資源簡介

(共30張PPT)
人教版
八年級數學上
18.1.2平行四邊形的判定（1）
學習目標
1.經歷平行四邊形判定定理的猜想與證明過程，體會類比思想及探究圖形判定的一般思路；（重點）
2.掌握平行四邊形的三個判定定理，能根據不同條件靈活選取適當的判定定理進行推理論證.（難點）
回顧舊知
兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形.
A
B
C
D
四邊形ABCD
如果
AB∥CD
AD∥BC
B
D
ABCD
A
C
思考1
平行四邊形的定義是什么？有什么作用？
可以用平行四邊形的定義來判定平行四邊形，如：
回顧舊知
思考2
除了兩組對邊分別平行，平行四邊形還有哪些性質？
平行四邊形的對邊相等.
平行四邊形的對角相等.
平行四邊形的對角線互相平分.
邊：
角：
對角線：
思考3
平行四邊形上面的三條性質的逆命題各是什么？
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
這些逆命題是否都成立？這節課我們來探討一下.
合作探究---兩組對邊分別相等的四邊形
觀看視頻，將兩長兩短的四根細木條用小釘固定在一起,任意拉動，所得的四邊形是平行四邊形嗎?
合作探究---兩組對邊分別相等的四邊形
已知：
四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求證：
四邊形ABCD是平行四邊形.
A
B
C
D
連接AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD
(已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA
(公共邊)，
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴
∠1=∠4
,
∠
2=∠3，
∴AB∥
CD
,
AD∥
BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）
證明：
1
4
2
3
合作探究---兩組對邊分別相等的四邊形
平行四邊形的判定定理：
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
幾何語言：
在四邊形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
B
D
A
C
學以致用
例1
如圖，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求證：四邊形PONM是平行四邊形．
證明：Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四邊形PONM是平行四邊形．
合作探究---兩組對角分別相等的四邊形
已知：四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
A
B
C
D
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°，
∴
AD∥BC.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）
同理得
AB∥
CD，
證明：
合作探究---兩組對邊分別相等的四邊形
平行四邊形的判定定理：
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.
幾何語言：
在四邊形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
B
D
A
C
學以致用
2、如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度數；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)證明：∵AB∥DC，
∴∠2＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝55°，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
合作探究---對角線互相平分的四邊形
如圖,將兩根細木條AC、BD的中點重疊，用小釘固定在一起，用橡皮筋連接木條的頂點，做成一個四邊形ABCD.轉動兩根木條，四邊形ABCD一直是一個平行四邊形嗎？
B
D
O
A
C
猜想：四邊形ABCD一直是一個平行四邊形.
你能證明它嗎？
合作探究---對角線互相平分的四邊形
A
B
C
D
O
已知：四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求證：四邊
形ABCD是平行四邊形.
證明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC
(已知)，
OB=OD
(已知)，
∠AOB=∠COD
(對頂角相等)，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴
∠BAO=∠OCD
,
∠
ABO=∠CDO,
∴AB∥
CD
,
AD∥
BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
你還有其他的證明方法嗎？
合作探究---對角線互相平分的四邊形
平行四邊形的判定定理：
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
幾何語言：
在四邊形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
B
O
D
A
C
學以致用
3、如圖，
ABCD
的對角線AC,BD相交于點O,E,F是AC上的兩點，并且AE=CF.求證：四邊形BFDE是平行四邊形.
B
O
D
A
C
E
F
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴
AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF
，
∴
AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
又∵BO=DO，
∴四邊形BFDE是平行四邊形.
合作探究---一組對邊平行且相等的四邊形
思考4
我們知道，兩組對分別平行或相等的是平行四邊形.如果只考慮四邊形的一組對邊，它們滿足什么條件時這個四邊形能成為平行四邊形呢？
猜想1：一組對邊相等的四邊形是平行四邊形.
反例：等腰梯形不是平行四邊形，因而此猜想錯誤.
猜想2：一組對邊平行的四邊形是平行四邊形.
反例：梯形的上下底平行，但不是平行四邊形，因而此猜想錯誤.
合作探究---一組對邊平行且相等的四邊形
B
A
活動：
如圖，將線段AB向右平移BC長度后得到線段
CD，連接AD，BC，由此你能猜想四邊形ABCD的形狀嗎？
D
C
四邊形ABCD是平行四邊形
猜想：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
你能證明嗎？
合作探究---一組對邊平行且相等的四邊形
如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
A
B
C
D
2
1
證明：連接AC.∵AB∥CD，
∴∠1=∠2.
在△ABC和△CDA中,
AB=CD，
AC=CA，
∠1=∠2，
∴△ABC≌△CDA(SAS)，
∴BC=DA
.
又∵AB=
CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
合作探究---一組對邊平行且相等的四邊形
平行四邊形的判定定理：
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
幾何語言：
在四邊形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
B
D
A
C
學以致用
證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB
=CD，EB
//FD．
又
∵EB
=
AB
，FD
=
CD，
∴EB
=FD
．
∴四邊形EBFD是平行四邊形．
4、如圖
，在平行四邊形ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點.求證：四邊形EBFD是平行四邊形.
歸納總結
1、定義法:兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形.
2、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
3、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.
4、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
說一說：如何判定一個四邊形是平行四邊形？
5、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
綜合演練
1.如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，下列哪組條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形（　　）
A．OA=OC，OB=OD
B．AB=CD，AO=CO
C．AB=CD，AD=BC
D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
B
B
O
D
A
C
2.四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有(　　)
A．3種　　B．4種　　C．5種　　D．6種
B
O
D
A
C
B
綜合演練
3.已知四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周長為40cm，兩鄰邊的比是3：2，則較大邊的長度是（　
）
A．8cm
B．10cm
C．12cm
D．14cm
C
4.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O.
如果AC=8cm,BD=10cm,那么當AO=_____cm,
BO=_____cm時，四邊形ABCD是平行四邊形.
B
O
D
A
C
4
5
綜合演練
5.如圖，已知E，F，G，H分別是?ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且AE=CG，BF=DH．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
證明：在平行四邊形ABCD中，
∠A=∠C，AD=BC,
又∵BF=DH，∴AH=CF.
又∵AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF.
同理得△BEF≌△DGH（SAS），
∴GH=EF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
綜合演練
6.如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，連接BD、CE，交于點P．
求證：四邊形ABPE是平行四邊形．
證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴正五邊形的每個內角的度數是
AB=BC=CD=DE=AE，
∴∠DEC=∠DCE=
×(180°-108°)=36°，
同理∠CBD=∠CDB=36°，
∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°，
∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A，
∴四邊形ABPE是平行四邊形．
A
B
C
D
E
P
綜合演練
7、如圖，AC是平行四邊形ABCD的一條對角線，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四邊形BMDN是平行四邊形嗎？說說你的理由．
解：四邊形BMDN是平行四邊形．
理由如下：連接BD交AC于O．
∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，∴∠AND=∠CMB=90°．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAN=∠BCM,
∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，
∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM,
∴四邊形BMDN是平行四邊形．
O
綜合演練
8.如圖，點E，C在線段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求證：四邊形ABED為平行四邊形．
證明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC．即BC=EF．
又∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB=DE.
∵∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
∴四邊形ABED是平行四邊形．
課堂小結
本節課你學會了哪些判定定理？
課后作業
教材50頁習題18.1第4、5、6題．
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php

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