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正方形
【總結解題方法
提升解題能力】
【知識匯總】
1.正方形：既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以它既具有矩形的性質，又有菱形的性質.
2.正方形的性質:
①正方形四個角都是90°，四條邊相等；
②對角線相等且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.
3.正方形的判定：①一組鄰邊相等的矩形是正方形；
②對角線互相垂直的矩形是正方形；
③有一個角是直角的菱形是正方形；
④對角線相等的菱形是正方形.
考點一：正方形的性質
【基礎夯實】
1.下列四邊形：①正方形、②矩形、③菱形，對角線一定相等的是（
）
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
2.平行四邊形，菱形，矩形，正方形都具有的性質是（
）
A．對角線相等且互相平分
B．對角線相等且互相垂直平分
C．對角線互相平分
D．四條邊相等，四個角相等
3.正方形面積為36，則對角線的長為（
）
A．6
B．
C．9
D．
4.正方形的一條對角線長為4，則這個正方形的面積是（
）
A．8
B．4
C．8
D．16
5.如圖，已知P是正方形ABCD對角線BD上一點，且BP=BC，則∠ACP度數是（
）
A．45°
B．22.5°
C．67.5°
D．75°
6.如圖，在正方形ABCD外側，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點F，
則∠BFC為（
）
A．75°
B．60°
C．55°
D．45°
7.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點，延長MD至點E，
使ME=MC，以DE為邊作正方形DEFG，點G在邊CD上，則DG的長為（
）
A．
B．
C．
D．
8.如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，
折痕為GH．若BE：EC=2：1，則線段CH的長是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
9.如圖．邊長為1的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動，將另一個繞頂點A順時針旋轉45°，則這兩個正方形重疊部分的面積是（　　）
A．
B．
C．
D．
10.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E為BC上一點，CE＝5，
F為DE的中點．若△CEF的周長為18，則OF的長為（　　）
A．3
B．4
C．
D．
11.如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，延長AB至點E，使得BE＝1，EF⊥AE，EF＝AE．
分別連接AF，CF，M為CF的中點，則AM的長為（　　）
A．2
B．3
C．
D．
12.如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標系中，O是原點，A的坐標為（1，），
則點C的坐標為　
　．
13.如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE＝2，AE＝3，P是AC上一動點，
則PB+PE的最小值是　
　．
14.有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1：S2=　
　．
15.如圖，將邊長都為2cm的正方形按如圖所示擺放，點A1、A2、…、An分別
是正方形的中心，則2019個這樣的正方形重疊部分的面積和為　
　．
考點二：正方形的判定
16.小明在學習了正方形之后，給同桌小文出了題目，從下列四個條件：
①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD
中選兩個作為補充條件，使□ABCD為正方形（如圖所示），
現有如下四種選法，你認為其中錯誤的是（　　）
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
17.（2015?黑龍江）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，不添加任何輔助線，
請添加一個條件　
　，使四邊形ABCD是正方形（填一個即可）．
考點三：正方形的性質與判定
18.如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，點E在AB邊上，EF⊥AC于點F，連接EC，AF=3，△EFC的周長為12，則EC的長為
．
19.如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長是　
　．
20.（2018?湘潭）如圖，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE與DF相交于點O．
（1）求證：△DAF≌△ABE；
（2）求∠AOD的度數．
21.（2018?遵義）如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E、F分別在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延長線交于點M，OF、AB的延長線交于點N，連接MN．
（1）求證：OM＝ON．
（2）若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點，求MN的長．
22.如圖，正方形ABCD中，AC是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經過點B，直角頂點P在射線AC上移動，另一邊交DC于Q．
（1）如圖1，當點Q在DC邊上時，猜想并寫出PB與PQ所滿足的數量關系；并加以證明；
（2）如圖2，當點Q落在DC的延長線上時，猜想并寫出PB與PQ滿足的數量關系，請證明你的猜想．
23.如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝，點E為對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE．交射線BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
①求證：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．
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