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《等比數(shù)列》完全解讀與典例分析
一、知識(shí)完全解讀
（1）等比數(shù)列定義
如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起 ，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比．即
（常數(shù)）．
解讀：理解等比數(shù)列定義，一是明確等比數(shù)列的任一項(xiàng)都不為零，公比也不為零；二是等比數(shù)列的等價(jià)定義是：如果一個(gè)數(shù)列從第一項(xiàng)（不為零）起 ，每一項(xiàng)乘以同一個(gè)不為零的常數(shù)，都等于它的后一項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列．
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)或常函數(shù)，它的圖象只是曲線上的部分孤立點(diǎn)，并非整條曲線．
如果一個(gè)數(shù)列既是等比數(shù)列，又是等差數(shù)列，則它一定是非零常數(shù)數(shù)列．
（2）等比中項(xiàng)定義
三個(gè)數(shù)、、成等比數(shù)列，則叫做、的等比中項(xiàng)．易得、、成等比數(shù)列（，，）．
解讀：(1)只有同號(hào)的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)才具有等比中項(xiàng)，而且有兩個(gè)；
(2)在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等比數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)；事實(shí)上等比數(shù)列中某一項(xiàng)是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等比中項(xiàng).
3．等比數(shù)列通項(xiàng)公式
通項(xiàng)公式：．它是關(guān)于的函數(shù)。
4．等比數(shù)列性質(zhì)
設(shè)等比數(shù)列的公比為，則
①；
②若，則；
③下標(biāo)成等差數(shù)列，則其對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列；
④從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)；
⑤奇數(shù)項(xiàng)（或偶數(shù)項(xiàng)）依次仍組成等比數(shù)列．
⑥若{an}、{bn}都是等比數(shù)列，則{an·bn}、{}、{λan}(λ≠0)、{}、{an2}仍是等比數(shù)列．
5．等比數(shù)列的單調(diào)性
①當(dāng)a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1時(shí)，{an}為遞增數(shù)列；
②當(dāng)a1＞0，0＜q＜1或a1<0，q＞1時(shí)，{an}為遞減數(shù)列；
③當(dāng)q＜0時(shí)，{an}為擺動(dòng)數(shù)列；
④當(dāng)q＝1時(shí)，{an}為常數(shù)列.
二、典例分析
例1已知{}是各項(xiàng)均為正數(shù)等差數(shù)列，1g、1g、1g成等差數(shù)列．又=，n =1，2，3，… ，證明{}為等比數(shù)列．
證明：∵1g、1g、1g成等差數(shù)列，∴21g=1g＋1g，即a=·．
設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，則(＋d)=(＋3d)，
于是有d=d，從而d(d－) = 0．
(i)若d = 0，則{}為常數(shù)列，相應(yīng){}也是常數(shù)列，此時(shí){}是首項(xiàng)為正數(shù)，公比為1的等比數(shù)列．
(ii)若d =≠0，則=＋(－1)d =d，==·，
這時(shí){}是首項(xiàng)=，公比為的等比數(shù)列．
綜上知，{}為等比數(shù)列．
點(diǎn)評(píng):證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列,就是證明其相任意相鄰二項(xiàng)的比是個(gè)常數(shù),同學(xué)們一定注意對(duì)于公比為1的情形,有時(shí)要單獨(dú)討論.
例2已知數(shù)列｛a｝為等差數(shù)列，公差d≠0，由｛a｝中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列a，a，…，a，…為等比數(shù)列，其中b=1，b= 5，b= 7．求數(shù)列{b}的通項(xiàng)公式．
解：依題意a= aa，即(a＋4d)= a( a＋16d) ad = 2d．
∵d≠0，∴a=2d，數(shù)列{a}公比，
∴，①
又a=，②
由①②得．
∵a= 2d≠0，∴b= 2·3－1．
點(diǎn)評(píng):等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)在學(xué)習(xí)過(guò)等比數(shù)列之后,常常在題中交匯在一起,對(duì)于這類題目同學(xué)們只要熟悉等比數(shù)列和等差數(shù)列的基本結(jié)論,一般情況下完全可解.

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