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第六章《一元一次方程》教材分析與錯題采集
113中 劉陽平
一、教材特點及注意事項
1．關于“從實際問題到方程”
從實際問題引入，激發學生學習方程的興趣，并利用教材所配置的光盤中的課件，展示、嘗試求得問題1的解，再引導學生用小學方法列出算式，比較答案。接著，引導學生探索方程44x+64=328的解。運用“探索過程”中的困惑“激發學生學習的動機”。
2．一元一次方程
一元一次方程是方程課題的基礎。因為若提高未知數的次數，就得到二次、三次方程；若增加未知數，就得到二元、三元方程，若兩者結合起來，既提高未知數次數，又增加未知數的個數，則得出多元高次方程。從發展的角度看，學好一元一次方程，打好基礎即為關鍵。
方程提供了一種極其重要的數學思想方法,方程思想方法的最基本特點是使未知數參加運算,從而使未知數過渡到已知.設立未知數參與運算,可以直觀明了,從結構上昭示有關數量之間的關系.
對于實際問題,方程還有提供數學模型的重要意義,一般地,解方程的步驟,提供了一種算法化的思想.這種算法的依據是:方程的變形原理及移項法則,因此,可將這種機械算法程序化,即解一元一次方程的 “五大步驟”：去、去、移、合、化。
對于學有余力的有興趣的學生，要強調指出：五個步驟并非機械的，而是要求靈活運用。
如例，解方程：3(x-1)+=2(x-1)+.
解：移項，得，
所以， x=2
3．算術解法與列方程的比較
比較算術解法與列方程求解，在分析數量關系上的區別，體會方程在思維、列式上直接明了的優點。
4．一元一次方程的解法
課本中提供了5個例題，它們由淺入深，各有側重。由例題的講解，基本上可歸納出解一元一次方程的步驟，其中要注意，
① “移項”與“系數化一”的區別和聯系。兩者都是解方程的一個變形環節。“移項”是對于加減項而言的，“系數化一”是對于乘除項而言的；
②一元一次方程的概念教學，要著重于結合實例認識，不是機械地背誦或記憶形式化的表述。
③防止出現人為設置障礙而實際意義不大的練習題；
④閱讀材料的教學；
⑤對于方程的同解原理，我們建議不做進一步的引申，只讓學生結合方程的變形原理，懂得方程=的解與±c=±c(這里，和c都是已知常數)的解完全相同，方程=的解與·c=·c(這里，和c都是已知常數，且c≠0)的解完全相同就可以了。
5．列方程解實際問題的步驟
列方程解應用題，是代數教學中的重要內容之一。在教學過程中引導學生體會，通過設未知數列出方程來解應用題，要比不設未知數找出算式容易得多，顯示出方程解法比起用算術方法解應用題優越得多。這是兩種完全不同的解題思路。由于學生長期以來習慣于用算術解法解應用題，所以，初學列方程解應用題時，在一段時間內常常會感到不習慣。體會不到代數方法解應用題的優越性。但事實證明，用算術解法解應用題能力較強的學生，經過一段時間的學習，就會習慣于用代數方法解應用題，并且解題能力也較強。這主要是由于“分析問題”的能力較強。因此，教學過程中，提高學生“分析問題中各種數量關系找出等量關系”的能力，應該是重點。因為只有數量關系（不論是直接的還是間接的）中的“相等”關系分析清楚了，才能列出表示數量關系的代數式，才能根據“相等”關系列出方程，進而使問題得解。
教材例題中，從例6（P10）、例7到問題4，共6個問題，由淺入深，由簡單到復雜進行安排，題型涵蓋了工作問題、行程問題、利率問題等等。這些應用問題中，既有簡單的又有復雜的。對于簡單的應用題，是指從應用題文字敘述中幾乎一眼就可以看出分成哪幾部分、各個部分的關系，特別是相等關系。這就是說，問題既容易“分解”，也容易 “合成”；但由于問題簡單，又容易給學生造成一種錯覺：以為問題中求什么就可以不加分析地設什么為未知數（盡管多數情況是這樣），但事實上，有些問題需要間接設置未知數（直接設置未知數，找出等量關系比較困難），利用“迂回包抄”的思想，建立等量關系，從而實現求解，課文在問題3（P17）就明確提出了這個問題
為了引導學生加強分析，提高學生分析問題、解決問題的能力，教材與教學參考書中對應用題都不作明確分類，而且還配備一些與例題類型不同的習題。這里有兩個問題：一個是把應用題分類的問題，現實生活中有大量的問題，把這些問題在研究的基礎上進行分類，使得每類問題有規律可循，甚至得到一定的方法來解決這些問題，這是正常的，無可非議的。但是，在列方程解應用題時把問題分類，側重講每一類問題的固定解決方法，往往使學生思想僵化，死套類型，又不利于學生學得生動活潑，提高他們分析問題的能力。另一個問題是，例題配備是否要注意配備與習題類型屬同一類問題。課本里存在這種現象“例題沒有，習題里有”，由于學生無例可循，“造成學習上很困難”。當然，教師在備課教學過程中，要注意到配置好例題與習題的重要性，例題要有啟發性，通過例題的講解啟迪思維，教會方法，培養能力，如例題習題做到這一點，會給教學帶來方便。對提高教學質量有很好的促進作用，但也絕對不是有什么樣的習題，就一定要配備什么樣的例題，這樣就可以避免學生只會照貓畫虎，生搬硬套，促進學生在學習方法上有所改進，做到舉一反三，從長遠的觀點看，有利于提高學生分析問題的能力和創新能力。
關于編題問題P17練習第3題，教師可考慮先自編一題進行教學示范，再組織學生討論練習，對于學生編擬出的問題，只要列出的方程符合條件，都要給予肯定，以激勵他們繼續努力，提高探究數學問題的興趣。
列方程解應用題，還要注意“三量關系”的教學。較常用的三量關系有如下三類：
行程問題：路程=速度×時間，，；
工作問題：工作量=工作效率×工作時間，；
增長率問題
其實，實際生活問題中的三量關系，要比這里概括的“公式”還要多得多，還要復雜得多，這就要求老師在教學中要提倡“具體問題具體分析”的教學觀點，要求學生要結合實際和自己的生活經驗去思考、去判斷，去確定解決具體問題的具體思路、辦法并選擇最佳方案。其實，結合具體的現實背景，公式：路程×速度=時間，也有可能是正確的。如。一只螞蟻爬行的速度為25秒/米，問一只螞蟻爬行20米需要多少秒？經過思考，原來所謂“速度”的單位也是要根據實際情形來確定的。再比如，有的中考題或訓練題，如果把速度的單位改換為秒/米，再根據題意，列出相應的方程，可能比常規解法更加簡單！！
關于列方程解應用題，最后注意的問題是對答案的檢驗，其原則是，所求問題的答案一定要符合實際。對于學生編擬應用題，尤其要注意這個問題。
二、部分錯題采集與分析
1、解方程錯題分析
（1） （2）
錯點1： 15x-5=8x +4 -1, 錯點： 2x-2 -x+2=12-3x
15x-8x=4-1+5,
7x=8 （3） ―＝x
錯點2： 錯點1：　2x-5（3-2x）＝x
錯點2：　2x-15-2x＝10x
（4）3（x-2）= 2 - 5（x-2） （5） - = 1
錯點1：3x - 6 = 2 - 5x + 2 錯點1：2 -3（x-1）=1
錯點2：3x - 6 = 2 - 5x – 10 錯點2：2 – 3x +3 = 6
3x =6-2-3
錯題分析：錯點主要集中在以下幾點：
去分母時，不含分母的項漏乘最小公倍數
移項該變號的不變，不該變的卻變了
系數化1時，除數和被除數顛倒位置
去括號漏乘系數與不變號
2、應用題錯題分析
（1）小明用每小時8千米的速度到某地郊游，回來時走比原長3千米的另一條路線，速度為每小時9千米，這樣回去比去時多用小時，求原路長。
解：設原路長x千米
錯解： = +
分析：去時和回來時的時間誰多誰少經常容易弄錯
（2）李小明一年前存入一筆錢，年利率為2.25%，但要繳納20%的利息稅，到期共獲得本息和為16288元，求李小明一年前存入銀行的本金是多少？
解：設李小明一年前存入銀行的本金是x元，
正解：x + 2.25%x.（1-20%）=16288
錯解：（1+2.25%）x（1-20%）=16288
分析：繳稅只需交納利息稅，本金不需繳稅。若本題未牽涉繳稅，則x+2.25%x-16288與（1+2.25%）x=16288均可。
（3）汽車從甲地到乙地，若每小時行駛45千米，就要延誤30分鐘到達；若每小時行駛50千米，那就可以提前30分鐘到達，求甲、乙兩地之間的距離及原計劃行駛的時間。
正解：解法1：設原計劃行駛的時間為x小時。
45（x + ）= 50（x - ） 或
解法2：設原計劃行駛的時間為x小時，甲、乙兩地之間的距離為y。
45（x + ）= y 或 - = x
50（x - ）= y + = x
錯解：（只說明列一元一次方程解法的錯解）
錯解1：設原計劃行駛的時間為x小時。
45（x + 30）= 50（x - 30）
錯解2：設原計劃行駛的時間為x小時。
45（x - ）= 50（x + ）
錯解3：設原計劃行駛的時間為x小時。
+ = -
分析：存在上述幾種錯解，原因為：
1、時間單位上未統一； 2、時間在延誤、提前的關系上未弄清楚。

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