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2011年溫州市初中數(shù)學學業(yè)考試典型試題分析、診斷
及應(yīng)對措施
第9題．已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，關(guān)于該函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是（ ▲ ）
A、有最小值0，有最大值3 B、有最小值-1，有最大值0
C、有最小值-1，有最大值3 D、有最小值-1，無最大值
【試題分析】本題考查的是函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi)的最值情況，學生要理解自變量取值對二次函數(shù)圖像的影響，進而結(jié)合圖像找到最高點和最低點，考查數(shù)形結(jié)合思想。正確答案選C .
【試題診斷】本題有17.50%的學生選A，2.90%的學生選B，18.80%的學生選D，說明近39.2%的學生沒有掌握好，沒能從圖像上理解函數(shù)最值。
【改進措施】在教學中加強學生對函數(shù)圖像的理解，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識。
第11題．因式分解： ▲ .
【試題分析】本題考查了用平方差公式因式分解。
【試題診斷】本題學生的錯誤解答有：；；；；；……
出現(xiàn)以上錯誤的原因可歸納為：①粗心大意；②沒有理解因式分解的概念；③與用完全平方公式因式分解混淆。
【改進措施】根據(jù)以上診斷，教學中應(yīng)加強對學生學習習慣的培養(yǎng)，加強對負遷移知識間的梳理，深刻理解因式分解的概念。
第15題．汛期來臨前，濱海區(qū)決定實施“海堤加固”工程.某工程隊承包了該項目，計劃每天加固60米.在施工前，得到氣象部門的預(yù)報，近期有“臺風”襲擊濱海區(qū)，于是工程隊改變計劃，每天加固的海堤長度是原計劃的1.5倍，這樣趕在“臺風”來臨前完成加固任務(wù).設(shè)濱海區(qū)要加固的海堤長為a米，則完成整個任務(wù)的實際時間比原計劃時間少用了 ▲ 天（用含a的代數(shù)式表示）.
【試題分析】本題考查的是用整式的加減解決實際問題。本題文字稍長，需要學生有一定的閱讀理解能力。根據(jù)題意列出代數(shù)式后還要熟練掌握整式的加減對代數(shù)式進行化簡。題目較常規(guī)，能有效考查學生基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用。
【試題診斷】本題錯解有：；；；；；；；；……
出現(xiàn)以上錯解的主要原因有：①閱讀理解能力不夠，審題不清；②沒掌握好字母與數(shù)一起參與運算時的正確寫法；③列出代數(shù)式后沒有化簡。
【改進措施】加強必要的化簡運算訓(xùn)練，實際問題的建模訓(xùn)練，促進學生解決問題能力的提升，培養(yǎng)學生良好的解題習慣。
第16題．我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股
定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為
“趙爽弦圖”（如圖1）.圖2由弦圖變化
得到，它是用八個全等的直角三角形拼接
而成.記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，
正方形MNKT的面積分別為,,.
若,則的值是 ▲ .
【試題分析】本題用正方形“框”住“弦圖”，給出合適的條件，使得圖中三個正方形的面積變化存在一個美妙的關(guān)系——等差數(shù)列。此題背景清晰，構(gòu)思獨特，解題方法靈活，可以用代數(shù)方法設(shè)元再利用等式變形解題，也可以觀察圖形面積之間關(guān)系得出結(jié)果，還可以用特殊值法等。
【試題診斷】主要錯解有：；；；；；3；……
主要錯因有：①結(jié)果沒化簡；②從豐富的圖形信息中難以找到解題的切入點。
【改進措施】學習數(shù)學重要的是領(lǐng)會數(shù)學思想，用數(shù)學的思想和方法去分析問題，解決問題。本題除了常規(guī)設(shè)元求解外，還能用整體法發(fā)現(xiàn)是,,的平均數(shù)，甚至還能將圖形擺到特殊位置猜出答案。所以要加強學生分析和解決問題能力的培養(yǎng)，重視對數(shù)學思想方法的教學，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。
第17題．（1）計算：；
（2）化簡：．
【試題分析】本題考查學生對數(shù)與式基本的運算能力，涉及的知識基礎(chǔ)，方法常規(guī)。
【試題診斷】對于第（1）小題，常見錯誤有：
原式=；
原式=；
原式=；
原式=；
原式=；
原式=；……
對于第（2）小題，常見問題有：
原式=
誤解有：誤解（1）：原式=；
誤解（2）：原式=；
誤解（3）：原式=；
誤解（4）：原式=；
誤解（5）：原式=；
誤解（6）：原式=；
誤解（7）：原式= ∴；
誤解（8）：原式=；
誤解（9）：原式=；……
根據(jù)以上錯誤分析：①解題中審題不仔細，導(dǎo)致筆誤；②運算法則、去括號法則等掌握不好；③過分依賴計算器而直接給出近似值；④化簡計算與因式分解混淆。
【改進措施】落實基本的運算法則公式、概念，加強必要的化簡運算訓(xùn)練，培養(yǎng)良好的解題習慣。
第18題．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，點M是AB的中點．
求證：△ADM≌△BCM．
【試題分析】本題以等腰梯形為背景考查全等三角形的判定，學生要掌握等腰梯形的相關(guān)性質(zhì)及判定兩個三角形全等的條件。
【試題診斷】典型錯誤：
1.由等腰梯形得出AD=BC，，再加上，
證得△ADM≌△BCM；
2.根據(jù)AM=BM，DM=CM，，證得△ADM≌△BCM；
3.將兩個三角形的所有條件：“三邊相等”“三角相等”全寫出來或?qū)?、5個條件出來，從而得證；
4.把△ADM≌△BCM作為已知得出條件后又說明全等；
5.取CD的中點N，則整個圖形關(guān)于MN對折后重合，從而得證；
6.前后無因果關(guān)系，如∵點M是AB的中點 ∴ ；……
主要錯因有：①等腰梯形和三角形全等相關(guān)知識掌握不好；②邏輯性錯誤嚴重，前后無因果關(guān)系；③沒有把圖形和題目結(jié)合審題，想當然地根據(jù)圖形自行添加條件；④學生幾何表達能力弱。
【改進措施】幾何作為一種對人類邏輯思維訓(xùn)練的主要方法從來沒有過時，本身它就是嚴密的科學，當然要有嚴密的推導(dǎo)和書寫，這也是學生學習幾何應(yīng)該達到的一個要求，一名合格的初中畢業(yè)生應(yīng)該會用嚴密的幾何語言表述相對簡單的幾何問題。因此，教學中需要加強對學生推理證明的分析與表述，把一些幾何題的過程進行板書，讓學生體會知識產(chǎn)生的過程，把他們腦子的輪廓更清晰的勾勒出來，這樣學生自己嘗試推理證明時可以比較順利的完成從腦子里的想法到紙上的轉(zhuǎn)化。
第19題．七巧板是我們祖先的一項卓越創(chuàng)造，用它可以拼出多種圖形，請你用七巧板中標號為①②③的三塊板（如圖1）經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)拼成圖形．
（1）拼成矩形，在圖2中畫出示意圖；
（2）拼成等腰直角三角形，在圖3中畫出示意圖．
注意：相鄰兩塊板之間無空隙，無重疊；示意圖的頂點畫在小方格頂點上．
【試題分析】本題考查學生的動手實踐能力，蘊含著圖形變換、矩形、等腰直角三角形的概念等知識點。本題以“七巧板”為背景，情境生動活潑，充滿趣味性，既能緩解學生的考試緊張感，又彰顯了勞動人民的智慧，弘揚了我國古代文化。
【試題診斷】本題學生主要錯誤在審題不清，具體表現(xiàn)在：
1.取多個板進行拼圖；
2.只取兩個拼圖；
3.左右兩圖位置畫反；
4.隨意從七塊中拿了三塊，并非指定的三塊；
5.沒有畫在格點上或長度不對；
6.沒按要求畫矩形或等腰直角三角形，而是畫出等腰梯形、菱形等。
【改進措施】在審清題意后本題較易得分，但從答題情況看部分學生審題仍存在較大問題，教學中應(yīng)加強審題能力的培養(yǎng)。引導(dǎo)學生仔細讀題，明確題意，為進一步思考做好準備。養(yǎng)成認真推敲的習慣，才能為正確審題掃清障礙。審題能力的培養(yǎng)對于學生學好數(shù)學是非常重要的，這種能力的培養(yǎng)需要一個過程，需要教師在教學中不斷實踐和摸索。
第21題．一個不透明的布袋里裝有3個球，其中2個紅球，1個白球，它們除顏色外其余都相同．
（1）求摸出1個球是白球的概率；
（2）摸出1個球，記下顏色后放回，并攪均，再摸出1個球．求兩次摸出的球恰好顏色不同的概率（要求畫樹狀圖或列表）；
（3）現(xiàn)再將個白球放入布袋，攪均后，使摸出1個球是白球的概率為，求的值．
【試題分析】本題以概率教學中最常見的摸球?qū)嶒灋楸尘霸O(shè)計問題，讓學生有親切感。本題主要考查學生對概率的理解，會運用列表或樹狀圖分析等可能事件發(fā)生的結(jié)果總數(shù)，會運用公式計算等可能事件發(fā)生的概率。
【試題診斷】對于第（1）小題，主要錯誤結(jié)果有：0.3；0.33；30%；；……
對于第（2）小題，主要錯誤有：
1.放回誤以為不放回；
2.畫樹狀圖或列表錯誤：
如：
紅1 紅２ 紅２ 白
紅２ 紅1 紅２ 白
白 紅1 紅２ 白
3.用數(shù)字或字母代表各出入口，但沒有對數(shù)字，字母作出標記說明等。
對于第（3）小題，主要錯誤有：
1.題意理解錯誤，列出錯誤式子，如，等
2.說明的理由不充分，給出式子 ；……
【改進措施】本題滿分10分，難度值為0.76，從測試結(jié)果看，部分學生難以運用樹狀圖去解決概率問題，可見了教學中分化嚴重，學生解決實際問題能力差異較大。另部分同學定向思維嚴重，審題錯誤。在概率問題教學中，要加強學生對基本模型的理解和審題能力的培養(yǎng)，教學中多讓學生思考、討論。模型理解透了，就自然提高了運用水平與解決問題的能力。
第23題．2011年5月20日是第22個中國學生營養(yǎng)日，某校社會實踐小組在這天開展活動，調(diào)查快餐營養(yǎng)情況.他們從食品安全監(jiān)督部門獲取了一份快餐的信息（如圖）.根據(jù)信息，解答下列問題.
（1）求這份快餐中所含脂肪質(zhì)量；
（2）若碳水化合物占快餐總質(zhì)量的40%，求這份快餐所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量；
（3）若這份快餐中蛋白質(zhì)和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物質(zhì)量的最大值.
【試題分析】本題是一道立足教材、拓展創(chuàng)新的改編題（原題為浙教版七下例題p96改編），命題采用了“多問把關(guān)”的形式，由易到難逐步推進。第(1)問數(shù)量關(guān)系簡單容易解決；第（2）問數(shù)量關(guān)系稍顯復(fù)雜，考查學生應(yīng)用分析能力，學生需審清題意后列示計算或適當設(shè)元列出方程求解；第(3)問是本題的一個亮點，改變條件，給出兩個量的和的范圍，求其中一個量的最值，隱含著函數(shù)最值思想。本題學生切入點較多，方法靈活，解題多樣化，即可用不等式解題，也可用極端思想求解，不同的解答反應(yīng)出思維的不同層次。
【試題診斷】第（2）題典型解法：由題意，得，
答：所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量是克。
第（3）題典型解法：
（1）設(shè)所含碳水化合物質(zhì)量為克
得，解得
答：所含碳水化合物質(zhì)量的最大值是180克。
（2）由題意可知，礦物質(zhì)所占百分比不低于10%；所以蛋白質(zhì)所占百分比不低于40%；碳水化合物所占百分比不高于85%-40%=45%
所含碳水化合物質(zhì)量不高于
答：所含碳水化合物質(zhì)量的最大值是180克。
第（2）題典型錯誤：
1.設(shè)與方程不一致
設(shè)所含蛋白質(zhì)質(zhì)量為克，得，
解得，
答：所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量是克。
2.設(shè)所含蛋白質(zhì)質(zhì)量為克，得，
解得
答：所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量是克。
3.題意理解錯誤，，
答：所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量是克。
第（3）題典型錯誤：
1.直接引用第2問結(jié)果，如
設(shè)所含碳水化合物質(zhì)量為克
得，
解得，
答：所含碳水化合物質(zhì)量的最大值是164克。
2.用方程解題，未說明極端思想的原因，如：
答：所含碳水化合物質(zhì)量的最大值是180克。
3.采用不完全歸納法，如：
設(shè)碳水化合物所占百分比為41%，則
設(shè)碳水化合物所占百分比為42%，則
設(shè)碳水化合物所占百分比為43%，44%…
所以當碳水化合物所占百分比多1%，碳水化合物和蛋白質(zhì)所占百分比多0.2%
答：所含碳水化合物質(zhì)量的最大值是180克。
【改進措施】本題將書本例題進行改編，意在考查學生應(yīng)用建模能力的同時引導(dǎo)師生重視教材、用好教材。因此在對書本例題、習題進行教學時，要注重對題目的理解，挖掘題目的內(nèi)涵。同時要引導(dǎo)學生對綜合題條件的審題，避免出現(xiàn)（2）的條件直接用到（3）的錯誤。此外，還要關(guān)注應(yīng)用問題的主動建構(gòu)和數(shù)學模型的理解與運用。
第24題．如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標為（，），點B的坐標為（，）.P是直線AB上的一個動點，作PC⊥x軸，垂足為C.記點關(guān)于y軸的對稱點為（點不在y軸上），連結(jié),,.設(shè)點的橫坐標為.
（1）當＝3時，①求直線AB的解析式；②若點的坐標是（，），求的值；
（2）若點在第一象限，記直線AB與的交點為D.
當∶＝ 1∶3時，求的值；
（3）是否同時存在，，使△為等腰直角三角形？
若存在，請求出所有滿足要求的，的值；若不存在，
請說明理由.
【試題分析】本題由易到難逐步推進，梯度合理，入口易，
深入難，體現(xiàn)了“不同的人在數(shù)學上有不同的發(fā)展”的理念。
本題設(shè)計新穎，不落俗套，淡化繁雜的運算和技巧性很強的方法，注重思維能力的考查。第（3）題是本題的難點也是關(guān)鍵所在，該問屬于存在性探究型問題，它對學生分析、解決問題的能力提出了較高的要求。本題嘗試設(shè)計兩個獨立的動點，一個“點動”帶來“線動”，另一個“點動”帶來“線動”并引起“形動”。設(shè)計巧妙之處還在于兩個獨立的動點又并不“獨立”，為了得到等腰直角三角形，它們需要合作，當一個“點動”帶來直角時，需另一個“點動”帶來等腰，進而解決問題（用這種方式考查學生的思維能力，是一種大膽創(chuàng)新嘗試）。學生還需要對點P的位置進行討論，在不同象限畫出符合題意的圖形，讓學生經(jīng)歷問題探究的全過程。本題把觀察、操作、探究、計算融合在一起，將相似三角形、等腰直角三角形、一次函數(shù)、方程、軸對稱變換等初中數(shù)學的核心知識融為一體，蘊含著函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、對稱變換思想等重要的數(shù)學思想方法。
【試題診斷】
典型錯誤包括：
第（1）題①中：由得或
第（1）題②中：1.沒有求出的對稱點，直接把代入得到；
2.在得出第①題中的錯誤答案后，把代入得
第（2）題中：1.把第（1）題的結(jié)論運用到第（2）小題，求得；
2.利用相似得比例式后，求得
第（3）題中：1.分類不到位，很多學生只考慮在第一象限的三種情況，而忽略了在第二、三象限的情況；
2.有學生考慮到在第二、三象限時，說明△不為等腰直角三角形的理由不充分；
3.有個別學生只求出一個或的值，而沒有求出另一個；……
【改進措施】數(shù)學家哈爾莫斯說過：問題是數(shù)學的心臟，方法是數(shù)學的行為，思想是數(shù)學的靈魂。依照“數(shù)學思想、數(shù)學方法、解題技巧、解題過程”的順序，在教育教學的意義下是由高到低的。因此解決綜合性問題應(yīng)重視重視數(shù)學思想的滲透，培養(yǎng)良好的數(shù)學素養(yǎng)；重視合作探究，激發(fā)學生的探究意識。
（圖1）
（圖2）
紅
紅1
紅2
白
白
紅1
紅2
白
（1）
(3)
……
（2）
紅1
紅2
白

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