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第5章 二次根式
1、二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
在二次根式中，被開放數可以是數，也可以是單項式、多項式、分式等代數式，但必須注意：因為負數沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
2、取值范圍
①二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a≧0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數大于或等于零即可。
②二次根式無意義的條件：因負數沒有算術平方根，所以當a﹤0時，沒有意義。
3、二次根式的性質
①（）的非負性
（）表示a的算術平方根，也就是說，（）是一個非負數，即0（）。
注：因為二次根式（）表示a的算術平方根，而正數的算術平方根是正數，0的算術平方根是0，所以非負數（）的算術平方根是非負數，即0（），這個性質也就是非負數的算術平方根的性質，和絕對值、偶次方類似。這個性質在解答題目時應用較多，如：若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。
②（）
文字語言敘述為：一個非負數的算術平方根的平方等于這個非負數。
注：二次根式的性質公式（）是逆用平方根的定義得出的結論。
上面的公式也可以反過來應用：若，則，如：，.
③
即：一個數的平方的算術平方根等于這個數的絕對值。
注：
（Ⅰ）化簡時，一定要弄明白被開方數的底數a是正數還是負數，若是正數或0，則等于a本身，即；若a是負數，則等于a的相反數-a,即；
（Ⅱ）中的a的取值范圍可以是任意實數，即不論a取何值，一定有意義；
（Ⅲ）化簡時，先將它化成，再根據絕對值的意義來進行化簡。
（Ⅳ）能開得盡方的因式移到根號外時，必須用它的算術平方根代替．
（Ⅴ）可移到根號內的因式，必須是非負因式，如果因式的值是負的，應把負號留在根號外．
④公式與（）的異同點
（Ⅰ）不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數a的算術平方根的平方，而表示一個實數a的平方的算術平方根；在中，而中a可以是正實數，0，負實數。但與都是非負數，即，。因而它的運算的結果是有差別的，?，而
（Ⅱ）相同點：false和false的運算結果都是非負的．當被開方數都是非負數，即時，=；時，無意義，而.
4、最簡二次根式
①被開方數是整數，因式是整式；
②被開方數中不含能開得盡方的數或因式．
5、二次根式的乘法和除法
①積的算術平方根的性質：積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積。
false=false·false（a≥0，b≥0）
②二次根式的乘法法則：兩個因式的算術平方根的積，等于這兩個因式積的算術平方根。
false·false＝false．（a≥0，b≥0）
③商的算術平方根的性質：商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根
=（a≥0，b>0）
④二次根式的除法法則：兩個數的算術平方根的商，等于這兩個數的商的算術平方根。
=（a≥0，b>0）
注意：乘、除法的運算法則要靈活運用，在實際運算中經常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值范圍，最后把運算結果化成最簡二次根式．
6、二次根式的加法和減法
（1） 同類二次根式
把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。
（2） 合并同類二次根式
把幾個同類二次根式合并為一個二次根式就叫做合并同類二次根式。
（3）二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的進行合并。
注意：對于二次根式的加減，關鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并．但在化簡二次根式時，二次根式的被開方數應不含分母，不含能開得盡的因數．
7、二次根式的混合運算
①確定運算順序
②靈活運用運算定律
③正確使用乘法公式
④大多數分母有理化要及時
⑤在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化
8、分母有理化
（1）定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：
兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：
①單項二次根式：利用false來確定，如：false，false，false與false等分別互為有理化因式。
②兩項二次根式：利用平方差公式來確定。如false與false，false，false分別互為有理化因式。
（3）分母有理化有兩種方法
I.分母是單項式
如：false
?II.分母是多項式
要利用平方差公式
如：false
注意：①根式中不能含有分母；②分母中不能含有根式。
9、根式比較大小
①根式變形法 當false時，①如果false，則false；②如果false，則false。
②平方法 當false時，①如果false，則false；②如果false，則false。
③分母有理化法 通過分母有理化，利用分子的大小來比較。
④分子有理化法 通過分子有理化，利用分母的大小來比較。
⑤倒數法
⑥媒介傳遞法 適當選擇介于兩個數之間的媒介值，利用傳遞性進行比較。
⑦作差比較法
在對兩數比較大小時，經常運用如下性質：①false；②false
⑧求商比較法
運用如下性質：當a>0，b>0時，則：false；false

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