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例說一次函數(shù)中的分段函數(shù)
朱河鎮(zhèn)初級中學(xué) 史又成
分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關(guān)系式（或圖像）也不同的函數(shù)，分段函數(shù)的應(yīng)用題多設(shè)計成兩種情況或以上，解答時需分段討論。它是考查分類思想，讀取、搜集、處理圖像信息等綜合能力的綜合題。是近幾年中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的題型。
通常是正比例函數(shù)的圖像和一次函數(shù)的圖像構(gòu)成。下面我們歸納分析如下，供學(xué)習(xí)時參考。
一、正比例函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)
解答這類分段函數(shù)問題的關(guān)鍵,就是分別確定好正比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式。
【例1】某家庭裝修房屋，由甲、乙兩個裝修公司合作完成，選由甲裝修公司單獨裝修3天，剩下的工作由甲、乙兩個裝修公司合作完成．工程進度滿足如圖1所示的函數(shù)關(guān)系，該家庭共支付工資8000元．
（1）完成此房屋裝修共需多少天？
（2）若按完成工作量的多少支付工資，甲裝修公司應(yīng)得多少元？
【分析】本題是一道與工程有關(guān)的分段函數(shù)問題，通過圖像可觀察到，在0到3天之間時，工程進度y(元)是工作時間x(天)的正比例函數(shù),當(dāng)x3時, 工程進度y(元)是工作時間x(天)的正比例函數(shù).
【解】（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=k1x，
因為圖像經(jīng)過點（3，），所以，= k1×3，所以k1=，
所以y=x，0＜x＜3
設(shè)一次函數(shù)的解析式（合作部分）是y=k2x+b，（是常數(shù)）
因為圖像經(jīng)過點（3，），（5，），所以，
由待定系數(shù)法得：，解得：．
一次函數(shù)的表達式為，所以，當(dāng)時，，解得
完成此房屋裝修共需9天。
（2）由正比例函數(shù)的解析式：y=x，可知：甲的工作效率是 ，
所以，甲9天完成的工作量是：，
甲得到的工資是：（元）
【評析】在這里未知數(shù)的系數(shù)的意義是表示他們的工作效率。與我們的生活息息相關(guān)的水費問題、電費問題、話費問題等，這些收費問題往往根據(jù)不同的用量，采用不同的收費方式.都是分段函數(shù)的典型例子.
二、一次函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)
【例2】為了鼓勵小強做家務(wù)，小強每月的費用都是根據(jù)上月他的家務(wù)勞動時間所得獎勵加上基本生活費從父母那里獲取的．若設(shè)小強每月的家務(wù)勞動時間為x小時，該月可得（即下月他可獲得）的總費用為y元，則y（元）和x（小時）之間的函數(shù)圖像如圖2所示．
（1）根據(jù)圖像，請你寫出小強每月的基本生活費；父母是如何獎勵小強家務(wù)勞動的？
（2）若小強5月份希望有250元費用，則小強4月份需做家務(wù)多少時間？
【解】（1）從圖像上可知道，小強父母給小強的每月基本生活費為150元 ；
當(dāng)0≤x≤20時，y（元）是x（小時）的一次函數(shù)，不妨設(shè)y=k1x+150，
同時，圖像過點（20，200），所以，200=k1×20+150，
解得：k1=2.5，所以，y=2.5x+150，
當(dāng)20＜x時，y（元）是x（小時）的一次函數(shù)，不妨設(shè)y=k2x+b，
同時，圖像過點（20，200），（30，240），
所以，，
解得：k2=4，b=120，所以，y=4x+120，
所以，如果小強每月家務(wù)勞動時間不超過20小時，每小時獲獎勵2.5元；
如果小強每月家務(wù)勞動時間超過20小時，那么20小時按每小時2.5元獎勵，超過部分按每小時4元獎勵
（2）從圖像上可知道，小強工作20 小時最多收入為200元，而5月份得到的費用為250元，大于200元，所以說明4月小強的工作時間一定超過20小時，所以應(yīng)選擇分段函數(shù)中當(dāng)20＜x時的一段，所以，由題意得，，解得：x=32.5
答：當(dāng)小強4月份家務(wù)勞動32.5小時，5月份得到的費用為250元．
【評析】本題不僅考查同學(xué)們對分段函數(shù)意義的理解，而且同時還考查了同學(xué)們對分類思想的掌握情況，和對分段函數(shù)的選擇能力。
三、常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)
【例3】有甲、乙兩家通訊公司，甲公司每月通話的收費標(biāo)準(zhǔn)如圖3所示；乙公司每月通話收費標(biāo)準(zhǔn)如表1所示．
（1）觀察圖3，甲公司用戶月通話時間不超過100分鐘時應(yīng)付話費金額是 元；甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費為 元；
（2）李女士買了一部手機，如果她的月通話時間不超過100分鐘，她選擇哪家通訊公司更合算？如果她的月通話時間超過100分鐘，又將如何選擇？
【解】(1）從圖3，可以看出，這是常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)，
當(dāng)0≤t≤100時，話費金額y=20；
當(dāng)t＞100時，話費金額y是通話時間t的一次函數(shù)，不妨設(shè)y=kt+b，
且函數(shù)經(jīng)過點（100，20）和（200，40），
所以，,解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t,
所以,甲公司用戶月通話時間不超過100分鐘時應(yīng)付話費金額是20元；當(dāng)甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費為0.2元；
2)仔細觀察表1,可以知道乙公司每月通話收費y=0.15t+25,
因為，0.15t+25=0.2t，所以，t=500，
所以，當(dāng)通話時間t=500分鐘時，選擇甲、乙兩家公司哪一家都可以；
因為，0.15t+2.5＞0.2t，所以，t＜500，
所以，當(dāng)通話時間100＜t＜500分鐘時，選擇甲公司；
因為，0.15t+2.5＜0.2t，所以，t＞500，
所以，當(dāng)通話時間t＞500分鐘時，選擇乙公司；
【評析】本題還可以在同一坐標(biāo)系中畫出這兩函數(shù)的圖像,借助圖像來回答問題,同學(xué)們可試之.
四、幾可題中的分段函數(shù)
【例4】 如圖4，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中點，點P在矩形的邊上沿A→B→C→M運動，則△APM的面積y與點P經(jīng)過的路程x之間的函數(shù)關(guān)系用圖像表示大致是下圖中的（ ）
【分析】當(dāng)點P在矩形的邊上運動時，在不同的邊上時，△APM的面積y的計算方法不一樣，因此要分點P在不同的邊上來考慮。
【解】1）、當(dāng)0≤x≤1，y=×x×2=x；如圖5所示；
2）、當(dāng)1＜x≤3，y=1×2-××2-×（x-1）×1-××（3-x）=；如圖6所示；
3）當(dāng)3＜x≤3.5，y=×（-x）×2=-x；如圖7所示；
所以C、D兩個選項是錯誤的，又因為函數(shù)y=中的k=-＜0，所以直線整體應(yīng)該是分布在二、一、四象限，所以選項B也是錯誤的，所以選A。
【評析】對于運動型問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意借助分類的思想用變量x分別出圖形的面積。在表示面積時，要注意整體思想的運用。
五、多段型分段函數(shù)
【例5】小明同學(xué)騎自行車去郊外春游，下圖表示他離家的距離y（千米）與所用的時間x（小時）之間關(guān)系的函數(shù)圖像.
（1）根據(jù)圖像回答：小明到達離家最遠的地方需幾小時？此時離家多遠？
（2）求小明出發(fā)兩個半小時離家多遠？
（3）求小明出發(fā)多長時間距家12千米？
【解】（1）由圖像可知小明到達離家最遠的地方需3小時；此時，他離家30千米
（2）設(shè)直線CD的解析式為y=k1x+b1,由C（2，15）、D（3，30），
代入得：y=15x-15（2≤x≤3）
當(dāng)x=2.5時，y=22.5（千米）
答：出發(fā)兩個半小時，小明離家22.5千米.
（3）設(shè)過E、F兩點的直線解析式為y=k2x+b2，
由E（4，30）、F（6，0），代入得y=-15x+90,(4≤x≤6)，
過A、B兩點的直線解析為y=kx，
∵B（1，15）∴y=15x.(0≤x≤1)
把y=12分別代入上面的兩個函數(shù)式中，得x=（小時），x=（小時）
答：小明出發(fā)經(jīng)過小時或小時，離家12千米。
【評析】出發(fā)兩個半小時離家多遠，應(yīng)在2與3小時之間，因此要求出直線CD的解析式，求何時距家12千米，應(yīng)考慮出發(fā)后離家12千米和回來時離家12千米兩種情況，因此要求出直線AB、EF的解析式。
總之，同學(xué)們在遇到有關(guān)分段函數(shù)時，要根據(jù)問題的需要，對自變量的取值范圍合理分段，確定每一段中的函數(shù)關(guān)系式，再解決所提出的問題。
圖2
25元 0.15元/分
圖3
圖4
圖5 圖6 圖7

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