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高2013級數(shù)學(xué)周考試卷
一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．）
1、 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是(　　)
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
2、 雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
3、有20位同學(xué)，編號從1至20，現(xiàn)在從中抽取4人作問卷調(diào)查，用系統(tǒng)抽樣方法確定所抽的編號為( )
A.5，10，15，20 B.2，6，10，14 C.2，4，6，8 D.5，8，11，14
4、命題“存在R，0”的否定是( )
A、不存在R, >0 B、存在R, 0
C、 對任意的R, 0 D、對任意的R, >0
5、已知條件p：<2，條件q：-5x-6<0，則p是q的
A、充分必要條件 B、充分不必要條件
C、必要不充分條件 D、既不充分又不必要條件
6、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么實(shí)數(shù)的值為
A、 B、 C、 D、
7、設(shè)，則方程不能表示的曲線為
A、橢圓 B、雙曲線
C、拋物線 D、圓
8、動圓與兩圓x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，則動圓圓心的軌跡為( )
A. 拋物線 B. 圓
C. 雙曲線的一支 D. 橢圓
9、已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線y＝2x－4與C交于A，B兩點(diǎn)，則cos∠AFB＝(　　)
A. B. C．－ D．－
10、 如圖1－1，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)．若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于(　　)
圖1－1
A. B. C. D.
11、已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A、B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為(　　)
A．18 B．24 C．36 D．48
12、設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若曲線Γ上存在點(diǎn)P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線C的離心率等于(　　)
A.或 B.或2 C.或2 D.或
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分．請把答案填在題中的橫線上）
13、已知與之間的一組數(shù)據(jù)為
0 1 2 3
1 3 5-a 7+a
則與的回歸直線方程必過定點(diǎn)______
14、 過原點(diǎn)的直線與圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得的弦長為2，則該直線的方程為________．
15、下列命題
①命題“事件A與B互斥”是“事件A與B對立”的必要不充分條件．
② “am2③ “矩形的兩條對角線相等”的否命題為假．
④在中，“”是三個(gè)角成等差數(shù)列的充要條件.
⑤中,若,則為直角三角形．
判斷錯(cuò)誤的有___________．
16、 已知圓C：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25.
(1)圓C的圓心到直線l的距離為________；
(2)圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為________．
三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17、（本小題滿分12分）
在某次測驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分．用xn表示編號為n(n＝1,2，…，6)的同學(xué)所得成績，且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢?br/>編號n,1,2,3,4,5成績xn,70,76,72,70,72
(1)求第6位同學(xué)的成績x6，及這6位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差s；
(2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績在區(qū)間(68,75)中的概率．
18、（本小題満分12分） 設(shè)p ：指數(shù)函數(shù)在R上是減函數(shù)；q：。
若p∨q是真命題，p∧q是假命題，求的取值范圍。
19、（本小題滿分12分）
直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點(diǎn)A.
(1)求實(shí)數(shù)b的值；
(2)求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．
20、（本小題滿分12分）
已知一條曲線上的每個(gè)點(diǎn)M到A（1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸的距離差都是1．
（1）求曲線的方程;
（2）討論直線y=kx+1 （k∈R）與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．
21、（本小題滿分12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若是橢圓上的動點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；
（3）過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值。
22、（本小題滿分14分） 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2,0），右頂點(diǎn)為。
（1） 求雙曲線C的方程；
（2） 若直線l：與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍。高2013級數(shù)學(xué)周考卷答案
一、選擇題。（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D B D C C D C C A
解析:1、B　【解析】 由題意設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，又∵其準(zhǔn)線方程為x＝－＝－2，∴p＝4，所求拋物線方程為y2＝8x.
2、C　【解析】 雙曲線方程可化為－＝1，所以a2＝4，得a＝2，所以2a＝4.故實(shí)軸長為4.
9、D　【解析】 法一：聯(lián)立直線與拋物線的方程得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或4，得A(1，－2)，B(4,4)，則|AF|＝2，|BF|＝5，|AB|＝3，由余弦定理得cos∠AFB＝－，故選D.
法二：聯(lián)立方程解得x＝1或x＝4，所以交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，－2)，B(4,4)，又F(1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，所以cos∠AFB＝＝＝－.
10、C　【解析】 因?yàn)镾△ABE＝|AB|·|BC|，S矩形＝|AB|·|BC|，
則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率p＝＝，故選C.
11、C　【解析】 設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則焦點(diǎn)F，A，B，
所以＝2p＝12，所以p＝6.又點(diǎn)P到AB邊的距離為p＝6，
所以S△ABP＝×12×6＝36.
12、 A　【解析】 設(shè)|F1F2|＝2c(c>0)，由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，得|PF1|＝c，|PF2|＝c，且|PF1|>|PF2|，
若圓錐曲線C為橢圓，則2a＝|PF1|＋|PF2|＝4c，離心率e＝＝；
若圓錐曲線C為雙曲線，則2a＝|PF1|－|PF2|＝c，離心率e＝＝，故選A.
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分．）
13、
14、2x－y＝0　【解析】 將圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0配方得(x－1)2＋(y－2)2＝1，
∴該圓半徑為1，圓心M(1,2)．
∵直線與圓相交所得弦的長為2，即為該圓的直徑，
∴該直線的方程的斜率k＝＝2，
∴該直線的方程為y＝2x，即2x－y＝0.
15、②⑤
16、(1)5　(2)
【解析】 (1)圓心到直線的距離為：d＝＝5;
圖1－4
(2)當(dāng)圓C上的點(diǎn)到直線l的距離是2時(shí)有兩個(gè)點(diǎn)為點(diǎn)B與點(diǎn)D，設(shè)過這兩點(diǎn)的直線方程為4x＋3y＋c＝0，同時(shí)可得到的圓心到直線4x＋3y＋c＝0的距離為OC＝3，
又圓的半徑為r＝2，可得∠BOD＝60°，由圖1－2可知點(diǎn)A在弧上移動，弧長l＝×c＝，圓周長c，故P(A)＝＝.
三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共74分．）
17、（本小題滿分12分）[2011·廣東卷] 【解答】
(1)∵＝xn＝75，
∴x6＝6－xn＝6×75－70－76－72－70－72＝90，
s2＝ (xn－)2＝(52＋12＋32＋52＋32＋152)＝49，
∴s＝7.
(2)從5位同學(xué)中隨機(jī)選取2位同學(xué)，共有如下10種不同的取法：
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}．
選出的2位同學(xué)中，恰有1位同學(xué)的成績位于(68,75)的取法共有如下4種：
{1,2}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，
故所求概率為.
18、（本小題滿分12分）解：∵p∨q是真命題，p∧q是假命題
∴p真q假 或 q假p真
p ：指數(shù)函數(shù)在R上不是減函數(shù)，即增函數(shù)；q：
∴或
所以的取值范圍是
19、（本小題滿分12分）
[2011·福建卷] 【解答】 (1)由得x2－4x－4b＝0.(*)
因?yàn)橹本€l與拋物線C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.
解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即為x2－4x＋4＝0.
解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，
故點(diǎn)A(2,1)．
因?yàn)閳AA與拋物線C的準(zhǔn)線相切，
所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y＝－1的距離，即r＝|1－(－1)|＝2.
所以圓A的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.
20、（本小題滿分12分）解：（1）設(shè)點(diǎn)M（x,y）是曲線上任意一點(diǎn),則-|x|=1，
化簡得:y2=2x+2|x|
所求曲線的方程．C1：當(dāng)x0時(shí)， y2=4x；C2：當(dāng)x<0時(shí)，y=0．
（2）直線y=kx+1過定點(diǎn)（0,1），
y=kx+1，與y2=4x聯(lián)列：ky2-4y+4=0, =16-16k
當(dāng)k=0時(shí),直線與C1有一個(gè)公共點(diǎn),而與C2沒有公共點(diǎn),共1個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)k=1時(shí), =0，直線與C1和C2各一個(gè)公共點(diǎn),共2個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)00,直線與C1有2個(gè)公共點(diǎn)，和C2一個(gè)交點(diǎn),共3個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)k<0時(shí)，>0,直線與C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，和C2沒有公共點(diǎn),共2個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)k>1時(shí), <0,直線與C1沒有公共點(diǎn)，和C2有1個(gè)公共點(diǎn),共1個(gè)公共點(diǎn);
所以:當(dāng)k=0,或k>1時(shí),直線與曲線有1個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)k=1,或k<0時(shí),直線與曲線有2個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)021、（本小題滿分12分）(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.
又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0),
由 x= 得 x0=2x－1
y= y0=2y－
由,點(diǎn)P在橢圓上,得,
∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是.
(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.
當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),說該直線方程為y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=,
∴△ABC的面積S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時(shí),等號成立.
∴S△ABC的最大值是.
22、（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為
由已知得
故雙曲線C的方程為
（Ⅱ）將
由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得
即 ① 設(shè)，則
而
于是 ②
由①、②得 故k的取值范圍為

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