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高考數(shù)學(xué)專題—算法與程序框圖
一、基礎(chǔ)知識要求
1．算法與程序框圖
(1)算法:算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟；
(2)程序框圖:程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形．
2．三種基本邏輯結(jié)構(gòu)及相應(yīng)語句
名稱
示意圖
相應(yīng)語句
順序結(jié)構(gòu)
①輸入語句：
INPUT　“提示內(nèi)容”；變量
②輸出語句：
PRINT　“提示內(nèi)容”；表達式
③賦值語句：
變量＝表達式
條件結(jié)構(gòu)
IF__條件__THEN
語句體
END__IF
IF__條件__THEN
語句體1
ELSE
語句體2
END　IF
循環(huán)結(jié)構(gòu)
當型循環(huán)結(jié)構(gòu)
WHILE　條件
循環(huán)體
WEND
直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)
DO
循環(huán)體
LOOP__UNTIL條件
易錯點：直到型循環(huán)是“先循環(huán)，后判斷，條件滿足時終止循環(huán)”；當型循環(huán)則是“先判斷，后循環(huán)，條件滿足時執(zhí)行循環(huán)”；兩者的判斷框內(nèi)的條件表述在解決同一問題時是不同的，它們恰好相反．
算法與程序框圖常見題型：（共4種題型：由程序框圖求輸出結(jié)果、由輸出結(jié)果判斷輸入量的值、辨析程序框圖的算法功能、完善程序框圖）
由程序框圖求輸出結(jié)果：已知程序框圖，求輸出的結(jié)果，可按程序框圖的流程依次執(zhí)行，最后得出結(jié)果．
例1、【2020年高考江蘇】如圖是一個算法流程圖，若輸出的值為，則輸入的值是_____.
【答案】
【解析】由于，所以，解得.
故答案為：
例2、【廣西南寧市第三中學(xué)2020屆高三適應(yīng)性月考卷】運行如圖所示的程序算法，則輸出的結(jié)果為
A．2
B．
C．13
D．
【答案】A
【解析】當時，
；當時，；
當時，；…；當時，，
當時，，跳出循環(huán)；
故選:A．
例3、【河北省衡水中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第二次調(diào)研數(shù)學(xué)】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果是
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【解析】，，
第一次循環(huán)：
，，
第二次循環(huán)：，，
第三次循環(huán)：，，
第四次循環(huán)：，，
第五次循環(huán)：，，停止循環(huán)，
輸出.
故選B．
例4、【廣東省深圳市2020屆高三下學(xué)期第二次調(diào)研數(shù)學(xué)】執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的k＝0.4，則輸出的n＝
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【解析】模擬程序的運行，可得k＝0.4，S＝0，n＝1，
S，
不滿足條件S＞0.4，執(zhí)行循環(huán)體，n＝2，S（1），
不滿足條件S＞0.4，執(zhí)行循環(huán)體，n＝3，S（1），
此時，滿足條件S＞0.4，退出循環(huán)，輸出n的值為3.
故選：C．
例5、【甘肅省西北師大附中2020屆高三5月模擬試卷】“輾轉(zhuǎn)相除法”是歐幾里得《原本》中記錄的一個算法，是由歐幾里得在公元前年左右首先提出的，因而又叫歐幾里得算法．如圖所示是一個當型循環(huán)結(jié)構(gòu)的“輾轉(zhuǎn)相除法”程序框圖．當輸入，時，則輸出的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】輸入，，又．
①，，，；
②，，
，，；
③，，，；
④，則否，輸出.
故選：C．
例6、【重慶市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)】冰雹猜想也稱奇偶歸一猜想：對給定的正整數(shù)進行一系列變換，則正整數(shù)會被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最終都會歸入“4-2-1”的模式.該結(jié)論至今既沒被證明，也沒被證偽.
下邊程序框圖示意了冰雹猜想的變換規(guī)則，則輸出的
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由題意，第一次循環(huán)，，，，；
第二次循環(huán)，
，，，；
第三次循環(huán)，，，，；
第四次循環(huán)，，，，；
第五次循環(huán)，，，，；
此時輸出.
故選：B
例7、【重慶市南開中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期線上期中數(shù)學(xué)】若某程序框圖如圖所示，則輸出的的值是
A．31
B．63
C．127
D．255
【答案】C
【解析】第一次運行，，，成立，則，；
第二次運行，，，成立，則，；
第三次運行，，，成立，則，；
第四次運行，，，成立，則，；
第五次運行，，，成立，則，；
第六次運行，，，成立，則，；
第七次運行，，，成立，則，；
第八次運行，，，不成立，
所以輸出的值為127.
故選：C．
由輸出結(jié)果判斷輸入量的值
例8、【2020·黑龍江哈爾濱六中期中】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是，則輸入的a為(　　)
A．3
B．6
C．5
D．4
【解析】　(1)第1次循環(huán)，n＝1，S＝；第2次循環(huán)，n＝2，S＝＋；第3次循環(huán)，n＝3，S＝＋＋；第4次循環(huán)，n＝4，S＝＋＋＋＝.因為輸出的結(jié)果為，所以判斷框的條件為n<4，所以輸入的a為4.故選D.
例9、我國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》有如下問題：“今有器中米，不知其數(shù)．前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．問，米幾何？”如圖是解決該問題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的S＝1.5(單位：升)，則輸入k的值為(　　)
A．4.5
B．6
C．7.5
D．9
【解析】選B.由程序框圖知S＝k－－－＝1.5，解得k＝6，故選B.
例10、執(zhí)行下面的程序框圖,為使輸出S的值小于91,則輸入的正整數(shù)N的最小值為(　　)
A.5
B.4
C.3
D.2
【答案】D
【解析】程序運行過程如下表所示:
S
M
t
初始狀態(tài)
0
100
1
第1次循環(huán)結(jié)束
100
-10
2
第2次循環(huán)結(jié)束
90
1
3
此時S=90<91首次滿足條件,程序需在t=3時跳出循環(huán),即N=2為滿足條件的最小值,故選D.
例11、【2020屆華大新高考聯(lián)盟高三4月教學(xué)質(zhì)量測評數(shù)學(xué)】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，設(shè)輸出數(shù)據(jù)構(gòu)成集合，從集合中任取一個元素，則事件“函數(shù)在上是增函數(shù)”的概率為
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】當；
當；
當；
當；
當；
當，退出循環(huán).
所以，
又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以.
函數(shù)在上是增函數(shù)的概率為.
故選：C．
辨析程序框圖的算法功能：對于辨析程序框圖功能問題，可將程序執(zhí)行幾次，即可根據(jù)結(jié)果作出判斷．
例12、執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的x=0,y=1,n=1,則輸出x,y的值滿足
(　　)
A.y=2x
B.y=3x
C.y=4x
D.y=5x
【答案】C
【解析】由題圖可知,x=0,y=1,n=1,執(zhí)行如下循環(huán):
x=0,y=1,n=2;x=,y=2,n=3;
x=+1=,y=6,退出循環(huán),輸出x=,y=6,驗證可知,C正確.
例13、執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為
(　　)
A.(-2,2)
B.(-4,0)
C.(-4,-4)
D.(0,-8)
【答案】B
【解析】x=1,y=1,k=0,進入循環(huán):s=1-1=0,t=1+1=2,
x=0,y=2,k=0+1=1<3;s=0-2=-2,t=0+2=2,
x=-2,y=2,k=1+1=2<3;s=-2-2=-4,t=-2+2=0,x=-4,y=0,k=2+1=3≥3,跳出循環(huán),輸出(x,y),即(-4,0).
例14、執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入的N=4,那么輸出的S=(　　)
A.1+
B.1+
C.1+
D.1+
【答案】B
【解析】由程序框圖依次計算可得,輸入N=4,
T=1,S=1,k=2;
T=,S=1+,k=3;
T=,S=1+,k=4;
T=,S=1+,k=5;
此時k滿足k>N,
故輸出S=1+.
例15、如果執(zhí)行下邊的程序框圖,輸入正整數(shù)N(N≥2)和實數(shù)a1,a2,…,aN,輸出A,B,則(　　)
A.A+B為a1,a2,…,aN的和
B.
為a1,a2,…,aN的算術(shù)平均數(shù)
C.A和B分別是a1,a2,…,aN中最大的數(shù)和最小的數(shù)
D.A和B分別是a1,a2,…,aN中最小的數(shù)和最大的數(shù)
【答案】C
【解析】隨著k的取值不同,x可以取遍實數(shù)a1,a2,…,aN,依次與A,B比較,A始終取較大的那個數(shù),B始終取較小的那個數(shù),直到比較完為止,故最終輸出的A,B分別是這N個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù).
例16、【2020屆清華大學(xué)中學(xué)生標準學(xué)術(shù)能力診斷性測試高三5月測試數(shù)學(xué)】下列程序框圖的算法思想源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入，，則程序中需要做減法的次數(shù)為
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【解析】由，，滿足，滿足，則；
滿足，不滿足，則；
滿足，滿足，則；
滿足，不滿足，則；
不滿足，則輸出；
則程序中需要做減法的次數(shù)為4，
故選：C．
4、完善程序框圖：完善程序框圖問題，結(jié)合初始條件和輸出結(jié)果，分析控制循環(huán)的變量應(yīng)滿足的條件或累加、累乘的變量的表達式．
例17、【2020屆河南省商丘周口市部分學(xué)校聯(lián)考高三5月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)】宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：“松長六尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松長？”如圖是解決此問題的一個程序框圖，其中為松長、為竹長，則矩形框與菱形框處應(yīng)依次填
A．；
B．；
C．；
D．；
【答案】B
【解析】松日自半，則表示松每日增加原來長度的一半，即矩形框應(yīng)填；何日竹逾松長，則表示竹長超過松長，即松長小于竹長，即菱形框應(yīng)填.
故選：B
例18、【2019·全國1·理T8文T9】下圖是求的程序框圖,圖中空白框中應(yīng)填入(　　)
A.A=
B.A=2+
C.A=
D.A=1+
【答案】A
【解析】執(zhí)行第1次,A=,k=1≤2,是,第一次應(yīng)該計算A=,k=k+1=2;執(zhí)行第2次,k=2≤2,是,第二次應(yīng)該計算A=,k=k+1=3;執(zhí)行第3次,k=3≤2,否,輸出,故循環(huán)體為A=,故選A.
例19、【2018·全國2·理T7文T8】為計算S=1-+…+,設(shè)計了右側(cè)的程序框圖,則在空白框中應(yīng)填入(　　)
A.i=i+1
B.i=i+2
C.i=i+3
D.i=i+4
【答案】B
【解析】由于N=0,T=0,i=1,N=0+=1,T=0+,i=3,N=1+,T=,i=5…最后輸出S=N-T=1-+…+,一次處理兩項,故i=i+2.
例20、下面程序框圖是為了求出滿足3n-2n>1
000的最小偶數(shù)n,那么在和兩個空白框中,可以分別填入(　　)
A.A>1
000和n=n+1
B.A>1
000和n=n+2
C.A≤1
000和n=n+1
D.A≤1
000和n=n+2
【答案】D
【解析】因為要求A大于1
000時輸出,且程序框圖中在“否”時輸出,所以“”中不能填入A>1
000,排除A,B.又要求n為偶數(shù),且n初始值為0,所以“”中n依次加2可保證其為偶數(shù),故選D.
例21、執(zhí)行下面的程序框圖,當輸入的x的值為4時,輸出的y的值為2,則空白判斷框中的條件可能為(　　)
A.x>3
B.x>4
C.x≤4
D.x≤5
【答案】B
【解析】因為輸入的x的值為4,輸出的y的值為2,所以程序運行y=log24=2.
故x=4不滿足判斷框中的條件,所以空白判斷框中應(yīng)填x>4.
例22、【2020年高考浙江】設(shè)集合S，T，SN
，TN
，S，T中至少有2個元素，且S，T滿足：①對于任意的x，yS，若x≠y，則xyT；②對于任意的x，yT，若xA．若S有4個元素，則S∪T有7個元素
B．若S有4個元素，則S∪T有6個元素
C．若S有3個元素，則S∪T有5個元素
D．若S有3個元素，則S∪T有4個元素
【答案】A
【解析】首先利用排除法：
若取，則，此時，包含4個元素，排除選項D；
若取，則，此時，包含5個元素，排除選項C；
若取，則，此時，包含7個元素，排除選項B；
下面來說明選項A的正確性：
設(shè)集合，且，，
則，且，則，
同理，，，，，
若，則，則，故即，
又，故，所以，
故，此時，故，矛盾，舍.
若，則，故即，
又，故，所以，
故，此時.
若，
則，故，故，
即，故，
此時即中有7個元素.
故A正確.
例23、【2020年高考全國II卷理數(shù)】0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用．若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期．對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由知，序列的周期為m，由已知，，
對于選項A，
，不滿足；
對于選項B，
，不滿足；
對于選項D，
，不滿足；
故選：C

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