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第2章　三角形
一、三角形
（一）、三角形概念
1、不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，稱為三角形，可以用符號“Δ”表示。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。
2、頂點是A、B、C的三角形，記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”。
3、組成三角形的三條線段叫做三角形的邊，即邊AB、BC、AC，有時也用a，b，c來表示，頂點A所對的邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b，c來表示；
4、∠A、∠B、∠C為ΔABC的三個內角。
（二）、三角形中三邊的關系
1、三邊關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。
用字母可表示為a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b2、判斷三條線段a,b,c能否組成三角形：
（1）當a+b>c,a+c>b,b+c>a同時成立時，能組成三角形；
（2）當兩條較短線段之和大于最長線段時，則可以組成三角形。
3、確定第三邊（未知邊）的取值范圍時，它的取值范圍為大于兩邊的差而小于兩邊的和，即.
4、作用：
①判斷三條已知線段能否組成三角形；
②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍；
③證明線段不等關系。
（三）、三角形中三角的關系
1、三角形內角和定理：三角形的三個內角的和等于1800。
2、三角形按內角的大小可分為三類：
（1）銳角三角形，即三角形的三個內角都是銳角的三角形；
（2）直角三角形，即有一個內角是直角的三角形，我們通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所對的邊AB稱為直角三角表的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角三角形的直角邊。
注：直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余。
（3）鈍角三角形，即有一個內角是鈍角的三角形。
3、判定一個三角形的形狀主要看三角形中最大角的度數。
4、直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。
5、任意一個三角形都具備六個元素，即三條邊和三個內角。都具有三邊關系和三內角之和為1800的性質。
6、三角形內角和定理包含一個等式，它是我們列出有關角的方程的重要等量關系。
（四）、三角形的三條重要線段
1、三角形的三條重要線段是指三角形的角平分線、中線和高線。
2、三角形的角平分線：
（1）三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。
（2）任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內一點。
3、三角形的中線：
（1）在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線。
（2）三角形有三條中線，它們相交于三角形內一點。
4、三角形的高線：
（1）從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱為三角形的高。
（2）任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點。
區　　別
相　　同
中　　線
平分對邊
三條中線交于三角形內部
（1）都是線段
（2）都從頂點畫出
（3）所在直線相交于一點
角平分線
平分內角
三條角平分線交于三角表內部
高　　線
垂直于對邊（或其延長線）
銳角三角形：三條高線都在三角形內部
直角三角形：其中兩條恰好是直角邊
鈍角三角形：其中兩條在三角表外部
（五）、三角形的穩定性：
三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩定性。四邊形具有不穩定性。
二、定義、命題及證明
1.定義：一般地，用來說明一個名詞或者一個術語的意義的句子叫做定義.
2.命題：判斷一件事情的句子，叫做命題.
要點詮釋：
（1）每個命題都由題設、結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項.
（2）正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.
（3）公認的真命題叫做公理.
（4）經過證明的真命題稱為定理.
3.證明:在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理，才能作出判斷，這種演繹推理的過程稱為證明.
要點詮釋：
（1）實驗、觀察、操作所得出的結論不一定都正確，必須推理論證后才能得出正確的結論．
（2）證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”，這些根據可以是已知條件，學過的定義、基本事實、定理等.?
（3）判斷一個命題是正確的，必須經過嚴格的證明；判斷一個命題是假命題，只需列舉一個反例即可．
三、等腰三角形
1.等腰三角形的性質
（1）等腰三角形的兩個底角相等。（等邊對等角）
（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（三線合一）
（3）等腰三角形的其他性質：
①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。
③等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，則false④等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=false
2、等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。（等角對等邊）
等腰三角形的性質與判定
等腰三角形性質
等腰三角形判定
中線
1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角；
2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并且它們的交點與底邊兩端點距離相等。
1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形；
2、如果一個三角形的一邊中線垂直這條邊（平分這個邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形
角平分線
1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊；
2、等腰三角形兩底角平分線相等，并且它們的交點到底邊兩端點的距離相等。
1、如果三角形的頂角平分線垂直于這個角的對邊（平分對邊），那么這個三角形是等腰三角形；
2、三角形中兩個角的平分線相等，那么這個三角形是等腰三角形。
高線
1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊；
2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且它們的交點和底邊兩端點距離相等。
1、如果一個三角形一邊上的高平分這條邊（平分這條邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形；
2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形。
角
等邊對等角
等角對等邊
邊
底的一半<腰長<周長的一半
兩邊相等的三角形是等腰三角形
四、等邊三角形
1.等邊三角形的性質：等邊三角形的三個角都相等，并且每一個角都等于60°。
2.等邊三角形的判定：
①三個角都相等的三角形是等邊三角形。
②有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
3.在直角三角形中，如果一個銳角等于300，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
五、線段的垂直平分線（中垂線）
（1）線段垂直平分線的性質及判定
性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。
判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。
（2）三角形三邊的垂直平分線的性質
三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。
（3）如何用尺規作圖法作線段的垂直平分線
分別以線段的兩個端點A、B為圓心，以大于AB的一半長為半徑作弧，兩弧交于點M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線。
六、全等三角形
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。一個三角形經過平移、翻折、旋轉可以得到它的全等形。
2、全等三角形有哪些性質
（1）：全等三角形的對應邊相等、對應角相等。
（2）：全等三角形的周長相等、面積相等。
（3）：全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。
3、全等三角形的判定
邊邊邊：三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“SSS”)
邊角邊:兩邊和它們的夾角對應相等兩個三角形全等（可簡寫成“SAS”)
角邊角:兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“ASA”)
角角邊:兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“AAS”)
斜邊.直角邊：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“HL”)
七、用尺規作三角形
1、作圖題的一般步驟：
（1）已知，即將條件具體化；
（2）求作，即具體敘述所作圖形應滿足的條件；
（3）分析，即尋找作圖方法的途徑（通常是畫出草圖）；
（4）作法，即根據分析所得的作圖方法，作出正式圖形，并依次敘述作圖過程；
（5）證明，即驗證所作圖形的正確性（通常省略不寫）。
2、熟練以下三種三角形的作法及依據。
（1）已知三角形的兩邊及其夾角，作三角形。
（2）已知三角形的兩角及其夾邊，作三角形。
（3）已知三角形的三邊，作三角形。

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