大小相等的正方體，將他們拼成長方體，表面積減少32平方厘米。求所拼長方體的表面積。
（9）用兩個同樣的長、寬、高分別為4厘米、3厘米和2厘米的小長方體，拼成一個表面積最大的長方體，這個大長方體的表面積是多少平方厘米？
（10）用兩個長6厘米，寬3厘米，高1厘米的長方體一起包裝，至少需要包裝紙多少？
（11）用3個棱長4分米的正方體粘合成一個長方體，長方體的表面積比3個正方體的表面積少多少平方分米？表面積是多少平方厘米？
（12）用兩個同樣的長、寬、高分別為4厘米、3厘米和2厘米的小長方體，拼成一個表面積最大的長方體，這個大長方體的表面積是多少平方厘米？
【知識點5】
小正方體拼成的大正方體表面涂漆問題
例如：
練習：
圖1
圖2
小正方體拼成的大正方體在取走一部分后表面積的變化
【知識點6】
單位換算
長度單位：mm、cm、dm、m
相鄰兩個單位進率為10
面積單位：mm2、cm2、dm2、m2
相鄰兩個單位進率為100
體積單位：mm3、cm3、dm3、m3
相鄰兩個單位進率為1000
容積單位：ml、l
相鄰兩個單位進率為1000
特別的：1ml=cm3
1l=1dm3
1方=1m?
不是同一類型的單位，數據不能比較大小，同一類型的單位中右邊的單位比左邊的單位大。
大單位化小單位乘以進率，小單位化大單位除以進率。
例如：手指尖約占了1立方厘米的空間，即它的體積約為1立方厘米。
一個粉筆盒的體積約為1
dm?。
建一游泳池，約要挖土6000方。
1.36
dm?
=1360
cm?
4.573m?
=4573
dm?
一個燒杯約能裝水500ml。
520ml=0.52L
5.67L=5.67
dm?
=5670cm?
練習：
(1)3.2立方分米=（
）立方厘米
500立方分米=（
）立方米
9立方米500立方分米=（
）立方米=（
）立方分米
3.6升=（
）毫升=（
）立方厘米
1700平方厘米=（
）平方分米=（
）平方米
3升=（
）毫升
2700毫升=（
）升
2.57升=（
）毫升
640毫升=（
）升
2.8立方分米=(　　
)立方厘米??
0.8升=(　　
)毫升
720立方分米=(　　　
)立方米?
51000毫升=
(????
)升
32立方厘米=(　　　
)立方分米?????
4.25立方米=(　　　
)立方分米=(　　　
)升
2.7立方米=(　　
)升??
1200毫升=(　　
)立方厘米??
1.24立方米=(　　
)升=(　　　
)毫升
3.06升=（???
）升（???
）毫升
40立方米＝（????
）立方分米
4立方分米5立方厘米＝（??????
）立方分米
30立方分米＝（?????
）立方米
0.85升＝（??????
）毫升
2100毫升＝（??????
）立方厘米＝（??????
）立方分米
0.3升＝（??????
）毫升＝（??????
）立方厘米
(2)一個水池能裝水400立方米，這是指（
），占地2公頃指的是（
）。
一塊橡皮擦的體積約是8(
)。
一本書的封面約是2(
)。
運貨集裝箱的體積約是40(
)。
一支鋼筆長18(
)。
一臺錄音機的體積約是20(
)。
三、長方體和正方體的體積
【知識點1】
容積與體積基本概念
體積是指所占空間的大小；容積是指所容納物體的體積；一個物體的容積一般都比它的體積小。
當容器壁厚度忽略不計時體積=容積；否則體積<容積。
比如說，一個洗發液的瓶子里面所能裝下的洗發液的體積就是它的容積。（容器壁忽略不計）
體積計算方法：
長方體的體積=長×寬×高
正方體的體積=棱長×棱長×棱長
長方體和正方體的體積=底面積×高
=右面面積×長
=前面面積×寬
體積相等的兩個長方體或者一個長方體與一個正方體，表面積不一定相等，棱長和也不一定相等。
體積相等的兩個正方體，表面積一定相等，棱長和也一定相等。
體積相等的情況下正方體的表面積比長方體的?。槐砻娣e相等的情況下正方體的體積比長方體的體積大。
練習：
5.
判斷：
體積單位比面積單位大，面積單位比長度單位大．?（??????
）
正方體和長方體的體積都可以用底面積乘高來進行計算．（?????
）
表面積相等的兩個長方體，它們的體積一定相等．?
（?????）
長方體的體積就是長方體的容積．?
（????
）
（2）一個正方體的棱長和是12分米，它的體積是（??????
）立方分米．
（3）一個長方體的體積是30立方厘米，長是5厘米，高是3厘米，寬是（??????）厘米．
（4）表面積是54平方厘米的正方體，它的體積是（??????
）立方厘米．
（5）一個長方體框架長8厘米，寬6厘米，高4厘米，做這個框架共要（??????
）厘米鐵絲，是求長方體（??????
），在表面貼上塑料板，共
要（??????
）塑料板是求（??????
），在里面能盛（??????
）升水是
求（??????
），這個盒子有（??????
）立方米是求（??????
）．
（6）長方體的長是6厘米，寬是4厘米，高是2厘米，它的棱長總和是
（??????
）厘米，六個面中最大的面積是（??????
）平方厘米，表面積是（??????
）平方厘米，體積是（??????
）立方厘米．
（7）一個正方體棱長2厘米，體積是（　　　
）立方厘米，如果這個正方體的棱長擴大2倍，它的體積是（　　　
）立方厘米。
（8）一個菜窖能容納6立方米白菜，這個菜窖的（????
）是
6立方米．
（9）表面積相等的長方體和正方體的體積相比，（??????）．
?、僬襟w體積大　?、陂L方體體積大　　③相等
（10）將一個正方體鋼坯鍛造成長方體，正方體和長方體（????????
）．
　
?、袤w積相等，表面積不相等　?、隗w積和表面積都不相等．　?、郾砻娣e相等，體積不相等．
1、要制作140個棱長5厘米的正方體木塊，至少需要木料多少立方分米？
（12）某紙盒廠生產一種正方體紙板箱，棱長40厘米，它的體積是多少立方厘米？合多少立方分米？
2、長方體的長為12厘米，高為8厘米，陰影部分的兩個面的面積和是200平方厘米，這個長方體的體積是多少立方厘米？
3、一個長方體的沙坑裝滿沙子，這個沙坑長3米，寬1.5米，深2米，每立方米沙子重1400千克，這個沙坑里共裝沙子多少噸？
4、有一塊面積為36平方分米的鐵皮，將其制作成可以容納最多物體的形狀，其棱長是多少？可以容納多少立方分米的物體？
（15）用一根12分米長的鐵絲圍成一個最大的正方體框架，這個正方體的體積是（
）立方分米。
【知識點2】
體積大小的比較
對于液體可以直接比較體積的大小，如果液體體積小于容器既可以裝得下，如果大于容器體積則裝不下。
對于固體而言，在體積小于容器體積的前提下，還需要比較物體的長寬高于容器的長寬高，只有物體的長寬高都小于或等于容器的長寬高時才可以將物體裝入容器。
例如：有一個長為8分米，高位5分米，體積為240平方分米的硬紙盒，有一件陶瓷長為7.4分米，高位4分米，寬為6.5分米，是否可以放入該容器？
分析：單純計算容器和陶瓷的體積我們可以發現：陶瓷體積<硬紙盒體積。但這并不意味著瓷器就可以裝進盒子。
我們還需要觀察陶瓷長寬高于容器長寬高的大小。
通過計算硬紙盒的長=8分米
寬=240÷（8×5）=6分米
高=5分米
陶瓷的長=7.4分米
寬=6.5分米
高=4分米
我們可以發現陶瓷的寬比盒子的寬大，所以即使在體積小于盒子的前提下，仍然是裝不進去的。
練習：
1.有一個長方形玻璃魚缸長為5分米，寬為3分米，高為3分米里面裝有2.5分米高的水，現在需要將該該魚缸內的水倒入一個棱長為3.5分米的正方體魚缸中，請問是否可以裝得下這么多水？如果裝得下正方體魚缸內的水有多高？
2.有一個長方體的硬紙盒，長為11分米，寬為15分米，高為6分米，現將一個長為12分米，寬為10分米，高為5分米長方體的禮品放入該盒子中，是否可以裝的進去？
【知識點3】
切割組合對體積的影響
練習：
（1）一個長方體，如果高增加3厘米，就成為一個正方體。這時表面積比原來增加了96平方厘米。原來的長方體的體積是多少立方厘米？
（2）一個長方體，把它的高增加3厘米，它就變成一個正方體，并且表面積比原來增加了１２０平方厘米，求原來的體積是多少？
（3）一個長方體，把它的高減少５厘米，它就變成一個正方體，并且表面積比原來減少了２００平方厘米，求原來的體積是多少？
（4）一個長方體正好可以分成三個完全一樣的正方體，如果切割下一個正方體，剩下的表面積比原來少了８０平方厘米，求原來長方體的表面積是多少？
（5）一個棱長為１分米的正方體木塊切割成棱長是１厘米的小正方體，把切成的所有正方體緊挨著排成一排，可以排多少米？
（6）把一個棱長為１米的正方體木塊切割成棱長是１分米的小正方體，把切成的所有正方體緊挨著排成一排，可以排多少米？
（7）把一個棱長為１米的正方體木塊切割成棱長是１厘米的小正方體，把切成的所有正方體緊挨著排成一排，可以排多少米？
（8）一個長方體木箱，從里面量長0.6米，寬0.4米，高0.2米，這個長方體木箱內能裝（
）個棱長2分米的正方體物體。
【知識點4】
砌墻類問題
練習：
（1）一塊長1.2米,寬6分米,厚3分米的長方體木塊,可以截出多少塊棱長為3分米的正方體？
【知識點5】
填土抬高地面類問題
【知識點6】
計算不規則物體體積的方法
液面上升或下降的問題
練習：
（1）一個長方體魚缸，長８０厘米，寬６０厘米，深４０厘米，把一塊長３０厘米，寬２４厘米，高１６厘米的鐵塊浸入在水中，水面將上升多少厘米?
（2）在一個長６０厘米，寬５４厘米，深４５厘米的長方體魚缸里放入一些水，并在水中浸入一塊長１２厘米，寬１８厘米，高１５厘米的鐵塊，把鐵塊從水中取出，水面將下降多少厘米？
（3）一個長方體魚缸，長８０厘米，寬６０厘米，深４０厘米，把一塊長３０厘米，寬２４厘米，鐵塊浸入在水中，水面上升９厘米,求鐵塊的高。
（4）在一個長６０厘米，寬５４厘米，深４５厘米的長方體魚缸里放入一些水，并在水中浸入一塊長１２厘米，寬１８厘米的鐵塊，把鐵塊從水中取出，水面下降５厘米，求鐵塊的高。
（5）一個長方體魚缸，長８０厘米，寬６０厘米，深４０厘米，把一塊底面邊長為２０厘米，高為１２０厘米的鐵塊直立在水中，水面上升多少厘米？
【知識點7】
等體積變形問題
練習：
（1）把一個棱長6分米的正方體鋼錠熔鑄成一個長方體鋼錠，這個長方體長9分米，寬4分米，求這個長方體鋼錠高多少分米？
【知識點8】
展開圖形拼長方體或正方體
（1）用一張長60厘米，寬40厘米的長方形鐵皮，做成一個無蓋長方體盒子，做成盒子的容積是多少？
思路一：從四個角上分別剪去一個邊長為１０厘米的正方形后，觀察思考做成的長方體長是（　　　?。?，寬是（　　　），高是多少？求出它的容積。
思路二：從左邊剪下兩個邊長為１０厘米的正方形，然后把這兩個正方形焊接到右邊，做成一個無蓋的長方體，觀察思考做成的長方體長是（　　　?。?，寬是（　　?。呤嵌嗌?？求出它的容積。
思路三：從這個長方體上先剪下一個連長為４０厘米的正方形做底面，然后把剩下的長方體平均分成四個長方形做前后左右面這樣做成一個無蓋長方體，觀察思考做成的長方體長是（　　　?。?，寬是（　　?。?，高是多少？求出它的容積。
【知識點9】
棱長變化對體積的影響
練習：
（1）正方體棱長擴大2倍，表面積擴大（
）倍，體積擴大（
）倍
（2）長方體的長擴大2倍，寬擴大3倍，高擴大4倍，體積擴大（
）倍。
5、一個棱長1米的大正方體能分成（
）個棱長是1厘米的小正方體，如果把這些小正方體排成一排能排（
）米。
（3）一個表面積為36平方厘米的正方體木塊，切成兩個長方體，表面積增加了（
）平方厘米。
（4）一個正方體棱長縮小2倍，表面積縮?。?br/>）倍，體積縮小（
）倍。
30㎝
20cm
20cm
30m
6m
50m
上面
下面
左面
后面
右面
前面
大正方體長、寬、高上有幾個小正方體，則將長、寬、高上的正方體數相乘就是大正方體所含小正方體的總數；
在頂點位置的小正方體露在外面的面有3個；
在棱上（不包含頂點位置）的小正方體露在外面的面有2個；
在面上（不包含棱上）的小正方體露在外面得面有1個；
用總數—3個面的—2個面的—1個面得=沒有露在外面的小正方體的個數。
在該正方體表面涂上漆，有三個面涂上漆的小正方體有幾個？
有兩個面圖上漆的小正方體有幾個？
有一個面涂上漆的小正方體有幾個？
沒有涂上漆的小正方體有幾個？
圖一中，長方體共有（
）個小正方體；其中兩個面露在外面的小正方體共有（
）個；沒有露在外面的小正方體共有（
）個。
圖二中三個圖一次有（
）、（
）、（
）小正方體組成。第二個長方體中有三個面在外面得正方體有（
）個，兩個面在外面的正方體有（
）個，一個面在外面的有（
）個，沒有露在外面的小正方體（
）。
挖去的小正方體在頂點位置，則大正方體的表面積不變，因為原來在頂點位置小正方體露在外面的面為3個，挖去后露出來的面也是3個，所以表面積不變。
挖去的小正方體在棱的位置，則大正方體的表面積增加，因為原來在棱上的小正方體露在外面的面有2個，挖去后會露出4個面，所以表面積會增大。
挖去的小正方體在面上，則大正方體的表面積也會增加，因為原來在面上的小正方體只有1個面露在外面，挖去后會露出5個面，所以表面積會增大。
高級單位
進率×高級單位的數
低級單位
低級單位的數÷進率

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