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二次根式的性質與化簡
考點一：二次根式的概念
定義：一般地，我們把形如
(a≥0)的式子叫做二次根式，“
”稱為二次根號，a叫做被開方
二次根式應滿足兩個條件：
①有二次根號“
”，即根指數為2；
②被開方數是正數或0（非負數）
注意：
①表示a的算術平方根；
②a可以是數,也可以是式；
③形式上含有二次根號
④a≥0,
≥0
(
雙重非負性)；
⑤既可表示開方運算,也可表示運算的結果.
經典題型
1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、
、
、
、
、
、
（x≥0，y≥0）
下列各式中，不是二次根式的是（　　）
3．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A.
B.
C.
D.
考點二：二次根式的雙重非負性
被開方數
a≥0
二次根式≥0
應用：非負性求值
例如：已知求x的值。
解：
經典例題
例1.要使式子有意義，則m的取值范圍
。
例2.若式子有意義，則x的取值范圍是
。
例3.使代數式有意義的整數x有
例4.若+（c-4）?，則a-b+c=
。
隨堂練習
1．使代數式有意義的x的取值范圍是（
）
A．x>3
B．x≥3
C．
x>4
D．x≥3且x≠4
2．若
+y=4成立，則xy=（　　）
A．0
B．6
C．8
D．16
3．若+（n+1）?=0，則m+n
的值為
。
4．已知x,y為實數，且+3（y-2）?=0，則x-y的值為（
）
A．3
B．-3
C．1
D．-1
考點三：二次根式的性質
（1）二次根式的基本性質：
①a≥0；≥0
（雙重非負性）．
②（
）2=a
（a≥0）（任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式）．
③=a（a≥0）（算術平方根的意義）
經典例題
例1.計算：
?
?
例2．計算：
（1）
（2）
（3）
（4）
例3．如圖：A，B，C三點表示的數分別為a，b，c．利用圖形化簡：
隨堂練習
計算下列各式的值：
=
；=
；=
。
2．如果表示a，b兩個實數的點在數軸上的位置如圖所示，那么化簡
│a－b│+
的結果等于（
）
A．－2b
B．2b
C．－2a
D．2a
3．如果1≤a≤
，則
+|a﹣1|的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．2a﹣3
D．3﹣2a
考點四：二次根式的積和商的性質
性質1．積的算術平方根
用“＞，＜或＝”填空：
，
，
性質2．商的算術平方根
填空：
一般地，二次根式的積與商有如下性質：
積的性質：
(a
≥0,b
≥0，積的算術平方根等于各算術平方根的積)；
商的性質：
（a
≥0,b
＞0商的算術平方根等于各算術平方根的商）．
經典例題
化簡：
隨堂練習
1．化簡：
2．化簡：
考點五：最簡二次根式
最簡二次根式：
（1）根號內不再含有可以開方的因式；
（2）根號內不再含有分母；
結果的分母中不含根號.
經典例題
化簡：
例2．下列式子中，屬于最簡二次根式的是（　　）
A．
B.
C.
D.
隨堂練習
1．下列根式中屬最簡二次根式的是（　　）
A．
B.
C.
D.
2.化簡：(1)
3．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（　　）
A．
B.
C.
D.

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