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第三章 證明（三）
1．平行四邊形（三）
山東省青島市第二十八中學(xué) 宮彥君
一、學(xué)生知識(shí)狀況分析
學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在八年級(jí)（上）已經(jīng)對(duì)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形這些特殊四邊形的性質(zhì)和判定進(jìn)行了大量探索，在探索的同時(shí)，也經(jīng)歷了推理過程，具備了一定的推理能力。八年級(jí)（下）最后一章和九年級(jí)（上）第一章，又學(xué)習(xí)了證明，已經(jīng)能夠?qū)η懊嫣剿鬟^的一些圖形性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)格的證明，具備了證明三角形中位線定理的基本技能；
學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在證明（一）、證明（二）的學(xué)習(xí)過程中，對(duì)于一個(gè)以前沒有探索過的命題，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程，體會(huì)到合情推理與演繹推理在獲得結(jié)論中各自發(fā)揮的作用，獲得了證明一個(gè)新命題所必須的一些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)；同時(shí)在前面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流的能力。
二、教學(xué)任務(wù)分析
教科書提出了本節(jié)課的具體學(xué)習(xí)任務(wù)：理解三角形中位線的概念，會(huì)證明三角形的中位線定理，能應(yīng)用三角形中位線定理解決相關(guān)的問題。但這僅僅是這堂課外顯的具體的教學(xué)目標(biāo)，或者說是一個(gè)近期目標(biāo)。數(shù)學(xué)教學(xué)由一系列相互聯(lián)系而又漸次梯進(jìn)的課堂組成，因而具體的課堂教學(xué)也應(yīng)滿足于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的遠(yuǎn)期目標(biāo)。通過本課的學(xué)習(xí)，學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程，發(fā)展推理論證的能力，積累自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：
①理解三角形中位線的概念，會(huì)證明三角形的中位線定理，能應(yīng)用三角形中位線定理解決相關(guān)的問題；
②進(jìn)一步經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程，發(fā)展推理論證的能力；
③在命題的證明過程中通過相互間的合作與交流，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力；
④在證明過程中體會(huì)所運(yùn)用的歸納、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。
三、教學(xué)過程分析
本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境；第二環(huán)節(jié)：提出問題；第三環(huán)節(jié)：猜想結(jié)論；第四環(huán)節(jié)：驗(yàn)證明確結(jié)論；第五環(huán)節(jié)：運(yùn)用鞏固；第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。
第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境
活動(dòng)內(nèi)容：提出問題：①如圖：A、B兩地被池塘隔開，現(xiàn)要測(cè)量出AB兩地的距離，給你的工具只有皮尺，你能想辦法測(cè)量出來嗎？②小明是這樣做的：先在AB外選一點(diǎn)C，然后測(cè)出AC，BC的中點(diǎn)M，N，再測(cè)出MN的長(zhǎng)，由此他就知道了AB間的距離。你知道他是怎么算的嗎？你能設(shè)法驗(yàn)證嗎
活動(dòng)目的：根據(jù)我校學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和實(shí)際學(xué)，我認(rèn)為教材中創(chuàng)設(shè)的問題情境難度較大，學(xué)生不容易突破，可能會(huì)在此耽誤時(shí)間，影響了后面定理的探索。因此我設(shè)置了這個(gè)問題情境，一方面貼近學(xué)生的生活，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)串連了舊知識(shí)，另一方面通過對(duì)所提問題的思考和解決，自然而然地引出三角形中位線的概念，過渡到本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容上。通過活動(dòng)①，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。由于學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過利用三角形全等測(cè)距離，所以這道題學(xué)生不難解決，這樣既復(fù)習(xí)了舊知識(shí)，同時(shí)也給學(xué)生提供了不同的解決問題方案。活動(dòng)②，通過對(duì)所提問題的思考和解決，引出三角形中位線的概念，指向本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。
活動(dòng)的實(shí)際效果：部分學(xué)生能夠聯(lián)系全等三角形的知識(shí)構(gòu)造出圖形，確定出測(cè)量方案，教師給予總結(jié)鼓勵(lì)，提出問題②。對(duì)于問題②，學(xué)習(xí)程度較好的同學(xué)能夠運(yùn)用相似三角形的知識(shí)給予解釋，對(duì)于這兩個(gè)問題的思考，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)了學(xué)生的思維，為后面的探索奠定了良好的基礎(chǔ)。
第二環(huán)節(jié)：提出問題
活動(dòng)內(nèi)容：
①教師指出上題中的線段MN叫做△ABC的中位線，請(qǐng)同學(xué)們嘗試定義什么叫做三角形的中位線？并在練習(xí)本上畫出△ABC的一條中位線DE；
②學(xué)生思考：三角形有幾條中位線？三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？
③猜想三角形的中位線與第三邊有怎樣的關(guān)系？。
活動(dòng)目的：活動(dòng)①承接上面的問題自然引出，通過學(xué)生嘗試定義，動(dòng)手畫圖促使學(xué)生理解掌握三角形的中位線概念。活動(dòng)②的目的既為后面的練習(xí)埋下伏筆，又對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生通過抓住概念間的區(qū)別和聯(lián)系來掌握概念。活動(dòng)③將問題直接指向本節(jié)課的研究重點(diǎn)——三角形中位線定理的探索與證明。
活動(dòng)實(shí)際效果：通過學(xué)生自己嘗試定義三角形的中位線以及對(duì)比三角形的中線定義，學(xué)生能夠抓住三角形的中位線是兩個(gè)中點(diǎn)這一本質(zhì)特征，對(duì)于這一概念掌握得非常牢固。
第三環(huán)節(jié)：猜想結(jié)論
活動(dòng)內(nèi)容：學(xué)生基于個(gè)人不同的學(xué)和學(xué)習(xí)能力，通過不同的方法給出猜想
活動(dòng)目的：?jiǎn)栴}③的提出激發(fā)了學(xué)生的探索熱情，由于學(xué)生的學(xué)和學(xué)習(xí)能力不同，教師放手給學(xué)生后，學(xué)生的方法各異，教師通過巡視，掌握信息，給予指導(dǎo)。
活動(dòng)實(shí)際效果：有的學(xué)生是基于相似三角形的知識(shí)給予合情推理得出的，有的學(xué)生是動(dòng)手測(cè)量猜想結(jié)論的，但多數(shù)學(xué)生能夠猜想出數(shù)量上的關(guān)系，而忽略了位置上的關(guān)系，教師可加以適當(dāng)?shù)靥崾军c(diǎn)撥。
第四環(huán)節(jié)：驗(yàn)證明確結(jié)論
活動(dòng)內(nèi)容：
①引導(dǎo)學(xué)生把剛才的猜想轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，寫出已知、求證。
②學(xué)生小組合作嘗試證明，教師巡視指導(dǎo)，給予適當(dāng)引導(dǎo)、啟發(fā)（教師可以通過這些問題啟發(fā)學(xué)生：?jiǎn)栴}1證明直線平行的方法有哪些？啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想由角的相等或互補(bǔ)得出平行、由平行四邊形得出平行等。問題2證明線段的倍分的方法有那些？啟發(fā)學(xué)生將較長(zhǎng)的線段分割，或?qū)⑤^短的線段補(bǔ)長(zhǎng)）。
③學(xué)習(xí)小組間互相交流不同的證明方法，彼此開拓思路，同時(shí)選取最優(yōu)方法，個(gè)人獨(dú)立寫出證明過程。
④明確結(jié)論，教師板書三角形中位線定理
活動(dòng)目的：這一環(huán)節(jié)采用小組合作學(xué)習(xí)方式，由于這個(gè)結(jié)論的證明思路和方法對(duì)學(xué)生來說有一定的難度，學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)，彼此互相啟發(fā)，共同研究，能夠自己解決這一問題。對(duì)于學(xué)生思考未果的小組，教師可以通過上面的問題引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生找到證明思路。通過小組間的交流，能讓學(xué)生了解不同的證明方法，開闊思路，在聽取他人意見的同時(shí)，優(yōu)化自己的證明方法。這些方法充分發(fā)揮了學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和探究性學(xué)習(xí)的功能，培養(yǎng)了學(xué)生探究問題的能力。
活動(dòng)實(shí)際效果：在教師的適當(dāng)點(diǎn)播下，學(xué)生思維活躍，得到多種證明方法。大致總結(jié)出2種方法。
附：學(xué)生的證明方法
已知：如圖，DE是△ABC的 中位線
求證：DE∥BC，DE＝BC
證法一：延長(zhǎng)DE至F，使EF＝DE，連接CF
∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F
∴BD∥CF
∵AD＝BD
∴BD＝CF
∴四邊形BCFD是平行四邊形
∴DF∥BC，DF＝BC
∴DE∥BC，DE＝BC
證法二：過C點(diǎn)作CF∥AB交DE的延長(zhǎng)線于F
∵ CF∥AB
∴∠ADE＝∠F
∵∠AED＝∠CEF，AE＝EC
∴△ADE≌△CFE
∴AD＝CF
∵AD＝BD
∴BD＝CF
∴四邊形BCFD是平行四邊形
∴DF∥BC，DF＝BC
∴DE∥BC，DE＝BC
第五環(huán)節(jié)：運(yùn)用鞏固
活動(dòng)內(nèi)容：
①已知三角形三邊長(zhǎng)分別為6，8，10，順次連結(jié)各邊中點(diǎn)所得的三角形周長(zhǎng)是多少？如果△ABC的三邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，那么△DGE的周長(zhǎng)是多少？
②你能將任意一個(gè)三角形分成四個(gè)全等的三角形嗎
③任意做一個(gè)四邊形,并將其四邊的中點(diǎn)依次連接起來,得到一個(gè)新的四邊形.這個(gè)新四邊形的形狀有什么特征 請(qǐng)證明你的結(jié)論
④問題③變式：四邊形ABCD是平行四邊形時(shí), 四邊形EFGH是什么特殊圖形
四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形EFGH是什么特殊圖形
四邊形ABCD是菱形時(shí)，四邊形EFGH是什么特殊圖形
活動(dòng)目的：對(duì)三角形中位線定理進(jìn)行鞏固，同時(shí)靈活應(yīng)用三角形中位線定理解決其他問題。
實(shí)際效果：學(xué)生基本都能應(yīng)用三角形中位線定理解決問題①，收到了較好的教學(xué)效果。問題②由于在前面做了鋪墊，學(xué)生能夠畫出一個(gè)三角形的三條中位線，因此解決起來也相對(duì)順利。問題③回應(yīng)前面定理的探索過程，進(jìn)一步經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的探究過程，同時(shí)進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明能力。問題④面向程度較好的學(xué)生，進(jìn)一步深化思路，只要抓住特殊四邊形的性質(zhì)就能順利地解決問題。
第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)
活動(dòng)內(nèi)容：師生互相交流總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)。
活動(dòng)目的：鼓勵(lì)學(xué)生回顧本節(jié)課知識(shí)方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進(jìn)一步鞏固知識(shí)，將新知識(shí)納入到學(xué)生個(gè)人已有的知識(shí)體系中。
活動(dòng)實(shí)際效果：學(xué)生通過回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，體會(huì)“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”這樣的科學(xué)探究過程，通過回顧本節(jié)課輔助線的添加，進(jìn)一步豐富自己的解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題能力和一題多解的能力。
第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)
教科書85頁(yè) 習(xí)題3.3 1.2.3.4
四、教學(xué)反思
要?jiǎng)?chuàng)造性的使用教材
教材只是為教師提供最基本的教學(xué)素材，教師完全可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。教材中創(chuàng)設(shè)的問題情境個(gè)人感覺難度較大，學(xué)生不容易突破，可能會(huì)在此耽誤時(shí)間，影響了后面定理的探索。因此我設(shè)置了另外的問題情境，一方面復(fù)習(xí)串連了舊知識(shí)，另一方面通過對(duì)所提問題的思考和解決，自然而然地引出三角形中位線的概念，過渡到本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容上。
2、小組合作學(xué)習(xí)，更能發(fā)揮學(xué)生的主體地位
通過小組合作探索定理的證明過程，為學(xué)生提供展示自己的機(jī)會(huì)，并且在此過程中更有利于教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生分析問題解決問題的獨(dú)到見解，以及思維的誤區(qū)，以便指導(dǎo)今后的教學(xué)。
3、注意改進(jìn)的方面
在小組討論之前，應(yīng)該留給學(xué)生充分的獨(dú)立思考的時(shí)間，不要讓一些思維活躍的學(xué)生的回答代替了其他學(xué)生的思考，掩蓋了其他學(xué)生的疑問。在小組合作學(xué)習(xí)中不能讓好學(xué)生包辦一切，學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較弱的學(xué)生只充當(dāng)聽眾。教師應(yīng)通過巡視及時(shí)發(fā)現(xiàn)小組合作學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題和遇到的困難，及時(shí)給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，使小組合作學(xué)習(xí)更具實(shí)效性。
A .
B
.
M
C
N
B C
A
D
E
B C
A
D
E
F
B C
A
D
E
F

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