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寒假專題復習：七年級數學人教版第一章　有理數
1．1　正數和負數
【復習目標】
1．了解負數產生是生活、生產的需要．
2．掌握正、負數的概念和表示方法，理解數0表示的量的意義．
3．理解具有相反意義的量的含義．
【點撥】凈勝球、產量負增長
知識探究
1．大于0的數叫做正數，在正數的前面加上符號“－”(負)的數叫負數．
2．若把一種量規定為“正”，那么它的相反的量就是“負”．
【反饋】
1．下列各數中，哪些是正數？哪些是負數？
7，－9.24，－301，31.25，0
解：正數：7，31.25負數：－9.24，－301
2．在知識競賽中，如果用＋10表示加10分，那么扣20分怎樣表示？
解：－20
3．在某次乒乓球質量檢測中，一只乒乓球超出標準質量0.02克記作＋0.02克，那么－0.03克表示什么？
解：離標準質量差0.03克．
【探究】
活動1：小組討論
1．指出下列各數中，哪些是正數？哪些是負數？
－2，＋3，0，，204，－0.02，＋3.65，－5.
解：正數：＋3，，204，＋3.65負數：－2，－0.02，－5
2．(1)一個月內，小明體重增加2
kg，小華體重減少1
kg，小強體重無變化．寫出他們這個月的體重增長值．
(2)某年，下列國家的商品進出口總額比上年的變化情況是：
美國減少6.4%，德國增長1.3%
法國減少2.4%，英國減少3.5%
意大利增長0.2%，中國增長7.5%
寫出這些國家這一年進出口總額的增長率．
解：見課本P3“例題”．
活動2：活學活用
1．(1)在－7，0，－3，78，＋9100，－0.27中，負數有(　D　)
A．0個　　　　B．1個　　　　C．2個　　　　D．3個
(2)下列結論中正確的是(　D　)
A．0既是正數，又是負數
B．0是最小的正數
C．0是最大的負數
D．0既不是正數，也不是負數
(3)讀出下列各數，指出其中哪些是正數，哪些是負數？
－2，0.6，＋6，0，－3.141
5，200，－754
200，
解：正數：0.6，＋6，200負數：－2，－3.141
5，－754
200
【點撥】正負數的定義，零的認識．
2．(1)如果上升8
m記作＋8
m，那么下降5
m記作－5m.如果－22元表示虧損22元，那么45元表示盈利45元．
(2)一種零件的直徑尺寸在圖紙上是30
(單位：mm)，表示這種零件的標準尺寸是30
mm，加工要求最大不超過30.03mm，最小不小于29.98mm.
(3)七(1)班一次數學測驗平均成績是85分，老師以平均成績為基準，記為0，超過85分的記為正，那么92分、78分各記作什么？若老師把某3名同學的成績簡記為：－5，0，＋8，則這3名同學的實際成績分別為多少分？
解：＋7，－7；80，85，93.
【點撥】正負數表示相反的量．
【小結】
1．正數和負數的概念．
2．正數和負數表示相反意義的量．
1．2　有理數
1．2.1　有理數
【復習目標】
1．理解有理數的概念．
2．會判斷一個數是整數還是分數，是正數還是負數．
3．懂得有理數的兩種分類方法．
知識探究
1．正整數、
0
和負整數統稱為整數．
正分數和
負分數統稱為分數．
2．
整數
和
分數
統稱為有理數．
【反饋】
1．把下列各數寫在相應的集合里．
－5，10，－4.5，0，＋2，－2.15，0.01，＋66，－，15%，，2
009，－16
正整數集合：{　10，＋66，2
009，…　}
負整數集合：{　－5，－16，…　}
負分數集合：{　－4.5，－2.15，－，…　}
正分數集合：{　＋2，0.01，15%，，…　}
整數集合：{　－5，10，0，＋66，2
009，－16，…　}
負數集合：{　－5，－4.5，－2.15，－，－16，…　}
正數集合：{　10，＋2，0.01，＋66，15%，，2
009，…　}
有理數集合：{　－5，10，－4.5，0，＋2，－2.15，0.01，＋66，－，15%，，2
009，－16，…　}
2．有理數的分類(　分兩類　)．
【點撥】有理數的分類標準要統一．
【探究】
活動1：1．在數－5，，0，－0.24，7，4
076，－，－2中，正數有，7，4
076，負數有－5，－0.24，－，－2，整數有－5，0，7，4
076，－2，分數有，－0.24，－，有理數有－5，，0，－0.24，7，4076，－，－2.
2．下列說法不正確的是(　A　)
A．正整數和負整數統稱為整數
B．正有理數和負有理數和零統稱有理數
C．整數和分數統稱有理數
D．正分數和負分數統稱為分數
3．有理數：－7，3.5，－，1，0，π，中正分數有(　C　)
A．1個　　　B．2個　　　C．3個　　　D．4個
活動2：活學活用
1．下列各數：－8，－1，2.03，0.5，，－44，－0.99，其中整數是－8，－44
，負分數有－1，－0.99
.
2．下列說法正確的是(　D　)
A．一個有理數不是正數就是負數
B．正有理數和負有理數組成有理數
C．有理數是指整數、分數、正有理數、負有理數和零這五類數
D．負整數和負分數統稱為負有理數
3．有理數中，是整數而不是負數的是
非負整數
，是負有理數而不是分數的是
負整數．
【小結】
通過教師的引導、鼓勵和不斷完善，以及學生自己的概括，最后歸納出我們已經學過的5類不同的數，它們分別是正整數、零、負整數、正分數、負分數．
1．2.2　數軸
【復習目標】
1．了解數軸的概念，學會畫數軸，知道如何在數軸上表示有理數，能說出數軸上表示有理數的點所表示的數，知道任何一個有理數在數軸上都有唯一的點與之對應．
2．通過現實生活中的例子，從直觀認識到理性認識，從而建立數軸概念；通過學習，初步體會對應的思想、數形結合的思想．
3．體會數形結合的思想方法，進而初步認識事物之間的聯系，激發學習熱情．
【知識探究】
1．規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸．
2．數軸是一條
直線
，它可以向
兩端
無限延伸．
3．數軸上原點左側是
負
數，正數在原點的
右
側．
【反饋】
1．數軸的三要素是
原點
、
正方向
、單位長度
．
2．指出圖中所畫數軸的錯誤：
解：略
3．如圖，數軸上點A、B表示的數分別是－2.5
、2
.
4．數軸上表示－8的點在原點的
左
側，距離原點
8
個單位長度；數軸上點P距原點5個單位長度，且在原點的左側，則點P表示的數是
－5
.
5．畫一條數軸表示下列各數，并用“<”把這些數連接起來．
，2，－4.5，0，，－0.5,
－
解：略　
【探究】活動1：1．畫一條數軸，并表示出如下各點：±0.5，±0.1，±0.75；
2．畫一條數軸，并表示出如下各點：1
000，5
000，－2
000；
3．畫一條數軸，在數軸上標出到原點的距離小于3的整數；
4．畫一條數軸，在數軸上標出－5和＋5之間的所有整數．
【點撥】數軸的三要素、畫法、適當地選擇單位長度和原點的位置．
活動2：活學活用
1．在數軸上點A表示－4，如果把原點向負方向移動1.5個單位，那么在新數軸上點A表示的數是(　C　)
A．－5　　　　B．－4　　　　C．－2　　　　D．2
2．在數軸上，表示數－3，2.6，－，0，4，－2，－1的點中，在原點左邊的點有
4
個．
3．畫出數軸并表示下列有理數：1.5，－2，2，－2.5，4，0.
解：略
4．寫出數軸上點A，B，C，D，E所表示的數：
解：0，－2，1，2，－3
5．一個點在數軸上表示的數是－5，這個點先向左邊移動3個單位，然后再向右邊移動6個單位，這時它表示的數是多少呢？如果按上面的移動規律，最后得到的點是2，則開始時它表示什么數？
解：－2，－1
【點撥】利用數軸數形結合解題．
【小結】
1．數軸的出現對數學的發展起了重要作用，以它作基礎師生共同研究，什么是數軸？如何畫數軸？如何在數軸上表示有理數？
2．利用數軸很多數學問題都可以借助圖直觀地表示．
1．2.3　相反數
【復習目標】
1．理解相反數的意義．
2．掌握求一個已知數的相反數的方法．
3．提高觀察、歸納和概括的能力．
【知識】
1．相反數的定義是
只有符號不同的兩個數叫做互為相反數．
2．在數軸上表示相反數的兩個數的點
關于原點對稱
．
3．我們規定：0的相反數是
0
.
【反饋】
1．數軸上表示互為相反數的兩個點相互之間的距離是8.4，則這兩個數是
±4.2
.
2．－2.3的相反數是
2.3
；0.01是
－0.01
的相反數．
3．相反數等于本身的數是
0
.
4．已知有理數a，則a的相反數可用
－a
表示．
5．表示下列各數的相反數，并求出相反數的值：
①7　②＋6.3　
③－3　
④＋(－)　
⑤－(＋3)
⑥－(－2.6)　
⑦
0
解：－7，－(＋6.3)＝－6.3，－(－3)＝3，－[＋(－)]＝，
－[－(＋3)]＝3，
－[－(－2.6)]＝－2.6,
－0＝0.
【探究】
活動1：1．化簡下列各數，你能發現什么規律？
(1)－[－(－3)]＝－3
；
(2)－[＋(－3.5)]＝3.5
；
(3)＋[－(－6)]＝6
；
(4)－[－(＋7)]＝7
；
規律：負號個數為奇數時，化簡得的結果為負；負號個數為偶數時化簡得的結果為正．
2．化簡下列各數，并總結一個有理數符號化簡的規律．
(1)－(－)＝____；
(2)＋(＋10)＝10
；
(3)＋(－4)＝－4__；
(4)－{＋[－(－2)]}＝－2；
3．已知a、b在數軸上的位置如圖所示．
(1)在數軸上作出它們的相反數；
(2)用“＜”按從小到大的順序將這四個數連接起來．
解：(1)如圖所示；(2)－a＜b＜－b＜a.
【教師點撥】相反數的特點和定義：到原點的距離相等，符號相反．
活動2：活學活用
1．－的相反數是____；的相反數是－__；0的相反數是0；a＋1的相反數是－a－1.
2．若a＝－4，則－(－a)＝
－4
.若－y＝3.1，則y＋3.1＝
0
；若－a＝－(－3)，則a＝
－3
，b－a與
a－b
互為相反數．
3．
負
數的相反數比它本身大，
正數
的相反數比它本身小，0的相反數和它本身相等．
4．若a＝－2，則－a＝
2
；若－b＝，則b＝
－
；若－c＝－8，則c＝
8
.
5．x的相反數仍是x，則x＝
0
.
6．已知a與b互為相反數，a與b應滿足關系式
a＋b＝0
.
7．一個數的相反數是最大的負整數，那么這個數是
1
.
【課堂小結】
相反數的概念使有理數的各個運算法則容易表述，也揭示了兩個特殊數的特征．這兩個特殊數在數量上具有相同的絕對值，它們的和為零，在數軸上表示時，離原點的距離相等等性質均有廣泛的應用
1．2.4　絕對值
第1課時　絕對值
【復習目標】
1．理解絕對值的幾何意義和代數意義．
2．會求一個有理數的絕對值．
知識探究
1．一般地，
數軸上表示數a的點與原點的距離
，叫做數a的絕對值．
2．一個正數的絕對值是
它本身
，即：若a>0，則|a|＝a；一個負數的絕對值是
它的相反數
，即：若a<0，則|a|＝－a；0的絕對值是
0
(雙重性)．
【反饋】
1．數軸上有一點到原點的距離為6.03，那么這個點表示的數是±6.03
.所以|6.03|＝
6.03
，|－6.03|＝
6.03
.
2．(1)|＋13|＝13；(2)|－8|＝8；(3)|＋3|＝3__；(4)|－8.22|＝8.22.
3．－2的絕對值是
2
，絕對值等于2的數是
±2
，它們是一對
相反數
．
4．已知|a|＝3，|b|＝5，a與b異號，求a、b兩數在數軸上所表示的點之間的距離．
解：8
5．在|－7|，5，－(＋3)，－|0|中，負數共有(　A　)
A．1個　　　　B．2個　　　　C．3個　　　　D．4個
6．一個數的絕對值等于這個數本身，這個數是(　D　)
A．1　　　　　　　
B．＋1，－1，0
C．1或－1　　　　　
D．非負數
【點撥】非負數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數．
【探究】
活動1：1．－2的相反數是(　A　)
A．2　　　　　B．－2　　　　　C．0.5　　　　　D．－0.5
2．下列四組數中不相等的是(　C　)
A．－(＋3)和＋(－3)　　　
B．＋(－5)和－5
C．＋(－7)和－(－7)　　　　
D．－(－1)和|－1|
3．下列說法正確的是(　B　)
A．一個數的絕對值的相反數一定不是負數
B．一個數的絕對值一定不是負數
C．一個數的絕對值一定是正數
D．一個數的絕對值一定是非正數
4．若|x－3|＋|y－2|＝0，則x＝
3
，y＝
2
.
活動2：活學活用
1．絕對值小于2的整數有
3
個，它們分別是
±1，0
.
2．指出下列各式中a的取值．
(1)若|a|＝－a，則a為
非正數
；
(2)若|－a|＝a，則a為
非負數
；
(3)若|a－1|＝0，則a為
1
.
3．已知a，b是有理數，且滿足|a＋1|＋|2－b|＝0，求a＋b的值．
解：1
【點撥】注意絕對值的非負性．
【課堂小結】
1．絕對值的定義：有理數到原點的距離．
2．求一個有理數的相反數．
3．化簡絕對值．
|a|＝
第2課時　有理數的大小比較
【目標】
1．理解比較有理數大小的規則的合理性．
2．會比較有理數的大小．
探究
1．在數軸上表示的兩個有理數，左邊的數
小于
右邊的數．
2．正數
大于
0，0
大于
負數，正數大于負數；兩個負數，
絕對值大
的反而小．
【反饋】
1．比較－和－；－|－(＋5)|和－[－(＋5)]的大小，并寫出比較過程．
解：－<－，－|－(＋5)|<－[－(＋5)]，過程略
2．求同時滿足：①│a│＝6，②－a＜0這兩個條件的有理數a.
解：a＝6
【教師點撥】先化簡，再比較．
【探究】
活動1：1．將有理數：－(－4)，0，－│－3│，－│＋2│，－│－(＋1.5)│，－(－3)，│－(＋2)│表示到數軸上，并用“＜”把它們連接起來．
解：略
2．有理數x、y在數軸上的對應點如圖所示：
(1)在數軸上表示－x，－y；
解：
(2)試把x、y、0、－x、－y這五個數從大到小用“>”連接．
解：x>－y>0>y>－x
【點撥】數軸上的點表示的數右邊的總比左邊的大．
活動2：活學活用
1．下面四個結論中，正確的是(　D　)
A．|－2|>|－3|　　　　　　　
B．|2|>|3|
C．2>|－3|
D．|－2|<|－3|
2．比較大小(填“>”或“<”)．
(1)－>－
(2)－>－
(3)－(－)>－|－|
解：略
3．在數軸上表示下列各數：＋2，－，－(－6)，－7，－(＋3)，1，0，－1.5.并用“<”將它們連接起來．
解：略
4．已知有理數a，b在數軸上的位置如圖所示，請比較a，b，|a|，|b|的大小．
解：
即|b|>|a|>a>b.
【課堂小結】
1．兩個負數比較大小，絕對值大的反而小．
2．正數大于零，零大于負數，正數大于負數．

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