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三角形中位線定理的證明及其教學說明
以下內(nèi)容作者為：青島第四中學楊瀚書老師
一、 三角形中位線定理的幾種證明方法
法1： 如圖所示，延長中位線DE至F，使 ，連結(jié)CF，則 ，有AD FC，所以FC BD，則四邊形BCFD是平行四邊形，DF BC。因為 ，所以DE ．
法2：?如圖所示，過C作 交DE的延長線于F，則 ，有FC AD，那么FC BD，則四邊形BCFD為平行四邊形，DF BC。因為 ，所以DE ．

法3：如圖所示，延長DE至F，使 ，連接CF、DC、AF，則四邊形ADCF為平行四邊形，有AD CF，所以FC BD，那么四邊形BCFD為平行四邊形，DF BC。因為 ，所以DE ．
法4：如圖所示，過點E作MN∥AB，過點A作AM∥BC，則四邊形ABNM為平行四邊形，易證，從而點E是MN的中點，易證四邊形ADEM和BDEN都為平行四邊形，所以DE=AM=NC=BN，DE∥BC，即DE。
法5：如圖所示，過三個頂點分別向中位線作垂線．
二、教學說明
1、三角形中位線定理的另外一種猜想過程：“二維”轉(zhuǎn)化為“一維”
在引導學生探索三角形中位線定理時，由于學生畫出中位線后，就不難直觀地發(fā)現(xiàn)平行關系，難的是發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系，我聯(lián)想到在此之前認識線段中點時的一道典型例題，挖掘它與原有知識的內(nèi)在聯(lián)系，從而作如下探索引導。
⑴如圖，A為線段BC(或線段BC的延長線)上的任意一點，D、E分別是AB、AC的中點，線段DE與BC有什么關系？
圖⑴：
⑵如果點A不在直線BC上，圖形如何變化？上述結(jié)論仍然成立嗎
圖⑵：
說明：學生觀察（幾何畫板制作的）課件演示：當△ABC的頂點A運動到直線BC上時,中位線DE也運動到BC上，這樣由“二維”轉(zhuǎn)化為“一維”，學生就不難猜想性質(zhì)的兩方面，特別是數(shù)量關系，而想到去度量、驗證和猜想，水到渠成.如果教師直接叫學生去度量角度和長度，是強扭的瓜不甜.
2、教學重點：本課重點是掌握和運用三角形中位線定理。
第一，要知道中位線定理的作用：可以證明兩條直線平行及線段的倍分關系，計算邊長或中位線的長。
第二，要知道中位線定理的使用形式，如：
∵ DE是△ABC的中位線
∴ DE∥BC，
第三，讓學生通過部分題目進行訓練，進而掌握和運用三角形中位線定理。
題1 如圖4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D、E分別為AB，BC的中點，點F在CA延長線上，∠FDA＝∠B.
(1)求證：AF＝DE；(2)若AC＝6，BC＝10，求四邊形AEDF的周長.
分析 本題是考查知識點較多的綜合題，它不但考查應用三角形中位線定理的能力，而且還考查應用直角三角形和平行四邊形有關性質(zhì)的能力。
(1)要證AF＝DE，因為它們剛好是四邊形的一組對邊，這就啟發(fā)我們設法證明AEDF是平行四邊形.因為DE是三角形的中位線，所以DE∥AC.又題給條件∠FDA＝∠B，而在Rt△ABC中，因AE是斜邊上的中線，故AE＝EB.從而∠EAB＝∠B.于是∠EAB＝∠FDA.故得到AE∥DF.所以四邊形AEDF為平行四邊形.
(2)要求四邊形AEDF的周長，關鍵在于求AE和DE，AE＝BC＝5，DE＝AC＝3.
證明：(1)∵D、E分別為AB、BC的中點，
∴DE∥AC，即DE∥AF
∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BE＝EC
∴EA＝EB＝BC，∠EAB＝∠B
又∵∠FDA＝∠B，
∴∠EAB＝∠FDA
∴EA∥DF，AEDF為平行四邊形
∴AF＝DE
(2)∵AC＝6，BC＝10，
∴DE＝AC＝3，AE＝BC＝5
∴四邊形AEDF的周長＝2(AE+DE)＝2(3+5)＝16
題2 如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，E、F分別是BC、AD的中點，延長BA和CD分別與EF的延長線交于K、H。求證：∠BKE＝∠CHE.
分析 本題考查三角形中位線的構(gòu)造方法及應用、平行線的性質(zhì).由中點想到中位線，又要把結(jié)論聯(lián)系起來，既要使中位線的另一端點處一理想的位置，又使需證明的角轉(zhuǎn)移過來，可考慮，連BD，找BD中點G，則EG、FG分別為△BCD、△DBA的中位線，于是得到了解題方法.考慮到結(jié)論輔助線不要亂作，取中點比作平行線好.
證明：連BD并取BD的中點G，連FG、GE
在△DAB和△BCD中
∵F是AD的中點，E是BC的中點
∴FG∥AB且FG＝AB，EG∥DC且EG＝DC
∴∠BKE＝∠GFE，∠CHE＝∠GEF
∵AB＝CD ∴FG＝EG
∴∠GFE＝∠GEF ∴∠BKE＝∠CHE

題3 如圖， ABCD為等腰梯形，AB∥CD，O為AC、BD的交點，P、R、Q分別為AO、DO、BC的中點，∠AOB＝60°。求證：△PQR為等邊三角形.
分析 本題考查三角形中位線定理、等邊三角形判定方法、直角三角形斜邊中線定理。利用條件可知PR＝AD，能否把PQ、RQ與AD(BC)聯(lián)系起來成為解題的關鍵，由于∠AOB＝60°，OD＝OC，則△ODC為等邊三角形，再由R為OD中點，則∠BRC＝90°，QR就為斜邊BC的中線.
證明：連RC，∵四邊形ABCD為等腰梯形且AB∥DC
∴AD＝BC ∠ADC＝∠BCD
又∵DC為公共邊 ∴△ADC≌△BCD
∴∠ACD＝∠BDC ∴△ODC為等腰三角形
∵∠DOC＝∠AOB＝60° ∴△ODC為等邊三角形
∵R為OD的中點
∴∠ORC＝90°＝∠DRC(等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高)
∵Q為BC的中點 ∴RQ＝BC＝AD
同理PQ＝BC＝AD
在△OAD中 ∵P、R分別為AO、OD的中點
∴PR＝AD ∴PR＝PQ＝RQ
故△PRQ為等邊三角形

3、教學難點：本課難點是三角形中位線定理的證明，證明方法的關鍵在于如何添加輔助線．
教師可以在證明思路上進行引導、啟發(fā)，避免生硬地將輔助線直接作出來讓學生接受。例如，教師可以啟發(fā)學生：要證明一條線段的長等于另一條線段的長的一半，可將較短的線段延長一倍，或者截取較長的線段的一半。
上面的這種輔助線的作法可以概括為“短延長、長截短”，這種輔助線的作法還可以用于證明線段和、差、倍、分等方面。
證明線段的和、差、倍、分常用的證明策略：
1， 長截短：要證明一條線段等于另外兩條線段的和與差，可在長線上截取一部分等于另兩條線段中的一條，然后再證明另一部分等于剩下的一條線段的長。（角也亦然）
2， 短延長：要證明一條線段等于另外兩條線段的和與差，可先延長較短的一條線段，得到兩條線段的和，然后再證明其與長的線段相等。（角也這樣）
3， 加倍法：要證明一條線段等于另一條線段的2倍或1/2，可加倍延長線段，延長后使之為其2倍，再證明與另一條線段相等。（角也這樣）
4， 折半法：要證明一條線段等于另一條線段的2倍或1/2，也可取長線段的中點，再證明其中之一與另一條線段相等。（角也可用）
5， 代數(shù)運算推理法：這種方法是利用代數(shù)運算證明線段或角的和、差、倍、分。
6， 相似三角形及比例線段法：利用相似三角形的性質(zhì)進行推理論證。
題1（短延長）：如圖所示，在正方形ABCD中，P、Q分別為BC、CD上的點。
（1）若PAQ=45°，求證：PB+DQ=PQ。
（2）若△PCQ的周長等于正方形周長的一半，求證：PAQ=45°
證明：（1）延長CB至E，使BE=DQ，連接AE。
∵四邊形ABCD是正方形
∴ABE=ABC=D=90°，AB=AD
在△ABE和△ADQ中
∵AB=AD，ABE=D，BE=DQ
（2）延長CB至E，使BE=DQ，連接AE
由（1）可知
題2（長截短）：如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分線AD交BC于D。求證：AC=AB+BD
證明：在AC上截取OA=AB，連接OD，
∵∠3=∠4，AD=AD
∴ △ABD≌△AOD，∴ BD=DO
∴∠B=∠1=∠2+∠C= 2∠C
∴ ∠2=∠C
∴ OD=OC=BD
∴ AC=OA+OC=AB+BD

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