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一、比例的性質
1．，這一性質稱為比例的基本性質,由它可推出許多比例形式；
2．(反比定理)；
3．(或)(更比定理)；
4．(合比定理)；
5．(分比定理)；
6．(合分比定理)；
7．(等比定理).
二、 黃金分割
如圖，若線段上一點把線段分成兩條線段和（），且使是和的比例中項（即）則稱線段被點黃金分割，點叫線段的黃金分割點，其中，，與的比叫做黃金比．
三、平行線分線段成比例定理
1．定理：三條平行直線截兩條直線，截得的對應線段成比例．
2．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．
3．推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．
4．三角形一邊的平行線性質
平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．
如圖，，則．若將稱為上，稱為下，稱為全，上述比例式可以形象地表示為．
當三條平行線退化成兩條的情形時，就成了“”字型，“”字型．則有 ．
四、相似三角形的定義
1．相似三角形：形狀相同的兩個三角形叫做相似三角形．
如圖，與相似，記作，符號讀作“相似于”．
2．相似三角形的相似比：相似三角形對應邊的比叫做相似比；
全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。
五、相似三角形的判定：
1．平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。
2．如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。
可簡單地說成：三邊對應成比例，兩個三角形相似。
3．如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似。
4．如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。
可簡單說成：兩角對應相等，兩個三角形相似。
【注意】1．如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．
2．直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形相似（常用但要證明）
3．如果一個等腰三角形和另一個等腰三角形的頂角相等或一對底角相等，那么這兩個等腰三角形相似；如果它們的腰和底對應成比例，那么這兩個等腰三角形也相似．
六、相似三角形的性質：
1．相似三角形的對應角相等
如圖，與相似，則有．
2．相似三角形的對應邊成比例
如圖，與相似，則有（為相似比）．
3．相似三角形的對應邊上的中線，高線和對應角的平分線成比例，都等于相似比．
如圖，與相似，是中邊上的中線，是中邊上的中線，則有（為相似比）．
如圖，與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）．
如圖，與相似，是中的角平分線，是中的角平分線，則有（為相似比）．
4．相似三角形周長的比等于相似比．
如圖，與相似，則有（為相似比）．應用比例的等比性質有．
5．相似三角形面積的比等于相似比的平方．
如圖5，與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）．進而可得．
七、位似
1．定義：兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相較于一點，對應邊互相平行，這樣的兩個圖形叫做位似圖形。這個點叫做位似中心。
【注意】從位似的定義中可以找到位似圖形的判定及性質，在做題中這就是做題的依據。
2．位似常會出現多解情況，需要注意．
1、與角分線有關的相似
角平分線類的相似模型如下：
方法點撥：角平分線類得相似問題基本就這樣的兩種模型，輔助線的做法也如圖中虛線所示，學生在學這部分知識時，不管是平時測驗和期中、期末考試，只要涉及到角平分線和證明相似問題就可以試著做這樣的輔助線，基本都可以解決．
已知中，的外角平分線交對邊的延長線于，求證：
2、與射影定理有關的相似
射影定理常見及擴展模型：
圖1有：
圖2有：
如圖，已知是矩形的邊上一點，于，試說明：．
3、內接矩形與相似三角形
內接矩形類的模型及結論：
其中，在平時訓練中遇到內接矩形類的圖形，就要充分利用這一結論，有助于進行解題．
如圖，邊長為的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為，，則的值為_____________．
中，正方形的兩個頂點、在上，另兩個頂點、分別在、上，,邊上的高,求
銳角中，，，兩動點，分別在邊，上滑動，且，以為邊向下作正方形，設其邊長為，正方形與公共部分的面積為.
（1）中邊上高__________；
（2）當_________時，恰好落在邊上（如圖1）；
（3）當在外部時（如圖2），求關于的函數關系式（注明的取值范圍），并求出為何值時最大，最大值為多少.

4、一線三等角模型與相似
一線三等角模型是以等腰三角形（等腰梯形）或等邊三角形為背景，一個與等腰三角形的底角相等的頂點在底邊所在的直線上，角的兩邊分別于等腰三角形的兩邊相交，如下圖所示：
總結出三等角模型的基本圖形是：
如圖，梯形中，，，為上一點，且，若，，，則=______．
如圖，已知，，是線段的中點，且，，，那么________．
如圖，一個邊長分別為、、的直角三角形的一個頂點與正方形的頂點重合，另兩個頂點分別在正方形的兩條邊、上，那么這個正方形的面積是_________．
如圖，梯形中，∥，，，點 分別在線段上，且，若，求長．
如圖，在矩形中，為中點，交于，連結．
⑴與是否相似？若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由．
⑵設，是否存在這樣的值，使得與相似， 若存在，證明你的結論，并求出的值；若不存在，說明理由．
5、旋轉與相似
手拉手模型——相似
條件：，將旋轉至右圖位置
結論：右圖且延長交與點必有
手拉手相似（特殊情況）：
當時，除之外，還會隱藏，滿足,若連結、,則必有，（對角線互相垂直四邊形）
6、各個模型之間的轉化：
如圖1，四邊形是邊長為的正方形，長方形的寬,長．將長方形繞點順時針旋轉15°得到長方形(如圖2)，這時與相交于點．
（1）求的度數；
（2）在圖2中，求兩點間的距離；
（3）若把長方形繞點再順時針旋轉15°得到長方形,請問此時點B
在矩形的內部、外部、還是邊上？并說明理由．
1、利用兩邊成比例和夾角相等的時候，一定要保證是夾角．
2、相似三角形中線段成比例時，線段一定要對應上．
如圖，小李打網球時，球恰好打過網，且落在離網的位置上，則球拍擊球的高度為（　　）
A．0.6m B．1.2m C．1.3m D．1.4m
是斜邊上的高，，交于，交于．求證：．
如圖，矩形中，，，將矩形繞點順時針旋轉得到矩形 ．點為線段上一點（不包括端點），且，求的面積．


如圖，是一塊銳角三角形余料，邊長毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點分別在、上，這個正方形零件的邊長是多少？
如圖，在中，，于，于，圖中與相似的三角形有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
如圖，中，，于， 于，若，，則、的長分別為（ ）
A． B．
D．

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