資源簡介

求函數(shù)值域的14種方法大盤點(diǎn)
觀察法
方法
通過觀察如，或等函數(shù)的定義域及性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的解析式，應(yīng)用不等式性質(zhì)，可直接求得函數(shù)的值域。
步驟
第1步：觀察函數(shù)中的特殊函數(shù)；
第2步：利用這些特殊函數(shù)的有界性，結(jié)合不等式推導(dǎo)出函數(shù)的值域.
函數(shù)
的最大值是（　　）
A.
B.
C.
D.
【解析】第一步，觀察函數(shù)中的特殊函數(shù)
第二步，利用二次函數(shù)的最值和不等式得到函數(shù)的值域：
，所以的最大值是，選D.
函數(shù)的值域?yàn)?
)。
A、
B、
C、
D、
【解析】，故，∴值域?yàn)椋xD。
【小結(jié)】算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：(1)被開方數(shù)的非負(fù)性，(2)值的非負(fù)性。
求函數(shù)的值域.
【解析】∵2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤＜2．
故函數(shù)的值域是
單調(diào)性法
方法
單調(diào)性法是求函數(shù)值域的常用方法，就是利用我們所學(xué)的基本初等函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)所給定義域來確定函數(shù)的值域．
步驟
第1步：確定函數(shù)的定義域；
第2步：求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
第3步：確定函數(shù)的值域或最值.
求函數(shù)的值域。
【解析】，，∴都是增函數(shù)，故是減函數(shù)，因此當(dāng)時，，又∵，∴。
求函數(shù)的值域.
【解析】第1步，將函數(shù)化成基本初等函數(shù)的形式：
令，所以
第2步，討論函數(shù)的單調(diào)性：
因?yàn)椋?br/>所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
第3步，討論函數(shù)的單調(diào)性：
又因?yàn)樵诙x域上是減函數(shù)；
所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；
第四步，根據(jù)單調(diào)性得出函數(shù)的最值，進(jìn)而得出值域：
所以，，所以函數(shù)的值域?yàn)椤?br/>【小結(jié)】本題先利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的最大值和最小值，得到函數(shù)的值域.
求函數(shù)的值域
【解析】第1步，將函數(shù)化成基本初等函數(shù)的形式：
令，所以
第2步，討論函數(shù)的單調(diào)性：
因?yàn)椋?br/>所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；
第3步，討論函數(shù)的單調(diào)性：
又因?yàn)樵诙x域上是減函數(shù)；
所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
第四步，根據(jù)單調(diào)性得出函數(shù)的最值，進(jìn)而得出值域：
所以，所以函數(shù)的值域?yàn)椤?br/>【小結(jié)】
（1）如果能確定函數(shù)的單調(diào)性時，可以使用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域.
（2）本題中利用了這樣一個性質(zhì)：增（減）函數(shù)+增（減）函數(shù)=增（減）函數(shù).
（3）本題都是增函數(shù)，利用到了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.
求函數(shù)的值域.
【解析】由，解得，在此定義域內(nèi)函數(shù)是單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，，所以函數(shù)的值域是
函數(shù)f（x）=2+log3x（1≤x≤9），函數(shù)g（x）=f2（x）+f（x2），求g（x）值域．
【解析】由已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤∈{x|1≤x≤9}，則g（x）的定義域滿足，
所以1≤x≤3，所以g（x）的定義域?yàn)閧x||1≤x≤3}；
，g（x）在x∈[1，3]單調(diào)遞增，
則g（x）的最大值為g（x）max=g（3）=13，g（x）的最小值為g（x）min=g（1）=6．
故g（x）的值域?yàn)閇6，13]．
已知，且滿足，則函數(shù)的值域?yàn)?
)。
A、
B、
C、
D、
【解析】∵，則原式與同解，解之得，
又，將代入中，得且，
函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)遞增，故只需比較邊界的大小，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴函數(shù)的值域?yàn)椋xA
函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)、都有，且當(dāng)時，，，求函數(shù)在區(qū)間上的值域。
【解析】設(shè)，∵當(dāng)時，,∴，
。∴
∴為增函數(shù)
令
令
∴為奇函數(shù)，∴
∴在區(qū)間上的值域?yàn)閇-4,2]
【小結(jié)】抽象函數(shù)值域的求法。
奇偶性法
方法
適用于一些解析式非常復(fù)雜，但是經(jīng)過整理后有一定規(guī)律的函數(shù)，或是抽象函數(shù)；在求函數(shù)最值的問題中，可以利用奇偶性直接得出答案；
步驟
第1步：湊出奇或偶的代數(shù)式
第2步：根據(jù)奇偶性性質(zhì)解題
若都是奇函數(shù)，在上有最大值5，則在上有（
）
A．最小值
B．最大值
C．最小值
D．最大值
【解析】、為奇函數(shù)，∴為奇函數(shù)．
又有最大值5，　∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．
∴－2在上有最小值－3，∴在上有最小值－1，選C
設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則_____.
【解析】2
設(shè)函數(shù)f(x)=的最大值為M,最小值為m,則M+m=　　　　.
【解析】顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)==1+,
設(shè)g(x)=,則g(-x)=-g(x),∴g(x)為奇函數(shù),
由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)max+g(x)min=0,
∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.
已知函數(shù)和均為奇函數(shù)，
在區(qū)間上有最大值5，那么在上的最小值為
（
）
A.
－5
B.
－3
C.
－1
D.
5
【解析】令，所以為奇函數(shù)，
時，，，又時，，，，故選C.
【小結(jié)】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，由于函數(shù)和
g(x)均為奇函數(shù)，則也為奇函數(shù)，構(gòu)造函數(shù),則為奇函數(shù)，借助在上的最大值得出的最大值，由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以在關(guān)于原點(diǎn)對稱的單調(diào)區(qū)間上的最大值與最小值之和為零，得出在上的最小值，進(jìn)而得出在上的最小值.
已知在區(qū)間上有最大值5，那么在上的最小值為
【解析】因?yàn)橹袨槠婧瘮?shù)關(guān)于對稱,
故關(guān)于對稱,又在區(qū)間上有最大值5,
故在上的最小值為
已知函數(shù)和均為奇函數(shù)，在區(qū)間上有最大值5，那么在上的最小值為
【解析】∵和均為奇函數(shù)，∴，∴在上的最小值是，故選B．
已知函數(shù)和均為奇函數(shù),
在區(qū)間上有最大值,那么在上的最小值為
【解析】由得，
令，
則，∴為奇函數(shù)．
∵在區(qū)間(0,+∞)上有最大值5，
∴，∴，即．
∵是奇函數(shù)，∴，∴．故選B
函數(shù)x最大值為Ｍ，最小值為ｍ，Ｍ＋ｍ＝____
【解析】,為奇函數(shù)，∴圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
最大值對應(yīng)點(diǎn)與最小值對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，∴，即Ｍ＋ｍ＝2
配方法
方法
型如()型或可轉(zhuǎn)化為二次型的函數(shù)，用此種方法，注意自變量的范圍。
步驟
第1步：配方；
第2步：借助圖像或利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，確定函數(shù)的最值或邊界點(diǎn)的函數(shù)值；
第3步：結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求得值域.
小結(jié)
若二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在定義域?qū)?yīng)的區(qū)間內(nèi)，則頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)一定是函數(shù)的一個最值，此外,若定義域?yàn)殚_區(qū)間，則函數(shù)可能沒有最值.
當(dāng)1≤x≤2時，求函數(shù)y＝﹣x2﹣x+1值域．
【分析】由二次函數(shù)性質(zhì)知f（x）當(dāng)1≤x≤2時，函數(shù)y單調(diào)遞減，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求.
【解析】，對稱軸為，
故當(dāng)1≤x≤2時，函數(shù)y單調(diào)遞減，
ymax＝﹣1﹣1+1＝﹣1，ymin＝﹣4﹣2+1＝﹣5，
故函數(shù)y＝﹣x2﹣x+1值域?yàn)閇﹣5，﹣1]．
已知函數(shù)，求函數(shù)的值域．
【分析】本題采用配方法求值域．
【解析】y＝[f（x）]＝f2（x）﹣4f（x）+1
＝[f（x）﹣2]2﹣3
＝（x2﹣4x+1﹣2）2﹣3
＝（x2﹣4x﹣1）2﹣3
＝[（x﹣2）2﹣3]2﹣3≥﹣3
∴函數(shù)的值域?yàn)閇﹣3，+∞）
求函數(shù)在，的值域．
【分析】因不知道a是否為0，所以分a＝0和a≠0兩種情況討論，又因?qū)ΨQ軸把區(qū)間分成兩部分，再分別求出值域取并集．
【解析】分a＝0和a≠0兩種情況討論，
①當(dāng)a＝0時，f（x）＝1，
②當(dāng)a≠0時，f（x）＝a2x2﹣2a2x+1＝a2（x﹣1）2+1﹣a2，
對稱軸x＝1把區(qū)間[﹣1，2]分成[﹣1，1]，（1，2]兩部分，
在[﹣1，1]上函數(shù)f（x）是減函數(shù)，
∴f（﹣1）最大為（3a2+1），f（1）最小為（1﹣a2），
在（1，2]上函數(shù)f（x）是增函數(shù)，f（2）最大，而f（2）＜f（﹣1），
綜上所述，函數(shù)f（x）＝a2x2﹣2a2x+1在[﹣1，2]的值域?yàn)椋篬1﹣a2，3a2+1]．
定義在上的函數(shù)的值域是__________．
【解析】第一步，將函數(shù)配方成：
由
+10+241
第二步，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域：
因?yàn)?
所以1
即函數(shù)的值域是
函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋蟮姆秶?br/>【解析】因二次函數(shù)的對稱軸為,且時,函數(shù)值,當(dāng)
時,,因此當(dāng)時,
.故當(dāng)
函數(shù)f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x，當(dāng)x∈[1，4]時，求h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)值域
【解析】(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因?yàn)閤∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函數(shù)h(x)的值域?yàn)閇0，2]
已知－1≤x≤2，求函數(shù)y＝f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的值域．
【解析】f(x)＝3＋2·3x+1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3.
令3x＝t，則y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12.
∵－1≤x≤2，∴
1/3
≤t≤9.
∴當(dāng)t＝3，即x＝1時，y取得最大值12；
當(dāng)t＝9，即x＝2時，y取得最小值－24，
即f(x)的最大值為12，最小值為－24.∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－24,12]．
已知x∈[－，]，求求函數(shù)y＝－3（1-cos2x）－4cosx＋4的值域．
【分析】將函數(shù)化簡為，然后設(shè)，并且根據(jù)上一問得到的范圍，寫成關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求函數(shù)的最值．
【解析】原函數(shù)化為y＝3cos2x－4cosx＋1，即，
設(shè)，，
當(dāng)時函數(shù)取得最小值，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值．
故y的值域?yàn)閇－，]．
已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的定義域和值域；
（2）設(shè)（為實(shí)數(shù)），求在時的最大值；
（3）對（2）中，若對所有的實(shí)數(shù)及恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定義域?yàn)?br/>又由≥0
得值域?yàn)?br/>（2）因?yàn)?br/>令，則
∴()+t=
由題意知g(a)即為函數(shù)的最大值
注意到直線是拋物線的對稱軸
因?yàn)閍<0時,函數(shù)y=m(t),
的圖象是開口向下的拋物線的一段
①若，即則
②若，即則
③若，即則
綜上有
（3）易得，由對恒成立，
即要使恒成立，
，令，對所有的成立，
只需
求出m的取值范圍是
分離常數(shù)法
方法
1、型如時，可化簡成的格式
2、型如的函數(shù)，可化簡成格式
步驟
第1步：將函數(shù)關(guān)系式分子中含x的項(xiàng)分離，即使分子不含x項(xiàng)；
第2步：確定分離后的函數(shù)關(guān)系式的單調(diào)性；
第3步：借助函數(shù)的單調(diào)性，求的函數(shù)的值域.
小結(jié)
若分離較為困難，則可將分子或分母設(shè)為一個整體，用一個字母代替及換元再分離常數(shù).
（1）求函數(shù)的值域．
（2）已知函數(shù)，求的值域．
（1）【分析】本題宜用分離常數(shù)法求值域，將函數(shù)可以變?yōu)樵儆?br/>函數(shù)的單調(diào)性求值域．
【解析】由題函數(shù)的定義域?yàn)?br/>故函數(shù)的值域?yàn)?br/>（2）【分析】，化簡后求值域．
【解析】，
又，，即．
則的值域?yàn)椋?br/>（1）求下列函數(shù)的值域：.
（2）求函數(shù)的值域．
（1）【分析】利用分離變量法求解．
【解析】y2，
∵x≥1，2＜22，
∴y（x≥1）的值域?yàn)椋?，]．
（2）【分析】對函數(shù)化簡成y（1）的形式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)y的范圍．
【解析】y?（1），
∵0，∴y，即函數(shù)的值域?yàn)椋ī仭蓿龋ǎ?∞）．
（1）求下列函數(shù)的值域：．
（2）求函數(shù)的值域．
（1）【分析】利用分離常數(shù)法，可將原函數(shù)的答案式化為y，進(jìn)而根據(jù)0，可得y，進(jìn)而得到函數(shù)的值域．
【解析】∵y，
∵0，故y，
故函數(shù)y的值域?yàn)椋簕y|y}，
（2）【分析】用分離常數(shù)法化簡函數(shù)式為y＝5，考慮分母不為0，即求出函數(shù)值域．
【解析】∵y＝5，
又x2﹣1≠0，即x≠±1，∴y≠5且y；
∴函數(shù)的值域是{y|y≠5且y}．
（1）求函數(shù)的值域．
（2）求函數(shù)的值域．
（1）【分析】本題考查二次了二次函數(shù)答案式的配方，求值域，分離常法求函數(shù)的值域．
【解析】，
∵（x﹣1）2+2≥2
∴，∴，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>（2）【分析】本題考查了采用分離常數(shù)法求函數(shù)的值域，分離常數(shù)后注意分母的取值范圍．
【解析】∵，又x2+3≥3，
∴，即．∴函數(shù)的值域是．
換元法
方法
此種方法適用于求根式形函數(shù)或形式較為復(fù)雜的函數(shù)的值域
步驟
第1步：將函數(shù)關(guān)系式中的部分項(xiàng)視為一個整體用新元表示；
第2步：換元轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)，如二次函數(shù)，一次函數(shù)等，
第3步：借助基本函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的值域
小結(jié)
換元后要注意新元的取值范圍，換元法求函數(shù)值域，其實(shí)質(zhì)是等價轉(zhuǎn)換的思想方法
求函數(shù)的值域：
【分析】利用換元法，需要注意的取值范圍．
【解析】換元法：令，，
則，當(dāng)時取等號，
故其值域?yàn)椋?br/>求下列函數(shù)的值域．
（1）
（2）
（3）．
（1）【分析】函數(shù)y＝2x﹣2可得函數(shù)的定義域?yàn)椋睿獾茫D(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【解析】函數(shù)y＝2x﹣2可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>令，解得．
∴y＝f（t）2+tf（0），
∴函數(shù)y＝2x﹣2的值域?yàn)椋?br/>（2）【分析】由y＝x+5得：y﹣x﹣5，平方后整理得2x2+（12﹣2y）x+y2﹣10y+21＝0，根據(jù)判別式法，可得△＝（12﹣2y）2﹣8（y2﹣10y+21）≥0，解得y的范圍即為函數(shù)的值域．
【解析】由y＝x+5得：y﹣x﹣5，
故x2+y2+25﹣2xy+10x﹣10y＝﹣x2﹣2x+4，
即2x2+（12﹣2y）x+y2﹣10y+21＝0，
由△＝（12﹣2y）2﹣8（y2﹣10y+21）≥0得：y2﹣8y+6≤0，
解得：y∈[4，4]，
故函數(shù)y＝x+5的值域?yàn)閇4，4]．
（3）【分析】換元法，設(shè)，則x＝1﹣t2，化為關(guān)于t函數(shù)，配方求出值域．
【解析】換元法（代數(shù)換元法）：
設(shè)，則x＝1﹣t2，
∴原函數(shù)可化為y＝1﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+5（t≥0），∴y≤5，
∴原函數(shù)值域?yàn)椋ī仭蓿?]．
求下列函數(shù)的值域．
（1）
（2）
（1）【分析】整理原函數(shù)的答案式，利用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，利用自變量的范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．
【解析】y2，
設(shè)t，則0＜t，則y＝t2﹣2t+2＝（t﹣1）2+1，
∴ymax＝f（0）＝2，ymin＝f（），
∴函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?）．
（2）【分析】由題意，可對分母配方，求出分母的取值范圍，再令t＝x2﹣5x+4，則函數(shù)變?yōu)閥，t，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求出值域．
【解析】由于，
令t＝x2﹣5x+4，則函數(shù)變?yōu)閥，t；
由反比例函數(shù)的性質(zhì)知，y∈（﹣∞，）∪（0，+∞），
故函數(shù)y的值域?yàn)椋ī仭蓿龋?，+∞）．
求函數(shù)的值域．
【分析】利用換元法，設(shè)t，表示x，求出f（t）的值域即得f（x）的值域．
【解析】設(shè)t，（其中t≥0）；∴x＝t2﹣4；
∴y＝f（t）；
∵t≥0，∴t+3≥3，∴0，又t≠3，∴y；∴f（x）的值域是（0，）∪（，]
求函數(shù)，
的值域..
【解析】第1步，變化函數(shù)為二次函數(shù)的形式
，設(shè)，
第2步，求出換元后函數(shù)的定義域：∵，∴
第3步，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的值域：可得
，
綜上所述：函數(shù)的值域?yàn)?
已知函數(shù)，
，求的最大值及最小值.
【解析】令
∵，在定義域遞減有4x2
∴，∴，
∴當(dāng)時，取最小值；當(dāng)時，取最大值7.
求函數(shù)，的值域.
判別式法
方法
型如(、不同時為零)及的函數(shù)求值域，通常把其轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元二次方程，由判別式，求得的取值范圍，即為原函數(shù)的值域。
步驟
第1步：將含x的式子用y表示，
第2步：借助含x的式子得出關(guān)于y的不等式，
第3步：解關(guān)于y的不等式既得函數(shù)的值域
小結(jié)
判別式法常借助含x的式子的有界性得到關(guān)于y的不等式.
利用判別式求函數(shù)的值域．
【分析】把函數(shù)化為，利用判別式△，求出的取值范圍即可．
【解析】函數(shù)，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，原函數(shù)化為，
∴判別式△＝（3y+1）2﹣4y2≥0，即5y2+6y+1≥0；解得y≤﹣1，或y≥﹣，
綜上，函數(shù)y的值域是{y|y≤﹣1，或y≥﹣}．
已知，求函數(shù)的值域．
【分析】先將原函數(shù)整理成關(guān)于x的一元二次方程：2x2﹣yx﹣17+3y＝0，該方程有解，所以限制y為，解該不等式組即得原函數(shù)的值域．
【解析】由原函數(shù)得：2x2﹣yx﹣17+3y＝0；
則該關(guān)于x的一元二次方程有解；則有；解得；
∴原函數(shù)的值域?yàn)閇，+∞）．
求函數(shù)的值域：．
【分析】由于對任意一個實(shí)數(shù)y，它在函數(shù)f（x）的值域內(nèi)的充要條件是關(guān)于x的方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0有實(shí)數(shù)解，因此“求f（x）的值域．”這一問題可轉(zhuǎn)化為“已知關(guān)于x的方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0有實(shí)數(shù)解，求y的取值范圍”．
【解析】判別式法：∵x2+x+1＞0恒成立，∴函數(shù)的定義域?yàn)镽．
由得：（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0①
①當(dāng)y﹣2＝0即y＝2時，①即3x+0＝0，∴x＝0∈R
②當(dāng)y﹣2≠0即y≠2時，
∵x∈R時方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0恒有實(shí)根，
∴△＝（y+1）2﹣4×（y﹣2）2≥0，∴1≤y≤5且y≠2，
∴原函數(shù)的值域?yàn)閇1，5]．
求函數(shù)的值域：．
【分析】（1）當(dāng)y＝1時，3＝1不成立；當(dāng)y≠1時，原函數(shù)化為（y﹣1）x2﹣（y﹣1）x+y﹣3＝0，利用判別式△≥0，注意但y≠1．求出y的取值范圍即可；
（2）把函數(shù)化為yx2﹣4yx+5y﹣8＝0，利用判別式△≥0，注意但y≠0．求出y取值范圍即可．
【解析】（1）∵函數(shù)y，定義域?yàn)镽，
∴當(dāng)y＝1時，3＝1不成立；
當(dāng)y≠1時，原函數(shù)化為（y﹣1）x2﹣（y﹣1）x+y﹣3＝0，
∴判別式△＝（y﹣1）2﹣4（y﹣1）（y﹣3）≥0，
即（y﹣1）（3y﹣11）≤0，解得1≤y，但y≠1，
綜上，函數(shù)y的值域是{y|1＜y}
分段函數(shù)法
方法
此種方法適合用與含絕對值符號的函數(shù).
步驟
第1步：在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn)（使各個絕對值為0的取值）;
第2步：分類討論去掉絕對值符號;
第3步：在每一段上依據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的值域，取并集得函數(shù)的值域．
小結(jié)
絕對值符號去對是關(guān)鍵.
求函數(shù)的值域：．
【分析】由函數(shù)表達(dá)式知，，無最大值，去掉絕對值，把函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，
在每一段上依據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的值域，取并集得函數(shù)的值域．
【解析】數(shù)形結(jié)合法：
，
函數(shù)值域?yàn)椋?br/>已知函數(shù)，求的值域．
【分析】對每一段二次函數(shù)進(jìn)行配方，即可求出f（x）在每段上的范圍，從而求得f（x）的值域．
【解析】f（x）；
∴0≤x≤3時，f（x）∈[﹣4，0]；
﹣2≤x≤0時，f（x）∈[﹣8，0]；
∴f（x）的值域?yàn)閇﹣8，0]．
求函數(shù)的值域．
【分析】通過討論x的范圍，從而得出函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的值域．
【解析】0≤x＜3時，y＝2x﹣4x﹣3＝﹣2x﹣3，
﹣3＜x＜0時，y＝2x+4x﹣3＝6x﹣3，，
∴函數(shù)的值域是：（﹣21，﹣3]．
函數(shù)的值域?yàn)?
)。
A、
B、
C、
D、
【解析】原函數(shù)化為，
其圖像如圖，原函數(shù)值域?yàn)椋xD。
【小結(jié)】分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn)，利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，是解決問題的重要方法。
反函數(shù)法
方法
1、直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。
2、直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。
步驟
第1步：求已知函數(shù)的反函數(shù)；
第2步：求反函數(shù)的定義域；
第3步：利用反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域的關(guān)系即可求出原函數(shù)值域
函數(shù)值域?yàn)?br/>【解析】設(shè)，則，分母不等于，即
即函數(shù)的值域?yàn)椤?br/>【小結(jié)】利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。
函數(shù)的值域?yàn)?br/>【解析】設(shè)，由原式得，∴，即函數(shù)的值域?yàn)?br/>設(shè)為，反函數(shù)，最大值為
【解析】第一步，先判定函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的；
第二步，求出函數(shù)的值域；
第三步，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)得出反函數(shù)在為增函數(shù)；
∴在為增函數(shù)；∴最大為
不等式法
方法
1、型如時，直接應(yīng)用不等式性質(zhì)。
2、(1)型如
①若，則(當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時取“=”)，
②若，則(當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”)；
(2)型如(，)：
①若，則(僅當(dāng)即時取“=”)
②若，則(僅當(dāng)即時取“=”)
3、型如時，應(yīng)先應(yīng)用分離常數(shù)法化簡成的格式，再利用均值不等式求值域。
4、型如時，應(yīng)討論時的值域，再討論化簡成型，最后利用均值不等式求值域。
步驟
第1步：觀察函數(shù)解析式的形式，型如或的函數(shù)；
第2步：對函數(shù)進(jìn)行配湊成形式，再利用基本不等式求函數(shù)的最值，進(jìn)而
得到函數(shù)的值域.
已知，求函數(shù)
的最小值.
【解析】第一步，將函數(shù)解析式化成的形式：
因?yàn)椋裕裕?br/>第二步，利用基本不等式求函數(shù)最小值：
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立。因?yàn)樵诙x域內(nèi)，所以最小值為1.
已知函數(shù)，求的值域.
【解析】第一步，將函數(shù)解析式化成的形式：
因?yàn)椋裕凰裕?br/>第二步，利用基本不等式求函數(shù)最小值：
，僅當(dāng)，即等號成立。
因?yàn)樵诙x域內(nèi)，所以最小值為5.
求的最小值；
【解析】由題意得，，
令，則，
又當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，有最小值，且最小值為，
故的最小值是
已知，，，則的最小值為（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】因?yàn)椋裕?br/>則，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，故選：B.
【小結(jié)】第1步，觀察函數(shù)解析式形式，型如或的函數(shù)；第2步，對函數(shù)進(jìn)行配湊成形式，再利用基本不等式求函數(shù)最值，進(jìn)而得到值域。
有界性法
方法
①（或）型，解出sinx（或cosx）,利用去解；或用分離常數(shù)的方法去解決。
②（或）型，可化歸為去處理；或用萬能公式換元后用判別式去處理；當(dāng)a=c時，還可利用數(shù)形結(jié)合的方法去處理上。
步驟
第1步：反解出有界性表達(dá)式
第2步：解不等式
求函數(shù)的值域
【解析】此為型的三角函數(shù)求最值問題，分子、分母的三角函數(shù)同名、同角，這類三角函數(shù)一般先化為部分分式，再利用三角函數(shù)的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函數(shù)的有界性去解.
法一：原函數(shù)變形為，可直接得到：或
法二：原函數(shù)變形為或
求函數(shù)的最大值和最小值.
【分析】函數(shù)式為分?jǐn)?shù)形式，轉(zhuǎn)化為以函數(shù)
為主元的不等式，在利用正（余）弦有界性。
解析】由已知得，即
那么，得
（其中角的正切值）
所以，，因?yàn)椋蚨?br/>將其化簡得到，解得，因此，，.
數(shù)形結(jié)合法
方法
利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于圖象的直觀性來求函數(shù)的值域，是一種常見的方法，如何將給定函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型是解答此類問題的關(guān)鍵。
步驟
第1步：作出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的圖像；
第2步：利用函數(shù)的圖像求出函數(shù)的值域.
求函數(shù)的值域.
【解析】
第1步，將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間的直線的斜率
由題意可得：函數(shù)可看成定點(diǎn)到動點(diǎn)的斜率
又動點(diǎn)在單位圓上，所以問題轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)到單位圓連線斜率的問題。
第2步，根據(jù)直線與圓相切得出函數(shù)的值域
設(shè)直線的方程為，所以
因?yàn)橹本€與圓相切，所以，所以，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>【小結(jié)】
（1）對于某些具有明顯幾何意義的函數(shù)，我們可以利用數(shù)形結(jié)合的方法求該函數(shù)的值域.先找到函數(shù)對應(yīng)的形態(tài)特征，再求該函數(shù)的值域.
（2）由于對應(yīng)著兩點(diǎn)之間的斜率（差之比對應(yīng)直線的斜率），所以本題可以利用斜率分析解答.
求函數(shù)的值域.
【解析】第1步：求函數(shù)的定義域，對數(shù)式應(yīng)滿足真數(shù)大于0:
所以由得,所以函數(shù)的定義域是，
第2步：求真數(shù)的取值范圍，進(jìn)而求出函數(shù)的值域：
設(shè)點(diǎn)，
所以,所以函數(shù)的值域?yàn)?
【小結(jié)】要迅速地找到函數(shù)對應(yīng)的形，必須注意積累.這樣才能提高解題的效率。
某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是（
）
A、1800元
B、2400元
C、2800元
D、3100元
【解析】第一步，列出目標(biāo)函數(shù)、線性約束條件：
由題意可得：設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品桶，乙種產(chǎn)品桶，公司可獲得利潤元/天，
所以且
第二步，畫出對應(yīng)的可行域：
第三步，平移目標(biāo)函數(shù)得出最大值：
目標(biāo)函數(shù)可變形為，這是隨變化的一族平行直線，
解方程組，所以，所以
定義運(yùn)算，
，例如，則函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>）
B．
C．
D．
【解析】當(dāng)1≤2x時，即x≥0時，函數(shù)y=1
2x=1，
當(dāng)1＞2x時，即x＜0時，函數(shù)y=1
2x=2x
，，由圖知
函數(shù)y=1
2x的值域?yàn)椋海?，1]，故選D
【小結(jié)】遇到函數(shù)創(chuàng)新應(yīng)用題型時，處理的步驟一般為：
①根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，先確定函數(shù)的定義域；
②再化簡解析式，求函數(shù)解析式的最簡形式，并分析解析式與哪個基本函數(shù)比較相似；
③根據(jù)定義域和解析式畫出函數(shù)的圖象
④根據(jù)圖象分析函數(shù)的性質(zhì)。
函數(shù)的值域是
A．
B．
C．
D．
【解析】由，
知，解得
令，則.，即為和兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，如圖所示：
由圖可知，當(dāng)直線和半圓相切時最小，當(dāng)直線過點(diǎn)A(4,0)時，最大.
當(dāng)直線和半圓相切時，，解得，由圖可知.
當(dāng)直線過點(diǎn)A(4,0)時，，解得.
所以，即.
故選A.
倒數(shù)法
方法
有時，直接看不出函數(shù)的值域時，把它倒過來之后，你會發(fā)現(xiàn)另一番境況。
步驟
第1步：求出函數(shù)的倒數(shù)；
第2步：轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)問題.
函數(shù)的值域?yàn)?
)。
A、
B、
C、
D、
【解析】設(shè)，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，∴，
∴綜上，即函數(shù)的值域?yàn)椋xC。
導(dǎo)數(shù)法
方法
利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性求圖復(fù)雜函數(shù)的極值和最值，然后求出值域
步驟
第1步：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
第2步：利用函數(shù)的圖像求出函數(shù)的值域．
已知函數(shù)在與處都取得極值．
（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值．
【解析】（1）因?yàn)椋?
因?yàn)楹瘮?shù)在與處都取得極值，
所以，所以函數(shù)解析式為：
,
,
令或，，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是
，單調(diào)減區(qū)間是.
（2）由（1）可知，
0
0
遞增
極大
遞減
極小
遞增
所以函數(shù)的極小值為
，極大值為
而，所以.
【鞏固提升】
按要求求下列函數(shù)的值域：
（1）y＝31（觀察法）；
（2）y（配方法）；
（3）y＝2﹣x（換元法）；
（4）y（分離常數(shù)法）．
（5）y＝8÷（x2﹣4x+5）（判別式法）．
【分析】根據(jù)所要求的觀察法、配方法、換元法、判別式法、以及分離常數(shù)法即可求解本題．
【解析】（1）函數(shù)的值域?yàn)閇﹣1，+∞）；
（2）y，∴該函數(shù)的值域?yàn)閇0，]＝[0，]；
（3）令，則x，
所以：；∴原函數(shù)的值域?yàn)椋ī仭蓿琞；
（4）y；
∵，∴；
∴該函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠﹣2}．
（5）∵y，定義域?yàn)镽，
∴當(dāng)y＝0時，不成立；
當(dāng)y≠0時，原函數(shù)可化為yx2﹣4yx+5y﹣8＝0，
∴判別式△＝16y2﹣4y（5y﹣8）≥0，
即有y2﹣8y≤0，解得0≤y≤8，
但y≠0．
綜上，函數(shù)y的值域是{y|0＜y≤8}．
求值域：
（1）y；
（2）y；
（3）f（x）＝x；
（4）f（x）．
【分析】（1）化簡后用分離系數(shù)法求值域，
（2）化簡后用配方與分離系數(shù)法求值域，
（3）用換元法求函數(shù)的值域，
（4）先求定義域，再化簡求值域．
【解析】（1）y＝1（x≠2），
∵x≠2，∴0且；
∴函數(shù)y的值域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，）∪（，+∞）．
（2）y2，
∴函數(shù)y的值域?yàn)閇，2）；
（3）令t，（t≥0）
則f（x）＝x可化為y；
即函數(shù)f（x）＝x的值域?yàn)閇，+∞）．
（4）f（x）的定義域?yàn)閇﹣1，2]，
f（x）
∵0．∴；
即函數(shù)的值域?yàn)閇，]．
求下列函數(shù)的值域：
（1）f（x）＝2x2﹣3x﹣1
（2）f（x）
（3）f（x）＝x
（4）f（x）＝2x
（5）f（x）
（6）f（x）＝5﹣x
【分析】（1）由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先求出函數(shù)的最值，即得出值域；
（2）分離常數(shù)，利用二次函數(shù)的判別式求出值域；
（3）配方法，配成以為自變量的二次函數(shù)，從而求出函數(shù)的值域；
（4）配方法，配成以為自變量的二次函數(shù)，從而求出函數(shù)的值域；
（5）分離常數(shù)法，把函數(shù)f（x）化為1，求出的范圍即得f（x）的值域；
（6）換元法，設(shè)t，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即得值域．
【解析】（1）∵f（x）＝2x2﹣3x﹣1是二次函數(shù)，圖象是拋物線，且開口向上，
∴f（x）有最小值是，∴f（x）的值域是[，+∞）；
（2）∵y＝f（x）1，
∵x≠0，∴y≠1；∴（y﹣1）（x2﹣x）＝3x，即（y﹣1）x2﹣（y+2）x＝0，
判別式[﹣（y+2）]2≥0恒成立，∴函數(shù)f（x）的值域是{y|y≠1}；
（3）∵f（x）＝x＝x+11＝﹣1，
∴f（x）的值域是[﹣1，+∞）；
（4）∵f（x）＝2x＝2（x+2）﹣4＝242×0，
∴f（x）的值域是[，+∞）；
（5）∵f（x）＝1，
又x2+1≥1，∴02，∴﹣1≤11，∴f（x）的值域是[﹣1，1）；
（6）令t，且t≥0；∴x（t2+1），
∴y＝5（t2+1）+tt2+t0，
∴f（x）的值域是（﹣∞，]．
求下列函數(shù)的值域：
（1）y＝x
（2）y＝x+2
（3）y＝x4+4x2+1
（4）y＝6．
【分析】分別對（1）（2）（3）（4）進(jìn)行求解，分別求出它們的值域．
【解析】（1）令t（t≥0），則：x，
∴y，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇，+∞）；
（2）令t（t≥0），則：x＝t2+1，
∴y＝t2+1+2t＝（t+1）2≥1，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇1，+∞）；
（3）y＝x4+4x2+1≥1，∴函數(shù)的值域?yàn)椋篬1，+∞）；
（4）∵5﹣4x﹣x2≥0，
∴﹣5≤x≤1，
令g（x）＝﹣（x+2）2+9，對稱軸x＝﹣2，
∴g（x）在[﹣5，﹣2）遞增，在（﹣2，1]遞減，
∴x＝﹣2時，g（x）最大為9，x＝1，或x＝﹣5時，g（x）最小為0，
∴，x＝﹣2時，y最小為3，x＝1或x＝﹣5時，y最大為6，
∴函數(shù)的值域?yàn)椋篬3，6]．
求下列函數(shù)的值域．
（1）y＝3x+1，x∈[1，2]；
（2）y＝x2﹣4x﹣5，x∈[﹣1，1]；
（3）y；
（4）y；
（5）y＝2x．
【分析】（1）由觀察法求值域；
（2）由配方法求值域；
（3）由分離系數(shù)法求值域；
（4）由分離系數(shù)法求值域；
（5）由換元法求值域．
【解析】（1）∵x∈[1，2]；
∴3x+1∈[4，7]；
故y＝3x+1，x∈[1，2]的值域?yàn)閇4，7]；
（2）y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∵﹣1≤x≤1，
∴﹣8≤x2﹣4x﹣5≤0，
故y＝x2﹣4x﹣5，x∈[﹣1，1]的值域?yàn)閇﹣8，0]；
（3）y1；故y的值域?yàn)閧y|y≠1}；
（4）y1；
∵02，∴﹣1＜﹣11，故y的值域?yàn)椋ī?，1]；
（5）令t（t≥0），x＝1﹣t2，
y＝2x2（1﹣t2）+t
＝﹣2（t）2，
∵t≥0，∴﹣2（t）2；
則函數(shù)y＝2x的值域?yàn)椋ī仭蓿琞求函數(shù)值域的14種方法大盤點(diǎn)
觀察法
方法
通過觀察如，或等函數(shù)的定義域及性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的解析式，應(yīng)用不等式性質(zhì)，可直接求得函數(shù)的值域。
步驟
第1步：觀察函數(shù)中的特殊函數(shù)；
第2步：利用這些特殊函數(shù)的有界性，結(jié)合不等式推導(dǎo)出函數(shù)的值域.
函數(shù)
的最大值是（　　）
A.
B.
C.
D.
函數(shù)的值域?yàn)?
)。
A、
B、
C、
D、
求函數(shù)的值域.
單調(diào)性法
方法
單調(diào)性法是求函數(shù)值域的常用方法，就是利用我們所學(xué)的基本初等函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)所給定義域來確定函數(shù)的值域．
步驟
第1步：確定函數(shù)的定義域；
第2步：求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
第3步：確定函數(shù)的值域或最值.
求函數(shù)的值域。
求函數(shù)的值域.
求函數(shù)的值域
求函數(shù)的值域.
函數(shù)f（x）=2+log3x（1≤x≤9），函數(shù)g（x）=f2（x）+f（x2），求g（x）值域．
已知，且滿足，則函數(shù)的值域?yàn)?
)。
A、
B、
C、
D、
函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)、都有，且當(dāng)時，，，求函數(shù)在區(qū)間上的值域。
奇偶性法
方法
適用于一些解析式非常復(fù)雜，但是經(jīng)過整理后有一定規(guī)律的函數(shù)，或是抽象函數(shù)；在求函數(shù)最值的問題中，可以利用奇偶性直接得出答案；
步驟
第1步：湊出奇或偶的代數(shù)式
第2步：根據(jù)奇偶性性質(zhì)解題
若都是奇函數(shù)，在上有最大值5，則在上有（
）
A．最小值
B．最大值
C．最小值
D．最大值
設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則_____.
設(shè)函數(shù)f(x)=的最大值為M,最小值為m,則M+m=　　　　.
已知函數(shù)和均為奇函數(shù)，
在區(qū)間上有最大值5，那么在上的最小值為
（
）
A.
－5
B.
－3
C.
－1
D.
5
已知在區(qū)間上有最大值5，那么在上的最小值為
已知函數(shù)和均為奇函數(shù)，在區(qū)間上有最大值5，那么在上的最小值為
已知函數(shù)和均為奇函數(shù),
在區(qū)間上有最大值,那么在上的最小值為
函數(shù)x最大值為Ｍ，最小值為ｍ，Ｍ＋ｍ＝____
配方法
方法
型如()型或可轉(zhuǎn)化為二次型的函數(shù)，用此種方法，注意自變量的范圍。
步驟
第1步：配方；
第2步：借助圖像或利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，確定函數(shù)的最值或邊界點(diǎn)的函數(shù)值；
第3步：結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求得值域.
小結(jié)
若二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在定義域?qū)?yīng)的區(qū)間內(nèi)，則頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)一定是函數(shù)的一個最值，此外,若定義域?yàn)殚_區(qū)間，則函數(shù)可能沒有最值.
當(dāng)1≤x≤2時，求函數(shù)y＝﹣x2﹣x+1值域．
已知函數(shù)，求函數(shù)的值域．
求函數(shù)在，的值域．
定義在上的函數(shù)的值域是__________．
函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋蟮姆秶?br/>函數(shù)f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x，當(dāng)x∈[1，4]時，求h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)值域
已知－1≤x≤2，求函數(shù)y＝f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的值域．
已知x∈[－，]，求求函數(shù)y＝－3（1-cos2x）－4cosx＋4的值域．
已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的定義域和值域；
（2）設(shè)（為實(shí)數(shù)），求在時的最大值；
（3）對（2）中，若對所有的實(shí)數(shù)及恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
分離常數(shù)法
方法
1、型如時，可化簡成的格式
2、型如的函數(shù)，可化簡成格式
步驟
第1步：將函數(shù)關(guān)系式分子中含x的項(xiàng)分離，即使分子不含x項(xiàng)；
第2步：確定分離后的函數(shù)關(guān)系式的單調(diào)性；
第3步：借助函數(shù)的單調(diào)性，求的函數(shù)的值域.
小結(jié)
若分離較為困難，則可將分子或分母設(shè)為一個整體，用一個字母代替及換元再分離常數(shù).
（1）求函數(shù)的值域．
（2）已知函數(shù)，求的值域．
（1）求下列函數(shù)的值域：.
（2）求函數(shù)的值域．
（1）求下列函數(shù)的值域：．
（2）求函數(shù)的值域．
（1）求函數(shù)的值域．
求函數(shù)的值域．
換元法
方法
此種方法適用于求根式形函數(shù)或形式較為復(fù)雜的函數(shù)的值域
步驟
第1步：將函數(shù)關(guān)系式中的部分項(xiàng)視為一個整體用新元表示；
第2步：換元轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)，如二次函數(shù)，一次函數(shù)等，
第3步：借助基本函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的值域
小結(jié)
換元后要注意新元的取值范圍，換元法求函數(shù)值域，其實(shí)質(zhì)是等價轉(zhuǎn)換的思想方法
求函數(shù)的值域：
求下列函數(shù)的值域．
（1）
（2）
（3）．
求下列函數(shù)的值域．
（1）
（2）
求函數(shù)的值域．
求函數(shù)，
的值域..
已知函數(shù)，
，求的最大值及最小值.
求函數(shù)，的值域.
判別式法
方法
型如(、不同時為零)及的函數(shù)求值域，通常把其轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元二次方程，由判別式，求得的取值范圍，即為原函數(shù)的值域。
步驟
第1步：將含x的式子用y表示，
第2步：借助含x的式子得出關(guān)于y的不等式，
第3步：解關(guān)于y的不等式既得函數(shù)的值域
小結(jié)
判別式法常借助含x的式子的有界性得到關(guān)于y的不等式.
利用判別式求函數(shù)的值域．
已知，求函數(shù)的值域．
求函數(shù)的值域：．
求函數(shù)的值域：．
分段函數(shù)法
方法
此種方法適合用與含絕對值符號的函數(shù).
步驟
第1步：在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn)（使各個絕對值為0的取值）;
第2步：分類討論去掉絕對值符號;
第3步：在每一段上依據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的值域，取并集得函數(shù)的值域．
小結(jié)
絕對值符號去對是關(guān)鍵.
求函數(shù)的值域：．
已知函數(shù)，求的值域．
函數(shù)的值域?yàn)?
)。
A、
B、
C、
D、
反函數(shù)法
方法
1、直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。
2、直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。
步驟
第1步：求已知函數(shù)的反函數(shù)；
第2步：求反函數(shù)的定義域；
第3步：利用反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域的關(guān)系即可求出原函數(shù)值域
函數(shù)值域?yàn)?br/>函數(shù)的值域?yàn)?br/>設(shè)為，反函數(shù)，最大值為
不等式法
方法
1、型如時，直接應(yīng)用不等式性質(zhì)。
2、(1)型如
①若，則(當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時取“=”)，
②若，則(當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”)；
(2)型如(，)：
①若，則(僅當(dāng)即時取“=”)
②若，則(僅當(dāng)即時取“=”)
3、型如時，應(yīng)先應(yīng)用分離常數(shù)法化簡成的格式，再利用均值不等式求值域。
4、型如時，應(yīng)討論時的值域，再討論化簡成型，最后利用均值不等式求值域。
步驟
第1步：觀察函數(shù)解析式的形式，型如或的函數(shù)；
第2步：對函數(shù)進(jìn)行配湊成形式，再利用基本不等式求函數(shù)的最值，進(jìn)而
得到函數(shù)的值域.
已知，求函數(shù)
的最小值.
已知函數(shù)，求的值域.
求的最小值；
已知，，，則的最小值為（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
有界性法
方法
①（或）型，解出sinx（或cosx）,利用去解；或用分離常數(shù)的方法去解決。
②（或）型，可化歸為去處理；或用萬能公式換元后用判別式去處理；當(dāng)a=c時，還可利用數(shù)形結(jié)合的方法去處理上。
步驟
第1步：反解出有界性表達(dá)式
第2步：解不等式
求函數(shù)的值域
求函數(shù)的最大值和最小值.
數(shù)形結(jié)合法
方法
利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于圖象的直觀性來求函數(shù)的值域，是一種常見的方法，如何將給定函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型是解答此類問題的關(guān)鍵。
步驟
第1步：作出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的圖像；
第2步：利用函數(shù)的圖像求出函數(shù)的值域.
求函數(shù)的值域.
求函數(shù)的值域.
某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是（
）
A、1800元
B、2400元
C、2800元
D、3100元
定義運(yùn)算，
，例如，則函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>）
B．
C．
D．
函數(shù)的值域是
A．
B．
C．
D．
倒數(shù)法
方法
有時，直接看不出函數(shù)的值域時，把它倒過來之后，你會發(fā)現(xiàn)另一番境況。
步驟
第1步：求出函數(shù)的倒數(shù)；
第2步：轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)問題.
函數(shù)的值域?yàn)?
)。
B、
C、
D、
導(dǎo)數(shù)法
方法
利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性求圖復(fù)雜函數(shù)的極值和最值，然后求出值域
步驟
第1步：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
第2步：利用函數(shù)的圖像求出函數(shù)的值域．
已知函數(shù)在與處都取得極值．
（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值．
【鞏固提升】
按要求求下列函數(shù)的值域：
（1）y＝31（觀察法）；
（2）y（配方法）；
（3）y＝2﹣x（換元法）；
（4）y（分離常數(shù)法）．
（5）y＝8÷（x2﹣4x+5）（判別式法）．
求值域：
（1）y；
（2）y；
（3）f（x）＝x；
（4）f（x）．
求下列函數(shù)的值域：
（1）f（x）＝2x2﹣3x﹣1
（2）f（x）
（3）f（x）＝x
（4）f（x）＝2x
（5）f（x）
（6）f（x）＝5﹣x
求下列函數(shù)的值域：
（1）y＝x
（2）y＝x+2
（3）y＝x4+4x2+1
（4）y＝6．
求下列函數(shù)的值域．
（1）y＝3x+1，x∈[1，2]；
（2）y＝x2﹣4x﹣5，x∈[﹣1，1]；
（3）y；
（4）y；
（5）y＝2x．

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