資源簡介

2011年全國各地中考數學壓軸題專集
目 錄
一、圖象信息
二、一元二次方程
三、反比例函數
四、二次函數
五、概率
六、三角形
七、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形
八、圓
九、綜合型問題
十、動態綜合型問題
一、圖象信息
1．甲、乙兩車在連通A、B、C三地的公路上行駛，甲車從A地出發勻速向C地行駛，同時乙車從C地出發勻速向B地行駛，到達B地并在B地停留1小時后，按原路原速返回到C地．在兩車行駛的過程中，甲、乙兩車距B地的路程y（千米）與行駛時間x（小時）之間的函數圖象如圖所示，請結合圖象回答下列問題：
（1）求甲、乙兩車的速度，并在圖中（ ）內填上正確的數；
（2）求乙車從B地返回到C地的過程中，y與x之間的函數關系式；
（3）當甲、乙兩車行駛到距B地的路程相等時，甲、乙兩車距B地的路程是多少？
2．有一批物資，先用火車從M地運往距M地180千米的火車站，再由汽車運往N地．甲車在駛往N地的途中發生故障，司機馬上通知N地，并立即檢查和維修．N地在接到通知后第12分鐘時，立即派乙車前往接應．經過搶修，甲車在乙車出發第8分鐘時修復并繼續按原速行駛，兩車在途中相遇．為了確保物資能準時運到N地，隨行人員將物資全部轉移到乙車上（裝卸貨物時間和乙車掉頭時間忽略不計），乙車按原速原路返回，并按預計時間準時到達N地．下圖是甲、乙兩車離N地的距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數圖象。請結合圖象信息解答下列問題：
（1）請直接在坐標系中的（ ）內填上數據；
（2）求直線CD的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）求乙車的行駛速度．
3．如圖1，某容器由A、B、C三個長方體組成，其中A、B、C的底面積分別為25cm2、10cm2、5cm2，C的容積是容器容積的 （容器各面的厚度忽略不計）．現以速度v（單位：cm3/s）均勻地向容器注水，直至注滿為止．圖2是注水全過程中容器的水面高度h（單位：cm）與注水時間t（單位：s）的函數圖象．
（1）求A的高度hA及注水的速度v；
（2）求注滿容器所需時間及容器的高度．
4．如圖1是甲、乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱形鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上）．現將甲槽中的水勻速注人乙槽，甲、乙兩個水槽中水的深度y（厘米）與注水時間x（分鐘）之間的關系如圖2所示．根據圖象提供的信息，解答下列問題：
（1）圖2中折線ABC表示_______槽中水的深度與注水時間之間的關系，線段DE表示_______槽中水的深度與注水時間之間的關系（以上兩空選填“甲”或“乙”），點B的縱坐標表示的實際意義是__________________________；
（2）注水多長時間時，甲、乙兩個水槽中水的深度相同？
（3）若乙槽底面積為36平方厘米（壁厚不計），求乙槽中鐵塊的體積；
（4）若乙槽中鐵塊的體積為112立方厘米，求甲槽底面積（壁厚不計）．
5．小明從家騎自行車出發，沿一條直路到相距2400m的郵局辦事，小明出發的同時，他的爸爸以96m/min的速度從郵局沿同一條道路步行回家，小明在郵局停留2 min后沿原路以原速返回．設他們出發后經過t min時，小明與家之間的距離為s1 m，小明爸爸與家之間的距離為s2 m，圖中折線OABD、線段EF分別表示s1、s2與t之間函數關系的圖象。
（1）求s2與t之間的函數關系式；
（2）小明從家出發，經過多長時間在返回途中追上爸爸？這時他們距離家還有多遠？
6．因長期干旱，甲水庫蓄水量降到了正常水位的最低值．為灌溉需要，由乙水庫向甲水庫勻速供水，20h后，甲水庫打開一個排灌閘為農田勻速灌溉，又經過20h，甲水庫打開另一個排灌閘同時灌溉，再經過40h，乙水庫停止供水．甲水庫每個排灌閘的灌溉速度相同，圖中的折線表示甲水庫蓄水量Q（萬m3）與時間t（h）之間的函數關系．
求：（1）線段BC的函數表達式；
（2）乙水庫供水速度和甲水庫一個排灌閘的灌溉速度；
（3）乙水庫停止供水后，經過多長時間甲水庫蓄水量又
降到了正常水位的最低值？
7．小華觀察鐘面（圖1），了解到鐘面上的分針每小時旋轉360度，時針毎小時旋轉30度．他為了進一步探究鐘面上分針與時針的旋轉規律，從下午2 : 00開始對鐘面進行了一個小時的觀察．為了探究方便，他將分針與分針起始位置OP（圖2）的夾角記為y1，時針與OP的夾角記為y2度（夾角是指不大于平角的角），旋轉時間記為t分鐘．觀察結束后，利用獲得的數據繪制成圖象（圖3），并求出y1與t的函數關系式：
y1＝ eq \b\lc\{()
請你完成：
（1）求出圖3中y2與t的函數關系式；
（2）直接寫出A、B兩點的坐標，并解釋這兩點的實際意義；
（3）若小華繼續觀察一個小時，請你在圖3中補全圖象．
8．周六上午8∶00小明從家出發，乘車1小時到郊外某基地參加社會實踐活動，在基地活動2.2小時后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/小時的平均速度步行返回，同時他的爸爸開車從家出發沿同一路線接他，在離家28千米處與小明相遇，接到小明后保持車速不變，立即按原路返回．設小明離開家的時間為x小時，小名離家的路程y （干米）與x （小時）之間的函數圖象如圖所示．
（1）小明去基地乘車的平均速度是______千米/小時，爸爸開車的平均速度是______千米/小時；
（2）求線段CD所表示的函數關系式；
（3）小明能否在12∶00前回到家？若能，請說明理由；若不能，請算出12∶00時他離家的路程．
9．由于受金融危機的影響，某店經銷的甲型號手機今年的售價比去年每部降價500元．如果賣出相同數量的手機，那么去年銷售額為8萬元，今年銷售額只有6萬元．
（1）今年甲型號手機每部售價為多少元？
（2）為了提高利潤，該店計劃購進乙型號手機銷售，已知甲型號手機每部進價為1000元，乙型號手機每部進價為800元，預計用不多于1.84萬元且不少于1.76萬元的資金購進這兩種手機共20部，請問有幾種進貨方案？
（3）若乙型號手機的售價為1400元，為了促銷，公司決定每售出一部乙型號手機，返還顧客現金a元，而甲型號手機仍按今年的售價銷售，要使（2）中所有方案獲利相同，a應取何值？
10．星光中學課外活動小組準備圍建一個矩形生物苗圃園．其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成 ．已知墻長為18米（如圖所示），設這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米．
（1）若平行于墻的一邊的長為y米，直接寫出y與x之間的函數關系式及其自變量x的取值范圍；
（2）垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個苗圃園的面積最大，并求出這個最大值；
（3）當這個苗圃園的面積不小于88平方米時，試結合函數圖像，直接寫出x的取值范圍．
11．為了保護水資源，某市制定了一套節水的管理措施，其中對居民生活用水收費作如下規定：
月用水量（噸） 單價（元／噸）
不大于10噸部分 1.5
大于10噸不大于m噸部分（20≤m≤50） 2
大于m噸部分 3
（1）若某用戶六月份用水量為18噸，求其應繳納的水費；
（2）記該用戶六月份用水量為x噸，繳納水費為y元，試列出y與x的函數式；
（3）若該用戶六月份用水量為40噸，繳納水費y元的取值范圍為70≤y≤90，試求m的取值范圍．
12．在平面直角坐標系中，點P從原點O出發，每次向上平移2個單位長度或向右平移1個單位長度．
（1）實驗操作：
在平面直角坐標系中描出點P從點O出發，平移1次后，2次后，3次后可能到達的點，并把相應點的坐標填寫在表格中：
（2）觀察發現：
任一次平移，點P可能到達的點在我們學過的一種函數的圖象上，如：平移1次后在函數________________的圖象上；平移2次后在函數________________的圖象上……由此我們知道，平移次后在函數________________的圖象上．（請填寫相應的解析式）
（3）探索運用：
點P從點O出發經過次平移后，到達直線y＝x上的點Q，且平移的路徑長不小于50，不超過56，求點Q的坐標．
13．某學校要在圍墻旁建一個長方形的中藥材種植實習苗圃，苗圃的一邊靠墻（墻的長度不限），另三邊用木欄圍成，建成的苗圃為如圖所示的長方形ABCD．已知木欄總長為120米，設AB邊的長為x米，長方形ABCD的面積為S平方米．
（1）求S與x之間的函數關系式，當x為何值時，S取得最值（請指出是最大值還是最小值）？并求出這個最值；
（2）學校計劃將苗圃內藥材種植區域設計為如圖所示的兩個相外切的等圓．其圓心分別為O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距離與O2到CD、BC、AD的距離都相等，并要求在苗圃內藥材種植區域外四周至少要留夠0.5米寬的平直路面，以方便同學們參觀學習．當（1）中S取得最值時，請問這個設計是否可行？若可行，求出圓的半徑；若不可行，請說明理由．
14．王偉準備用一段長30米的籬笆圍成一個三角形形狀的小圈，用于飼養家兔．已知第一條邊長為a米，由于受地勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米．
（1）請用a表示第三條邊長；
（2）問第一條邊長可以為7米嗎？請說明理由，并求出a的取值范圍；
（3）能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長均為整數？若能，說明你的圍法；若不能，請說明理由．
15．李明在小島上的A處，上午8時測得在A的北偏東60 的D處有一艘輪船，9時20分測得該船航行到北偏西60 的C處，9時40分測得該船到達位于A正西方5千米的港口B處，如果該船始終保持勻速直線運動，求：
（1）A、C之間的距離；
（2）輪船的航行速度．
16．長江沿岸的甲乙兩港相距300千米，甲港在乙港的上游，滿載貨物的貨輪從乙港出發，到達甲港卸貨后，再空載返回乙港，貨輪離開乙港的路程s（千米）隨時間t（小時）的變化關系如圖所示．已知貨輪空載時在靜水中的速度比滿載時在靜水中的速度快5千米/小時．
（1）求長江水流速度及貨輪空載時在靜水中的速度；
（2）若貨輪在距甲港90千米時接到警報，將有臺風影響航道安全，預報再過4小時此段航道將有暴風雨，為了安全，貨船必須在4小時之內進入甲港避風．現決定從甲港派出一艘大馬力的動力拖輪，遇到貨輪后，將其快速拖到甲港．動力拖輪拖著貨輪在靜水中的速度，是它們分別在靜水中速度的平均值．動力拖輪在靜水中速度是40千米/小時．問：能否在規定時間內將貨輪拖到甲港？請說明理由．
17．在海岸上A處，發現北偏東45°方向、距離為 －1海里的B處有一走私船．在A處北偏西75°方向、距離為 2海里的C處的我方緝私艇奉命以每小時10 海里的速度向走私船追去，這時走私船正以每小時10海里的速度從B處向北偏東30°方向逃竄．問：緝私艇沿什么方向行駛，才能在最短時間內追上走私船？并求出所需時間．（結果保留根號）
18．李明在進行投籃訓練，他從距地面高1.55米處的O點向籃圈中心A點投出一球，球的飛行路線為拋物線，當球達到距地面最高點3.55米時，球移動的水平距離為2米．以O點為坐標原點，建立直角坐標系（如圖所示），測得OA與水平方向OB的夾角為30°，A、B兩點相距1.5米．
（1）求籃球飛行路線所在拋物線的解析式；
（2）判斷李明這一投能否把球從O點直接投入籃圈A點（排除籃板球），如果能，請說明理由；如果不能，那么李明應向前或向后移動多少米，才能投入籃圈A點？（結果保留根號）
二、一元二次方程
1．已知△ABC的兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x 2－( 2k＋3 )x＋k 2＋3k＋2＝0的兩個實數根，第三邊長為5．
（1）當k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；
（2）當k為何值時，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長．
2．已知△ABC的三邊長為a、b、c，關于x的方程x 2－2( a＋b )x＋c 2＋2ab＝0有兩個相等的實數根，又sinA、sinB是關于x的方程( m＋5 )x 2－( 2m－5 )x＋m－8＝0的兩個實數根．
（1）求m的值；
（2）若△ABC的外接圓面積為25π，求△ABC的內接正方形的邊長．
3．已知關于x的方程x 2－( m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的兩個實數根為α、β，且α≤β．
（1）試用含有α、β的代數式表示m和n；
（2）求證：α≤1≤β；
（3）若點P（α，β）在△ABC的三條邊上運動，且△ABC頂點的坐標分別為A（1，2），B（ ，1），C（1，1），問是否存在點P，使m＋n＝ ？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
4．請閱讀下列材料：
問題：已知方程x 2＋x－1＝0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．
解：設所求方程的根為y，則y＝2x，所以x＝ ．
把x＝ 代入已知方程，得()2＋ －1＝0．
化簡，得y 2＋2y－4＝0．
故所求方程為y 2＋2y－4＝0．
這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．
請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）；
（1）已知方程x 2＋x－2＝0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數，則所求方程為：___________________；
（2）已知關于x的一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數．
5．已知關于x的一元二次方程x 2－2x－a 2－a＝0（a＞0）．
（1）證明這個方程的一個根比2大，另一個根比2小；
（2）如果當a＝1，2，3，…，2011時，對應的一元二次方程的兩個根分別為α1、β1，α2、β2，α3、β3，…，α2011、β2011，求 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ … ＋ ＋ 的值．
6．已知關于x的一元二次方程x 2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，且a＞b＞c＞0．
（1）若方程有實數根，求證：a，b，c不能構成一個三角形的三邊長；
（2）若方程有實數根x0，求證：b＋c＜x0＜a；
（3）若方程的實數根為6和9，求正整數a，b，c的值．
7．已知方程x 2＋2ax＋a－4＝0有兩個不同的實數根，方程x 2＋2ax＋k＝0也有兩個不同的實數根，且其兩根介于方程x 2＋2ax＋a－4＝0的兩根之間，求k的取值范圍．
8．已知關于x的方程x 2－4|x|＋3＝k．
（1）當k為何值時，方程有4個互不相等的實數根？
（2）當k為何值時，方程有3個互不相等的實數根？
（3）當k為何值時，方程有2個互不相等的實數根？
（4）是否存在實數k，使得方程只有1個實數根？若存在，求k的值和方程的根；若不存在，請說明理由．
9．已知x1，x2是關于x的一元二次方程4x 2＋4(m－1)x＋m 2＝0的兩個非零實數根，則x1與x2能否同號？若能同號，請求出相應的m的取值范圍；若不能同號，請說明理由．
10．已知α、β為關于x的方程x 2－2mx＋3m＝0的兩個實數根，且(α－β)2＝16，如果關于x的另一個方程x 2－2mx＋6m－9＝0的兩個實數根都在α和β之間，求m的值．
11．已知a為實數，且關于x的二次方程ax 2＋(a 2＋1)x－a＝0的兩個實數根都小于1，求這兩個實數根的最大值．
12．求實數a的取值范圍，使關于x的方程x 2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0
（1）有兩個實根x1、x2，且滿足0＜x1＜1＜x2＜4；
（2）至少有一個正根．
13．已知x1、x2是方程x 2－mx－1＝0的兩個實數根，滿足x1＜x2，且x2≥2．
（1）求m的取值范圍；
（2）若 ＋ ＝2，求m的值．
14．已知關于x的方程x 2－(m－2)x－ ＝0（m≠0）
（1）求證：這個方程總有兩個異號實根；
（2）若這個方程的兩個實根x1、x2滿足| x2|＝| x1|＋2，求m的值及相應的x1、x2．
15．已知△ABC的一邊長為5，另兩邊長恰是方程2x 2－12x＋m＝0的兩個根，求m的取值范圍．
16．已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x 2－x－1＝0的兩個實數根，設s1＝α＋β，s2＝α 2＋β 2，…，
sn＝α n＋β n．根據根的定義，有α 2－α－1＝0，β 2－β－1＝0，將兩式相加，得(α 2＋β 2)－(α＋β)－2＝0，于是，得s2－s1－2＝0．
根據以上信息，解答下列問題：
（1）利用配方法求α，β的值，并直接寫出s1，s2的值；
（2）猜想：當n≥3時，sn，sn-1，sn-2之間滿足的數量關系，并證明你的猜想的正確性；
（3）根據（2）中的猜想，求( EQ \F(1＋ , 2 ) )8＋( EQ \F(1－ , 2 ) )8的值．
17．已知方程(x－1)(x 2－2x＋m)＝0的三個實數根恰好構成△ABC的三條邊長．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）當△ABC為直角三角形時，求m的值和△ABC的面積．
三、反比例函數
1．如圖，點A、B在反比例函數y＝－ 的圖象上，且點A、B的橫坐標分別為a、2a（a＜0）．
（1）求△AOB的面積；
（2）若點C在x軸上，點D在y軸上，且四邊形ABCD為正方形，求a的值．
2．如圖，點P是反比例函數y＝－ （x＜0）圖象上一動點，點A、B分別在x軸，y軸上，且OA＝OB＝2，PM⊥x軸于M，交AB于E，PN⊥y軸于N，交AB于F．
（1）當動點P的縱坐標為 時，連接OE、OF，求△EOF的面積；
（2）設動點P的坐標為P（a，b）（－2＜a＜0，0＜b＜2且| a |≠| b |），其他條件不變，探索：以AE、EF、BF為邊的三角形是怎樣的三角形？并證明你的結論．
3．如圖，在△OAB中，OA＝OB，點A坐標為（－3，3），點B在x軸負半軸上．
（1）將△OAB沿x軸向右平移a個單位后，點A恰好落在反比例函數y＝ EQ \F(6, x ) 的圖象上，求a的值；
（2）將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉α角（0°＜α＜90°）．
①當α＝30°時，點B恰好落在反比例函數y＝ 的圖象上，求k的值；
②點A、B能否同時落在①中的反比例函數的圖象上，若能，求α角的大小；若不能，請說明理由．
4．如圖，△AOB為等腰直角三角形，斜邊OB在x軸上，一次函數y＝3x－4的圖象經過點A，交y軸于點C，反比例函數y＝ （x＞0）的圖象也經過點A．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）過O點作OD⊥AC于D點，求CD 2－AD 2的值；
（3）若點P是x軸上的動點，在反比例函數的圖象上是否存在點Q，使得△PAQ為等腰直角三角形？若存在，求點Q的坐標，若不存在，請說明理由．
5．如圖，已知一次函數y＝kx＋b的圖象交反比例函數y＝ （x＞0）圖象于點A、B，交x軸于點C．
（1）求的m的取值范圍；
（2）若點A的坐標是（2，－4），且 ＝ ，求m的值和一次函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，設點P是一次函數圖象上的第一、四象限內的動點，點Q是反比例函數圖象上的動點，過點P作PP1⊥x軸于P1，PP2⊥y軸于P2；過點Q作QQ1⊥x軸于Q1，QQ2⊥y軸于Q2．設點P的橫坐標為x，請直接寫出使四邊形PP1OP2的面積小于四邊形QQ1OQ2的面積的x的取值范圍．
6．在平面直角坐標系xOy中，直線l1過A（1，0）且與y軸平行，直線l2過點B（0，2）且與x軸平行，直線l1與l2相交于點P．點E為直線l2上一點，反比例函數y＝ （k＞0）的圖象過點E且與直線l1相交于點F．
（1）若點E與點P重合，求k的值；
（2）連接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面積為△PEF的面積的2倍，求點E的坐標；
（3）是否存在點E及y軸上的點M，使得以點M、E、F為頂點的三角形與△PEF全等？若存在，求點E的坐標，若不存在，請說明理由．
7．如圖，已知直線l經過點A（1，0），且與曲線y＝ （x＞0）交于點B（2，1）．過點P（p，p－1)（p＞1）作x軸的平行線分別交曲線y＝ （x＞0）和y＝－ （x＜0）于M、N兩點．
（1）求m的值及直線l的解析式；
（2）若點P在直線y＝2上，求證：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在實數p，使得S△AMN ＝4S△APM？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由．
8．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，P是反比例函數y＝ （x＞0）圖象上的任意一點，以P為圓心，PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點A、B．
（1）判斷P是否在線段AB上，并說明理由；
（2）求△AOB的面積；
（3）Q是反比例函數y＝ （x＞0）圖象上異于點P的另一點，請以Q為圓心，QO半徑畫圓與x、y軸分別交于點M、N，連接AN、MB．求證：AN∥MB．
9．如圖，將—矩形OABC放在直角坐標系中，O為坐標原點，點A在y軸正半軸上，點E是邊AB上的—個動點（不與點A、B重合），過點E的反比例函數y＝ （x＞0）的圖象與邊BC交于點F．
（1）若△OAE、△OCF的面積分別為S1、S2，且S1＋S2＝2，求k的值；
（2）若OA＝2，OC＝4，問當點E運動到什么位置時，四邊形OAEF的面積最大，其最大值為多少？
10．如圖，已知拋物線y＝( 3－m )x 2＋2( m－3 )x＋4m－m 2的頂點A在雙曲線y＝ 上，直線y＝mx＋b經過點A，與y軸交于點B，與x軸交于點C．
（1）求直線AB的解析式；
（2）將直線AB繞點O順時針旋轉90°，與x軸交于點D，與y軸交與點E，求sin∠BDE的值；
（3）過點B作x軸的平行線與雙曲線交于點F，點M在直線BF上，且到拋物線的對稱軸的距離為6．若點N在直線BF上，直接寫出使得∠AMB＋∠ANB＝45°的點N的坐標．
11．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝mx（m＞0）與雙曲線y＝ 交于A、B兩點，過點A作AC∥x軸，過點B作BC∥y軸，AC與BC交于點C，AC與y軸交于點M，BC與x軸交于點N，若∠BAC＝60°，AB＝4．
（1）求m、k的值；
（2）將一把三角尺的直角頂點放在原點O處，繞著點O旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊分別交射線CA、射線BC于點P、Q，設點P的橫坐標為x，PQ的長為L，當點P在邊AC上運動時，求L與x的函數關系式；
（3）當△PQC的面積為 EQ \F(, 2 ) 時，求點P的坐標．
12．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝ax＋1（a≠0）與x軸交于點A，與y軸交于點B，與雙曲線y＝ 在第三象限的交點為C（－2 ，m），且△AOB的面積為 EQ \F(, 2 )．
（1）求a、m、k的值；
（2）以BC為一邊作等邊三角形BCD，求D點的坐標．
13．已知一次函數y＝2 x＋8 與反比例函數y＝ 的圖象相交于A、B兩點，點A的橫坐標為x1，點B的橫坐標為x2，且x1－x2＝2．
（1）求k的值；
（2）求△AOB的面積；
（3）若一條開口向下的拋物線經過A、B兩點，并在過點A且與OB平行的直線上截得的線段長為 ，求拋物線的解析式．
14．如圖，已知A、B兩點的坐標分別為A（0，2 ），B（2，0）直線AB與反比例函數y＝ 的圖象交與點C和點D（－1，a）．
（1）求直線AB和反比例函數的解析式；
（2）求∠ACO的度數；
（3）將△OBC繞點O逆時針方向旋轉α角（α為銳角），得到△OB′C′，當α為多少度時OC′⊥AB，并求此時線段AB′ 的長．
15．在矩形AOBC中，OA＝4，OB＝6．分別以OB、OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．F是邊BC上的一個動點（不與B、C重合），過F點的反比例函數y＝ （k＞0）的圖象與AC邊交于點E．
（1）若點E的坐標為（2，4），求經過O、E、F三點的拋物線的解析式；
（2）設點P是（1）中所求拋物線上一點，且△PEF的面積等于△OEF的面積，求點P的坐標；
（3）是否存在這樣的點F，使得將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上？若存在，求出此時OF的長；若不存在，請說明理由．
16．如圖，矩形ABCD的頂點A在坐標原點，頂點B坐標為（－2，1），頂點C在y軸上．
（1）求頂點D的坐標；
（2）將矩形ABCD繞點O順時針旋轉，使點D落在x軸的點G處，得到矩形AEFG，EF與AD交于點M，過點M的反比例函數圖象交FG于點N，求△AMN的面積；
（3）求證：△AMN是直角三角形．
17．如圖，已知反比例函數y＝ （m是常數，m≠0），一次函數y＝ax＋b（a、b為常數，a≠0），其中一次函數與x軸，y軸的交點分別是A（－4，0），B（0，2）．
（1）求一次函數的關系式；
（2）反比例函數圖象上有一點P滿足：①PA⊥x軸；②PO＝ （O為坐標原點），求反比例函數的關系式；
（3）求點P關于原點的對稱點Q的坐標，判斷點Q是否在該反比例函數的圖象上．
18．如圖，已知反比例函數y＝ （m＞0）的圖象與一次函數y＝－x＋b的圖象分別交于A（1，3）、B兩點．
（1）求m、b的值；
（2）若點M是反比例函數圖象上的一動點，直線MC⊥x軸于C，交直線AB于點N，MD⊥y軸于D，NE⊥y軸于E．設四邊形MDOC、NEOC的面積分別為S1、S2，S＝S2－S1，求S的最大值．
19．如圖，已知函數y＝ （x＞0）的圖象與一次函數y＝kx＋b的圖象交于點A（1，m），B（n，2）兩點．
（1）求一次函數的解析式；
（2）將一次函數y＝kx＋b的圖象沿x軸負方向平移a（a＞0）個單位長度得到新圖象，求這個新圖象與函數y＝ （x＞0）的圖象只有一個交點M時a的值及交點M的坐標．
20．如圖，一次函數的圖象與反比例函數y1＝－ （x＜0）的圖象相交于A點，與y軸、x軸分別相交于B、C兩點，且C（2，0）．當x＜－1時，一次函數值大于反比例函數值，當x＞－1時，一次函數值小于反比例函數值．
（1）求一次函數的解析式；
（2）設函數y2＝ （x＞0）的圖象與y1＝－ （x＜0）的圖象關于y軸對稱，在y2＝ （x＞0）的圖象上取一點P（P點的橫坐標大于2），過P作PQ⊥x軸，垂足為Q，若四邊形BCQP的面積等于2，求P點的坐標．
21．如圖，已知二次函數y＝ax 2＋2x＋c（a＞0）圖象的頂點M在反比例函數y＝ 的圖象上，且與x軸相交于A、B兩點．
（1）若二次函數圖象的對稱軸為x＝－ ，試求a、c的值；
（2）在（1）的條件下，求線段AB的長；
（3）若二次函數圖象的對稱軸與x軸的交點為N，當NO＋MN取最小值時，試求二次函數的解析式．
22．如圖，一次函數y＝k x＋4的圖象與反比例函數y＝ （x＞0，m＞0）的圖象交于A、B兩點，與x軸、y軸分別交于C、D兩點．
（1）求證：AC＝BD；
（2）若△COD的面積是△AOB的面積的 倍，求k與m之間的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數k和m，使得以AB為直徑的圓經過點P（2，0）？若存在，求出k和m的值；若不存在，請說明理由．
23．已知一次函數y＝－ x＋b的圖象與反比例函數y＝ （x＞0）的圖象交于A、B兩點，與x軸、y軸分別交于C、D兩點．
（1）如圖1，若AB＝2AC，求b的值；
（2）在（1）的條件下，將一塊直角三角板的直角頂點P放在反比例函數y＝ （x＞0）圖象的AB段上滑動，兩直角邊始終與坐標軸平行，且與線段AB分別交于Q、R兩點．設點P的橫坐標為x，QR的長為L，求L關于x的函數關系式，并求L的最大值；
（3）如圖2，過點A作直線AE∥x軸，交y軸于點E；過點B作直線BF∥y軸交x軸于點F，交直線AE于點G．當四邊形OAGB的面積為8時，請判斷線段AE與AG的大小關系，并說明理由．
24．如圖，已知反比例函數y＝ 的圖象經過A（－1，a）、B（2，a＋3）兩點，點C的坐標為（－1，0）．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）在反比例函數y＝ 的圖象上求點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是梯形．
25．如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線y＝ 過點A（－4，1），點P是雙曲線上一動點（不與A重合），過點A和P分別向兩坐標軸作垂線，垂足分別為B、C和D、E．
（1）求k、S△ADC及S△PDC的值；
（2）判斷AP和DC的位置關系，并說明理由；
（3）若點P在雙曲線上運動時，探索以A、P、C、D四點為頂點的四邊形能否成為菱形和等腰梯形？若能，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標；若不能，請說明理由．
26．已知關于x的一元二次方程( a－1 )x 2＋( 2－3a )x＋3＝0．
（1）求證：當a取不等于1的實數時，此方程總有兩個實數根；
（2）若m，n（m＜n）是此方程的兩根，且 ＋ ＝ ，直線l：y＝mx＋n交x軸于點A，交y軸于點B，坐標原點O關于直線l的對稱點O′ 在反比例函數y＝ 的圖象上，求反比例函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，將直線l繞點A逆時針旋轉θ角（0°＜θ＜90°），得到直線l′，l′ 交y軸于點P，過點P作x軸的平行線，與（2）中的反比例函數圖象交于點Q，當四邊形APQO′ 的面積為9－ EQ \F(3, 2 ) 時，求θ角的大?。?br/>27．在平面直角坐標系中，一次函數y＝－ x＋5的圖象交x軸于點A，交y軸于點B，交直線y＝x－1于點C，過點A作y軸的平行線交直線y＝x－1于點D，點E為線段AD上一點，且tan∠DCE＝ ．動點P從原點O出發沿OA邊向點A勻速運動，同時，動點Q從B點出發沿BO邊向原點O勻速運動，點P與點Q同時到達A點和O點，設BQ＝m．
（1）求點E的坐標；
（2）在整個運動過程中，是否存在這樣的實數m，使得△PQD為直角三角形．若存在，求m的值；若不存在，請說明理由；
（3）反比例函數y＝ 的圖象經過點C，R為y＝ 圖象上一點，在整個運動過程中，若以P、Q、E、R為頂點的四邊形是平行四邊形，求R點的坐標．
四、二次函數
1．設函數y＝kx 2＋(2k＋1)x＋1（k為實數）．
（1）寫出其中的兩個特殊函數，使它們的圖象不全是拋物線，并在同一直角坐標系中，用描點法畫出這兩個函數的圖象；
（2）根據所畫圖象，猜想出：對任意實數k，函數的圖象都具有的特征，并給予證明；
（3）對任意負實數k，當x＜m時，y隨著x的增大而增大，試求出m的一個值．
2．在平面直角坐標系xOy中，二次函數y＝mx 2＋( m－3)x－3（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．
（1）求點A的坐標；
（2）當∠ABC＝45°時，求m的值；
（3）已知一次函數y＝kx＋b，點P（n，0）是x軸上的一個動點．在（2）的條件下，過點P垂直于x軸的直線交這個一次函數的圖象于點M，交二次函數y＝mx 2＋( m－3)x－3（m＞0）的圖象于N．若只有當－2＜n＜2時，點M位于點N的上方，求這個一次函數的解析式．
3．已知平面直角坐標系xOy，一次函數y＝ x＋3的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數y＝ x的圖象上，且MO＝MA，二次函數y＝x 2＋bx＋c的圖象經過點A、M．
（1）求線段AM的長；
（2）求這個二次函數的解析式；
（3）若點B在y軸上，點C在上述二次函數的圖象上，點D在一次函數y＝ x＋3的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標．
4．已知二次函數y＝ax 2＋bx＋c和一次函數y＝－bx，其中實數a、b、c滿足a＞b＞c，a＋b＋c＝0．
（1）求證：這兩個函數的圖象交于不同的兩點；
（2）設這兩個函數的圖象交于A、B兩點，作AA1⊥x軸于A1，BB1⊥x軸于B1，求線段A1B1長的取值范圍．
5．已知二次函數y＝ax 2－4bx＋4c（a＞0）有兩個實數根x1，x2，且2≤x1＜x2≤3．
（1）求證：存在以a，b，c為邊長的三角形；
（2）求證： ＜ ＋ ．
6．已知二次函數y＝x 2＋bx＋c（c＜0）的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，△ABC的外接圓的圓心為點P．
（1）證明：⊙P與y軸的另一個交點為定點；
（2）如果AB恰好為⊙P的直徑且S△ABC ＝2，求b和c的值．
7．已知關于x的二次函數y1＝( m＋2)x 2－2x－1和y2＝( m＋2)x 2＋mx＋m＋1的圖象都經過x軸上的點（n，0）．
（1）求m的值；
（2）將二次函數y1＝( m＋2)x 2－2x－1的圖象先沿x軸翻折，再向下平移3個單位，得到一個新的二次函數y3的圖象．
①求y3的解析式；
②在所給的坐標系中畫出y2和y3的大致圖象，并結合函數的圖象回答：當x取何值時，y3＞y2？
8．已知關于x的方程： －a－1＝0有一個增根為b，另一根為c．
（1）求a、c的值；
（2）若二次函數y＝ax 2＋bx＋c＋7（－ ≤x ≤ ）圖象與x軸交于E、F兩點，在此二次函數的圖象上求一點P，使△PEF的面積最大，求點P的坐標．
9．已知：二次函數y＝x 2＋bx－3的圖象經過點P（－2，5）．
（1）求b的值，并寫出當1＜x ≤3時y的取值范圍；
（2）設P1（m，y1）、P2（m＋1，y2）、P3（m＋2，y3）在這個二次函數的圖象上．
①當m＝4時，y1、y2、y3能否作為同一個三角形三邊的長？請說明理由；
②當m取不小于5的任意實數時，y1、y2、y3一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理由．
10．已知A（1，0），B（0，－1），C（－1，2），D（2，－1），E（4，2）五個點，拋物線y＝a( x－1)2＋k（a＞0）經過其中的三個點．
（1）求證：C，E兩點不可能同時在拋物線y＝a( x－1)2＋k（a＞0）；
（2）點A在拋物線y＝a( x－1)2＋k（a＞0）上嗎？為什么？
（3）求a與k的值．
11．已知二次函數y＝x 2－(2m－1)x＋4m－6．
（1）試說明不論m取任何實數，函數圖象都經過x軸上的一個定點A；
（2）設函數圖象與x軸的另一個交點為B（A與B不重合），頂點為C，當△ABC為直角三角形時，求m的值；
（3）在（2）的條件下，若點B在點A的右側，點D的坐標為（0，3），點E是函數圖象上一點．問：在x軸上是否存在點F，使得以D、E、F為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出F點坐標；若不存在，請說明理由．
12．已知二次函數y＝x 2＋bx＋c，其中函數值y與自變量x的部分對應值如下表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 －5 －8 －9 －8 …
（1）求該二次函數的關系式，并在給定的坐標系中畫出函數的圖象；
（2）若A（m，y1），B（m＋4，y2）兩點都在該函數的圖象上．
①試比較y1與y2的大小；
②若A、B兩點位于x軸的下方，點P為函數圖象的對稱軸與x軸的交點，點Q為函數圖象上的一點，解答下列問題：
（Ⅰ）求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數m，使得以P、A、B、Q四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
13．已知二次函數y＝x 2－( 2a＋1 )x＋2a．
（1）若函數圖象與x軸有兩個不同交點，且分別位于點（2，0）的兩側，求實數a的取值范圍；
（2）若函數圖象不經過第三象限，且當x＞2時，函數值y隨x的增大而增大，求實數a的取值范圍．
14．已知關于x的一元二次方程x 2－4x＋c＝0有實數根，且c為正整數．
（1）求c的值；
（2）若此方程的兩根均為整數，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x 2－4x＋c與x軸交于A、B兩點（A在B左側），與y軸交于點C．點P為對稱軸上一點，且四邊形OBPC為直角梯形，求PC的長；
（3）將（2）中得到的拋物線沿水平方向平移，設頂點D的坐標為（m，n），當拋物線與直角梯形OBPC只有兩個交點，且一個交點在PC邊上時，直接寫出m的取值范圍．
15．已知一次函數y1＝2x，二次函數y2＝mx 2－3( m－1)x＋2m－1的圖象關于y軸對稱，y2 的頂點為A．
（1）求二次函數y2的解析式；
（2）將y2左右平移得到y3，y3交y2于點P，過P點作直線l∥x軸交y3于點Q，若△PAQ為等腰三角形，求P點坐標和函數y3的解析式；
（3）是否存在二次函數y4＝ax 2＋bx＋c，其圖象經過點（－5，2），且對于任意一個實數x，y1≤y4≤y2均成立，若存在，求出函數y4的解析式；若不存在，請說明理由．
16．已知二次函數y＝ax 2＋bx＋c（a＞0）圖象經過點C（0，1），且與x軸交于不同的兩點A、B，點A的坐標為（1，0）．
（1）求c的值；
（2）求a的取值范圍；
（3）該二次函數的圖象與直線y＝1交于C、D兩點，設A、B、C、D四點構成的四邊形的對角線相交于點P，記△PCD的面積為S1，△PAB的面積為S2，當0＜a＜1時，求證：S1 － S2為常數，并求出該常數．
17．已知二次函數y＝ax 2＋bx＋c圖象的頂點坐標為（2，4）．
（1）試用含a的代數式分別表示b，c；
（2）若一次函數y＝kx＋4（k≠0）圖象與y軸及二次函數y＝ax 2＋bx＋c圖象的交點依次為D、E、F，且 ＝ ，其中O為坐標原點，試用含a的代數式表示k；
（3）在（2）的條件下，若線段EF的長m滿足3 ≤m≤3 ，試確定a的取值范圍．
18．已知二次函數y＝－x 2＋bx＋c的圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點（A在B的左側），且x1＋x2＝4．
（1）求b的值及c的取值范圍；
（2）若AB＝2，求二次函數的表達式；
（3）設該二次函數的圖象與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸與x軸交于點E．問是否存在這樣的二次函數，使△AOC≌△BED？若存在，求二次函數的表達式；若不存在，請說明理由．
19．已知二次函數y＝x 2＋mx－ m 2（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點．
（1）求證：該函數圖象的對稱軸在y軸的左側；
（2）若 － ＝ （O為坐標原點），求二次函數的表達式；
（3）設函數圖象與y軸交于點C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面積．
20．已知二次函數y＝－ x 2＋ x的圖象如圖所示．
（1）求它的對稱軸與x軸交點D的坐標；
（2）將該函數圖象沿它的對稱軸向上平移，設平移后的圖象與x軸，y軸的交點分別為A、B、C三點，若∠ACB＝90°，求此時函數的解析式；
（3）設（2）中平移后的函數圖象的頂點為M，以D為圓心，AB為直徑作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的位置關系，并說明理由.
21．已知二次函數的圖象經過點A（1，0）和點B（2，1），且與y軸交點的縱坐標為m．
（1）若m為定值，求此二次函數的解析式；
（2）若二次函數的圖象與x軸還有異于點A的另一個交點，求m的取值范圍；
（3）若二次函數的圖象截直線y＝－x＋1所得線段的長為2 ，求m的值．
22．已知二次函數y＝3ax 2＋2bx＋c．
（1）若a＝b＝1，c＝－1，求函數圖象與x軸交點的坐標；
（2）若a＝b＝1，且當－1＜x＜1時，函數圖象與x軸有且只有一個交點，求c的取值范圍；
（3）若a＋b＋c＝0，且當x＝0和x＝1時，對應的函數值y均大于0．試判斷當0＜x＜1時，函數圖象與x軸是否有交點？請說明理由．
23．在平面直角坐標系xOy中，過點P（0，2）作一直線與二次函數y＝ax 2（a＞0）圖象交于A、B兩點，且使∠AOB＝90°．
（1）判斷A、B兩點縱坐標的乘積是否為定值，并說明理由；
（2）求a的值；
（3）當△AOB的面積為4 時，求直線AB的解析式．
24．已知二次函數y＝x 2＋4x＋m（m為常數）的圖象經過點（0，4），將該函數圖象先向右、再向下平移得到一新的函數圖象，已知平移后的函數圖象滿足下述兩個條件：它的對稱軸（設為直線l2）與平移前的函數圖象的對稱軸（設為直線l1）關于y軸對稱；它所對應的函數的最小值為－8．
（1）求平移后的二次函數的表達式；
（2）試問在平移后的函數圖象上是否存在點P，使得以3為半徑的⊙P既與x軸相切，又與直線l2相交？若存在，請求出點P的坐標，并求出直線l2被⊙P所截得的弦AB的長度；若不存在，請說明理由．
25．使得函數值為零的自變量的值稱為函數的零點．例如，對于函數y＝x－1，令y＝0，可得x＝1，則1就是函數y＝x－1的零點．
己知函數y＝x 2－2mx－2( m＋3)（m為常數）．
（1）當m＝0時，求該函數的零點；
（2）證明：無論m取何值，該函數總有兩個零點；
（3）設函數的兩個零點分別為x1和x2，且 ＋ ＝－ ，此時函數圖象與x軸的交點分別為A、B（點A在點B左側），點M在直線y＝x－10上，當MA＋MB最小時，求直線AM的函數解析式．
26．已知二次函數y＝x 2－2mx＋m 2－4的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），且與y軸交于點D．
（1）當點D在y軸正半軸時，是否存在實數m，使得△BOD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（2）當m＝－1時，將函數y＝x 2－2mx＋m 2－4的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象．當直線y＝ x＋b與這個新的圖象有兩個公共點時，求實數b的取值范圍．
27．已知二次函數y＝x 2－2mx＋4m－8．
（1）當x≤2時，函數值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；
（2）以拋物線y＝x 2－2mx＋4m－8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內接正三角形AMN（M，N兩點在拋物線上），請問：△AMN的面積是與m無關的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；
（3）若拋物線y＝x 2－2mx＋4m－8與x軸交點的橫坐標均為整數，求整數m的值．
28．已知二次函數y＝ax 2＋bx＋c圖象與一次函數y＝mx＋n圖象相交于（0，－ ）和（m－b，m 2－mb＋n）兩點（a，b，c，m，n均為實數，且a，m不為0）．
（1）求c的值；
（2）設二次函數圖象與x軸的兩個交點是（x1，0）和（x2，0），求x1x2的值；
（3）當－1≤x≤1時，設二次函數圖象上與x軸距離最大的點為P（x0，y0），求此時| y0|的最小值．
29．已知二次函數y＝ax 2＋bx＋c的圖象的頂點坐標為（0，），且ac＝ ．
（1）若該函數的圖象過點（－1，－1）．
①求使y＜0成立的x的取值范圍；
②若圓心在該函數的圖象上的圓與x軸、y軸都相切，求圓心的坐標．
（2）過點A（0，p）的直線與該函數的圖象相交于M，N兩點，過M，N作x軸的垂線，垂足分別為M1，N1．設△MAM1，△AM1N1，△ANN1的面積分別為S1，S2，S3 ，是否存在m，使得對任意實數p≠0都有S22＝mS1S3 成立，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
30．在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為（3，0），第一象限內的點P在直線y＝2x上，且∠PAO＝45°．
（1）求點P的坐標；
（2）若二次函數的圖象經過P、O、A三點，求該二次函數的解析式；
（3）設（2）中的二次函數圖象的頂點為M，將該二次函數圖象向上或向下平移，使它的頂點落在直線y＝2x上的點Q處，求△APM與△APQ的面積之比．
31．已知二次函數y＝－ x 2－2 (－a－1)x－ (－a 2－2a )的圖象與x軸交于點A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜1＜x2．
（1）求A、B兩點的坐標（用a表示）；
（2）設二次函數圖象的頂點為C，求△ABC的面積；
（3）若a是整數，P是線段AB上的一個動點（不與點A、B重合），在x軸上方作等邊△APM和等邊△BPN，記線段MN的中點為Q，求二次函數的解析式及線段PQ的長的取值范圍．
32．已知二次函數y＝a( a＋1)x 2－( 2a＋1)x＋1（a是正整數）．
（1）求該函數圖象與x軸相交所截得的線段的長；
（2）當a依次取1，2，3，…，n時，該函數圖象與x軸相交所截得的n條線段的長分別為L1，L2，L3，…，Ln，求L1＋L2＋L3＋ … ＋Ln的值．
33．已知a＞b＞c，且2a＋3b＋4c＝0．
（1）求證：a＋b＋c＞0；
（2）若拋物線y＝ax 2＋bx＋c在x軸上截得的線段長為 EQ \F(, 6 )，求該拋物線的對稱軸．
34．已知關于x的方程( a＋2)x 2－2ax＋a＝0有兩個不相等的實數根x1和x2，且拋物線y＝x 2－(2a＋1)x＋2a－5與x軸的兩個交點分別位于點（2，0）的兩側．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）當|x1|＋|x2|＝2時，求a的值．
35．已知二次函數y1＝ax 2－x＋c的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0），與y軸的交點C在y軸的負半軸上，且tan∠ACO＝ ，S△ABC ＝3 ．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）若該二次函數的圖象與反比例函數y2＝ （k＜0）的圖象在第二象限內的交點的橫坐標x0滿足－3＜x0＜－2，求k的取值范圍．
36．已知方程ax 2＋bx＋1＝x（a＞0）的兩個實數根為x1，x2．
（1）若x1＜2＜x2＜4，二次函數y＝ax 2＋bx＋1圖象的對稱軸為x＝x0，求證：x0＞－1；
（2）若| x1|＜2，| x2－x1|＝2，求b的取值范圍．
37．已知二次函數y＝ax 2＋bx＋c（a＞0），且方程ax 2＋bx＋c＝x的兩個根x1，x2滿足0＜x1＜x2＜ ．
（1）求證：當0＜x＜x1時，x＜ax 2＋bx＋c＜x1；
（2）若二次函數y＝ax 2＋bx＋c的圖象關于直線x＝x0對稱，求證：x0＜ ．
38．已知關于x的二次方程x 2＋ax＋b＝0有兩個實數根x1，x2．
（1）若|x1|＜2，|x2|＜2，求證：2|a|＜4＋b且|b|＜4；
（2）若2|a|＜4＋b且|b|＜4，求證：|x1|＜2，|x2|＜2．
39．已知二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，4），且| AB|＝2 ，圖象的對稱軸為x＝1．
（1）求二次函數的表達式；
（2）若二次函數的圖象都在直線y＝x＋m的下方，求m的取值范圍．
40．已知二次函數y＝ax 2－4ax＋b（b＜0）的圖象開口向上，與x軸的兩個交點分別為A、B，且 ＝ （O為坐標原點），與y軸的交點為C（0，t），頂點的縱坐標為k，且|k－ |≤ ．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求t的取值范圍；
（3）當t取最小值時，求該二次函數的表達式．
41．已知a，b為常數，當k取任意實數時，函數y＝(k 2＋k＋1)x 2－2(a＋k)2x＋(k 2＋3ak＋b)的圖象與x軸都交于點A（1，0）．
（1）求a、b的值；
（2）若函數圖象與x軸的另一個交點為B，當k變化時，求|AB|的取值范圍．
42．已知二次函數y＝－x 2＋mx－m＋2．
（1）若該二次函數圖象與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側，并且AB＝ ，求m的值；
（2）設該二次函數圖象與y軸的交點為C，二次函數圖象上存在關于原點對稱的兩點M、N，且S△MNC ＝27，求m的值．
43．已知兩個二次函數y1，y2，當x＝m（m＞0）時，y1取最小值6且y2＝5，又y2最小值為 ，y1＋y2＝2x 2－3x＋9．
（1）求m的值；
（2）求二次函數y1、y2的表達式．
44．已知ab≠0，且函數y1＝x 2＋2ax＋4b與y2＝x 2＋4ax＋2b有相同的最小值m，函數y3＝－x 2＋2bx＋4a與y4＝－x 2＋4bx＋2a有相同的最大值n，求證：m＋n＝0．
45．對于x的二次三項式ax 2＋bx＋c（a＞0）．
（1）當c＜0時，求函數y＝－2|ax 2＋bx＋c|－1的最大值；
（2）若不論k為任何實數，直線y＝k(x－1)－ 與拋物線y＝ax 2＋bx＋c有且只有一個公共點，求a、b、c的值．
46．已知二次函數y＝3ax 2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，且當x＝0和x＝1時，函數值y均大于0．
（1）求證：a＞0且－2＜ ＜－1；
（2）求證：方程3ax 2＋2bx＋c＝0有兩個實數根且都大于0小于1．
47．已知二次函數y＝ax 2＋bx＋c的圖象經過點（0，3），頂點在直線y＝－x＋1上且在第四象限，頂點與原點的距離為．
（1）求該二次函數的表達式；
（2）設該二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），頂點為C，直線y＝－x＋1交y軸于點D．在y軸上是否存在點P，使得以P、O、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，求出P點的坐標．若不存在，請說明理由．
48．已知y＝ax 2＋x－a（－1≤x≤1）．
（1）若|a|≤1，求證：|y|≤ ；
（2）若y的最大值為 ，求a的值．
49．已知拋物線y＝x 2＋mx＋n上有一點P（x0，y0）位于x軸下方．
（1）求證：此拋物線與x軸交于兩點；
（2）設此拋物線與x軸的交點為A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，求證：x1＜x0＜x2；
（3）當點P坐標為（1，－2011）時，求整數x1，x2的值．
50．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，且cotB＝AB·cosA．
（1）求證：a＝b 2；
（2）若b＝2，拋物線y＝m(x－b)2＋a與直線y＝x＋4交于M（x1，y1）、N（x2，y2）兩點，且△MON的面積為6，求m的值；
（3）若a＝ b 2n 2，p－q＝3，拋物線y＝n(x 2＋px＋3q)與x軸交于不同的兩點，其中一個交點在原點右側，試判斷拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸還是負半軸，說明理由．
51．已知二次函數y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的圖象經過A（－1，0）、B（0，－l）兩點，它的頂點在第一象限，它的一部分圖象如圖所示．
（1）試確定b的符號；
（2）當b變化時，求a＋b＋c的取值范圍；
（3）是否存在實數a，使得∠ABC＝120°？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．
52．如圖，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上（點A在點B的左側），直角頂點C在x軸的上方，且A（tanA，0）、B（tanB，0），二次函數y＝－x 2－ mx＋(2＋2m－m 2)（x為自變量）的圖象經過A、B兩點．
（1）求該二次函數的表達式；
（2）判斷直角頂點C是否在該二次函數的圖象上，請說明理由．
53．已知拋物線F1：y＝ax 2－2amx＋am 2＋2m＋1（a＞0，m＞0）的頂點為A，拋物線F2的頂點B在y軸上，且拋物線F1和F2關于點M（1，3）成中心對稱．
（1）求m的值和拋物線F2的解析式；
（2）設拋物線F2與x軸正半軸的交點為C，當△ABC為等腰三角形時，求a的值．
54．已知二次函數y＝－x 2＋( m－2)x＋3( m＋1)．
（1）求證：無論m為任何實數，函數圖象與x軸總有交點；
（2）設函數圖象與y軸交于點C，當函數圖象與x軸有兩個交點A、B（點A在點B的左側），且△ABC為鈍角三角形時，求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，P是函數圖象的頂點，當△PAO的面積與△ABC的面積相等時，求二次函數的解析式．
55．已知關于x的一元二次方程x 2－2(k＋1)x＋k 2＝0有兩個整數根，k＜5且k為整數．
（1）求k的值；
（2）當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數y＝x 2－2(k＋1)x＋k 2的圖象沿x軸向左平移4個單位，求平移后的二次函數圖象的解析式；
（3）根據直線y＝x＋b與（2）中的兩個函數圖象交點的總個數，求b的取值范圍．
56．如圖，二次函數y＝ax 2＋bx（a＞0）與反比例函數y＝ 的圖象相交于A，B兩點，且點A的坐標為（1，4），點B在第三象限，△AOB的面積為3．
（1）求二次函數的表達式；
（2）過點A作x軸的平行線，交二次函數y＝ax 2＋bx的圖象于另一點C，連接CO，在坐標平面內求點P，使△POC∽△AOB（點P與點A對應）．
57．已知直線y＝ x和y＝－x＋m，二次函數y＝x 2＋bx＋c圖象的頂點為M．
（1）若M恰好是直線y＝ x與y＝－x＋m的交點，試證明：無論m取何實數值，二次函數y＝x 2＋bx＋c的圖象與直線y＝－x＋m總有兩個不同的交點；
（2）在（1）的條件下，若直線y＝－x＋m過點D（0，－3），求二次函數y＝x 2＋bx＋c的表達式；
（3）在（2）的條件下，若二次函數y＝x 2＋bx＋c的圖象與y軸的交點為C，與x軸的左交點為A．
①在直線y＝ x上求異于M的點P，使點P在△ACM的外接圓上；
②在二次函數圖象的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC為等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
58．已知二次函數y＝x 2＋(m－1)x＋m－2的圖象與x軸相交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且x1＜x2．
（1）若x1x2＜0，且m為正整數，求該二次函數的表達式；
（2）若x1＜1，x2＞1，求m的取值范圍；
（3）是否存在實數m，使得過A、B兩點的圓與y軸相切于點C（0，2），若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（4）若過點D（0，）的直線與（1）中的二次函數圖象相交于M、N兩點，且 ＝ ，求該直線的表達式．
五、概率
1．小張同學去展覽館看展覽，該展覽館有2個驗票口A、B（可進出），另外還有2個出口C、D（不許進）．
（1）小張從進入到離開共有多少種可能的進出方式？（要求用列表或樹狀圖）
（2）小張不從同一個驗票口進出的概率是多少？
2．如圖，甲、乙兩個可以自由轉動的均勻的轉盤，甲轉盤被分成3個面積相等的扇形，乙轉盤被分成4個面積相等的扇形，每一個扇形都標有相應的數字，同時轉動兩個轉盤，當轉盤停止后，設甲轉盤中指針所指區域內的數字為m，乙轉盤中指針所指區域內的數字為n（若指針指在邊界線上時，重轉一次，直到指針都指向一個區域為止）．
（1）請你用畫樹狀圖或列表格的方法求出|m＋n|＞1的概率；
（2）直接寫出點（m，n）落在函數y＝－ 圖象上的概率．
3．經過某十字路口的汽車，它可能繼續直行，也可能向左轉或向右轉．如果這三種可能性大小相同，現有兩輛汽車經過這個十字路口．
（1）試用樹形圖或列表法中的一種列舉出這兩輛汽車行駛方向所有可能的結果；
（2）求至少有一輛汽車向左轉的概率．
4．有3張撲克牌，分別是紅桃3、紅桃4和黑桃5．把牌洗勻后甲先抽取一張，記下花色和數字后將牌放回，洗勻后乙再抽取一張．
（1）先后兩次抽得的數字分別記為s和t，求| s－t |≥1的概率．
（2）甲、乙兩人做游戲，現有兩種方案．A方案：若兩次抽得相同花色則甲勝，否則乙勝．B方案：若兩次抽得數字和為奇數則甲勝，否則乙勝．
請問甲選擇哪種方案勝率更高？
5．小國同學的父親參加旅游團到某地旅游，準備買某種禮物送給小國．據了解，沿旅游線路依次有A、B、C三個地點可以買到此種禮物，其質量相當，價格各不相同，但不知哪家更便宜．由于時間關系，隨團旅游車不會掉頭行駛．
（1）若到A處就購買，寫出買到最低價格禮物的概率；
（2）小國同學的父親認為，如果到A處不買，到B處發現比A處便宜就馬上購買，否則到C處購買，這樣更有希望買到最低價格的禮物．這個想法是否正確？試通過樹狀圖分析說明．
6．甲口袋中裝有兩個相同的小球，它們的標號分別為2和7，乙口袋中裝有兩個相同的小球，它們的標號分別為4和5，丙口袋中裝有三個相同的小球，它們的標號分別為3，8，9．從這3個口袋中各隨機地取出1個小球．
（1）求取出的3個小球的標號全是奇數的概率是多少？
（2）以取出的三個小球上的標號分別表示三條線段的長度，求這些線段能構成三角形的概率．
7．6張不透明的卡片，除正面畫有不同的圖形外，其它均相同，把這6張卡片洗勻后，正面向下放在桌上，另外還有與卡片上圖形形狀完全相同的地板磚若干塊，所有地板磚的長都相等．
（1）從這6張卡片中隨機抽取一張，與卡片上圖形形狀相對應的這種地板磚能進行平面鑲嵌的概率是多少？
（2）從這6張卡片中隨機抽取2張，利用列表或畫樹狀圖計算：與卡片上圖形形狀相對應的這兩種地板磚能進行平面鑲嵌的概率是多少？
8．在△ABC和△DEF中，∠C＝∠F＝90°．有如下五張背面完全相同的紙牌①、②、③、④、⑤，其正面分別寫有五個不同的等式，小明將這五張紙牌背面朝上洗勻后先隨機摸出一張（不放回），再隨機摸出一張．請結合以上條件，解答下列問題．
（1）用樹狀圖（或列表法）表示兩次摸牌所有可能出現的結果（紙牌用①、②、③、④、⑤表示）；
（2）用兩次摸牌的結果和∠C＝∠F＝90°作為條件，求能滿足△ABC和△DEF全等的概率．
9．如圖，A信封中裝有兩張卡片，卡片上分別寫著7cm、3cm；B信封中裝有三張卡片，卡片上分別寫著2cm、4cm、6cm；信封外有一張寫著5cm的卡片．所有卡片的形狀、大小都完全相同．現隨機從兩個信封中各取出一張卡片，與信封外的卡片放在一起，用卡片上標明的數量分別作三條線段的長度．
（1）求這三條線段能組成三角形的概率（畫出樹狀圖）；
（2）求這三條線段能組成直角三角形的概率．
10．我國不少地方農歷正月十五元宵節有吃湯圓的習俗．為了增加節日的喜慶氣氛，小華的媽媽在自己動手包的48個湯圓中，有兩個湯圓用紅棗做餡，與其它湯圓不同餡．若吃到包有紅棗的湯圓，被認為這一年心情總是甜美的．
（1）若只吃一個湯圓，求吃到包有紅棗湯圓的概率；
（2）若每碗盛8個湯圓，小華吃2碗，盛湯圓時，兩個紅棗湯圓被盛到不同的碗里，求小華吃到包有紅棗湯圓的概率，并說明理由；
（3）若每碗盛8個湯圓，小華吃2碗，盛湯圓時，兩個紅棗湯圓正好被盛到同一碗里，求小華吃到包有紅棗湯圓的概率，并說明理由．
11．已知關于的方程ax 2＋bx＋c＝0，甲、乙兩人做游戲：他們輪流確定實數a，b，c（如甲令b＝1，乙令a＝－2，甲再令c＝10），讓甲先確定數，如果方程至少有一個解x0，滿足－1≤x0≤1，那么乙勝；反之，則甲勝．
（1）若a，b，c只能取非零實數，甲是否有必勝策略？請說明理由；
（2）若a，b，c可以取零，甲乙兩人中誰有必勝策略？請說明理由．
12．如圖1，一小球從三角儀器的入口處落下，當它碰到每層菱形擋板時，向左或向右落下的可能性相同．
（1）求小球通過第二層A位置的概率是多少？
（2）求小球下落到第三層B位置和第四層C位置處的概率各是多少？
（3）如圖2，在第二層與第三層之間加一左側隔板，求小球落到B、C位置處的概率各是多少？
13．將一枚六個面分別標有1，2，3，4，5，6的質地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點數為a，第二次擲出的點數為b．
（1）求點（a，b）落在直線y＝2x－1上的概率；
（2）求以點O（0，0），A（4，－3），B（a，b）為頂點能構成等腰三角形的概率；
（3）求關于x，y的方程組 eq \b\lc\{()
①只有一組解的概率；
②只有正數解的概率．
14．某俱樂部舉行抽獎活動，活動規則是：每位會員交30元，可參加一次抽獎活動．從一個裝有數字分別為1，2，3，4，5，6的六個相同小球的抽獎箱中，任意摸出一個球，然后放回箱中，搖勻，再摸出第二個球．若兩次摸出的球的數字之和為12，則獲得價值為a元的禮品；若兩次摸出的球的數字之和為11或10，則獲得價值100元的獎品；若兩次摸出的球的數字之和小于10，則不獲獎．
（1）求每位會員獲獎的概率；
（2）如果俱樂部打算這次活動既不賺錢也不賠錢，求a的值．
15．已知一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0．
（1）若a＝1，b，c是一枚六個面分別標有1，2，3，4，5，6的質地均勻的正方體骰子先后投擲兩次出現的點數，求方程有實數根的概率；
（2）若b＝－a，c＝a－3，且方程有實數根，求方程至少有一個非負實數根的概率．
16．一個不透明的口袋里裝有紅、黃、綠三種顏色的小球（除顏色不同外其余都相同），其中紅球2個，黃球1個，其余為綠球，從中任意摸出1球是綠球的概率為 ．
（1）試求口袋中綠球的個數；
（2）第一次從口袋中任意摸出1球，然后放回袋中搖勻，第二次再摸出1球，請用列表法求兩次摸到都是紅球的概率；
（3）小明和小華玩摸球游戲，游戲規則是：先由小明從口袋中任意摸出1球（不放回），再由小華任意摸出1球．若摸出“一綠一黃”，則小明獲勝；若摸出“一紅一黃”，則小華獲勝．
你認為這個游戲規則公平嗎？請用畫樹狀圖的方法說明理由；若你認為不公平，請修改游戲規則，使游戲變得公平．
17．有兩個不同形狀的計算器（分別記為A，B）和與之匹配的保護蓋（分別記為a，b）（如圖所示）散亂地放在桌子上．
（1）若從計算器中隨機取一個，再從保護蓋中隨機取一個，求恰好匹配的概率．
（2）若從計算器和保護蓋中隨機取兩個，用樹狀圖法或列表法，求恰好匹配的概率．
A B a b
18．同時投擲六個面分別標有1，2，3，4，5，6的質地均勻的紅、黃兩枚正方體骰子一次，記紅色和黃色骰子正面朝上的點數分別為m和n．
（1）求二次函數y＝x 2＋2mx＋n圖象的頂點落在x軸上的概率；
（2）求一元一次方程mx＋n＝0有整數解的概率．
19．在一個箱子中有三個分別標有數字1，2，3的材質、大小都相同的小球，從中任意摸出一個小球，記下小球的數字x后，放回箱中并搖勻，再摸出一個小球，又記下小球的數字y．以先后記下的兩個數字（x，y）作為點P的坐標．
（1）求點P的橫坐標與縱坐標的和為4的概率；
（2）在平面直角坐標系中，求點P落在以坐標原點為圓心、 為半徑的圓的內部的概率．
20．有甲、乙兩個不透明的盒子，甲盒中有四個標號分別為0，1，2，3的材質、大小都相同的小球，乙盒中有三個標號分別為0，1，2的材質、大小都相同的小球，從甲盒中隨機取出一小球，用m表示該球的標號，再從乙盒中隨機取出一小球，用n表示該球的標號．
（1）用樹狀圖的方式表示（m、n）的所有可能結果；
（2）分別求出關于x的方程x 2－mx＋ n＝0有兩個相等的實數根的概率P1和該方程有兩個不相等的實數根的概率P2．
六、三角形
1．△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C＝90°，AC＝BC＝2．
（1）要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法（如圖1），比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積更大？請說明理由．
（2）圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得正方形面積為S1；按照甲種剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為S2（如圖2），則S2＝_______；再在余下的四個三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形面積和為S3（如圖3）；繼續操作下去…則第10次剪取時，S10＝_______．
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和．
2．
問題探究
（1）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．
①求證：BE＋CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明．
問題解決
（2）如圖，在四邊形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系，并加以證明．
3．閱讀下面的情景對話，然后解答問題：
（1）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，
若Rt△ABC是奇異三角形，求a : b : c；
（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），
D是半圓的中點，C、D在直徑AB的兩側，若在⊙O內存在
點E，使AE＝AD，CB＝CE．
① 求證：△ACE是奇異三角形；
② 當△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數．
4．如圖1，在等邊△ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點(點P與點C不重合)，連結BP，將△ABP繞點P按順時針方向旋轉α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，連結AA1，射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點E、F．
（1）如圖1，當0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在相似關系，請說明理由；
（2）如圖2，設∠ABP＝β，當60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數量關系；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，當α＝60°時，點E、F與點B重合．已知AB＝4，設DP＝x，△A1BB1的面積為S，求S關于x的函數關系式．
5．數學課上，李老師出示了如下框中的題目．
小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：
（1）特殊情況，探索結論
當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關系．請你直接寫出結論：
AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）特例啟發，解答題目
解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”），理由如下．
如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F．
（請你完成以下解答過程）
（3）拓展結論，設計新題
在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED＝EC．若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請你直接寫出結果）．
6．如圖，△ABC的三條中線分別為AD、BE、CF．
（1）在圖中利用圖形變換畫出并指明以AD、BE、CF的長度為三邊長的一個三角形（保留畫圖痕跡）；
（2）若△ABC的面積為1，試求以AD、BE、CF的長度為三邊長的三角形的面積．
7．在平面直角坐標系中，點A（3，0），B（0，4）．以點A為旋轉中心，把△ABO順時針旋轉，得△ACD．記旋轉轉角為α，∠ABO為β．
（1）如圖①，當旋轉后點D恰好落在AB邊上時，求點D的坐標；
（2）如圖②，當旋轉后滿足BC∥x軸時，求α與β之間的數量關系；
（3）當旋轉后滿足∠AOD＝β時，求直線CD的解析式．
8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E．點M在線段AP上，點N在線段BP上，EM＝EN，sin∠EMP＝ ．
（1）如圖1，當點E與點C重合時，求CM的長；
（2）如圖2，當點E在邊AC上時，點E不與點A、C重合，設AP＝x，BN＝y，求y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的頂點A、M、E分別與△ENB的頂點E、N、B對應），求AP的長．
9．已知∠MON＝60°，射線OT是∠MON的平分線，點P是射線OT上的一個動點，射線PB交射線ON于點B．
（1）如圖，若射線PB繞點P順時針旋轉120°后與射線OM交于點A，求證：PA＝PB；
（2）在（1）的條件下，若點C是AB與OP的交點，且滿足PC＝ EQ \F(, 2 ) PB，求△POB與△PBC的面積之比；
（3）當OB＝2時，射線PB繞點P順時針旋轉120°后與直線OM交于點A（點A不與點O重合），直線PA交射線ON于點D，且滿足∠PBD＝∠ABO，求OP的長．
10．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如圖1，當AB∥CB′ 時，設A′B′ 與CB相交于點D．證明：△A′CD是等邊三角形；
（2）如圖2，連接A′A、B′B，設△ACA′ 和△BCB′ 的面積分別為S△ACA′ 和S△BCB′ ．
求證：S△ACA′ : S△BCB′ ＝1 : 3；
（3）如圖3，設AC中點為E，A′B′ 中點為P，AC＝a，連接EP，當θ＝__________°時，EP長度最大，最大值為__________．
11．如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，點F在邊BC上，CF＝1，點E是射線BA上一動點，以線段EF為邊向右側作等邊△EFG，直線EG、FG分別交直線AC于點M、N．
（1）設BE＝x，MN＝y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若AE＝1，求△GMN的面積．
12．如圖，邊長為4的等邊三角形AOB的頂點O在坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點B在第一象限．點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C，點C隨點P的運動而運動，連接CP、CA．
（1）求點C的坐標（用含t的代數式表示）；
（2）在點P從O向A運動的過程中，△PCA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；
（3）點P從點O運動到點A時，點C運動路線的長是多少？
13．如圖，直線y＝－ EQ \F(, 3 ) x＋2分別交x軸、y軸于C、A兩點，將射線AM繞點A順時針旋轉45°得到射線AN，D為AM上的動點，B為AN上的動點，點C在∠MAN的內部．
（1）當AM∥x軸，且四邊形ABCD為梯形時，求△BCD的面積；
（2）求△BCD周長的最小值；
（3）當△BCD的周長取得最小值，且BD＝ EQ \F(5, 3 ) 時，求△BCD的面積．
14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC : BC＝4 : 3，點P從點A出發沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．
（1）設點P的運動時間為x（s），△PBQ的面積為y（cm2），當△PBQ存在時，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC是否相似，請說明理由；
（3）當x＝5s時，在直線PQ上是否存在一點M，使△BCM的周長最小，若存在，求出最小周長，若不存在，請說明理由．
15．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝ ，D為射線BA上的動點（點D不與點B重合），DE∥BC交射線CA于點E．
（1）設CE＝x，BD＝y，求y與x的函數關系式；
（2）若以線段BD、CE為直徑的兩圓相切，求DE的長度；
（3）當點D在AB邊上時，BC邊上是否存在點F，使△ABC與△DEF相似？若存在，請求出線段BF的長；若不存在，請說明理由．
16．已知：在△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB，BD＝BC，CD交線段AB于點E．
（1）如圖l，當∠ACB＝90°時，則線段DE、CE之間的數量關系為____________________；
（2）如圖2，當∠ACB＝120°時，求證：DE＝3CE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點F是BC邊的中點，連接DF，DF與AB交于點G，△DKG和△DBG關于直線DG對稱（點B的對稱點是點K），延長DK交AB于點H．若BH＝10，求CE的長．
17．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（0，2）、（－1，0）、（4，0）．P是線段OC上的一動點（點P與點O、C不重合），過點P的直線x＝t與AC相交于點Q．設四邊形ABPQ關于直線x＝t的對稱的圖形與△QPC重疊部分的面積為S．
（1）點B關于直線x＝t的對稱點B′ 的坐標為___________；
（2）求S與t的函數關系式．
18．在△ABC中，∠A＝90°，點D在線段BC上，∠EDB ＝ ∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點F．
（1）當AB＝AC時，（如圖1）
①∠EBF＝_________°；
②探究線段BE與FD的數量關系，并加以證明；
（2）當AB＝kAC時（如圖2），求 的值（用含k的式子表示）．
19．如圖1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD為斜邊AC上的中線，將△ABD繞點D順時針旋轉α（0°＜α＜180°），得到△EFD，點A的對應點為點E，點B的對應點為點F，連接BE、CF．
（1）判斷BE與CF的位置、數量關系，并說明理由；
（2）若連接BF、CE，請直接寫出在旋轉過程中四邊形BFEC能形成哪些特殊四邊形；
（3）如圖2，將△ABC中AB＝BC改成AB≠BC時，其他條件不變，直接寫出α為多少度時（1）中的兩個結論同時成立．
20．如圖11，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，BD是AC邊上的中線，CE⊥BD，垂足為E．
（1）求sin∠DCE的值；
（2）求證：∠ABD＝∠CAE；
（3）若點F在邊AB上，且△AEF為等腰三角形，求AF的長．
21．如圖，點C為線段AB上任意一點（不與A、B兩點重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD與∠BCE都是銳角且∠ACD＝∠BCE，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD交于點P，連接PC．
（1）求證：△ACE≌△DCB；
（2）請你判斷△AMC與△DMP的形狀有何關系并說明理由；
（3）求證：∠APC＝∠BPC．
22．如圖①，P為△ABC內一點，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點．
（1）如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中線，過點B作BE⊥CD，垂足為E，試說明E是△ABC的自相似點；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如圖③，利用尺規作出△ABC的自相似點P（寫出作法并保留作圖痕跡）；
②若△ABC的內心P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內角的度數．
23．如圖①，在△ABC中，AB＝AC，BC＝a cm，∠B＝30°．動點P以1cm/s的速度從點B出發，沿折線B－A－C運動到點C時停止運動．設點P出發x s時，△PBC的面積為y cm2．已知y與x的函數圖象如圖②所示，請根據圖中信息，解答下列問題：
（1）試判斷△DOE的形狀，并說明理由；
（2）當a為何值時，△DOE與△ABC相似？
24．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，點D為AC中點，點E為邊AB上一動點，點F為射線BC上一動點，且∠FDE＝90°．
（1）當DF∥AB時，連接EF，求cos∠DEF的值；
（2）當點F在線段BC上時，設AE＝x，BF＝y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）連接CE，若△CDE為等腰三角形，求BF的長．
25．某課題研究小組就圖形面積問題進行專題研究，他們發現如下結論：
（1）有一條邊對應相等的兩個三角形的面積之比等于這條邊上的對應高之比；
（2）有一個角對應相等的兩個三角形的面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比；
…
現請你繼續對下面問題進行探究，探究過程可直接應用上述結論．（S表示面積）
問題1：如圖1，現有一塊三角形紙板ABC，P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC．經探究知S四邊形P1R1R2P2 ＝ S△ABC ，請證明．
問題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問題1中的△ABC拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q1，Q2三等分邊DC．請探究S四邊形P1Q1Q2P2 與S四邊形ABCD之間的數量關系．
問題3：如圖3，P1，P2，P3，P4五等分邊AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分邊DC．若S四邊形ABCD ＝1，求
S四邊形P2Q2Q3P3 ．
問題4：如圖4，P1，P2，P3四等分邊AB，Q1，Q2，Q3四等分邊DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3將四邊形ABCD分成四個部分，面積分別為S1，S2，S3，S4．請直接寫出含有S1，S2，S3，S4的一個等式．
26．在平面直角坐標系中，直線y＝ EQ \F(2, 3 ) kx＋m（－ ≤k ≤）經過點A（2，4），與y軸相交于點C，點B坐標為（0，7）．記△ABC的面積為S．
（1）求m的取值范圍；
（2）求S關于m的函數關系式；
（3）當S取得最大值時，將△ABC沿AC翻折得到△AB′C，求點B′ 的坐標．
27．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，CB＝4cm．點P、Q分別是AB、CB上動點，它們分別從A、C同時出發向B點勻速移動，移動速度為1cm/秒，設P、Q移動時間為t秒（0≤t≤4）．
（1）當∠CPQ＝90°時，求t的值；
（2）是否存在t，使△CPQ成為等邊三角形？若存在，求出t的值；若不存在，能否改變Q的運動速度（P的速度不變），使△CPQ成為等邊三角形？如何改變？并求出相應的t值．
28．如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝72°，將△ABC繞點A順時針旋轉α度（36°＜α＜180°）得到△ADE，連接CE，線段BD（或其延長線）分別交AC、CE于點G、F．
（1）求證：△ABG∽△FCG；
（2）在旋轉的過程中，是否存在某一時刻，使得△ABG與△FCG全等？若存在，求出此時旋轉角α的大?。蝗舨淮嬖?，說明理由．
29．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90 ，BC＝5，tan∠A＝ ．將△ABC繞點C逆時針旋轉α（45°＜α＜135°）得到△DCE，設直線DE與直線AB相交于點P，連接CP．
（1）如圖1，當CD⊥AB時，求證：PC平分∠EPA；
（2）如圖2，當點P在邊AB上時，求證：PE＋PB＝6；
（3）在△ABC旋轉過程中，連接BE，當△BCE的面積為 時，求∠BPE的度數及PB的長．
30．已知△ABC中，點D在AC上，點E在BC上，且DE∥AB．將△CDE繞點C按順時針方向旋轉得到△CD′E′（∠BCE′＜180°），連接AD′、BE′，設直線BE′ 與AC、AD′ 分別交于點O、F．
（1）如圖1，若△ABC為等邊三角形，則 的值為________，∠AFB的度數為________；
（2）如圖2，若△ABC滿足∠ACB＝60°，AC＝，BC＝．
①求 的值和∠AFB的度數；
②若E是BC的中點，求△OBC面積的最大值．
31．如圖1，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90 ．固定△ABC，將△DEF繞點A順時針旋轉，當DF邊與AB邊重合時，旋轉中止．現不考慮旋轉開始和結束時重合的情況，設DE，DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G，H點，如圖2．
（1）始終與△AGC相似的三角形有___________和___________；
（2）在圖2中，設CG＝x，BH＝y，求y關于x的函數關系式；
（3）當x為何值時，△AGH是等腰三角形？
32．如圖1，已知線段AB的長為2a，點P是AB上的動點（P不與A、B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側作正△APC和正△PBD．
（1）當△APC與△PBD的面積之和取最小值時，AP＝_________；（直接寫出結果）
（2）連結AD、BC相交于點Q，設∠AQC＝α，那么α的大小是否隨點P的移動而變化？請說明理由；
（3）如圖2，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉（旋轉角小于180°），此時α的大小是否發生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）
33．已知直線l經過A（6，0）和B（0，12）兩點，且與直線y＝x交于點C．
（1）求直線l的解析式；
（2）若點P（x，0）在線段OA上運動，過點P作l的平行線交直線y＝x于D，求△PCD的面積S與x的函數關系式；S有最大值嗎？若有，求出當S最大時x的值；
（3）若點P（x，0）在x軸上運動，是否存在點P，使得△PCA成為等腰三角形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
34．如圖，Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝10cm，點Q在線段BC上從B向C運動，點P在線段BA上從B向A運動．Q、P兩點同時出發，運動的速度相同，當點Q到達點C時，兩點都停止運動．作PM⊥PQ交CA于點M，過點P分別作BC、CA的垂線，垂足分別為E、F．
（1）求證：△PQE∽△PMF；
（2）當點P、Q運動時，請猜想線段PM與MA的大小有怎樣的關系？并證明你的猜想；
（3）設BP＝x，△PEM的面積為y，求y關于x的函數關系式，當x為何值時，y有最大值，并將這個值求出來．
35．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點，E是AC邊上的一個動點（與點A、C不重合），DF⊥DE，DF與射線BC相交于點F．
（1）如圖2，若點D是邊AB的中點，求證：DE＝DF；
（2）若AD : DB＝m，求DE : DF的值；
（3）若AC＝BC＝6，AD : DB＝1 : 2，設AE＝x，BF＝y．
①求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②以CE為直徑的圓與直線AB是否可相切，若可能，求出此時x的值，若不可能，請說明理由．
36．（1）如圖1，在△ABC中，點D、E、Q分別在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P．求證： ＝ ．
（2）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG、AF分別交DE于M、N兩點．
①如圖2，若AB＝AC＝1，直接寫出MN的長；
②如圖3，求證：MN 2＝DM·EN．
37．如圖，D是△ABC的邊BC的中點，過AD延長線上的點E作AD的垂線EF，E為垂足，EF與AB的延長線相交于點F，點O在AD上，AO＝CO，BC∥EF．
（1）證明：AB＝AC；
（2）證明：點O是△ABC的外接圓的圓心；
（3）當AB＝5，BC＝6時，連接BE，若∠ABE＝90°，求AE的長．
38．兩個大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如圖①擺放，使直角頂點重合．將圖①中△DEC繞點C逆時針旋轉30°得到圖②，點F、G分別是CD、DE與AB的交點，點H是DE與AC的交點．
（1）不添加輔助線，寫出圖②中所有與△BCF全等的三角形；
（2）將圖②中的△DEC繞點C逆時針旋轉45°得△D1E1C，點F、G、H的對應點分別為F1、G1、H1，如圖③．探究線段D1F1與AH1之間的數量關系，并寫出推理過程；
（3）在（2）的條件下，若D1E1與CE交于點I，求證：G1I＝CI．
39．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，D是腰AC上的一個動點，過C作CE垂直于BD或BD的延長線，垂足為E，如圖1．
（1）若BD是AC的中線，如圖2，求 的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分線，如圖3，求 的值；
（3）結合（1）、（2），請你推斷 的值的取值范圍（直接寫出結論，不必證明），并探究 的值能小于 嗎？若能，求出滿足條件的D點的位置；若不能，請說明理由．
40．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M為AB中點，將線段BM繞點B順時針旋轉90°，得到線段BP，連接AP、CP，CP交AB于點N（如圖1）．
（1）若AC＝BC，求證：△NPB∽△PAB；
（2）若BC＝2，當AC的長為多少時，△ACB∽△ABP？
（3）圖1中，當點A沿直線AC向下運動（其余條件不變）時，Rt△ABC、△PAB、△PBC都會變化（如圖2），若點A一直運動到BC下方，請在圖3中畫出相應的圖形．若BC＝2，設AC＝x，△BCP的面積為S1，△PAB的面積為S2，試問S1、S2是否都為定值？若是，求出這個定值；若不是，求出其關于x的函數關系式．
41．如圖（1），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，點E在AC上，BE交CD于點G，EF⊥BE交AB于點F．若AC＝mBC，CE＝nEA（m，n為實數）．
試探究線段EF與EG的數量關系．
（1）如圖（2），當m＝1，n＝1時，EF與EG的數量關系是____________；
證明：
（2）如圖（3），當m＝1，n為任意實數時，EF與EG的數量關系是____________；
證明：
（3）如圖（1），當m，n為任意實數時，EF與EG的數量關系是____________．（寫出關系式，不必證明）
42．如圖，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝2，以點B為圓心，BC長為半徑的弧交邊AC于點D，且∠DBC＝∠BAC．P是邊BC延長線上一點，過點P作PQ⊥BP，交BD的延長線于點Q．設CP＝x，DQ＝y．
（1）求CD的長；
（2）求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）若∠DAQ＝2∠BAC，求CP的長．
43．如圖，在平面直角坐標系中，等邊△OAB的邊長是12，點A在第一象限，OB邊在x軸的正半軸上．將△OAB沿直線CD：y＝kx＋b折疊，使點A落在x軸上的點E處．
（1）若點A恰好落在線段OB上（不包括O、B），△OCE與△BED相似嗎？為什么？若OE : EB＝2 : 3，求CE : DE的值；
（2）①若點C是OA的中點，AD＝2DB，試判斷以CD為直徑的圓與x軸的位置關系，并說明理由；
②若點C、D分別在線段OA、AB上，試求b的取值范圍；
（3）當點E從點O移動到點B時，點D運動的總路線長為多少？
44．Rt△ABC的直角頂點B在Rt△DEF的斜邊DF上，已知AB＝DF，DE＝EF，∠A＝30°．固定△DEF不動，將△ABC繞點B旋轉，并使邊AB與邊DE交于點P，邊BC與邊EF于點Q．
（1）如圖1，若 ＝m，求 的值，并確定m的取值范圍；
（2）若DF＝30， ＝2，連接PQ，設△BPQ的面積為S，在旋轉過程中：
①如圖2，當點E恰好落在邊AC上時，求AE的長；
②S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，請說明理由；
③隨著S取不同的值，對應△BPQ的個數有哪些變化？求相應S值的取值范圍．
45．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為CA，CB延長線上的點，AE與BD相交于點F．
（1）若BE＝AC，AD＝CE，求∠AFD的度數；
（2）若BE＝ EQ \F(, 3 ) AC，AD＝ EQ \F(, 3 ) CE，求∠AFD的度數．
46．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，點M是CE的中點，連接BM．
（1）如圖①，點D在AB上，連接DM，猜想BD與BM的數量關系，并說明理由；
（2）如圖②，點D不在AB上，（1）中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請直接寫出此時BD與BM的數量關系．
47．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠DBC＝30°，E在BC上，AE⊥BC，且∠ADE＝60°．
（1）求證：CD＝EC；
（2）若BE＝1，求AD、BC、CD的長．
48．如圖，△ABC與△BCD均為等邊三角形，過D點的直線與AB交于點M，與CA的延長線交于點N，CM與BN交于點E，求∠BEC的度數．
49．已知△ABC是銳角三角形．
（1）求證：2sinA＞cosB+cosC；
（2）若點M在邊AC上，作△ABM和△CBM的外接圓，則當M在什么位置時，兩外接圓的公共部分面積最??？
50．如圖，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AD的垂直平分線交AD于點E，交BC的延長線于點F．
（1）求證：DF 2＝BF·CF；
（2）若 ＝ ，求 的值．
51．在△ABC中，點M為BC的中點．
（1）如圖1，求證：AM＜ (AB＋AC)；
（2）延長AB到D，使得BD＝AC，延長AC到E，使得CE＝AB，連接DE．
①如圖2，連接BE，若∠BAC＝60°，請你探究線段BE與線段AM之間的數量關系．寫出你的結論，并加以證明；
②請在圖3中證明：BC ≥ DE．
52．如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D、E兩點分別在AC、BC上，且DE∥AB，CD＝2．將△CDE繞點C順時針旋轉，得到△CD′E′（如圖②，點D′、E′分別與點D、E對應），點E′ 在AB上，D′E′ 與AC相交于點F．
（1）求∠ACE′ 的度數；
（2）求證：四邊形ABCD′ 是梯形；
（3）求△AD′F的面積．
53．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點在邊上，且∠ADC＝60°，BD ＝ CD．將△ACD沿AD折疊，得到△AC′D，連接BC′．
（1）求證：BC′⊥BC；
（2）求∠C的大小．
54．已知等邊三角形ABC中，點D、E、F分別為AB、AC、BC邊的中點，P為直線BC上的動點，以DP為一邊在DP的右側作等邊三角形DPQ．
（1）如圖，當點P在BC邊上時，請你判斷PF與QE有怎樣的數量關系？點F是否在直線QE上？說明理由；
（2）當點P在CB的延長線或BC的延長線上時，你在（1）中得到的結論是否仍然成立？說明理由．
55．如圖，直角三角板ABC中，∠A＝30°，BC＝1，將三角板ABC繞直角頂點C逆時針旋轉一個角度α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C．
（1）當A′B′邊經過點B時，求旋轉角α的大小；
（2）在三角板旋轉的過程中，邊A′C與直線AB交于點D，過點D作DE∥A′B′ 交CB′ 邊于點E，連接BE．
①當0°＜α＜90°時，設AD＝x，BE＝y，求y與x之間的函數關系式；
②當S△BDE ＝ S△ABC 時，求AD的長．
56．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝－ x＋b與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且B點的坐標為（0，8），直線AC交線段OB于點C（0，n）．
（1）過C點作CD⊥AB于D點，CD＝m，求m與n的函數關系式；
（2）將△AOC沿著AC翻折，使點O落在AB上．
①求點C的坐標；
②P是直線AC上的點，在x軸上方的平面內是否存在點Q，使得以O、C、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
57．如圖1所示，直線y＝－x＋9與x軸、y軸交于B、A兩點，直線y＝－ x－4與x軸、y軸交于C、D兩點，E（4，0），直線l過B點且垂直于x軸，P是直線上一點（與B點不重合），連結AP．
（1）求A、C兩點的坐標；
（2）設M是AP的中點，若ME＝5，猜想∠CME的度數，并說明理由；
（3）如圖2所示，連結PE，求△PCE外接圓面積的最小值，并求△PCE外接圓面積最小時，圓心G的坐標．
58．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點D是BC上一動點（不與B、C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉α后到達AE位置，連接DE、CE，設∠BCE＝β．
（1）如圖1，若α＝90°，求β的大??；
（2）如圖2，當點D在線段BC上運動時，試探究α與β之間的數量關系，并證明你的結論；
（3）當點D在線段BC的反向延長線上運動時，（2）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請寫出α與β之間的數量關系，并說明理由．
59．已知：在平面直角坐標系中，直線y＝kx＋4與y軸、x軸分別交于A、B兩點，點C的坐標為（10，0）．
（1）如圖①，若k＝－1，在直線y＝kx＋4上求點P，使∠OPC＝90°；
（2）若在直線y＝kx＋4上只存在一個點P，使∠OPC＝90°，求k的值．
60．如圖1，△ABC和△DEF均為等邊三角形，BC和EF的中點均為O．
（1）將△DEF繞點O旋轉到圖2的位置時，試判斷AD與CF的位置關系，并證明你的結論；
（2）將△DEF繞點O旋轉一周，若頂點D與AC只有一個交點，且AB＝4，求△COF的面積．
61．把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點A出發，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；當點P移動到點B時，點P停止移動，△DEF也隨之停止移動．DE與AC交于點Q，連結PQ，設移動時間為t（s）．
（1）用含t的代數式表

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